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ANÁLISIS DIDÁCTICO EN LA FORMACIÓN

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Pedro Gómez – Universidad de Granada
En este documento, describo algunos aspectos del significado con el que usamos la
expresión “análisis didáctico” en la asignatura Didáctica de la Matemática en el
Bachillerato de la Universidad de Granada. En particular, introduzco el análisis
didáctico como un nivel del currículo y establezco su papel en la identificación,
organización y selección de los múltiples significados de un concepto matemático para
efectos de diseñar, llevar a la práctica y evaluar unidades didácticas. Estas
consideraciones dan lugar a algunas reflexiones sobre el papel del análisis didáctico en
el diseño de planes de formación inicial de profesores de matemáticas de secundaria,
en la identificación de las capacidades que califican la competencia de planificación
del futuro profesor de matemáticas y en la caracterización de su conocimiento teórico,
técnico y práctico.
In this paper, I describe some aspects of the meaning with which we use the expression
“didactical analysis” in a preservice secondary mathematics teacher training methods
course. In particular, I introduce didactical analysis as a level of curriculum and I
establish its role in identifying, organizing and selecting the multiple meanings of a
mathematical concept for the purpose of designing, implementing and assessing
didactical units. I show the role that this notion can play in the design of teacher
training programs, in identifying the capacities that qualify the preservice teacher’s
planning competence, and in characterizing his theoretical, technical and practical
knowledge.
Aunque la expresión “análisis didáctico” ha sido una noción importante en la asignatura
Didáctica de la Matemática en el Bachillerato de la Universidad de Granada desde hace tiempo,
en los últimos cinco años hemos precisado su significado y le hemos asignado un papel central
2
en su diseño y desarrollo1. ¿Con qué significado utilizamos esta expresión2? ¿Qué papel puede
jugar en la formación inicial de profesores de matemáticas de secundaria? En este documento
abordo estas cuestiones.
Organizo este trabajo en dos partes. En la primera, describo el análisis didáctico como un
nivel del currículo de matemáticas de secundaria; profundizo en la noción de significado en las
matemáticas escolares; destaco la multiplicidad de significados de un concepto matemático; y
describo, de manera general, el ciclo de análisis didáctico como un procedimiento para diseñar,
llevar a la práctica y evaluar unidades didácticas. En la segunda, muestro, en el contexto de la
asignatura Didáctica de la Matemática en el Bachillerato de la Universidad de Granada3, el papel
que el análisis didáctico puede jugar en el diseño de la formación inicial de profesores de
matemáticas de secundaria y en la especificación de las capacidades que caracterizan la
competencia de planificación del profesor. Finalmente, exploro una caracterización del
conocimiento teórico, técnico y práctico del profesor de matemáticas en términos del proceso en
virtud del cual él transforma las nociones del análisis didáctico en instrumentos útiles para
realizar su labor docente.
1. PLANIFICACIÓN DE CLASE Y CURRÍCULO
Si esperamos que los profesores de matemáticas aborden su trabajo diario de manera sistemática
y reflexiva, basándose en un conocimiento profesional, entonces ellos deben conocer y utilizar
principios, procedimientos, herramientas y técnicas que, fundamentados en la didáctica de la
matemática, les permitan diseñar, evaluar y comparar las tareas y actividades de enseñanza y
aprendizaje que pueden conformar su planificación de clase. Por lo tanto, hay que diferenciar
entre los problemas de diseño curricular global (para la totalidad de una asignatura, por ejemplo)
y los problemas de diseño curricular local (para una unidad didáctica o una hora de clase sobre
una estructura matemática específica o uno o más aspectos de ella). El análisis didáctico,
introducido por Rico (1992, § III.2.1; , 1997, p. 55) y que hemos venido desarrollando
recientemente (Gómez, 2002) es una conceptualización del nivel local de la planificación; se
constituye en un nuevo nivel del currículo (p. 256); aborda la problemática de la brecha entre el
diseño curricular global y local (Rico, 1997; Segovia y Rico, 2001); y se enmarca en una visión
funcional del currículo de matemáticas (Rico, Castro, Castro, Coriat y Segovia, 1997, p. 284).
La planificación es una de las actividades más importantes en el trabajo del profesor (Ball y
Bass, 2003, p. 3; Van Der Valk y Broekman, 1999) y es una de sus competencias (Kilpatrick,
Swafford y Findell, 2001, p. 380). Esta competencia reviste especial importancia en los planes de
formación inicial de profesores y se incluye en los diferentes estándares profesionales de los
profesores (e.g., Department of Education, 2001; Department of Education and Training, 2004).
1 En lo que sigue, me tomo la libertad de redactar en primera persona del singular aunque, en muchas ocasiones,
describo el producto del trabajo de una línea de investigación y desarrollo en la que, bajo la tutela de Luis Rico, han
trabajado y trabajan varios investigadores. Entre aquellos con quienes he trabajado, debo mencionar a Isidoro
Segovia, Evelio Bedoya, José Ortiz, José Luis Lupiáñez y Antonio Marín.
2 La expresión “análisis didáctico” se utiliza con múltiples significados. Por ejemplo, de nuestro grupo de
investigación, Gallardo y González (2006, en este volumen) la utilizan para referirse a una metodología de
investigación en educación matemática.
3 Me refiero principalmente a características de esta asignatura en el periodo 2000-2006.
3
La situación es similar en el marco del trabajo y la formación del profesor de matemáticas: la
planificación se reconoce como una de las competencias indispensables (ver, por ejemplo, Niss,
2003; Recio, 2004; Rico, 2004). El profesor debe abordar diferentes tipos de planificación.
Cuando la planificación es local, el foco de atención del profesor es un tema matemático
específico. En este nivel, la planificación del profesor debe tener en cuenta la complejidad del
contenido matemático desde diversos puntos de vista: “cuando las matemáticas se enseñan desde
una perspectiva pluralista, entonces se pueden ver desde múltiples perspectivas —perspectivas
que motivan a los profesores a considerar no solamente los diferentes significados de las
matemáticas, sino también su diversidad en su enseñanza” (Cooney, 2004, p. 511). De hecho, la
negociación y construcción de esta multiplicidad de significados debe ser uno de los propósitos
centrales de la interacción en el aula. Ésta es la posición que, desde comienzos de la década de
los noventa, Rico y sus colaboradores han propuesto como aproximación a la planificación de
unidades didácticas en España (e.g., Rico, 1992; Rico, 1998; Rico, Castro, Castro, Coriat, Marín,
Puig et al., 1997). Esta propuesta se centra en la idea de que la planificación de una unidad
didáctica o de una hora de clase se debe fundamentar en la exploración y estructuración de los
diversos significados de la estructura matemática objeto de esa planificación.
Los “organizadores del currículo” propuestos por Rico (1997, p. 44) son herramientas
conceptuales y metodológicas que le permiten al profesor recabar, organizar y seleccionar
información sobre estos múltiples significados. Un organizador del currículo (por ejemplo, los
sistemas de representación) es una noción, con un significado teórico proveniente de la didáctica
de la matemática, para la que hemos desarrollado un significado técnico. Este significado técnico
recoge los usos que un profesor puede hacer de ella cuando diseña, implementa y evalúa
unidades didácticas. En lo que sigue, utilizaré el término “noción” para referirme tanto al
organizador del currículo (es decir, a su significado técnico), como a sus significados teórico y
práctico. Para efectos de abordar la descripción del análisis didáctico y su relación con los
organizadores del currículo, considero a continuación la interpretación que hacemos de la noción
de significado de un concepto en las matemáticas escolares.
2. PLANIFICACIÓN DE CLASE Y SIGNIFICADO
La extensión y profundidad de los significados que construyen los escolares en el aula (y, por
consiguiente, la calidad de su aprendizaje) se realiza atendiendo los distintos modos de expresión
y de uso con que se manejen los conceptos, a la capacidad para conectar diversas estructuras y
utilizar diferentes procedimientos, a la diversidad de los problemas que pueden interpretarse,
abordarse y resolverse, en definitiva, considerando la riqueza de conexiones —de significados—
que se establecen para una determinada noción o conjunto de nociones matemáticas. Parte
relevante del aprendizaje matemático de los escolares se lleva a cabo en el aula, cuando ellos
negocian y construyen significados con motivo de las actividades propuestas por el profesor
(Biehler, 2005, pp. 61-62; Bromme y Steinbring, 1994, p. 218). ¿Cuáles son los significados de
un concepto matemático que pueden ser objeto de la interacción en el aula? ¿Cuáles son los
significados que se considera relevante desarrollar? En este apartado, abordo estas preguntas y
asumo una posición con respecto a ellas. Mi propósito es mostrar la utilidad de abordar la noción
de significado en las matemáticas escolares desde una perspectiva amplia en virtud de la cual un
concepto matemático puede ser estudiado desde una variedad de significados.
4
Frege (1998a; , 1998b; , 1998c) introdujo la idea de un triángulo semántico para abordar el
significado de un término (ver Figura 1).
Sentido
Signo Referencia
Expresa Determina
Designa
Figura 1. Triángulo semántico (término)4
Al igual que la referencia de un nombre propio es el objeto que designa, un término conceptual
se refiere a un concepto. En la noción de Frege para significado de un término conceptual, el
triángulo semántico viene dado por el signo o término con el que se expresa, por su referencia o
concepto propiamente tal, y por su sentido o modo en que vienen dados los objetos que caen bajo
el concepto (Ver Figura 2).
Signo Concepto
Objeto
Figura 2. Triángulo semántico (concepto)
El triángulo semántico propuesto por Frege identifica los elementos constitutivos del significado
de un término conceptual desde una perspectiva estrictamente lógica y formal. Dado que nuestro
interés por el significado de los conceptos matemáticos está centrado en el ámbito de la
matemática escolar, adaptamos las ideas de Frege para considerar un sistema de relaciones más
amplio5.
Mi propuesta interpreta las ideas de Frege al enfatizar el hecho de que los sentidos en los
que se usa un término conceptual matemático implican, por un lado, los modos en los que se
establecen relaciones con otros términos conceptuales matemáticos, y, por el otro, las diferentes
formas en las que el término conceptual y estas relaciones se pueden representar.
Adicionalmente, y siendo coherente con nuestra posición con respecto al currículo de
matemáticas, adopto un punto de vista funcional, en virtud del cual el sentido en el que se usa un
término conceptual matemático también incluye los fenómenos que sustentan el concepto. En la
matemática escolar, los fenómenos se presentan mediante un contexto o situación en que el
4 Frege no dio ningún nombre para la relación entre sentido y referencia. La denomino “determina” siguiendo a
Oldager (2004, p. 21).
5 Debo a Luis Rico la aclaración de que, para efectos del análisis de contenido —que describiré más adelante—, no
es necesaria una aproximación social a la noción de significado. Basta con una extensión de las ideas originales de
Frege.
5
concepto toma sentido, o también mediante un problema que se aborda y da sentido al concepto.
Mi propuesta aborda el significado de un concepto matemático atendiendo a tres dimensiones
que denomino estructura conceptual, sistemas de representación y fenomenología (Ver Figura
3)6:
♦ En la estructura conceptual incluyo las relaciones del concepto con otros conceptos,
atendiendo tanto a la estructura matemática de la que el concepto forma parte, como a la
estructura matemática que dicho concepto configura.
♦ En los sistemas de representación incluyo las diferentes maneras en las que se puede
representar el concepto y sus relaciones con otros conceptos.
♦ En la fenomenología incluyo aquellos fenómenos (contextos, situaciones o problemas)
que pueden dar sentido al concepto.
Estructura conceptual
Fenomenología
Sistemas de
representación
Figura 3. Las tres dimensiones del significado de un concepto en la matemática escolar
Estas tres dimensiones del significado de un concepto en la matemática escolar ponen en
evidencia y organizan una de las cuestiones centrales de la problemática de la planificación de
clase: la multiplicidad de significados de un concepto en las matemáticas escolares7.
Esta multiplicidad de significados implica que, para efectos de planificar una hora de clase o
una unidad didáctica, sería deseable que el profesor:
1. conociera las tres dimensiones que caracterizan el significado de un concepto en la
matemática escolar
y fuera capaz de:
2. recabar la información necesaria que le permita identificar dichos significados y organizar
esta información de tal forma que sea útil para la planificación;
3. seleccionar, a partir de esta información, aquellos significados que él considera relevantes
para la instrucción; y
4. utilizar la información que surge de los diversos significados del concepto para el diseño de
unidades didácticas.
6 Diveros autores se han aproximado a la problemática de los siginificados de un concepto en las matemáticas
escolares. Biehler (2005, pp. 62-66) resume algunas de estos trabajos. Mi propuesta, en sus tres dimensiones,
comparte muchos aspectos con la de Steinbring (1999).
7 En este trabajo me centro en el análisis de un concepto y de las estructuras matemáticas relacionadas con él. Los
temas de la educación secundaria no son solamente conceptos. Incluyen, por ejemplo, operaciones entre conceptos,
propiedades de conceptos, resultados, procedimientos o sistemas de representación. Todos estos temas se enmarcan
dentro de una estructura matemática y, por lo tanto, pueden ser abordados con las herramientas del análisis
didáctico.
6
El contexto impone unos condicionantes a los últimos tres pasos. Por ejemplo, el contenido
propuesto por la programación a comienzo de curso delimita los significados que se consideran
relevantes a nivel institucional. Por otro lado, el profesor debe atender al desarrollo de la
asignatura en el momento de la planificación. Para ello, él debe tener en cuenta su percepción
sobre las capacidades que los escolares ya han desarrollado y su previsión sobre cómo los
escolares pueden, al abordar las tareas objeto de la instrucción, desarrollar las capacidades
involucradas en los objetivos de aprendizaje. A continuación, describo el análisis didáctico como
un procedimiento que aborda y organiza esta complejidad.
3. ANÁLISIS DIDÁCTICO: UN PROCEDIMIENTO PARA ORGANIZAR
LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS
En el contexto concreto de la planificación de una hora de clase o una unidad didáctica, el
profesor puede organizar la enseñanza basándose en cuatro análisis (Gómez, 2002):
1. el análisis de contenido, como procedimiento en virtud del cual el profesor identifica y
organiza la multiplicidad de significados de un concepto;
2. el análisis cognitivo, en el que el profesor describe sus hipótesis acerca de cómo los escolares
pueden progresar en la construcción de su conocimiento sobre la estructura matemática
cuando se enfrenten a las tareas que compondrán las actividades de enseñanza y aprendizaje;
3. el análisis de instrucción, en el que el profesor diseña, analiza y selecciona las tareas que
constituirán las actividades de enseñanza y aprendizaje objeto de la instrucción; y
4. el análisis de actuación, en el que el profesor determina las capacidades que los escolares
han desarrollado y las dificultades que pueden haber manifestado hasta ese momento.
Denomino análisis didáctico a un procedimiento cíclico que incluye estos cuatro análisis, atiende
a los condicionantes del contexto e identifica las actividades que idealmente un profesor debería
realizar para organizar la enseñanza de un contenido matemático concreto. La descripción de un
ciclo del análisis didáctico sigue la secuencia propuesta en la Figura 4.
7
Determinación de:
Comprensión de los estudiantes
Contenidos
Objetivos
Conocimiento
didáctico
Análisis de
actuación
1
2
5
6
Contextos:
Social
Educativo
Institucional
Metas
Creencias
c
d
a
Diseño curricular
global
b
Análisis de
contenido
Análisis
cognitivo
Análisis de
instrucción
Diseño de
actividades 3
Puesta en práctica
de actividades 4
Figura 4. Ciclo de análisis didáctico y sus condicionantes
El ciclo del análisis didáctico se inicia con la determinación del contenido que se va a tratar y de
los objetivos de aprendizaje que se quieren lograr, a partir de la percepción que el profesor tiene
de la comprensión de los escolares con motivo de los resultados del análisis de actuación del
ciclo anterior y teniendo en cuenta los contextos social, educativo e institucional en los que se
enmarca la instrucción (cuadro 1 de la Figura 4). A partir de esta información, el profesor inicia
la planificación con el análisis de contenido. La información que surge del análisis de contenido
sustenta el análisis cognitivo, al identificar y organizar los múltiples significados del concepto
objeto de la instrucción. A su vez, la realización del análisis cognitivo puede dar lugar a la
revisión del análisis de contenido. Esta relación entre los análisis también se establece con el
análisis de instrucción. Su formulación depende y debe ser compatible con los resultados de los
análisis de contenido y cognitivo, pero, a su vez, su realización puede generar la necesidad de
corregir las versiones previas de estos análisis (cuadro 2). En el análisis cognitivo, el profesor
selecciona unos significados de referencia y, con base en ellos y en los objetivos de aprendizaje
que se ha impuesto, identifica las capacidades que pretende desarrollar en los escolares. También
formula conjeturas sobre los posibles caminos por los que se puede desarrollar su aprendizaje
cuando ellos aborden las tareas que conforman la instrucción. El profesor utiliza esta
información para diseñar, evaluar y seleccionar estas tareas. Por consiguiente, la selección de
tareas que componen las actividades debe ser coherente con los resultados de los tres análisis y la
evaluación de esas tareas a la luz de los análisis puede llevar al profesor a realizar un nuevo ciclo
de análisis, antes de seleccionar definitivamente las tareas que componen las actividades de
enseñanza y aprendizaje (relación entre cuadros 2 y 3). El profesor pone en práctica estas
actividades (cuadro 4) y, al hacerlo, analiza las actuaciones de los escolares para obtener
información que sirve como punto de inicio de un nuevo ciclo (cuadro 5). El conocimiento
didáctico (cuadro 6) es el conocimiento que el profesor pone en juego durante este proceso.
8
Cada uno de los análisis se articula alrededor de unas nociones. Los organizadores del
currículo son la expresión del significado técnico de esas nociones. Por ejemplo, el análisis de
contenido incluye las nociones de sistema de representación, estructura conceptual y
fenomenología, que corresponden a las tres dimensiones del significado de un concepto en el
contexto de las matemáticas escolares. Por su parte, para cada noción, adoptamos un significado
teórico, un significado técnico y un significado práctico. Por ejemplo, en el caso de los sistemas
de representación podemos seleccionar, como significado teórico, la propuesta de Kaput (1992),
en virtud de la cual, un sistema de representación es “un sistema de reglas para (i) identificar o
crear signos, (ii) operar sobre y con ellos y (iii) determinar relaciones entre ellos (especialmente
relaciones de equivalencia)” (p. 523). El significado técnico de la noción abarca los usos que
idealmente el profesor hace de ella cuando analiza un concepto matemático. Su significado
práctico abarca las técnicas (razonamientos y procedimientos, Artigue, 2002) que el profesor
desarrolla y pone en juego cuando utiliza la información que surge del análisis del concepto para
efectos de diseñar, implementar y evaluar una unidad didáctica (por ejemplo, las técnicas para
utilizar la información que surge del análisis de contenido a efectos de identificar las capacidades
y errores de los escolares).
A continuación, apoyándome en un ejemplo, presento algunos aspectos del significado
técnico de las nociones estructura conceptual y sistemas de representación, con el propósito de
dar cuenta de la complejidad del análisis de contenido, en particular, y del análisis didáctico, en
general8.
Utilizo la expresión “estructura conceptual” para referirme a tres aspectos de todo concepto
matemático del currículo escolar:
1. Estructuras matemáticas involucradas. Todo concepto matemático está relacionado con al
menos dos estructuras matemáticas: (a) la estructura matemática que el concepto configura y
(b) las estructuras matemáticas de las que él forma parte. Por ejemplo, el concepto función
cuadrática configura una estructura matemática en la que se establecen relaciones
estructurales entre conceptos como ecuación cuadrática, parámetro, foco y vértice (ver Figura
5). Adicionalmente, el concepto función cuadrática forma parte, por ejemplo, de la estructura
matemática correspondiente al concepto función.
2. Relaciones conceptuales. Resalto las relaciones que se establecen entre el concepto y (a) los
conceptos de la estructura matemática que dicho concepto configura (e.g., la relación entre la
función cuadrática y la ecuación cuadrática), (b) los objetos que son casos particulares de
dicho concepto (en términos de Frege, los objetos que saturan el predicado; e.g.,
!
f (x) = 3×2 ” 4 como caso particular de las funciones cuadráticas de la forma
!
f (x) = ax2 + c ), y (c) los conceptos que pertenecen a la estructura matemática de la que el
concepto forma parte (e.g., la relación entre la función cuadrática y las funciones continuas).
3. Relaciones de representaciones. La exploración de los significados de un concepto requiere
de los sistemas de representación, puesto que con ellos es posible identificar los modos en
que el concepto se presenta. Al tener en cuenta los sistemas de representación, se pueden
8 La descripción detallada de los cuatro análisis del análisis didáctico y de su papel en la formación inicial de
profesores de matemáticas de secundaria es un trabajo en curso en nuestro grupo de investigación (ver, por ejemplo,
Lupiáñez y Rico, 2006; Marín, 2005).
9
destacar varias relaciones (ver Figura 5): (a) la relación entre dos signos que designan el
mismo objeto o concepto, dentro de un mismo sistema de representación (transformaciones
sintácticas invariantes —e.g., como consecuencia de completar cuadrados), (b) la relación
entre dos signos que designan el mismo objeto o concepto pertenecientes a sistemas de
representación diferentes (traducción entre sistemas de representación —e.g., la relación
entre parámetros de una forma simbólica y elementos de la representación gráfica) y (c) la
relación entre dos signos que designan dos objetos o conceptos diferentes dentro de un
mismo sistema de representación (transformaciones sintácticas variantes —e.g., como
consecuencia de aplicar una traslación a la gráfica).
f (x) = (x – 4)
2
– 2
f (x) = x f (x) = (x – 2) (x – 6)
2
– 8x + 14
Factorización
Expansión
Traslación horizontal
f (x) = x
2
Figura 5. Conceptos y procedimientos
Por lo tanto, cuando exploramos los significados de un concepto en las matemáticas escolares,
debemos tener en cuenta tres tipos de “elementos” y dos grupos de relaciones entre esos
elementos.
Podemos clasificar los elementos en:
♦ los objetos, como casos particulares de un concepto y que conforman la extensión del
concepto,
♦ los conceptos, como predicados que son saturados por los objetos y, a su vez, conforman
estructuras matemáticas, y
♦ las estructuras matemáticas, que están conformadas por conceptos.
Por otro lado, las relaciones descritas en los puntos 2 y 3 anteriores se pueden agrupar en dos
categorías que denomino relaciones verticales y relaciones horizontales. Las relaciones
verticales se refieren a las relaciones entre los tres tipos de elementos: Objeto ↔ Concepto ↔
10
Estructura matemática. Por otra parte, las relaciones horizontales se refieren a las relaciones
entre los signos en sus diferentes sistemas de representación (relaciones entre representaciones).
Abordar los significados de un concepto desde la perspectiva de su estructura conceptual y
sus representaciones, implica identificar y organizar los elementos (objetos, conceptos y
estructuras matemáticas) y las relaciones (horizontales y verticales) correspondientes a ese
concepto. Éste es un trabajo matemático en el contexto del contenido matemático escolar.
Godino, Bencomo, Font y Wilhelmi (2006, en este volumen) lo hacen a través de lo que ellos
denominan configuraciones epistémicas asociadas a un concepto. Por su parte, Biehler (2004, pp.
69-71) se aproxima a este tipo de procedimiento cuando, en un esquema y en una tabla, presenta
lo que él denomina “el paisaje semántico” del concepto.
4. ANÁLISIS DIDÁCTICO EN LA FORMACIÓN INICIAL DE
PROFESORES DE MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA
Si el análisis didáctico es una noción curricular, ¿qué papel juega en la formación inicial de
profesores de matemáticas de secundaria? A continuación, muestro las contribuciones de esta
noción en tres aspectos de esta actividad: (a) el diseño de una asignatura de formación inicial, (b)
la identificación de las capacidades que califican la competencia de planificación del profesor de
matemáticas y (c) la caracterización de su conocimiento teórico, técnico y práctico.
Análisis Didáctico y Diseño de una Asignatura de Formación de Profesores de Matemáticas
En la Figura 6, resumo el papel que el análisis didáctico ha jugado en el diseño de la asignatura
Didáctica de la Matemática en el Bachillerato de la Universidad de Granada. Este diseño se
soporta en dos pilares: una posición con respecto al aprendizaje de los futuros profesores9 y una
conceptualización de las actividades del profesor. Mostraré en la siguiente sección que es posible
identificar y caracterizar la competencia de planificación del profesor a partir del análisis
didáctico, como conceptualización de las actividades del profesor a la hora de diseñar, llevar a la
práctica y evaluar unidades didácticas.
9 En este documento no profundizo en este aspecto de la fundamentación del diseño de planes y asignaturas de
formación inicial de profesores de matemáticas de secundaria. Para más detalle a este respecto ver, por ejemplo,
Gómez y Rico (2005).
11
Conceptualización de
las actividades del profesor
Competencias
del profesor
Aprendizaje de los
futuros profesores
Diseño del plan de formación
Análisis didáctico
Figura 6. Conceptualización y diseño de un plan de formación
De las diferentes “tareas profesionales” del profesor (Llinares, 2005) y sus correspondientes
competencias (Rico, 2004), nosotros hemos centrado nuestra atención en la planificación. Es
decir, nos preocupamos por las competencias y capacidades necesarias para el diseño de
unidades didácticas. El esquema metodológico para desarrollar estas competencias y capacidades
se basa en un proceso de simulación (Van Der Valk y Broekman, 1999), en virtud del cual los
grupos de futuros profesores deben producir, al final de la asignatura, el diseño de una unidad
didáctica sobre un tema concreto. Para ello, los futuros profesores, con la guía y el apoyo de los
formadores, ejecutan los diversos procedimientos implicados en cada uno de los análisis del
análisis didáctico. Éste es, por lo tanto, un segundo papel del análisis didáctico en la formación
inicial de profesores de matemáticas de secundaria: es una de las bases que guían la secuencia de
actividades que realizamos dentro de la asignatura.
Análisis Didáctico y Capacidades del Profesor de Matemáticas
En esta sección sugiero cómo la noción de análisis didáctico puede apoyar la identificación de
las capacidades que contribuyen al desarrollo de la competencia de planificación del profesor de
matemáticas. Enumeraré y organizaré estas capacidades de acuerdo con los cuatro análisis que
conforman el análisis didáctico. A continuación, presento únicamente un primer nivel de las
capacidades correspondientes a cada análisis. Cada una de estas capacidades se puede desarrollar
en descripciones más detalladas que corresponden a los procedimientos que configuran cada uno
de los análisis del análisis didáctico.
Análisis de Contenido
Para las tres dimensiones del significado de un concepto, el profesor debe ser capaz de:
♦ recabar la información necesaria que le permita identificar los significados del concepto;
♦ organizar esta información de tal forma que sea útil para la planificación;
♦ seleccionar, a partir de esta información, aquellos significados que él considera relevantes
para la instrucción, al tener en cuenta las condiciones de los contextos sociales,
educativos e institucionales; y
12
♦ seleccionar los significados relevantes para la instrucción al tener en cuenta las
condiciones del contexto del aula (que surgen de la información que se obtiene del
análisis cognitivo).
Análisis Cognitivo
A partir de la información que surge del análisis de contenido, el profesor debe ser capaz de
establecer:
♦ las competencias que se quieren desarrollar,
♦ los focos de interés que se han de tratar,
♦ las capacidades que los escolares tienen antes de la instrucción,
♦ las capacidades que se espera que los escolares desarrollen con motivo de la instrucción
(que contribuyen a las competencias previamente identificadas y que delimitan los
significados a tratar),
♦ las tareas que conforman la instrucción (cuyo establecimiento involucra las capacidades
que se enumeran en el análisis de instrucción),
♦ las dificultades que los escolares pueden encontrar al abordar esas tareas, y
♦ las hipótesis sobre los caminos por los que se puede desarrollar el aprendizaje.
Análisis de Instrucción
Para efectos de analizar y seleccionar las tareas que conforman la instrucción, el profesor ha de
ser capaz de analizar una tarea con el propósito de:
♦ identificar las capacidades que se pueden poner en juego cuando los escolares la aborden,
♦ identificar las competencias a las que esas capacidades, con la tarea en cuestión, pueden
contribuir,
♦ establecer los posibles caminos de aprendizaje que los escolares pueden recorrer cuando
aborden la tarea, y
♦ evaluar la pertinencia de la tarea a partir de esta información.
Análisis de Actuación
Una vez que se ha realizado la instrucción y que el profesor ha observado y registrado lo que
sucedió en su interacción con los estudiantes, él ha de ser capaz de:
♦ comparar las previsiones que se hicieron en la planificación con lo que sucedió cuando
esa planificación se puso en práctica en el aula,
♦ establecer los logros y deficiencias de la planificación (actividades y tareas) en su puesta
en práctica en el aula,
♦ caracterizar el aprendizaje de los escolares con motivo de la puesta en práctica de las
actividades, y
♦ producir información relevante para una nueva planificación.
Si se tienen en cuenta los procedimientos que configuran el análisis didáctico, entonces es
posible desarrollar en detalle las capacidades que he enumerado en la sección anterior. Por
ejemplo, las dos primeras capacidades del análisis de contenido se refieren a la identificación y
organización de los significados de un concepto matemático. Si consideramos las dimensiones de
sistemas de representación y estructura conceptual de estos significados, entonces, para realizar
estos procedimientos, el profesor debe ser capaz, para el concepto correspondiente, de:
1. identificar sus elementos (objetos, conceptos y estructuras matemáticas),
13
2. determinar las diferentes representaciones de esos elementos y
3. establecer las relaciones entre los elementos y entre sus representaciones.
Si profundizamos en el detalle de la capacidad 3, observamos que, de acuerdo con lo que
presenté anteriormente, esta capacidad implica que el profesor debe ser capaz de establecer las
relaciones:
♦ entre el concepto y los conceptos de la estructura matemática que dicho concepto
configura,
♦ entre el concepto y los objetos que son casos particulares de dicho concepto,
♦ entre el concepto y los conceptos que pertenecen a la estructura matemática de la que el
concepto forma parte,
♦ entre pares de signos que designan el mismo objeto o concepto, dentro de un mismo
sistema de representación (transformaciones sintácticas invariantes),
♦ entre pares de signos que designan el mismo objeto o concepto pertenecientes a sistemas
de representación diferentes (traducción entre sistemas de representación) y
♦ entre pares de signos que designan dos objetos o conceptos diferentes dentro de un
mismo sistema de representación (transformaciones sintácticas variantes).
En el ejemplo que acabo de presentar se aprecia la complejidad de las capacidades que
contribuyen a la competencia de planificación del profesor de matemáticas (ver Figura 7). He
identificado unas capacidades que contribuyen a esta competencia y las he descrito
detalladamente de acuerdo con los análisis que conforman el análisis didáctico. En el caso del
análisis de contenido, dos de estas capacidades se refieren a la identificación y organización de
los significados del concepto en términos de los sistemas de representación y la estructura
conceptual. Estas capacidades implican, entre otras cosas, establecer diversos tipos de relaciones
entre los elementos con los que el profesor organiza los significados del concepto en cuestión.
14
Competencias del
profesor de matemáticas
Competencia de
planificación
Capacidades
Análisis de contenido
Sistemas de representación
y estructura conceptual
Relaciones
entre concepto y
entre pares de signos
los conceptos de la estructura matemática
que dicho concepto configura
los conceptos que pertenecen a la
estructura matemática de la que el concepto forma parte
los objetos que son casos
particulares de dicho concepto
traducción entre sistemas de representación
transformaciones sintácticas variantes
transformaciones sintácticas invariantes




Figura 7. Competencia de planificación y complejidad de las capacidades asociadas
Análisis Didáctico y Conocimiento del Profesor
En el contexto de la asignatura de formación inicial de profesores de matemáticas de secundaria
a nuestro cargo, nosotros esperamos que, para cada una de las nociones del análisis didáctico y
para un concepto matemático concreto, el futuro profesor:
1. conozca el significado de la noción;
2. recabe y organice información sobre los significados del concepto en términos de la noción;
3. use la información obtenida para realizar los otros análisis del análisis didáctico; y
4. use la información de todos los análisis para el diseño de la unidad didáctica.
Estas actividades del profesor corresponden a los significados teórico (1), técnico (2) y práctico
(3 y 4) de las nociones que conforman el análisis didáctico que introduje anteriormente y
configuran, a su vez, tres tipos de conocimientos del futuro profesor. En este contexto, el
conocimiento teórico es declarativo e implica la capacidad para describir, en abstracto, la noción.
Por ejemplo, para declarar la definición de sistema de representación, enumerar sus
características o su relación con otras nociones (como la estructura conceptual o la
fenomenología). Denomino como técnico al conocimiento y a las capacidades para analizar un
concepto matemático en términos de una noción dada. Por ejemplo, la identificación de las
diferentes representaciones de un concepto forma parte del conocimiento técnico. Finalmente, en
15
este contexto, el conocimiento práctico involucra las capacidades necesarias para usar, de
manera orquestada, una información técnica con un propósito práctico (e.g., la planificación de
unidad didáctica).
La relación entre las actividades que se espera que realice el futuro profesor, los significados
de las nociones del análisis didáctico y los tipos de conocimientos que están implicados pone de
manifiesto la complejidad del conocimiento didáctico y de la formación inicial de profesores de
matemáticas de secundaria. El conocimiento didáctico, como el conocimiento que se pone en
juego y se desarrolla al realizar el análisis didáctico, es un conocimiento para la acción, tal y
como lo caractericé al describirlo en términos de competencias en la sección anterior. El
desarrollo de este conocimiento requiere que los futuros profesores puedan transformar las
nociones que conforman el análisis didáctico en instrumentos10. El desarrollo del conocimiento
didáctico de los futuros profesores se fundamenta en un juego entre teoría y práctica, que se
puede caracterizar con una adaptación de la teoría de la génesis instrumental (Rabardel, 2003;
Rabardel y Bourmaud, 2003; Vérillon, 2000): es a través del uso de la noción (el instrumento),
como mediador entre los futuros profesores y el concepto sobre el que se trabaja, que ellos
construyen y desarrollan significados tanto acerca de la noción, como del concepto. La idea de
génesis instrumental surge al constatar que un artefacto11 se convierte en un instrumento en la
medida que tienen lugar tres procesos:
1. La instrumentalización12, como proceso en el que el sujeto transforma y adapta el artefacto a
sus necesidades y circunstancias (Rabardel y Bourmaud, 2003, p. 673).
2. La instrumentación, como el proceso en el que se generan esquemas de acción (p. 673). Éstas
son habilidades de aplicación de la herramienta para realizar tareas significativas (Kaptelinin,
2003, p. 834) que se transforman en técnicas (Artigue, 2002, p. 250). Una técnica es una
amalgama de razonamiento y procedimientos rutinarios que permiten resolver una tarea (p.
248).
3. La integración orquestada, en virtud de la cual la herramienta se integra a otros artefactos
(Kaptelinin, 2003, p. 834).
De hecho, estos tres procesos corresponden, al menos parcialmente, a las tres categorías en las
que también he clasificado las actividades del futuro profesor, los significados de las nociones
del análisis didáctico y los tipos de conocimientos que esperamos que él desarrolle a lo largo de
su formación (ver Tabla 1).
Actividad Significado Conocimiento Proceso
Conocer la noción Teórico Teórico Instrumentalización
Recabar información Técnico Técnico Instrumentación
Usar información Práctico Práctico Integración orquestada
10 Este aspecto de la formación inicial de profesores de matemáticas de secundaria ha sido ya resaltado por Llinares
(2005).
11 Lo que propongo es una adaptación de la teoría de la génesis instrumental dado que, en este caso, el instrumento
no se refiere a un artefacto material concreto, sino a una “herramienta analítica” (Kaptelinin, 2003, p. 834).
12 Soy consciente de que este término no existe en castellano, pero lo introduzco como traducción del término
“instrumentalization” en inglés, y, así, diferenciar este primer proceso del segundo.
16
Tabla 1. Actividades, significados, conocimientos y procesos
5. DISCUSIÓN
En este trabajo he descrito el significado con el que, en el contexto de la formación inicial de
profesores de matemáticas de secundaria, utilizo la expresión “análisis didáctico”. Le doy
especificidad a este significado al caracterizarlo como un procedimiento para organizar la
enseñanza de un concepto matemático y concretar:
♦ el contexto en que se usa (una asignatura de formación inicial de profesores de
matemáticas de secundaria),
♦ el propósito de su implementación (la fundamentación del diseño de la asignatura),
♦ el sujeto que lo utiliza (el futuro profesor) y
♦ las nociones que lo conforman (los organizadores del currículo).
He mostrado el papel que esta noción puede jugar en el diseño de planes de formación, en la
identificación de las capacidades que califican la competencia de planificación del profesor de
matemáticas y en la caracterización de su conocimiento teórico, técnico y práctico.
La caracterización de los procedimientos que conforman el análisis didáctico y de los
significados teóricos, técnicos y prácticos de las nociones implicadas en sus procedimientos me
permite identificar y organizar las capacidades necesarias para la competencia de planificación
del profesor de matemáticas de secundaria. De esta manera doy concreción al conocimiento
didáctico que esperamos que los futuros profesores desarrollen dentro de la asignatura. La
implementación del Espacio Europeo de Educación Superior implica la determinación de un
conjunto de competencias (genéricas y específicas) para el perfil profesional del profesor de
matemáticas de secundaria. Diversas instituciones españolas han colaborado para producir una
lista de competencias específicas (Recio, 2004), conocida como las competencias ITERMAT.
Pero, no es suficiente con enumerar estas competencias. Es necesario precisar su significado,
caracterizarlas en términos de capacidades, relacionarlas con las actividades que se espera que el
profesor realice en su labor docente y diseñar los currículos que pueden promover su desarrollo
en los planes de formación inicial. He mostrado que el análisis didáctico puede ser una noción
valiosa en esta reflexión.
La adaptación de la teoría de la génesis instrumental a una visión funcional de la formación
inicial de profesores de matemáticas de secundaria resalta un aspecto central del desarrollo del
conocimiento didáctico de los futuros profesores que, en muchas ocasiones, se mantiene en
segundo plano: los futuros profesores deben desarrollar técnicas (razonamientos y
procedimientos) para resolver las tareas que configuran su actividad docente. La formación
inicial de profesores de matemáticas de secundaria no puede centrarse exclusivamente en el
desarrollo de un conocimiento teórico o en la reflexión sobre un conocimiento práctico.
Tampoco puede ver sencillamente estos dos conocimientos como complementarios. La
integración entre teoría y práctica en la formación de profesores debe, en primera instancia,
reconocer la importancia de promover el conocimiento técnico de los futuros profesores. Este
conocimiento técnico es el vínculo entre teoría y práctica: su construcción implica el desarrollo
de las capacidades del futuro profesor para transformar las nociones teóricas en instrumentos
útiles para la práctica. Pero, el esfuerzo de formación no se debe restringir exclusivamente al
17
conocimiento (técnico) de cómo se deberían idealmente analizar las múltiples facetas del
significado de un concepto. También debe incluir, en segunda instancia, los razonamientos y
procedimientos (las técnicas) en virtud de los cuales los futuros profesores pueden, a partir del
significado técnico de las nociones teóricas, recabar, organizar y seleccionar la información
relevante sobre un concepto concreto y usar esa información con propósitos didácticos. En la
asignatura a nuestro cargo hemos profundizado en algunos aspectos de este conocimiento
práctico. Lo hacemos, por ejemplo, cuando describimos en detalle la multiplicidad y complejidad
de las relaciones involucradas en la descripción de los significados de un concepto (relacionando
así los significados técnicos de la estructura conceptual y los sistemas de representación); o
cuando establecemos esquemas para definir los objetivos de aprendizaje a partir del análisis de
las capacidades que se pretenden lograr y de las competencias a las que estas capacidades
contribuyen (relacionando un aspecto del análisis didáctico —el análisis cognitivo— con un
aspecto del diseño curricular a nivel global). Sin embargo, otras permanecen, por el momento,
opacas y las sugerimos tan sólo a través de ejemplos. Es el caso, por ejemplo, de los
procedimientos en virtud de los cuales se pueden identificar y organizar las capacidades y errores
de los escolares a partir de la información que surge del análisis de contenido; de los esquemas
para evaluar y seleccionar tareas con base en la información que surge de los análisis de
contenido y cognitivo; o de los procedimientos mediante los cuales se pueden analizar las
propuestas de los libros de texto a partir de la información del análisis didáctico.
Estos son tan sólo unos primeros intentos en nuestro propósito de comprender cómo aprende
un futuro profesor en un plan de formación y de desarrollar estrategias para promover ese
aprendizaje. Nos queda mucho espacio aún por recorrer.
6. AGRADECIMIENTOS
Agradezco a María José González, María Consuelo Cañadas, José Luis Lupiáñez, Juan D.
Godino y Jesús Gallardo quienes leyeron y comentaron un borrador de este documento.
7. REFERENCIAS
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  1. agosto 21, 2015 a las 6:38 pm

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