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La didáctica de la matemática como disciplina científica

Dentro de la  comunidad de investigadores que, desde diversas disciplinas, se interesan por  los problemas relacionados con la educación matemática, se ha ido destacando en  los últimos años, principalmente en Francia, un grupo -donde sobresalen los  nombres de Brousseau1Chevallard2Vergnaud3–  que se esfuerza en realizar una reflexión teórica sobre el objeto y los métodos  de investigación específicos en didáctica de la matemática. En junio de 1993 se  celebró en París un coloquio titulado “Veinte años de Didáctica de las  Matemáticas en Francia: homenaje a Guy Brousseau y Gérard Vergnaud”. 1973  constituye un hito en esta comunidad de investigadores, aunque también podría  tomarse el año 1970 con la creación de los primeros IREM: Institutos para la Investigación de la Enseñanza de las  Matemáticas, conjuntamente con la publicación de los primeros artículos de  Brousseau.

Otro  acontecimiento reciente fue la realización del I Congreso Internacional sobre  la teoría antropológica de lo didáctico: “Sociedad, Escuela y Matemática: las  aportaciones de la TAD”,  realizado en octubre del 2005 en Baeza, España. El propósito de este congreso  fue reunir a los investigadores que trabajan actualmente en el campo de la TAD (Teoría Antropológica de  lo Didáctico) para hacer un balance tanto de los resultados y avance en los  últimos 25 años de la investigación fundamental, como del desarrollo del  sistema de enseñanza y la formación docente. El comité científico estuvo  formado por Artaud, Bosch, Chevallard, Godino, Espinoza, Estepa, Gascón, Orús,  Ruiz Higueras y Contreras de la   Fuente.

Este conjunto  de investigadores son los que contribuyen a una concepción llamada por sus  autores “fundamental” de la didáctica, que presenta caracteres  diferenciales respecto de otros enfoques: concepción global de la enseñanza,  estrechamente ligada a la matemática y a teorías específicas de aprendizaje, y  búsqueda de paradigmas propios de investigación, en una postura integradora entre  los métodos cuantitativos y cualitativos.

Como  característica de esta línea puede citarse el interés por establecer un marco  teórico original, desarrollando sus propios conceptos y métodos y considerando  las situaciones de enseñanza y aprendizaje globalmente. Los modelos  desarrollados comprenden las dimensiones epistemológicas, sociales y cognitivas  y tratan de tener en cuenta la complejidad de las interacciones entre el saber,  los alumnos y el profesor, dentro del contexto particular de la clase.

El primer concepto creado por G. Brousseau, que formó  parte de los demás desarrollos, es el de la Teoría de las Situaciones, formulada en su  primera fase a principios de los setenta, desarrollada en una segunda fase  hasta la publicación de la tesis de Brousseau y seguida por los aportes de  Chevallard (1990) en términos de instituciones y de las relaciones con el  saber.

Brousseau4 establece que:

La didáctica de  la matemática estudia las actividades didácticas, es decir las actividades que  tienen por objeto la enseñanza, evidentemente en lo que ellas tienen de  específico de la matemática.
Los resultados,  en este dominio, son cada vez más numerosos; tratan los comportamientos  cognitivos de los alumnos, pero también los tipos de situaciones empleados para  enseñarles y sobre todo los fenómenos que genera la comunicación del saber. La  producción o el mejoramiento de los instrumentos de enseñanza encuentra aquí un  apoyo teórico, explicaciones, medios de previsión y de análisis, sugerencias y  aun dispositivos y métodos.

Presentaremos, a continuación, una síntesis de los  principales conceptos ligados a esta línea de investigación, en palabras del  propio Brousseau5

(…) la teoría  de situaciones estudia: la búsqueda y la invención de situaciones  características de los diversos conocimientos matemáticos enseñados en la  escuela, el estudio y la clasificación de sus variantes, la determinación de  sus efectos sobre las concepciones de los alumnos, la segmentación de las  nociones y su organización en procesos de aprendizaje largos, constituyen la  materia de la didáctica de las matemáticas y el terreno al cual la teoría de  las situaciones provee de conceptos y de métodos de estudio. Para los  profesores como para los alumnos, la presentación de los resultados de estos  trabajos renueva su conocimiento así como la idea que tienen de las  matemáticas, y esto incluso si es necesario desarrollar todo un vocabulario  nuevo para vincular las condiciones en las que emergen y se enseñan las  nociones matemáticas básicas, con la expresión de dichas nociones en la cultura  matemática clásica.Los didactas que comparten esta concepción de la  didáctica relacionan todos los aspectos de su actividad con las matemáticas. Se  argumenta, para basar ese enfoque, que el estudio de las transformaciones de la  matemática, bien sea desde el punto de vista de la investigación o de la  enseñanza, siempre ha formado parte de la actividad del matemático, de igual  modo que la búsqueda de problemas y situaciones que requieran para su solución  una noción matemática o un teorema.

Chevallard y Johsua (1982) describen el SISTEMA  DIDÁCTICO en sentido estricto, como formado esencialmente por tres subsistemas:  PROFESOR, ALUMNO y SABER ENSEÑADO. Un aporte de la Teoría de las Situaciones  Didácticas (TSD) al estudio de los procesos de aprendizaje de las matemáticas  en el contexto escolar es la inclusión, en el clásico triángulo didáctico  “maestro, alumno, saber”, de un cuarto elemento: el medio.

El medio (milieu) se define como el objeto de la  interacción de los alumnos: es la tarea específica que deben llevar a cabo, y  las condiciones en que deben realizarla, es decir, el ejercicio, el problema,  el juego, incluyendo los materiales, lápiz y papel u otros. En una acepción un  poco más amplia, el medio al que el alumno se enfrenta incluye también las  acciones del maestro, la consigna que da, las restricciones que pone, las  informaciones y las ayudas que proporciona, y podríamos agregar, las  expectativas que tiene sobre la acción de los alumnos y que mediante mecanismos  diversos, transmite. Es decir, es el subsistema sobre el cual actúa el alumno  (materiales, juegos, situaciones didácticas, etc.).

Además está el mundo exterior a la escuela, en el que  se hallan la sociedad en general, los padres, los matemáticos, etc. Pero, entre  los dos, debe considerarse una zona intermedia, la NOOSFERA, que, integrada  al anterior, constituye con él el sistema didáctico en sentido amplio, y que es  lugar, a la vez, de conflictos y transacciones por las que se realiza la  articulación entre el sistema y su entorno. La noosfera es por tanto “la  capa exterior que contiene todas las personas que en la sociedad piensan sobre  los contenidos y métodos de enseñanza”.

Estos conceptos tratan de describir el funcionamiento  del sistema de enseñanza -y de los sistemas didácticos en particular- como  dependientes de ciertas restricciones y elecciones. Asimismo, tratan de  identificar dichas restricciones y poner de manifiesto cómo distintas  elecciones producen modos diferentes de aprendizaje desde el punto de vista de  la construcción por los alumnos de los significados de las nociones enseñadas.

La teoría que estamos describiendo, en su formulación  global, incorpora también una visión propia del aprendizaje matemático, aunque  pueden identificarse planteamientos similares sobre aspectos parciales en otras  teorías.

Se adopta una perspectiva piagetiana, en el sentido  de que se postula que todo conocimiento se construye por interacción constante  entre el sujeto y el objeto, pero se distingue de otras teorías  constructivistas por su modo de afrontar las relaciones entre el alumno y el  saber.

El punto de vista didáctico imprime otro sentido al  estudio de las relaciones entre los dos subsistemas (alumno-saber). El problema  principal de investigación es el estudio de las condiciones en las cuales se  constituye el saber, pero con el fin de su optimización, de su control y de su  reproducción en situaciones escolares. Esto obliga a conceder una importancia  particular al objeto de la interacción entre los dos subsistemas, que es precisamente  la situación-problema y la gestión por el profesor de esta interacción.

En la   Teoría de Situaciones Didácticas de G. Brousseau se define  que una situación didáctica es  un conjunto de relaciones explícita y/o implícitamente establecidas entre un  alumno o un grupo de alumnos, algún entorno (que puede incluir instrumentos o  materiales) y el profesor, con un fin de permitir a los alumnos aprender -esto  es, reconstruir- algún conocimiento. Las situaciones son específicas del mismo.

Para que el alumno “construya” el  conocimiento, es necesario que se interese personalmente por la resolución del  problema planteado en la situación didáctica. En este caso se dice que se ha  conseguido la devolución de la  situación al alumno.
El proceso de resolución del problema planteado se  compara a un juego de estrategia o a un proceso de toma de decisiones.

Una situación funciona de manera “adidáctica” cuando  el alumno y el maestro logran que el primero asuma el problema planteado como  propio, y entre en un proceso de búsqueda autónomo, sin ser guiado por lo que  pudiera suponer que el maestro espera.

Por otro lado, debido a la peculiar característica  del conocimiento matemático, que incluye tanto conceptos como sistemas de  representación simbólica y procedimientos de desarrollo y validación de nuevas  ideas matemáticas, es preciso contemplar varios tipos de situaciones:

  • SITUACIONES DE ACCIÓN, sobre el  medio, que favorecen el surgimiento de teorías (implícitas) que después  funcionarán en la clase como modelos proto-matemáticos.
  • SITUACIONES DE FORMULACIÓN, que  favorecen la adquisición de modelos y lenguajes explícitos. En estas suelen  diferenciarse las situaciones de comunicación, que son las situaciones de  formulación que tienen dimensiones sociales explícitas.
  • SITUACIONES DE VALIDACIÓN,  requieren de los alumnos la explicitación de pruebas y por tanto explicaciones  de las teorías relacionadas, con medios que subyacen en los procesos de  demostración.
  • SITUACIONES  DE INSTITUCIONALIZACIÓN: que tienen por finalidad establecer y dar un status  oficial a algún conocimiento aparecido durante la actividad de la clase. En  particular se refiere al conocimiento, las representaciones simbólicas, etc.,  que deben ser retenidas para el trabajo posterior.

Hablemos  ahora del proceso de institucionalización. En un proceso de aprendizaje por  adaptación, cuando los alumnos logran desarrollar una estrategia que resuelve  el problema, el conocimiento que subyace a este no se les revela como un nuevo  saber: si pudieron resolver el problema, es, para ellos, porque sabían hacerlo.  Los alumnos no tienen la posibilidad de identificar por sí mismos la presencia  de un nuevo conocimiento, y menos aún el hecho de que dicho conocimiento  corresponde a un saber cultural. Esto requiere de un proceso de institucionalización,  que cae bajo la responsabilidad del maestro.

 

1 Brousseau, Guy: doctor en Ciencias, Profesor de Didáctica  de la Matemática  en Bordeaux, Francia. Autor de la conocida Teoría de las Situaciones Didácticas  y de numerosos conceptos didácticos teóricos.

2 Chevallard, Yves: profesor en el Instituto  Universitario de Formación de Profesores (IUFM) y de Investigación Matemática  en la Universidad  de Aix Marseille, Francia. Es conocido internacionalmente por su teoría de la  transposición didáctica y últimamente por el fértil desarrollo de la Teoría Antropológica  de la Didáctica  (TAD).

3 Vergnaud, Gerard: autor de la teoría de los campos  conceptuales, cuyas nociones ejes son: campo conceptual, esquema y competencia.

5 Brousseau, Guy (1986),  “Fundamentos y métodos de la didáctica”, RDM Nº 9 (3). Versión en  español publicada por Facultad de Matemática, Astronomía y Física de la Universidad de  Córdoba.

5 Brousseau, Guy (1999), “Educación y Didáctica de  las matemáticas”, trabajo presentado en el V Congreso Nacional de Investigación  Educativa, Aguascalientes. Traducción de David Block y Patricia Martínez  Falcón.

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