CONSECUENCIAS DIDÁCTICAS DE LA TEORÍA DE J. PIAGET

1. La autonomía como objetivo educativo
La finalidad última de la educación es el desarrollo integral de la personalidad del
individuo. Este proceso educativo sólo puede actuar sobre los estímulos externos y la
situación ambiental que posibilitan un campo de actuación para que el sujeto, con
su participación, vaya construyendo las distintas estructuras que configuran su
personalidad.
Estas estructuras requieren para su formación una interacción de tres aspectos
fundamentales:
— La participación activa del sujeto sobre el medio.
— Un complejo de experiencias y actividades en un contexto social sobre las
que pueda actuar.
— Un nivel de desarrollo que determina el tipo y la forma de interacción que
cada sujeto puede realizar con su medio.
El proceso evolutivo de cada individuo parte de su estado actual de desarrollo y
avanza hacia una mejor adaptación y comprensión del medio, lo que se consigue por
la asimilación que hace cada sujeto de aquellas experiencias y actividades adecuadas
a su nivel y que contribuyen a construir un nuevo tipo de relación, que varía a lo
largo del desarrollo, produciendo un cambio en sus estructuras y determinando una
nueva forma de comprensión de la realidad.
La educación pretende que todos los individuos alcancen el máximo desarrollo de
sus capacidades, y para ello ofrece a la actuación del sujeto un medio rico en experiencias
tanto físicas como sociales, siempre adecuadas a su momento evolutivo. De esta
forma, se irá promoviendo y estimulando la construcción de una personalidad autónoma,
que se halla tan alejada de la «anomía» propia del egocentrismo como de la
«heteronomia» de las presiones exteriores.
Este nuevo enfoque de la educación pretende la formación de mentes libres, capaces
no de repetir lo ya hecho, sino capaces de crear y verificar todo lo que les rodea
y consigan los más altos niveles de desarrollo afectivo y cognoscitivo, que permita
mantener una postura crítica y objetiva sobre la experiencia exterior. El niño debe
aprender a razonar y a construir su propia visión de la realidad, que será crítica y
creativa a la vez. Tal como señala Piaget {1981a; 43) cuando escribe: «Apuntar al
pleno desarrollo de la personalidad humana y a un refuerzo de los derechos del
hombre y de las libertades fundamentales consiste en formar individuos capaces
250 JUAN J. MUNTANER GUASP
de una autonomía intelectual y moral y que respeten esta autonomía en el prójimo,
en virtud precisamente de la regla de reciprocidad que la hace legítima para ellos
mismos».
La puesta en práctica de esta nueva educación exige un cambio importante en los
fundamentos de la didáctica tradicional y en la mentalidad de los educadores, que
puede especificarse en las características siguientes:
— El niño se convierte en el verdadero protagonista de su educación y deja de ser
el sujeto paciente para convertirse en el sujeto activo de todo su proceso formativo,
pues lograr los objetivos de la educación depende de las potencias asimilativas del
alumno.
El niño ocupa el centro de toda la organización educativa y se parte de su propio
proceso evolutivo, estudiando cada etapa del desarrollo, pues a cada una le corresponden
unos intereses determinados sobre los que debe basarse la educación y que constituyen
el motor de este proceso educativo.
— El educador se convierte en el guía y director de esta actividad, su misión es la
de estimular la investigación y el esfuerzo del niño en lugar de limitarse a trasmitir
soluciones ya acabadas: «La autonomía, como objetivo —dice Kamii, 1984; 29— de
la educación, implica que no se debe hacer que los niños digan cosas en las que
realmente no creen».
— Fomentar la cooperación con sus semejantes le obliga a exponer sus razonamientos
y a admitir otros puntos de vista distintos al suyo proveniente de uno igual,
no de un ser superior como se ve al adulto. Este intercambio le obliga a descentrarse
y a razonar sus aseveraciones para hacerlas comprender a los otros y de esta forma el
niño se apercibe de sus errores y va elaborando sus propias estructuras intelectuales.
— Globalidad de los aprendizajes. La autonomía requiere una participación activa
de todas las características que definen el aprendizaje, el cual nace de la realidad que
se presenta ante el sujeto como un todo sobre el que debe artuar. Por otro lado, se
requiere un ambiente social abierto, activo y rico en experiencias que permitan una
interacción productiva con el sujeto.
Debemos entender la autonomía como el objetivo de la educación no como sinónimo
de libertad, sino como sinónimo de respeto y responsabilidad hacia los otros y
hacia uno mismo. Ello repercutirá y exigirá un cambio cualitativo en el enfoque educativo,
que vamos a analizar en sus puntos básicos.
2. Fundamentos teóricos
2.L Los factores del desarrollo intelectual
El desarrollo intelectual se explica según Piaget por la participación de cuatro
factores esenciales que determinan el proceso formativo y que posibilitan su
evolución:
L Maduración fisiobiológica, en cuanto integración de estructuras nerviosas y de
maduración del sistema endocrino suficientes para permitir un funcionamiento global
de las facultades mentales del individuo.
Esta maduración consiste básicamente en posibilitar nuevas adquisiciones y constituye
un elemento indispensable para la aparición de nuevas conductas, aunque no sea
CONSECUENCIAS DIDÁCTICAS DE LA TEORÍA DE J. PIAGET 251
el único factor determinante. Es una parte necesaria que marca un límite de complejidad
que las nociones y las operaciones no pueden sobrepasar.
La base fisiobiológica conforma la infraestructura básica que permite un desarrollo
global de la persona y su maduración determina las posibilidades inteleauales y de
aauación de cada sujeto.
2. Experiencia o contacto con los objetos, en cuanto establecimiento de relaciones
entre el individuo y el medio ambiente, que se realiza a tres niveles:
— El simple ejercicio supone la presencia de objetos sobre los cuales se efectúa la
acción, pero que no implica necesariamente la adquisición de conocimiento. El ejercicio
puede ser una actividad perceptiva-exploratoria, o bien una repetición que consolida
las operaciones intelectuales (Piaget, 1981b; 36).
— La experiencia física permite la adquisición de un nuevo conocimiento por
medio de la manipulación de objetos, de los cuales abstrae sus propiedades físicas,
pero sin tener en cuenta el conjunto del objeto.
Esta experiencia física se traduce en un conocimiento, al que se llega a base de
observaciones empíricas repetidas, pero no incluyen una nueva estructura de pensamiento.
El conocimiento físico tiene un nivel perceptivo como elemento fundamental,
lo que implica un conocimiento condicionado por el punto de vista egocéntrico del
sujeto y limitado por la percepción.
— La experiencia lógico-matemática permite al niño la construcción de estructuras
intelectuales, a partir de la interacción de éste con el medio. El niño con su acción
sobre los objetos va desarrollando un marco de relaciones que conforman los esquemas
de pensamiento capaces de deducir propiedades de los objetos dependientes de
las relaciones entre ellos y que no están implícitas en su propia estructura física.
La experiencia lógico-matemática depende directamente de la actuación de cada
sujeto que va relacionando su acción sobre la realidad con sus conocimientos previos
y de esta forma va construyendo nuevas estructuras que se corresponden con nuevas
operaciones mentales, las cuales permitirán analizar desde nuevas perspectivas esta
realidad circundante y avanzar en su evolución intelectual. «Sólo cuando el niño posee
la estructura mental previa cuando se halla en condiciones de asimilar nuevas experiencias
y cuando se da aprendizaje auténtico con la posibilidad de generalizar la
experiencia adquirida a nuevas situaciones». Ginsburg y Opper (1981; 166).
3. Transmisión social. El sujeto debe desarrollar sus capacidades en un contexto
social determinado que le condiciona, pues la situación socio-cultural con que se
encuentra el niño influye en su evolución. El niño debe sufrir su proceso de «Homonización
» y ello implica toda una serie de conocimientos convencionales y experiencias
que únicamente son aprendidas a través del contacto social con cada ambiente
determinado.
Esta trasmisión social juega un papel fundamental, pero es insuficiente por sí sola,
precisa de un conocimiento lógico-matemático que le permita asimilar la situación a
una determinada estructura de pensamiento, precisa una base adecuada para que
toda experiencia sea útil y provechosa.
Tanto la experiencia física como la trasmisión social exige la actividad del niño
sobre los objetos y su medio sociocultural para adquirir conocimientos fundamentales
para el desarrollo intelectual del niño, pero todos exigen un marco lógico-matemático
para lograr la formación de estructuras operatorias que repercutan en un avance de
su progreso evolutivo.
252 JUAN J. MUNTANER GUASP
4. La equilibración. Los factores tradicionales no bastan según Piaget, para explicar
el desarrollo intelectual. Debemos recurrir a un cuarto factor que organice y
regule todo el conjunto. «Para Piaget —dice Trang-Thong, (1981; 79)—, el desarrollo
de la inteligencia es un proceso de equilibración continua y progresiva; donde los
estadios de desarrollo constituyen niveles sucesivos de equilibración».
El desarrollo intelectual evoluciona mediante un proceso de equilibración, que
realiza la labor de motor de cambio y opera continuamente en todos los intercambios
del sujeto en crecimiento. Este equilibrio «Nunca entendido como si se tratara de una
balanza de fuerzas en un estado de reposo, sino que lo definiremos muy ampliamente
por la compensación debida a las actividades del sujeto como respuesta a las perturbaciones
externas», escribe Piaget (1976; 126).
El proceso de equilibración es una autorregulación de los intercambios entre la
actividad del sujeto y los objetos que se mueven dentro de estados de desequilibrio
(comprensión incompleta de la realidad) hasta otros de mayor equüibrio (períodos de
mayor comprensión), que se suceden a lo largo de todo el desarrollo, de forma que
van integrando los estados inferiores en los superiores hasta completar el máximo de
coherencia y estabilidad de sus estructuras intelectuales.
Piaget (1976; 188-189) describe el equilibrio en función de tres características:
A. Estabilidad, que no inmovilidad, es la capacidad de regular y compensar mediante
acciones u operaciones los cambios de los elementos, pero manteniendo
la estructura básica.
B. Movilidad que permite compensar las perturbaciones exteriores.
C. Actividad del individuo para poder anticipar y realizar las compensaciones
precisas para mantener el equilibrio de la estructura.
Ginsburg y Opper (1981; 63) resumen estas características diciendo: «El equilibrio
implica actividad, apertura y un estado de armonía relativa con el medio».
2.2. La construcción del conocimiento
El conocimiento no es el resultado de los estímulos externos que recibe el niño,
ni una copia pasiva de la realidad, ni la actualización de conocimientos preformados,
es el resultado de una interacción del organismo con el medio ambiente que suscita
una construcción por parte del niño de cada conocimiento, este proceso se define
según Pérez Gómez (1981; 35) por dos caraaerísticas fundamentales:
a. El conocimiento implica un proceso activo por parte del sujeto: asimilación
de lo nuevo a lo viejo y acomodación de lo viejo a lo nuevo.
b. El niño conoce desde una plataforma ya construida de conocimientos, selecciona,
percibe e interpreta su entorno, en función de sus más o menos elaboradas
estructuras de pensamiento.
La teoría del conocimiento de Piaget es interaccionista y constructivista, ello significa
que el desarrollo cognoscitivo se debe a la interacción del sujeto con el medio que
le rodea y gracias a esa relación y a partir de los mecanismos generales de que dispone
cada niño en cada momento va construyendo y elaborando nuevos conocimientos y
avanzando así en su desarrollo intelectual. Esta evolución mantiene un mismo esquema
que se va repitiendo a distintos niveles a lo largo de los períodos que constituyen
el desarrollo intelectual del niño. Piaget (1979; 28) señala al respecto: «Encontramos
en todas partes y siempre el mismo mecanismo: descentración de los objetos o de las
CONSECUENCIAS DIDÁCTICAS DE LA TEORÍA DE J. PIAGET 253
relaciones con respecto a la percepción y a la acción propia, por tanto corrección del
egocentrismo inicial y, por ello mismo, agrupamientos de estos objetos y de sus relaciones,
es decir, construcción de una estructura al mismo tiempo objetiva y lógica».
El constructivismo parte de las estructuras simples heredadas que posibilitan al
niño un primer contacto con su ambiente y precisa de la maduración como elemento
indispensable en la disposición del organismo para formar nuevas estructuras y relaciones
a través de sus experiencias con objetos, personas y situaciones concretas que
conforman la progresión del razonamiento en el niño. Esta evolución exige una continuidad
entre las funciones de nivel inferior y superior que se interrelacionan para
construir nuevas estrutturas que permitirán al niño una nueva forma de organizar la
realidad y una mayor capacidad de comprensión del mundo que le rodea.
La explicación dada por Piaget sobre la construcción del conocimiento nos permite
deducir la forma en que se produce el aprendizaje en el niño y, a su vez, una nueva
forma de encarar la labor pedagógica, que pueda adaptarse mejor a las capacidades y
a la realidad de cada individuo. Siguiendo la línea marcada por la teoría de Piaget,
encontramos tres características básicas en el aprendizaje:
1. La investigación del niño: su artividad.
2. La labor orientativa a desempeñar por el educador.
3. La interacción social: el ambiente.
Estos tres elementos nos señalan la línea a seguir por la pedagogía en su misión
de posibilitar una evolución del desarrollo intelectual del niño: la pedagogía pretende
modificar los factores ambientales y estimular la niño en su medio rico en estímulos
para motivar la experiencia que permita acelerar y completar la construcción de estructuras
intelectuales, aunque no pueda en ningún caso cambiar el orden jerárquico
de la construcción de estas estructuras.
2.3. Formas de conocimiento
Tal como ya hemos enunciado pueden darse tres tipos distintos de experiencias
que promueven otros tantos tipos de conocimientos, y éstos constituyen distintas
formas de relación con la realidad.
Piaget señala la existencia de dos fuentes de conocimiento: por un lado, las fuentes
externas al sujeto que vienen determinadas por la experiencia física y social; por
otro lado, las fuentes internas del conocimiento que surgen de la experiencia lógicomatemática.
El conocimiento debe considerarse como una relación de interdependencia entre
el sujeto y el objeto, que facilita la adaptación del niño a su medio externo al que
comprendiendo y asimilando, ello repercute en una ampliación de su campo de acción.
Estas dos fuentes de conocimiento se corresponden a la forma de abstracción
de la realidad utilizada por el niño, tal como señalan Inhelder, Sinclair y Bovet
(1975; 25):
— Abstracción empírica por la que el niño extrae del objeto sus propiedades
relativas a un conocimiento particular descartando las que no lo son: saca su
información de los propios objetos.
254 JUAN J. MUNTANER GUASP
— Abstracción reflexiva saca sus informaciones de la coordinación de las acciones
que el sujeto ejerce sobre los objetos. Ni las acciones, ni la coordinación
tienen su origen en el objeto, que representa solamente el papel de soporte.
El conocimiento surge, pues, de la abstracción del niño: de su actividad y de la
forma de relacionar las distintas estructuras de que dispone con la realidad que se le
presenta. Podemos reseñar las distintas formas de conocimiento según el esquema del
CUADRO 1.
Experiencias Surgen de los ^ Conoc. Físico.
‘físicas Objetos exteriores Conc. Descubierto.
Abstracción
Empírica
Origen externo^
al sujeto
Abstracción
Reflexiva
Origen interno
al sujeto
• Experiencias
sociales
Experiencias ,
lógico-matemática
Surge del Ínter- ^ Conoc. Social.
cambio con personas Conoc. Aceptado.
Surge de la ^
relación y coordinación
de las
acciones del sujeto
Conoc. Lógicomatemático.
Conoc. Discurrido
El conocimiento mantiene una estrecha relación entre sus distintas formas que no
pueden darse independientemente. El conocimiento físico y social requieren un marco
lógico-matemático para su construcción, pero a su vez la formación de estructuras y
esquemas de razonamiento precisan la participación y el contacto tanto con los objetos
como con las personas.
Todo conocimiento tiene un punto en común: surge de la propia actividad del
niño ya sea actuando sobre los objetos, relacionándose con los demás o coordinando
y relacionando las diversas estructuras intelectuales. El conocimiento fundamental es
el que produce una estructuración de sus esquemas mentales, su formación no es el
resultado de una simple acumulación de constataciones empíricas, sino que exige una
actuación por parte del sujeto que provoque las acomodaciones necesarias para asimilar
las nuevas experiencias y ello se produce gracias al conocimiento lógico-matemático,
que tal como anuncian Kamii y Devries (1981; 28-29) tiene varias características
específicas:
1. No es directamente entrañable porque está contruido a partir de las relaciones
que el mismo niño ha creado entre los objetos y cada relación subsiguiente que
él cree es una relación entre las que el propio niño creó con anterioridad.
2. No hay nada arbitrario en el conocimiento lógico-matemático y se desarrolla
siempre en una sola dirección y está es siempre hacia la consecución de una
mayor coherencia.
3. Este conocimiento si se construye una vez, nunca se olvidará.
CONSECUENCIAS DmACTICAS DE LA TEORÍA DE J. PIAGET 255
3. Procedimientos didácticos básicos
En la teoría de J. Piaget se debe diferenciar entre: aprendizaje, entendido como
un incremento de los contenidos; y desarrollo, como cambio estructural. Para Piaget
lo relevante son los cambios en la estructura del pensamiento que constituyen la
evolución intelectual del niño. Por esa razón, el objetivo de un programa educativo es
desarrollar la inteligencia, tal como nos señala Furth (1974; 89): «Aunque la inteligencia
puede ser entendida como conocimiento, es mejor encararla como un instrumento
general del conocimiento. No se ocupa de cosas particulares, pero ofrece el marco
dentro del cual se establece todo conocimiento particular».
Como consecuencia de ello podemos distinguir dos tipos de aprendizaje en el
proceso evolutivo: por una parte, aquél que es fruto de una abstracción empírica y
que surge de la experiencia física o social, se corresponde con el aspecto figurativo
del conocimiento, pues el sujeto adecúa nuevos conocimientos a sistemas preexistentes;
por otra parte, el aprendizaje fruto de una abstracción reflexiva, que surge de la
experiencia lógico-matemática, se corresponde con la actividad operativa que obHga
al niño a modificar sus sistemas y a reestructurar sus relaciones hacia una idea más
coherente y objetiva de la realidad. Es la abstracción reflexiva, pues la que provoca
un aprendizaje intelectualmente válido, tal como ya nos apuntan M. Moreno y G.
Sastre (1980; 45) que escriben: «El aprendizaje como resultado de una actividad del
individuo viene, en gran parte, desencadenada por estímulos externos. Si estos estímulos
son adecuados al momento evolutivo en que se encuentra el individuo y le proporciona
la posibilidad de ejercitar sus esquemas intelectuales, le conducen a una reestructuración
hacia un nivel más evolucionado y aceleran su maduración intelectual».
3.1. La investigación del niño: su actividad
Todo aprendizaje exige la participación activa del sujeto sobre su medio más
próximo, pues el origen de todo conocimiento está en esta interacción sujeto-medio.
El sujeto descubrirá a través de sus propias acciones las propiedades y características
de los objetos y construirá gracias a esta relación con el exterior sus esquemas de
asimilación, que le permitirán el desarrollo de sus estructuras intelectuales. El sujeto
debe razonar y comprender el concepto para aprenderlo.
Es preciso favorecer la investigación del niño, para que pueda utilizar sus propios
razonamientos en su contacto con el exterior y descubrir e inventar por sí mismo las
relaciones de su experiencia que le conducirán a la construcción de sus esquemas
intelectuales. Este proceso le permitirá modificar y reestructurar su pensamiento hacia
nuevas formas de adaptación más acorde con la realidad circundante.
El conocimiento no se adquiere por trasmisión, ni es suficiente la sola presencia
de los objetos, sino que exige la participación del niño como protagonista del aprendizaje,
pues sólo él mismo puede con su acción de búsqueda e investigación construir
y elaborar las oportunas estruauras lógicas de asimilación que le permitan la adquisición
cognoscitiva coherente, significativa y duradera. Esta acción requiere el apoyo de
los objetos y exige su manipulación, pero en muchas ocasiones se trata no de una
actividad física, sino mental, tal como proponen Moreno y Sastre (1971; 98): «La
actividad representativa no se limita a asimilar tal cual los datos proporcionados por
la percepción, sino que debe reconstruir por sí mismo, paso a paso, cada una de sus
adquisiciones, partiendo de la actividad del sujeto sobre los objetos, es decir de los
esquemas de acción».
256 jnAN I \ i r \ ” i ‘ \ \ í lí (ii’A^p
El papel primordial concedido a la actividad estructuradora del sujeto debe realizarse
a partir de unas estructuras ya existentes, como señalan Furth y Wachs (1978;
62): «Se debe dejar solo al niño para que trabaje dentro de la estructura de su propio
nivel, a su propio ritmo y en su estilo personal».
3.2. Su momento evolutivo.
Cada sujeto mantiene determinados intercambios con su medio y organiza sus
experiencias de acuerdo al nivel evolutivo inicial que le sirve de base y de orientación
para la construcción de sus nuevos esquemas asimiladores, pues: «todo nuevo aprendizaje
ha de basarse necesariamente en aprendizajes previos. Una experiencia tiene
significado
tan solo en la medida en que puede ser asimilada» nos recuerda Richmond
(1980; 129).
El sujeto se relaciona con la realidad circundante sin que en ésta se produzcan
cambios sustanciales, donde se produce una evolución es en la estructura intelectual
de cada sujeto que leerá e interpretará la realidad de forma distinta según cual sea su
punto de partida. Como señala Pérez Gómez (1981; 39): «El aprendizaje para ser
significativo y provocar desarrollo requiere trabajar con contenidos relevantes, contenidos
que se refieran a problemas y situaciones que el niño encuentre en su vida
cotidiana dentro de su medio natural y social». Por esa razón, el método educativo a
emplear debe ser suficientemente flexible para permitir su adaptación al nivel inicial
de cada sujeto para cada aprendizaje, pues éste está siempre subornidado a los niveles
de desarrollo del sujeto.
El desarrollo intelectual consiste en un largo proceso que se realiza por fases en
un carácter secuencial, donde cada uno engloba a las anteriores dentro de un sistema
estructural más amplio y complejo en el cual el orden es más estable que la cronología.
J. Piaget (1981a; 71) se refiere a ello señalando: «La cuestión estriba en descentrar al
individuo y hacerle abandonar sus actitudes subjetivas o egocéntricas espontáneas
para conducirle gracias a esto a la reciprocidad y a la objetividad, como metas del
desarrollo».
El aprendizaje de conocimientos válidos para fomentar el desarrollo intelectual
del niño precisa de su actividad en la interacción con el medio, pero precisa también
de unas estructuras previas a partir de las cuales poder asimilar sus nuevas experiencias,
de forma que al conjuntar estas dos premisas se producen continuas reequilibraciones
cada vez más coherentes y acordes con la realidad. Drevillon (1983; 64) escribe:
«El niño solo recibe lo que puede recibir y saca provecho de la experiencia que
es capaz de realizar».
3.3. El papel de educador
La labor a realizar por el educador debe ser primordialmente la creación de un
ambiente sugerente para el niño, ofreciéndole situaciones y materiales relevantes y
significativas, pero la elaboración de estas circunstancias debe responder a dos premisas
básicas:
a. El niño es el protagonista, él debe construir por sí mismo, a partir de las
situaciones propuestas por el educador, los nuevos esquemas asimiladores: «La tarea
de padres y educadores —dice Furth (1974; 88)— se limita a prolongar y alimentar
este desarrollo ofreciendo oportunidades adecuadas y no enseñando explícitamente
lo que hay que hacer o lo que hay que saber».
CONSECUENCIAS DIDÁCTICAS DE LA TEORÍA DE J. PIAGET 257
b. Estas actividades propuestas por el educador deben cubrir un amplio abanico
de posibilidades para estimular el pensamiento del niño, pero es preciso que éstas se
acomoden al grado de madurez intelectual en que se encuentra y deben mantener la
génesis normal de la evolución cognoscitiva. «Los profesores —escribe Bernad Mainar
(1978; 21)— saben muy bien que la madurez mental condiciona básicamente el proceso
total del aprendizaje. Por ello, saber cómo trabaja la inteligencia del que aprende
es requisito indispensable para conducir una enseñanza con eficacia».
La acción del educador es la de guiar la actividad del niño, encaminándole hacia
aquellas experiencias que pueden servirle para construir determinadas estructuras.
Para ello precisa del conocimiento exahustivo de la génesis intelectual que sigue el
niño en su proceso de desarrollo. La labor del educador es alentar la curiosidad del
niño, estimular su pensamiento y creatividad sin limitar su libertad individual, por
ello debe presentar los problemas de forma clara y viva, para aumentar la motivación
por la actividad tanto física como mental según un proceso en el que suceden y se
preparen las asimilaciones y acomodaciones a la medida de las necesidades y posibilidades
de cada sujeto.
Kamii y Devries (1983; 100-101) enuncian las funciones básicas a desempeñar por
el educador en una clase:
1. Crear un ambiente y una atmósfera favorable al aprendizaje: el niño debe sentirse
independiente para utilizar su propia iniciativa.
2. Proveer material, sugerir actividades y evaluar lo que ocurre en la mente del
niño momento a momento; el profesor escoge ideas y sugerencias de los niños
en lugar de imponer sus propios y premeditados fines. La evaluación se convierte
así en un proceso constante.
3. Responder al niño en función del tipo de conocimientos implicados: el profesor
estimula a los niños a construir su propio conocimiento y a pasar por los diversos
tipos de «errores».
4. Ayudar al niño a desarrollar sus ideas: el profesor entra en interacción con los
niños para estimularles a desarrollar sus propias ideas.
3.4. La interacción social
Una última característica del aprendizaje según plantea la teoría de J. Piaget se
refiere a la necesidad de fomentar una enseñanza socializada, en la cual la discusión
en común y el trabajo en equipo sean situaciones cotidianas en la práctica educativa.
El proceso de aprendizaje tiende a desarrollar la capacidad intelectual del sujeto
que evoluciona desde un egocentrismo hacia una autonomía, que le permita una visión
objetiva de la realidad. Un método para favorecer esta evolución es fomentar el contacto
con sus semejantes, que obÜga al niño a verificar sus asertos y a dar congruencia a
sus palabras, con ello favorecemos la movilidad y coherencia del pensamiento.
La escuela activa supone una comunidad de trabajo, en la cual se alterna el trabajo
individualizado y el trabajo socializado, por el cual se consigue desarrollar el respeto
mutuo dentro de un ambiente de reciprocidad entre iguales, donde se conjugan los
diversos puntos de vista y las acciones. «La socialización y el progreso de la razón son
factores interdependientes. La cooperación constituye el medio preciso para la elaboración
de las operaciones intelectuales». (López Román, 1979; 58).
258 JUAN J. MUNTANER GUASP
Los niños en colaboración van construyendo mutuamente un enorme sentido de
responsabilidad y cooperación, pero nunca como una consigna aceptada que genera
obligación, sino como el fruto de un proceso de elaboración por parte del niño que
le dispone a una participación entre iguales y a una actividad Ubre de acción individual
que repercutirá en un completo desarrollo de su personalidad.
JOAN J . MUNTANER GUASP
Dpto. de Ciencias de la Educación
Universitat de LES ILLES BALEARS
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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conocimiento matemático.

Diseño Curricular de Educación Polimodal
CAMPO DE CONOCIMIENTO:
MATEMÁTICA
PROVINCIA DEL CHUBUT
Ministerio de Educación
304
Diseño Curricular de Educación Polimodal
Es tan extenso del campo de la matemática y se han acumulado tantos
conocimientos que es difícil seleccionar la matemática que los alumnos
van a necesitar en el futuro. Hoy más que nunca “enseñar es elegir”
Luis Santaló
Fundamentación del campo de conocimiento
Vivimos en un mundo de permanentes cambios, en una sociedad
crecientemente diversa, por lo cual se impone la necesidad de pensar la Matemática
como un conjunto de conocimientos para alumnos que harán uso de sus
competencias para comprender y mejorar la realidad que les toca vivir.
La sociedad actual que integra conocimientos matemáticos y aspectos
matematizables, exige personas cuyo conocimiento matemático sea lo menos
compartimentado posible, lo exige que la formación en el campo de la Matemática
en Educación Polimodal, incorpore, a partir de lo trabajado en Educación General
Básica, incorpore aspectos como la sistematización, la formalización y el rigor,
sin dejar por ello de lado la creatividad y la intuición. El reto de la educación
matemática es entonces buscar dentro de la propuesta curricular un lugar para
contenidos que respondan a esas exigencias.
Durante mucho tiempo la Matemática fue considerada como un cuerpo de
sabiduría objetivo, absoluto, cierto e inmutable, apoyado sobre las bases firmes de la
lógica deductiva. Esa imagen de la Matemática criticada filosóficamente como algo
rígido, puro, abstracto que se interesa por el proyecto epistemológico de proveer
sistemas rigurosos que garanticen el conocimiento, es la imagen que muchas veces
se ofrece a los alumnos cuando se proponen tareas matemáticas rutinarias e
inconexas que sólo sirven de aplicación a los procedimientos estudiados.
Otra postura filosófica asociada con un enfoque centrado en la construcción
de los conocimientos, enfatiza la dimensión humana de la matemática. El
conocimiento matemático es entendido como algo que está en continuo
crecimiento. Se asocia la Matemática con personas, las instituciones y las
situaciones sociales, es decir, que se considera a la Matemática como un
constructo humano cargado de valores y que se desarrolla dentro de un
determinado contexto.
Pero más allá de la adhesión a una postura u otra, la Matemática es
reconocida como una ciencia formal pura, pero también como una ciencia aplicada,
una herramienta para la comprensión y desarrollo de otras áreas del conocimiento y
ligada al crecimiento social y cultural de las personas y los pueblos. Esta dualidad de
la Matemática es sólo aparente dado que su unidad es indisoluble y no se puede
avanzar en una dirección si se pierden de vista las otras miradas. Las aplicaciones
estimulan y a veces acompañan resultados que se han desarrollado desde la
Matemática pura.
PROVINCIA DEL CHUBUT
Ministerio de Educación
305
Diseño Curricular de Educación Polimodal
La enseñanza de la Matemática debe sostener una intencionalidad clara de
capacitar a todos los alumnos para entender y relacionarse con el conocimiento y los
seres humanos y como consecuencia, comprometerse y actuar ante los cambios de
la sociedad, o incluso generarlos y promoverlos.
Esta concepción contempla también la importancia de los valores y actitudes
reconociendo el valor del conocimiento matemático como formador de la
personalidad, de la tolerancia y el pluralismo de ideas como condiciones para la
discusión y la participación, para la búsqueda y el trabajo compartido.
Uno de los propósitos de las actividades matemáticas escolares, debe ser el
aprendizaje del lenguaje específico pues muchas veces su ausencia se convierte en
un obstáculo para seguir aprendiendo.
La comunicación como posibilidad de expresión dentro de una sociedad
democrática, el desarrollo de procesos de pensamiento, la creatividad en un marco
de libertad, y el valor por lo estético, son algunos de los aspectos que fundamentan
el por qué de la enseñanza de la Matemática para una formación general en los
jóvenes.
Aprender Matemática desde esta perspectiva será entonces alcanzar el
desarrollo de capacidades que contribuyan al desempeño de los jóvenes tanto en la
sociedad actual como futura. Entre estas capacidades distinguimos las que permiten
desarrollar una actitud comprensiva de conceptos e ideas matemáticas, como
así también, las que tienen relación con el hacer y el construir saberes
matemáticos.
Los avances tecnológicos del mundo que nos rodean, inciden con rapidez y
accesibilidad a nuevos medios de cálculo, recursos y producción; a sistemas de
comunicación más amplios, que nos brindan una mayor posibilidad de acceso a la
información; y replanteamiento de los valores sociales e individuales, ponderando la
importancia de los equipos de trabajo sobre el trabajo individual.
Atentos a este contexto, consideramos que el espíritu del trabajo de la
educación matemática en Educación Polimodal es el de resaltar tanto su utilidad y
funcionalidad como su potencialidad para desarrollar las capacidades de
modelización, resolución, argumentación para la defensa de procedimientos y
resultados, búsqueda e intercambio de ideas.
Los modelos matemáticos representan matemáticamente la realidad, son
“simuladores” matemáticos de la realidad. Constituyen intentos por describirla y
explicarla con el propósito de tomar decisiones y formular predicciones.
En esta etapa, como en las anteriores, resulta fundamental el reconocimiento
de contenidos matemáticos claves, distinguiendo aquellos que implican relaciones
de clasificación y estructura de aquellos que básicamente implican un hecho
matemático.
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Entre estos contenidos, procedimientos matemáticos tales como: la mejora de
habilidades generales, rutinas algorítmicas específicas aplicables a un determinado
tipo de situaciones, estrategias heurísticas genéricas o específicas, competencias
lógicas que forman parte del trabajo matemático y la promoción de un pensamiento
avanzado, dan cuenta de cierta potencialidad del campo de conocimiento
matemático en Educación Polimodal.
Desde estas convicciones, es nuestra intención destacar las ideas sustantivas
respecto de las finalidades de la Matemática en Educación Polimodal:
• las competencias cognitivas y lógicas serán logradas en los alumnos
cuando sean capaces de sacar conclusiones lógicas a partir de relaciones
establecidas, reconocer pautas y esquemas de realización procedimental y
demostrar destrezas generales de tipo lógico – cognitivo.
• la educación matemática del alumno de Educación Polimodal tendrá la
clara intencionalidad de promocionar el desarrollo de un pensamiento
avanzado, que supere progresivamente obstáculos y se reconstruya
superando conflictos, reconociendo y relacionando imágenes, modelos y
realidades. El alumno que ha logrado este tipo de pensamiento manifiesta
habilidad para generalizar (por ejemplo a n-dimensiones) y formalizar
dando significado a los simbolismos.
• el proceso de resolución de problemas es fundamental en la educación
matemática y debe posibilitar su incidencia a otras áreas de conocimiento.
Es por ello que la mayoría de las estrategias heurísticas genéricas o
específicas se refieren a esta actividad.
Pero también son propias de la acción matemática las estrategias que
desarrollan el propio proceso de elaboración de modelos a partir de
realidades, como la experimentación, la predicción y la confrontación.
La Matemática, como es sabido, cumple siempre con el doble papel de ciencia
pura y ciencia aplicada. Respecto del primero, se destaca la necesidad de comenzar
a plantear problemas intrínsecos a la Matemática en Educación Polimodal, como por
ejemplo, los relacionados con Teoría de Números. En cuanto al segundo papel,
importa que los conceptos a desarrollar tengan aplicaciones a otras ciencias.
Asimismo, resulta propio de la Educación Polimodal favorecer la adquisición de
habilidades como clarificar, puntualizar y plantear los problemas sin ambigüedad,
coincidiendo éstas con características propias del pensamiento matemático.
Uno de los aspectos en que debe sustentarse nuestro trabajo diario es el de
la cohesión interna de la matemática, que está estrechamente ligada a la
comprensión conceptual, la habilidad de plantear problemas y resolverlos con
variadas estrategias, su significación y funcionalidad a través de su conexión con el
mundo real (entre sus ramas y con otras ciencias) y la potencia de la matemática
para modelizar problemas de las otras disciplinas a partir de su estructuración
lógica y de su lenguaje. Esto significa tomar conciencia de la importancia de
trabajar un mismo concepto en diferentes contextos y establecer las relaciones entre
distintos conceptos que contribuyen en el tratamiento de un tema determinado.
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Las propuestas áulicas proveerán modelos matemáticos que permitan a los
alumnos manejarse en la sociedad actual, como así también generar los propios,
construyendo representaciones matemáticas de la realidad.
Se incluyen en este campo de conocimiento, contenidos de Álgebra y
Geometría con el fin de ampliar sustancialmente la gama de problemas dentro de la
geometría del plano y del espacio planteados en la Educación General Básica,
incrementando gradualmente el nivel de complejidad de los mismos.
Al hacer referencia a problemas de “más alta complejidad”, creemos necesario
resaltar que importan tanto los procesos de razonamiento puestos en práctica como
el arribo a una solución correcta. Se intenta, por otro lado, realizar una
axiomatización, aunque sea parcial, de la Geometría que se ha trabajado en
Educación General Básica, mostrando de esta forma y por primera vez, un sistema
axiomático y el trabajo riguroso que caracteriza a la demostración en Matemática.
La Geometría como cuerpo de conocimiento es la ciencia que tiene por objeto
analizar, organizar y sistematizar los conocimientos espaciales. En un sentido amplio
puede considerarse a la “Geometría como la matemática del espacio”. Estudiar el
espacio no es de interés propio sólo de la educación de cada persona, sino que
resulta esencial en diferentes disciplinas y profesiones técnicas y artísticas. Las
relaciones espaciales se hacen evidentes en las distintas dimensiones físicas en que
se puede producir conocimiento.
La Geometría como estudio del espacio no tiene necesariamente que realizar
el análisis secuencial y ordenado de las dimensiones 1,2,3,4,… como se ha hecho
tradicionalmente, sino que la dimensión se considera en función de la situación que
se analiza y del aspecto que se desea resaltar. Topógrafos y geógrafos proceden así
cuando quieren analizar la forma del espacio físico de una zona geográfica
determinada. Toman primero medidas y relacionan directamente sobre el paisaje
tridimensional de la zona a estudiar, luego pasan a la representación bidimensional
del mismo, mediante el alzado de mapas topográficos y por último pasan al espacio
unidimensional analizando por separado contornos y perfiles de cada nivel del
paisaje. Este modo de proceder es común a la mayoría de las profesiones que
necesitan estudiar relaciones espaciales.
Como expresamos en párrafos anteriores, un aspecto esencial de la actividad
matemática que debe ocupar su lugar en la enseñanza es el de construir modelos
matemáticos. Un fenómeno de la naturaleza, un proceso de producción, una
estructura, un sistema de control, un plan económico son algunos ejemplos de
objetos no matemáticos que pueden modelizarse. Sólo después de la construcción
del modelo matemático es posible resolverlo empleando métodos matemáticos;
luego, ver si las soluciones del modelo aportan realmente soluciones a la situación, o
no, determinando la necesidad de rever el mismo.
Teniendo en cuenta que el mundo físico está generalmente modelizado por
los conocimientos matemáticos continuos, se ve como necesaria la profundización
del estudio de funciones, de gran aplicación en este sentido, como las funciones
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algebraicas, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas. En la actualidad los
métodos del cálculo infinitesimal son aplicados en las Ciencias Sociales, en las
Ciencias Biológicas, en Economía, en Física, por lo que se trata de conocer las
ideas centrales del cálculo más que de su dominio algorítmico.
Atendiendo a un proceso histórico, la Matemática evolucionó también al
expresar ideas geométricas en el lenguaje de coordenadas. La interrelación entre
Geometría y Álgebra permite formular y analizar problemas, que surgiendo de la
Geometría sintética tienen una más simple resolución desde la Geometría analítica.
Contenidos como divisibilidad en K [X] y ecuaciones algebraicas, donde el
cuerpo K es el de los números reales, constituyen una profundización de
“divisibilidad en Z” y representan extensiones de los conceptos algebraicos
desarrollados en la Educación General Básica. Importa en este punto destacar que
tanto el Álgebra como el Análisis proveen de métodos generales (o como decía
Descartes, son en sí mismos un método) y potentes para resolver y analizar
situaciones variadas, lo que fundamenta su inclusión e importancia.
Por otro lado, es necesario favorecer el acceso a experiencias que involucren
conceptos y métodos de la Matemática discreta ya que los métodos (o procesos) de
información requieren del uso de dicha herramienta. En este sentido, el desarrollo de
la computación ha influenciado en qué matemática crear y usar.
En Ciencias Sociales y en Ciencias Naturales, además de recolectar,
representar y procesar datos, estos son resumidos, analizados y transformados.
Estas actividades involucran simulaciones y/o muestreo, curvas de ajuste, test de
hipótesis e inferencia. La necesidad de mejora del conocimiento social de los
alumnos implica entonces la necesidad de aplicación de estas técnicas en resolución
de problemas. La incorporación de “Estadística y probabilidad” que se propone,
favorecerá la interpretación de predicciones basadas en incertidumbres. Las
medidas probabilísticas son usadas en investigación, negocios, juegos de azar, etc.,
y en la justificación de decisiones.
Criterios para la selección de contenidos
Ante la situación de seleccionar contenidos matemáticos surge
indefectiblemente la pregunta: ¿Qué Matemática enseñar a nuestros alumnos de
Educación Polimodal para responder en forma integrada a una formación ética y
ciudadana, propedéutica y de formación para la vida productiva?
El desafío que supone entonces la enseñanza de la Matemática, es lograr en
los alumnos modos de pensar y de hacer de la disciplina, que les permita utilizar
esos aprendizajes cuando los necesiten, ya sea para resolver problemas en
contextos reales, en sus ámbitos laborales o en el desarrollo de futuros
aprendizajes.
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La mayoría de los contenidos que ya han sido trabajados en la Educación
General Básica se retoman en este Nivel para ser ampliados y profundizados, en
todas las Modalidades, de modo que los alumnos puedan acceder a un mayor nivel
de sistematización, integración y abstracción en lo conceptual y metodológico. Así
también con los contenidos que aparecen por primera vez y que son introductorios a
contenidos posteriores, que se proponen para todas las Modalidades. Pero algunos
merecen una mayor profundización en su tratamiento, por ser previos a otros que
corresponden a una Modalidad en particular.
A la hora de seleccionar contenidos es necesario tener en cuenta que los
alumnos de este Nivel cuentan con un potencial de aprendizaje abstracto creciente,
un incremento del espíritu solidario que los anima al trabajo grupal, cierta capacidad
de análisis e investigación y la capacidad de juicio incipiente. En este sentido parece
ineludible proponer una enseñanza diversificada atendiendo a los conocimientos
previos de los alumnos, teniendo en cuenta que:
– Los procedimientos no formales o intuitivos, el recurso a representaciones
analógicas o al lenguaje natural, constituyen conocimientos previos que
no necesariamente deban ser superados o modificados.
– Estos conocimientos actúan como un filtro que permite al alumno otorgar
significado a las informaciones y a las nuevas actividades que se le
propongan.
– El alumno reconstruye los conocimientos matemáticos que la escuela le
propone y que se manifiestan a través de un sistema formal complejo.
Este, de características particulares, tiene en cuenta, por un lado, la
construcción, a lo largo de la historia de la Matemática como lenguaje
científico, y por otro la construcción a nivel individual, de algunos principios
básicos que suelen permanecer poco conscientes y poco elaborados.
– La especificidad del conocimiento matemático recae en su naturaleza
abstracta y en el uso de un lenguaje formal muy distinto al lenguaje
ordinario. Aprender matemática implica dominar y usar significativamente
ese lenguaje. Esto hace necesaria la articulación entre el conocimiento
cotidiano, implícito e intuitivo, y el conocimiento científico, explícito y
formalizado.
Entre algunos de los principios y conceptos fundamentales que guían esta
concepción de enseñanza destacamos:
• Los alumnos construyen sus conocimientos, participando activamente,
dialogando, discutiendo, buscando repuestas a problemas con sentido,
realizando investigaciones, utilizando sus conocimientos.
• Los docentes colaboran activamente en el aprendizaje acompañando,
exponiendo, discutiendo, planificando, seleccionando recursos y
evaluando continuamente tanto el aprendizaje como el proceso de
enseñanza para mejorarlos.
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La Matemática, desde el hacer de la disciplina, es una actividad dinámica de
conceptos relacionados entre sí de diferentes maneras, cuyo conocimiento permite
elaborar estrategias variadas para resolver un mismo problema. La utilización de
un mismo concepto en diferentes contextos fortalece la comprensión
conceptual. Su conexión con otros conceptos permite avanzar en la resolución de
situaciones cada vez más complejas que pueden generar la necesidad de nuevos
conceptos o generalizaciones.
En la consecución de los contenidos propios en Matemática, los modelos de
las realidades se asocian a ideas expresadas en “hechos y sistemas conceptuales”.
Así cada modelo, el de la proporcionalidad, el de las fracciones o el de las formas
geométricas, tiene asociados unos conceptos, unas representaciones de los
mismos, una estructura que los relaciona, unos nombres que se atribuyen, para
entendernos.
Dichos conceptos serán reconocidos por sus cualidades: significación e
importancia de sus representaciones. Se adquieren conocimientos cuando a partir
del análisis de situaciones se hacen afirmaciones, relaciones y se dan significados
particulares a lo que se analiza y argumentos a favor de dichas afirmaciones. Se
construyen conceptos y se enriquecen estructuras conceptuales. Las aplicaciones
reforzarán los contenidos conceptuales como hechos y los relacionarán con diversos
procedimientos. Así por ejemplo: una misma estructura de fracción se enriquece a
partir del análisis de sus diversos significados:
• Para indicar la cantidad de elementos que corresponden en un reparto exacto
de 5 elementos entre 3 personas, utilizamos una idea de fracción como
cantidad.
• La probabilidad frecuencial indica que habiendo tres pelotas de fútbol dentro
de una bolsa con 6 pelotas, la probabilidad de extraer una pelota al azar y que
salga de fútbol, tiene un significado diferente, ya que se trata de una fracción–
relación.
• Cuando expresamos en kilómetros por hora la velocidad, por ejemplo del
sonido, podemos emplear las fracciones como factores de conversión, es decir
como relación funcional.
Lo que aparenta ser lo mismo es la posibilidad de utilizar una misma idea y
poder hacer una misma representación “número o expresión que viene dada por dos
números con una raya”. Asimismo y además de mirar distintos significados de una
misma expresión, importa mirar distintas representaciones de un mismo objeto.
Por ejemplo, y continuando con la “fracción”, un conjunto secuencial de
situaciones donde pueden reconocerse puntos de vista diferentes del concepto
estará dado por:
• Situaciones equiprobables como igual repartimiento de áreas de
ruletas.(relación parte-todo)
• Subdivisiones diferentes en problemas de repartimiento. (Fracción cantidad)
• Expresiones de una relación o proporción en el cuerpo humano. (Fracción
como factor de escala).
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• Juegos de ampliación y reducción de cuadrículas. (Operadores fraccionarios).
• Relaciones de semejanza. (Fracción proporción.)
• Cambios de unidad de medida. (Fracción como factor de reconversión).
• Relaciones perímetro- lado y perímetro- radio. (El número como relación)
En las actividades de organización y sintaxis se ponen en evidencia la red de
procedimientos que se ha trabajado quedando, según el nivel de avance, el
reconocer la fracción como manera de presentar una tasa de variación.
En Educación Polimodal ocupará un lugar relevante el tratamiento de
contenidos que permitan hacer consciente algunas relaciones conceptuales
importantes. Por ello se tratará de pasar de la clasificación y jerarquización a la
conceptualización organizada, además de continuar aumentando el campo de
experimentación como soporte de la abstracción.
En este sentido, y atendiendo a que los alumnos se encuentran en situación de
realizar abstracciones, no sólo desde la manipulación de objetos, sino también
desde la representación de dichos conceptos, se tratarán contenidos que favorezcan
la formalización de conceptos adquiriendo un rol de definiciones. Todo ello sin
dejar de lado que antes que hablar de formalizar y definir hay que hablar de
sistematizar y utilizar correctamente el lenguaje.
Un aspecto que exigirá nuestra especial atención será favorecer el trabajo
progresivo del razonamiento de tipo inductivo, descubriendo regularidades en toda
clase de situaciones, así como el desarrollo del razonamiento deductivo atendiendo
la capacidad de ver la necesidad de justificar, es decir de demostrar de manera no
totalmente formal o rigurosa, más allá del “verificar” empíricamente o del “mirar”
casos particulares.
El campo de conocimiento en las Modalidades
Al contextualizar la educación matemática en cada una de las Modalidades,
consideramos necesario además tener en cuenta el tratamiento especial de ciertos
contenidos, que conduzcan a desarrollar procesos de pensamiento más específicos.
Así, por ejemplo, en la Modalidad “Ciencias Naturales” será pertinente:
• Profundizar la idea de error cometido en las operaciones y en el uso de
aproximaciones de números como π o la gravedad en algunas fórmulas,
observando y estimando cómo influyen sobre los resultados, haciendo un
tratamiento más detallado del error en las mediciones.
• Ahondar en el estudio de las relaciones trigonométricas (demostración de
las fórmulas de adición y teoremas del seno y del coseno) y resolver
ecuaciones trigonométricas, haciendo hincapié en el número de
soluciones.
• Mostrar diferentes contextos de uso de la derivada. Buscar un manejo
fluido en el cálculo y análisis de funciones, facilitando el posterior
tratamiento de integrales.
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• Trabajar los productos interno y vectorial de vectores con contenidos
geométricos, destacando el valor de la escritura vectorial para la física.
• Profundizar contenidos de probabilidades, atento a su uso en las demás
ciencias, así como las pruebas de ensayo repetido, como apertura al
tratamiento de distribuciones de variable continua.
En la Modalidad “Economía y Gestión de las Organizaciones” será necesario,
entre otros:
• Poner especial énfasis en el tratamiento de sucesiones utilizadas en el
cálculo financiero, asociadas con límite.
• Profundizar contenidos de probabilidades, especialmente ensayos
repetidos, y la distribución binomial como modelo utilizado en finanzas.
• Trabajar problemas de programación lineal, como problemas de
optimización (minimizar costos o maximizar ganancias) condicionados por
ciertas inecuaciones lineales.
En la Modalidad “Producción de Bienes y Servicios” se considerará, por ejemplo:
• Tratar el error, especialmente vinculado a las mediciones y a su uso en
los procesos de control de calidad.
• Trabajar diferentes contextos de uso del álgebra de Boole, especialmente
respecto de sus aplicaciones en el campo de la física: problemas de
circuitos e interruptores.
• Profundizar el manejo de números complejos, formas y operaciones,
atendiendo a sus aplicaciones en circuitos de corriente alterna y en
electrónica.
• Poner especial atención al estudio de las funciones trigonométricas y
vectores, atento a su utilización en espacios curriculares orientados y
módulos de los Trayectos Técnico-Profesionales.
En la Modalidad “Comunicación, Artes y Diseño” será necesario, entre otros:
• Profundizar el tratamiento de curvas (especialmente las cónicas) y su
relación con la arquitectura y el dibujo.
• Hacer un tratamiento más detallado de la proporción (proporción áurea) y
el movimiento en la figura humana o de los animales, así como de las
distintas etapas del desarrollo gráfico.
• Dar tratamiento a relaciones que vinculen el estudio de la Geometría
Proyectiva con la Historia del Arte.
En la Modalidad “Humanidades y Ciencias Sociales” se considerará, por ejemplo:
• Profundizar el tratamiento de acciones geométricas referidas a la actividad
espacial en el entorno: el análisis cuantitativo (con el uso de coordenadas),
el análisis figurativo (construcción de maquetas topográficas,
determinación de desniveles, cortes, fallos).
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• Trabajar la función exponencial asociada a situaciones específicas de
demografía y población.
• Disponer del tratamiento de curvas (especialmente las cónicas) y su
relación con trayectorias de cuerpos celestes (cometas).
Los contenidos actitudinales del campo de conocimiento
Con respecto a la construcción de contenidos actitudinales, será necesario
considerar que:
• El hacer matemática en el aula deberá desarrollar en el alumno la
tenacidad, el esfuerzo y disciplina como condiciones necesarias del quehacer
matemático y como actitudes que contribuyen a llevar a cabo su proyecto de vida.
• Las situaciones de discusión y debate le permitirán valorar la tolerancia
y el pluralismo de ideas tanto en la clase de Matemática como en su participación en
la vida en sociedad, como así también valorar el análisis de situaciones para la
comprensión de las mismas y la toma de decisiones.
• Al resolver situaciones, corroborar hipótesis y comunicar soluciones
aprenderá a valorar el lenguaje preciso, claro y conciso de la Matemática como
organizador del pensamiento y a cuestionar la validez y generalidad de las
afirmaciones propias y ajenas en relación con el conocimiento matemático.
Orientaciones didácticas
Como docentes abocados a la tarea de enseñar Matemática, quizá muchas
veces nos hemos planteado estas cuestiones:
¿Qué entendemos por saber Matemática?
Consideramos que saber Matemática involucra dos aspectos. Por un lado
implica la disponibilidad funcional de conocimientos matemáticos para resolver
problemas e interpretar situaciones nuevas. En este tipo de funcionamiento, las
nociones y teoremas pasan a ser herramientas. Las herramientas están dentro de
un contexto, que a su vez está influido por diversos factores en un momento
determinado. Las situaciones en las que evolucionan las nociones matemáticas
generan significado para esas nociones desde un punto de vista que se denomina
semántico. Es decir que los conocimientos enseñados tengan sentido para el
alumno, y para construir ese sentido es necesario que utilice las nociones
matemáticas como herramientas para resolver problemas.
La resolución de problemas es una actitud mental, esencial, abierta, creativa,
y siempre lógica. Es una actitud que lleva a utilizar y contrastar diversas estrategias
en función de la distinta naturaleza de los problemas. Es una capacidad que permite
enfrentarse a situaciones nuevas con confianza y autonomía independiente de los
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conocimientos matemáticos que cada uno posea. Dar sentido a lo que se aprende,
en una palabra comprender, es establecer relaciones.
Por otro lado, saber Matemática también refiere a la identificación de las
nociones y los teoremas como parte de un cuerpo reconocido científica y
socialmente. Es al mismo tiempo formular definiciones, enunciar los teoremas de ese
cuerpo y demostrarlos. Por ello, las nociones y los teoremas matemáticos en
cuestión se observan como objeto. Están descontextualizados, despersonalizados (a
pesar de que tengan nombre propio) y son atemporales. El trabajo de
descontextualización y despersonalización forma parte del proceso de apropiación
del conocimientos matemáticos
La tarea de recontextualización y el tratamiento de los problemas que de allí
derivan, permite desarrollar el significado. Ésta no impide que se capitalicen
prácticas o conocimientos particulares, aún provisorios. Los conocimientos
matemáticos, pueden trabajarse y modificarse según las situaciones donde son
necesarios. De allí se llegará a nuevas nociones, que se convierten a su vez en
objeto de trabajo, interpretación, modificación, generalización, etc. En el caso de los
teoremas, por ejemplo, puede analizarse el dominio de validez al imaginar las
variantes, demostrarlas, o, contrariamente, construir los contra-ejemplos para
asegurarse de que “eso” no es posible. Se llega a relacionar nociones diferentes en
todos los casos, El hecho de relacionarlas es a su vez una fuente de significado para
quienes las realizan.
Este trabajo matemático puede hacerse tanto sobre las herramientas en el
marco de un problema, como sobre los objetos ya que pudimos haberlos involucrado
sin una finalidad específica o por placer estético. Es necesario respetar un conjunto
de reglas internas de las matemáticas y diferentes modos de expresión. Esto refiere
al componente del significado denominada sintáctica.
¿Qué entendemos por enseñar Matemática?
Para nosotros, docentes, enseñar significa la creación de las condiciones que
producirán la apropiación del conocimiento por parte del alumno. Para el alumno,
aprender significa involucrarse en una actividad intelectual cuya consecuencia final
será la disponibilidad de un conocimiento, con su doble status de herramienta y de
objeto.
En consecuencia el trabajo del docente consiste en seleccionar formas de
presentación del conocimiento apropiadas para los alumnos. y eficaces con relación
a las intenciones de promoción de los aprendizajes, la búsqueda de un espacio de
problemas que le permitan al alumno construir nuevos conocimientos, resignificarlos
en situaciones nuevas, adaptarlos y transferirlos para resolver nuevos problemas.
La Matemática no enseña a razonar en sentido estricto sino a utilizar nuestra
capacidad de razonar para defender nuestras ideas y poder eventualmente modificar
los modelos que sustentan nuestras convicciones. Defender su pensamiento supone
para cada alumno, tener confianza en sí mismo, resultado de un pasado vivido y de
una organización de la clase que permita la confrontación.
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La confrontación y la explicación de las diferencias entre las ideas de los
alumnos y docentes, durante la puesta en común, es lo que permite modificar o
enriquecer las concepciones y cambiar los puntos de vista. El sentido no está dado
por el profesor, sino que es construido por los alumnos. Durante el debate cada
alumno defiende su razón, toma conciencia de otras razones escuchando a sus
compañeros, y esto le permite hacer evolucionar sus representaciones.
Es un objetivo de la Matemática capacitar a los alumnos para la lectura e
interpretación de la información. El dominio de la información depende de la manera
en que el alumno organiza las informaciones que recibe, cómo las interpreta, las
jerarquiza, las codifica, las guarda en su memoria.
El tratamiento de la información comienza por la comparación con sus
conocimientos actuales.
Todo sujeto que aprende posee saberes previos, que muchas veces suelen
operar como obstáculos en la situación de aprendizaje. Aprender desequilibra,
aprender consiste en redefinir, en dar nuevos límites a lo que se sabe, reordenarlo y
reintroducirlo en un equilibrio más amplio. Esto no se hace sin dificultad, dado que
se deben abandonar reglas, procedimientos, verdades que habían asegurado el
éxito.
Compartimos los aportes de Régine Douady respecto del Cálculo Algebraico, en
la articulación entre Educación General Básica y la Educación Polimodal:
• Respecto del tratamiento de contenidos: En el Tercer Ciclo de la Educación
General Básica, se ha introducido el cálculo literal, la resolución de ecuaciones
de primer grado con una incógnita, las expresiones de uso frecuente, la práctica
de desarrollos y factorizaciones en forma progresiva.
Desde el punto de vista matemático, en la Educación Polimodal se trata de
calcular polinomios con una variable numérica, escritos en forma de
combinaciones lineales de monomios con coeficientes reales o de producto de
factores.
• Respecto del significado: Para tener en cuenta el componente semántico, es
necesario enfatizar el status de herramienta de las nociones y las relaciones con
nociones diferentes internas o externas a la Matemática. Resaltando su
componente sintáctico, es importante acentuar los sistemas de representación
simbólicos, la manera como funcionan y cómo son tratados por los alumnos.
Consideramos que el trabajo de modelaje algebraico ofrece una oportunidad
particularmente favorable para que el docente y los alumnos se enfrenten a estas
dos componentes.
Concebimos el aprendizaje del cálculo algebraico como el equilibrio o la
interacción entre la construcción del significado y la familiaridad técnica con los
algoritmos.
Asimismo consideramos que las interconexiones entre diferentes marcos
(marcos) o los cambios de puntos de vista o de registro al interior de un marco,
realizados para avanzar en un problema son medios a través de los cuales se
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manifiesta la sutileza del pensamiento. Ellos ofrecen la oportunidad de confrontar
ideas, indagar las coherencias y controlar los resultados. Sin embargo poner en
práctica tales procedimientos no se logra espontáneamente; para ello se necesita
una genuina intención de promoverlos.
• Respecto de la elaboración de un problema de Álgebra: No alcanza con uno o
varios problemas para que los alumnos dominen cierta competencia algebraica.
A modo de ejemplo, desarrollamos una secuencia de cuestiones a considerar
para llegar a la proposición de un problema:
1. El contexto escolar: Si nos centramos particularmente en aquellos
alumnos que ingresan al nivel, ellos han tenido la posibilidad de manipular
expresiones algebraicas generales de primer grado, de realizar desarrollos
de escritura según las reglas del cálculo literal. También han resuelto
algunas ecuaciones de primer grado con una incógnita. Las ecuaciones se
han formulado o bien directamente en el marco algebraico, o como
resultado de colocar en forma de ecuación pequeños problemas de
geometría, medición, vida cotidiana u otros. Los objetos algebraicos
involucrados son esencialmente los polinomios de una variable y de grado
pequeño: de grado 1 en la resolución de ecuaciones y de grado 2 o 3 en las
factorizaciones o desarrollos de expresiones algebraicas. Se evalúa la
pertinencia y disponibilidad de conocimientos en contextos donde serían
herramientas válidas.
2. Los objetos de estudio: En el marco algebraico, el estudio versa sobre la
factorización y desarrollo de funciones polinómicas. Se estudian las
relaciones entre las formas de escritura y los asuntos que se manipulan,
como la búsqueda de los valores de anulación de un polinomio o la
resolución de ecuaciones. En el marco gráfico, el estudio aborda la
representación gráfica de funciones polinómicas y trata de evidenciar
alguna de sus propiedades.
3. Criterios para la construcción de un problema: Se trata de elaborar una
situación cuya resolución implique, en principio coordinar temas que se
abordan y se tratan de forma separada pero que, desde el punto de vista
matemático sostienen relaciones de significado.
Aquí la escritura factorizada y la escritura desarrollada facilitan el acceso a
las diferentes propiedades de los polinomios. En el problema intervienen los
objetos de estudio como herramientas adaptadas para resolverlo, lo que
conduce a la ampliación del campo matemático al que se lleva el problema.
Se hace particularmente importante interactuar y no yuxtaponer los estudios
que se ubican en los marcos algebraico y gráfico e implícitamente se
introduce un punto de vista de “función”. Sugerimos tener en cuenta:
• Dar a los alumnos medios para ejercer un control más científico sobre lo
que hacen o dicen.
• Crear nuevos objetos. La resolución debe desembocar en un nuevo
conocimiento que tenga significado para los alumnos y que el profesor
pueda institucionalizar en la clase.
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Es necesario que los elementos matemáticos de marcos diferentes se
trabajen desde el punto de vista de la técnica y del significado. Las interacciones
entre los marcos y los cambios de marcos juegan un papel importante en esta
propuesta de trabajo en particular, y en la enseñanza de conocimientos matemáticos
en general.
4. Las selecciones matemáticas y sus justificaciones: En términos
algebraicos, para anular una expresión polinomial de grado superior o igual
a 2, interesa que dicha expresión esté formulada como producto de factores
de primer grado, ya que al anular cualquiera de los factores se anula el
producto. Por ello, el problema enunciará una pregunta exterior al marco
algebraico. Para responderla será necesario anular una expresión
polinomial. Para calcular el valor numérico de dicha expresión, la forma
desarrollada puede resultar más cómoda. Para resolver una ecuación de
segundo grado que tiene una parte escrita en forma desarrollada y otra en
forma factorizada, hay que transformar una de las formas para
homogeneizar la escritura: todo debe estar factorizado o desarrollado. Si la
técnica de resolución con ayuda del discriminante no está disponible,
entonces la factorización es la única esperanza para su resolución.
En términos gráficos, anular un polinomio o resolver una ecuación se
traduce en la búsqueda de los puntos donde la representación gráfica de la
función en cuestión se corte con el eje de las abscisas. Se pueden formular
las preguntas en el marco gráfico, pero para contestarlas hay que trabajar
en el marco algebraico bien sea para hacer cálculos numéricos después de
haber elegido un valor numérico para x, o bien para resolver las
ecuaciones, trabajo para el que la selección de la escritura puede ser
determinante.
5. -Selección de la presentación del problema: Se propone un enunciado
accesible para todos los alumnos, y que no imponga ningún procedimiento.
Respecto de las variables del problema: Pueden presentarse teniendo en
cuenta cada uno de los marcos.
Lo expuesto hasta aquí permite analizar condiciones para que un problema
sea la fuente y la oportunidad de aprendizaje. Entre dichas condiciones
destacamos
los siguientes:
Con la ayuda de sus conocimientos anteriores, el alumno no puede
comprender el enunciado. Esto es que no puede dar significado a palabras
y oraciones utilizadas. Puede tener algunas ideas para abordar el problema
y con eso puede comenzar.
Con sus conocimientos, no puede solucionar completamente el problema.
No resulta ser una simple aplicación de métodos o nociones conocidas.
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Puede suceder que el alumno disponga de estas nociones, pero en otro
contexto tenga dificultad para adaptarlas al nuevo.
– Los objetos de enseñanza son herramientas adaptadas a la resolución de un
problema. La factorización, por ejemplo, es una herramienta de resolución de
ecuaciones de segundo grado.
– El problema se expresa en al menos dos marcos, los marcos gráfico y
Álgebraico, que interactúan para hacer avanzar en el estudio ya que controla efectos
y sugiere procedimientos.
Ante el desafío de resolver problemas, siempre nos cabe la pregunta respecto
de lo que habrán aprendido los alumnos y lo que serán capaces de reutilizar en
problemas con un contexto similar pero más complejo, o en problemas con un
contexto totalmente distinto, de igual o mayor complejidad.
Los alumnos podrán reutilizar lo aprendido siempre que hayan podido
familiarizarse con su nuevo conocimiento. Una forma de lograr esto último es, por
ejemplo proponer el abordaje de problemas cercanos al que ya hayan estudiado:
• Resolver la ecuación x² – 4 + (x + 2) (2x- 5) = 0. Aquí la factorización sigue siendo
una herramienta adaptada; pero el texto no dice nada al respecto. En cambio una
expresión del tipo x²- 4 es “visiblemente” una diferencia de cuadrados.
• Resolver otras ecuaciones del mismo orden
• Desarrollar sistemáticamente los productos en sumas y algunas sumas bien
seleccionadas en productos.
En las situaciones planteadas, se da un lugar importante a los procesos de
contextualización, cambio de contexto, reformulación de los problemas,
descontextualización y también a la personalización, difusión de procedimientos o
conocimientos personales, y despersonalización.
En el estudio del Álgebra, se acentúa el énfasis sobre el uso de ejemplos y
situaciones concretas para el alumno, de manera que él mismo participe en la
elaboración de nuevas ideas, definición de conceptos, búsqueda de soluciones,
enunciado de proposiciones y, finalmente, en la formalización, interpretación y
aplicación de los conocimientos adquiridos.
El tratamiento de los espacios vectoriales y su relación con el Álgebra lineal
podrá iniciarse de una manera intuitiva, utilizando los conocimientos previos de
geometría vectorial para construir ejemplos introductorios.
Con el empleo de las coordenadas afines del plano se desarrolla el Álgebra
de los puntos como pares ordenados de números, y operaciones como adición y
producto por un escalar, por ejemplo, se ejemplifican por su representación gráfica.
Asimismo, introduciendo una norma, una distancia, se orienta hacia el estudio del
plano o del espacio euclidiano.
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El Álgebra lineal permite la unificación del estudio del espacio geométrico y
del Álgebra, así como sentar bases para el estudio del análisis, donde tiene también
aplicaciones importantes.
El punto de vista actual coloca a las estructuras algebraicas como concepto
estructurante, en una posición dominante dentro del campo de la Matemática.
Respecto de su enseñanza en Educación Polimodal, interesa destacar su “carácter
unificador” de toda la Matemática, más que el desarrollo formal de dichas
estructuras. Ellas permiten no sólo aclarar la naturaleza de los distintos sistemas
numéricos y de los conjuntos de matrices, sino también presentar el concepto
general de operación y sus propiedades, lo que favorece el tratamiento claro de las
proposiciones, funciones y aplicaciones referentes a cada una de las estructuras.
La enseñanza del Álgebra hoy trata de evitar el esfuerzo de abstracción que
implica el formalismo extremo. Será necesaria entonces la presentación de
experiencias que permitan a los alumnos, la resolución de situaciones que tengan
sentido para ellos, a la vez que construyen el sentido de los conocimientos.
Por su parte, la enseñanza de la Geometría puede ser caracterizada como el
estudio de las experiencias espaciales. El hecho de adquirir conocimiento del
espacio real a través de la intuición geométrica es lo que se llama la percepción
espacial. La misma desempeña un papel fundamental en el estudio de la Geometría,
reconociendo formas, propiedades geométricas, transformaciones y relaciones
espaciales.
Como ocurre con la utilización de los textos escritos, hay varios niveles de
comprensión en la percepción espacial. Algunos necesarios y básicos para la vida
diaria, otros requeridos por diferentes niveles de especialización profesional. Así un
alto grado de percepción espacial es requerido en actividades tales como,
cristalografía, en bioquímica, en cirugía, aviación, mecánica, escultura, coreografía y
arquitectura. En consecuencia, una buena formación en percepción espacial
favorece la adaptación a nuestro mundo tridimensional, capacitando para
comprender las distintas formas y expresiones espaciales de nuestra cultura.
En un aprendizaje dinámico de la Geometría, por sus relaciones con los otros
espacios curriculares y con las propias disciplinas matemáticas, los conceptos deben
aparecer y reaparecer, traducirse en diversos lenguajes, tener representaciones
plurales y sólo por esta vía cabe esperar una consolidación conceptual.
Asimismo, la inducción como procedimiento es un motor esencial para el
descubrimiento y la consolidación de conceptos: la propiedad Pn no se conoce y el
juego reside en llegar a formular la relación Pn a partir de analizar los primeros
casos P1, P2, P3,…Por ello será común a muchas situaciones didácticas plantear la
búsqueda inductiva.
Algunos de los usos interesantes de razonamiento inductivo en Geometría
que destacamos son:
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• Inducción para contar: Se trata de ir analizando cómo una determinada cantidad
evoluciona al aumentar progresivamente la complejidad del problema (número de
lados o de ángulos o de apotemas,…).
• Inducción para verificar: Casos de enunciados explícitos donde se plantea
comprobar inductivamente una relación o propiedad.
• Inducción sobre dimensiones: Ver como evoluciona una relación o propiedad al ir
aumentando la dimensión del espacio (recta, plano, espacio)
• Inducción sobre conceptos: Cuando frente a conceptos bien establecidos para
una cierta figura de n lados, pueden no ser obvios para la figura con n + 1 lados.
• Inducción sobre construcciones: En muchas construcciones geométricas de regla
y compás o de manipulación, interesa usar un método inductivo o recurrente para
agregar figuras.
Respecto de los procesos deductivos geométricos, creemos importante
analizar limitaciones y posibilidades de dichos procesos en Educación Polimodal.
Considerando que en las deducciones interviene no sólo un cierto dominio de los
conocimientos geométricos sino también una cierta habilidad en los principios
lógicos, no será hasta una etapa posterior a los 16 años en que tendrá sentido
plantear deducciones con alguna rigurosidad. Aún así y para poder acceder a ello,
cabe proponerse el desarrollo de determinadas habilidades deductivas en instancias
anteriores. Algunas actividades versarán sobre:
• Trabajar la equivalencia de propiedades: Se trata de distinguir propiedades
equivalentes de las que no lo son. Se tendrá especial cuidado en recordar y saber
escoger, en cada caso y en función de su uso, cuál es la versión de una propiedad
que se quiere poner en juego. Por ejemplo, ser un triángulo rectángulo puede
entenderse vía la existencia de un ángulo recto o vía la validez del teorema de
Pitágoras. Los cambios de lenguaje (dibujo, ecuación, representación gráfica,…) son
también un caso atractivo al momento de expresar una misma cosa de formas
diferentes.
• Saber interpretar y realizar la conjunción, disyunción y negación: El uso del “y, o,
no” en proposiciones geométricas resulta hasta interesante para una mejor
comprensión de las propias proposiciones involucradas. Una noción simple como la
de polígono regular pone en juego la igualdad de lados/ángulos conjuntada con la de
convexidad.
• Saber comprender el campo de validez de los cuantificadores: Esto incluye dar
significado a expresiones del tipo “existe un único punto donde las medianas se
cortan” o “en todo triángulo los ángulos interiores suman 180°”. La existencia de algo
se reduce a menudo a dar una construcción efectiva, cuando también puede
equivaler por ejemplo a una verificación gráfica de que tal punto o tal figura se
pueden construir. El proceso de unicidad suele ser más complicado, exigiendo a
veces un razonamiento de reducción al absurdo consistente en suponer la existencia
de dos soluciones distintas y de allí deducir una contradicción. El caso de
cuantificadores del tipo “en todo”, “para todo”, “cualquier”,… es muy importante, ya
que exige una delimitación o identificación dentro del tipo de figuras o movimientos
con los que se está trabajando a cuáles afecta la propiedad. Será necesario graduar
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estas propiedades generales analizándolas desde los casos más regulares a los
más generales, sin dejar de lado además los casos particulares.
• Iniciación a las demostraciones: Las primeras deducciones que se producen son
de tipo “visual”, y son particularmente recomendables en los casos de equivalencia
de áreas o volúmenes, superposiciones efectivas de figuras y descomposiciones de
figuras. Asimismo, resultan de interés las demostraciones dinámicas, como por
ejemplo ver cómo una recta genera un cono. En determinado nivel, puede resultar
absurdo incorporar argumentos a este tipo de demostraciones. Incluso estos
argumentos adicionales pueden hacer perder la confianza en las propias
experiencias. En cambio, el mostrar contra-ejemplos, el ver casos donde ya no vale
la propiedad analizada puede ser tan instructivo y pertinente como lo es el propio
proceso de tanteo para dar con una demostración.
Continuando con el análisis de los procesos de razonamiento puestos en
práctica en el tratamiento de contenidos geométricos y considerando que, como ya
expresamos, en Educación Polimodal se intenta realizar una axiomatización de la
Geometría trabajada en la Educación General Básica, la cuestión a considerar es en
qué momento introducir el tratamiento axiomático y cómo.
Si bien la construcción de una axiomática que abarque globalmente a la
Geometría es imposible, pueden efectuarse construcciones axiomáticas locales.
Esto es, varios sistemas semiformalizados, fuertemente intuitivos, pueden permitir a
los alumnos familiarizarse con el método axiomático, sin necesidad de sofocar su
intuición frente a un formalismo desmedido.
Tal vez ninguna otra disciplina matemática se presta tanto como la Geometría
para pasar de lo concreto a lo abstracto y de ello a lo formal. Ninguna se refiere a
algo más concreto que ella: el espacio físico. Cuando se trata de “concretizar” la
estructura de grupo, las isometrías del triángulo equilátero o del rectángulo son un
buen ejemplo. Se recurre a la Geometría al intentar construir un sistema axiomático
simple para utilizarlo como ejemplo, como cuando se trata de hallar un modelo para
un sistema dado.
Cuando el objetivo es introducir a lo axiomático y a la deducción, es la
Geometría con su particular conexión entre la intuición y la formalización quien
prevalece por sobre el Álgebra. Si bien el estudio de las estructuras no puede
sustituirse por la investigación geométrica, ellas resultan metodológicamente
demasiado puras para poner en guardia al pensamiento sobre posibles errores.
Respecto del cálculo, la enseñanza de sus principios implica un conjunto de
cuestiones posibles de ser revisadas. Concretamente se observa que si bien se
puede enseñar a los alumnos a realizar de forma más o menos mecánica algunos
cálculos de derivadas y primitivas y a resolver algunos problemas estándar, se
encuentran grandes dificultades para que ingresen en el campo del cálculo y para
hacerlos alcanzar una comprensión satisfactoria de los conceptos y métodos de
pensamiento que son el centro de este campo de la Matemática.
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Se trata básicamente de romper cierto círculo vicioso donde el trabajo de los
alumnos se centra en prácticas algorítmicas y algebraicas del cálculo solamente,
siendo luego evaluadas en esencia las competencias adquiridas en este dominio. El
acceso al cálculo se ve dificultado por cuestiones diversas que se entrelazan y
refuerzan mutuamente en redes complejas. Su análisis nos permite identificarlas
reagrupándolas en tres categorías:
• Aquellas asociadas con la complejidad de los objetos básicos del cálculo
(números reales, sucesiones, funciones) y al hecho de que estos objetos se
conceptualizan plenamente cuando se inicia una enseñanza del cálculo que va
a contribuir fuertemente a tal conceptualización. Los números reales y las
funciones no son objetos desconocidos por los alumnos cuando se inicia la
enseñanza del cálculo. El cálculo con números irracionales, las situaciones
funcionales ligadas a las funciones lineales y afines son objetos “en
construcción” que no pueden considerarse “inertes” a medida que se efectúa el
aprendizaje del mismo. Justamente el aprendizaje del cálculo se convertirá en
uno de los motores de su conceptualización.
• Aquellas asociadas a la conceptualización y a la formalización de la noción de
límite, centro del campo del cálculo.
Las concepciones muy dependientes de una “geometría de la forma” no
obligan a identificar claramente sobre cuáles objetos exactamente se lleva a
cabo el proceso de límite y la topología subyacente. Esto provoca dificultades
en la percepción del sutil juego entre el marco (marco) numérico y el marco
geométrico que subyace en el concepto de límite, introduciendo o reforzando
además convicciones erróneas como la creencia de que si “geométricamente”
un objeto tiende hacia otro, todas las magnitudes que le están asociadas
tendrán por límite valores correspondientes a las magnitudes del objeto límite.
Si bien la formalización estándar del concepto de límite funciona como un
todo indivisible, los alumnos tienden a considerarlos como dos procesos
distintos: uno que se efectúa sobre la variable y el otro sobre los valores de la
función. El concepto formalizado aparece como un concepto hecho para
“probar”, lo cual rompe parcialmente con las formas de conocimientos
anteriores. Y su función de concepto unificador del campo del cálculo es en
este momento tan fundamental como su función en la producción matemática.
• Aquellas vinculadas con las rupturas necesarias con relación a los modos de
pensamiento puramente algebraicos, muy familiares, y a las especificaciones
del trabajo técnico en el cálculo. El cálculo es un dominio donde la actividad
matemática se apoya bastante en las competencias algebraicas. Pero al
mismo tiempo es un dominio donde se hace necesaria una ruptura con ciertas
prácticas algebraicas para acceder a él; particularmente consideramos las
rupturas necesarias en el nivel del tratamiento de la igualdad, así como en el
nivel de las formas de razonamiento.
En Álgebra, para demostrar que dos expresiones son iguales se razona en lo
posible por equivalencia, pasando sucesivamente por expresiones de la forma
a (x) = b (x), hasta obtener dos expresiones idénticas. En cambio, al entrar en el
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323
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campo del cálculo y para demostrar que en la vecindad de un punto a, f (x) < g (x),
por ejemplo, no hay que resolver exactamente la desigualdad sino encontrar un
intervalo de centro a, donde se pueda garantizar la desigualdad por medio de sobre
y subestimaciones.
Asimismo los modos de razonamiento son nuevos para los alumnos. Se pasa
de razonamientos por equivalencias sucesivas a razonamientos por condiciones
necesarias y suficientes. Y en esto hay todo un juego sutil que supone una
familiaridad con las expresiones y con los órdenes de tamaño respectivos que no
pueden aprenderse sino en el largo plazo. Todo ello teniendo en cuenta además la
distancia que va a separar necesariamente la capacidad de restituir las definiciones
formales, aún ilustradas con imágenes que muestran una cierta comprensión, de la
capacidad de operacionalizar estas definiciones en el tratamiento de un problema
específico.
Respecto de la enseñanza de “Estadística y Probabilidad”, debemos
considera la necesidad de relacionar el modelo probabilístico con situaciones reales,
observando el carácter de simulación que tienen muchos juegos de azar. Por otro
lado, la naturaleza, la herencia, el mundo del trabajo, los viajes, la supervivencia
resultan temas de interés para los alumnos con un status diferenciado de otros
posibles. Se podrá entonces brindar “campos de experiencia” donde los alumnos
desarrollan contenidos y otorgan significados. Así construyen conocimientos a través
de la acción.
Resultan de gran actualidad temas particulares como el agua, el aire, la
contaminación, la gestión demográfica, la conservación del paisaje, entre otros. Por
ejemplo en el contexto de la explotación de recursos marítimos de nuestra Provincia,
estudiar problemas cuantitativos sobre la pesca y la contaminación permite el uso de
técnicas como: diagramas circulares, porcentajes, cálculo aproximado, tabulación,
datos aproximados, análisis de alternativas.
Para finalizar estas reflexiones acerca de algunos modos de enseñar
Matemática en Educación Polimodal, diremos que no hay un único método para
enseñar y que importa fundamentalmente nuestra capacidad para hacer las
elecciones más apropiadas.
Orientaciones para la evaluación
No concebimos una propuesta de revisión de nuestras prácticas de enseñanza
sin analizar en profundidad la concepción teórica que sustentamos los docentes con
respecto a la evaluación, sus funciones y efectos, en este caso con respecto a la
educación matemática. En este sentido, consideramos que la evaluación debe
permitir:
• Valorar de un modo fiable los conocimientos, las capacidades y los procesos
de pensamiento relacionados con la comprensión y el dominio de la
Matemática en sus aspectos esenciales.
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• Proporcionar asistencia genuina a cada alumno mediante propuestas de
asesoramiento que le ayuden en la comprensión matemática.
Avanzar hacia procesos evaluativos acordes con las concepciones que
acuñamos en el “Marco Conceptual” de este Diseño Curricular de lo que significa
enseñar y aprender, la evaluación representa desafíos como:
• Proporcionar a los estudiantes numerosas oportunidades para evidenciar la
comprensión matemática.
• Analizar los progresos de los estudiantes a partir de los criterios establecidos.
• Concebir la evaluación como un proceso continuo, recursivo, participativo y
dinámico.
• Utilizar múltiples fuentes de evidencia, incorporando la visión de los
estudiantes como participantes activos en el proceso de evaluación.
• Considerar todo aquello que se relaciona con el aprendizaje matemático para
que cuente en los resultados de la evaluación.
Si a la evaluación en Matemática se le asigna una función sancionadora, la
mayor parte de las veces se anula su función formativa, produciendo rechazo hacia
el conocimiento matemático e inseguridad en las propias capacidades de
razonamiento.
Valorar los errores como lugar para hacer predicciones sobre los aprendizajes de
nuestros alumnos, implica cambiar de una concepción del éxito basada en los
resultados, a una admisión del error como parte integrante del aprendizaje. Muchas
veces los errores son obstáculos para seguir aprendiendo, en su origen basado en
concepciones y lógicas que son construidas por el alumno y que generalmente,
están profundamente arraigadas. Para abordar esos errores y sus implicancias
cognitivas, es necesario proponer actividades que signifiquen nuevas “mediaciones”
entre el alumno y el saber. Si no hubiera errores que superar, no habría posibilidad
de aprender.
Dado que cada alumno construye su propio conocimiento y que en ese
proceso son muy importantes sus concepciones previas, sus formas de
razonamiento, sus vivencias personales y su interacción con el medio cultural, el
grado de elaboración del nuevo conocimiento será diferente en cada uno de ellos.
Atendiendo a esa diversidad y teniendo en cuenta las posibilidades cognitivas de los
alumnos del Nivel Polimodal, es posible que la regulación de los aprendizajes vaya
siendo de manera progresiva, y de manera responsable por los propios alumnos.
De lo antedicho, se desprende que revestirá esencial importancia que los
alumnos conozcan permanentemente los criterios de evaluación propuestos por los
profesores, pues será difícil tener éxito en un aprendizaje si no se conocen cuáles
van a ser los contenidos y los criterios a partir de los que se evalúa. Establecer los
criterios de evaluación implica considerar las capacidades que se quieren evaluar. El
grado de desempeño de estas capacidades se podrá valorar en las actividades que
se proponen a los alumnos. Los procedimientos más convenientes o los algoritmos
más adecuados se observan cuando un alumno resuelve un problema o en la
discusión que se establece en el grupo de trabajo
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A modo de ejemplo algunos criterios de evaluación podrán ser:
• Adquisición de conceptos y procedimientos
• Comprensión de las situaciones-problemas que se planteen.
• Adecuación de las estrategias utilizadas en la resolución de problemas
• Capacidad de abstracción
• Uso de herramientas lógicas
• Capacidad para extraer conclusiones.
• Precisión en el uso del lenguaje específico en sus diferentes formas:
coloquial, gráfico, simbólico.
• Claridad en la comunicación de los razonamientos y de las conclusiones
obtenidas.
• Uso adecuado de notaciones y procedimientos.
Es necesario que nuestros alumnos aprendan junto con los contenidos
matemáticos, los saberes metacognitivos necesarios que les permitan autorregular
sus aprendizajes. Desde esta perspectiva adquieren fundamental importancia las
nociones de autoevaluación y autocontrol.
En un trabajo formativo, el seguimiento de los alumnos se planifica, se regula,
se observa y se controla por medio de instrumentos diversos. La tarea de
seleccionar instrumentos adecuados de evaluación implica, reconocer ante todo, qué
se quiere valorar. Así, por ejemplo, si se trata de “valorar elementos conceptuales”,
tenemos que saber que éstos se reflejan en: cómo se distinguen características,
cómo se verbaliza, cómo se ponen etiquetas, cómo se hacen definiciones, cómo se
utilizan modelos, cuándo se trasladan expresiones de un modo de representación a
otro, entre otros. Las estructuras conceptuales se muestran cuando se ponen en
relación diversos conceptos, se descubren relaciones o jerarquías, se encuentran
nexos complicados.
Una reflexión inicial sobre lo que se pretende y sobre la evaluación han de
actuar como reguladores iniciales del proceso y como punto de referencia, siendo
oportuno entonces hacer una presentación de la “acción y los resultados esperados”,
proponiendo que sea el alumno quien regule su desempeño. Algunos instrumentos
que pueden promover esta iniciativa son los siguientes:
• Carpeta de clase: puede incluir actividades de reflexión, ya que éstas pueden
proponerse con el fin de provocar por sí mismas regulaciones, comunicaciones,
reflexiones, y así poder controlar el grado de adquisición de ciertos contenidos.
• Organizadores conceptuales: reconocemos como tales a cualquier tipo de
esquemas que permitan consolidar redes o relaciones de conceptos. A este tipo
de regulador pertenece el resumen. Otro puede ser un esquema organizado de
categorías y subcategorías, con forma de red conceptual o de esquema de
referencia, por ejemplo.
• Observación sistemática: a través de ella pueden registrarse el uso matemático
de procedimientos y principios, estrategias de resolución, niveles de
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Diseño Curricular de Educación Polimodal
estructuración (planificación, decisiones, verificación,…) como lugares posibles
para la evaluación.
Su análisis permite considerar tipos de actividades diferentes. Asociamos un
rango bajo a las actividades que no requieran más que un paso de relación
conceptual. Entre ellas señalamos: rutinas técnicas, algoritmos estándar,
definiciones, ejercicios tipo.
Tareas llamadas de rango medio son: resolver problemas tipo, hacer
conexiones, relacionar e integrar, entre otras.
Habilidades llamadas de rango alto suponen actividades mentales muy
elaboradas. Requieren análisis de situaciones complejas con diversos criterios para
tener en cuenta, e implican toma de decisiones de valor como la autorregulación,
metacognición, estructuración, creatividad. Entre ellas podemos considerar:
representar conocimientos, principios de razonamiento, construcción de argumentos
y validación, integrar múltiples perspectivas, transferir y significar en diversos
contextos, generalizar, formular cuestiones en términos matemáticos, interpretar
resultados, probar, comprobar y generar hipótesis, comunicar, analizar resultados,
desarrollar actitudes críticas, aumentar la creatividad, reflexionar en acción. Elaborar
modelos y discutir sobre modelos. Optimizar, adquirir competencia democrática,
eficacia, realismo análisis crítico, conocimiento reflexivo. Transferir.
Espacios Curriculares de todas las Modalidades
MATEMÁTICA I
Fundamentación
En este espacio curricular se tratan contenidos que permiten completar el
estudio de los campos numéricos, los distintos tipos de funciones relacionadas con
fenómenos de la realidad, avanzando, como ya se expresara, tanto en la
modelización a partir de la resolución de situaciones problemáticas, como en el
tratamiento y análisis de la información.
Así, se trabajarán procedimientos que apunten a la construcción de
capacidades para la resolución de problemas y al desarrollo del razonamiento y la
comunicación. Se pondrá especial atención tanto en la cohesión interna de este
campo del conocimiento, como en su significatividad y funcionalidad, sin perder de
vista la posibilidad del tratamiento de temas desde problemas relacionados
directamente con la Modalidad Formativa de Educación Polimodal en la que se
trabaje este espacio curricular.
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Como ya vimos, el desarrollo de los temas, con posibilidad de acceso a su
construcción histórica su tratamiento y utilización en distintos contextos y de formas
diferentes, se hará en relación con la resolución de problemas, atendiendo
especialmente a los procesos de modelización.
Esto implica no sólo generar el modelo matemático, sino también resolverlo
validando su solución en la propia situación que le diera origen. Importa además,
analizar las limitaciones del mismo a partir de la posibilidad de realizar predicciones
y explorar contenidos.
A través del tratamiento de los contenidos se pretende contribuir no sólo a
desarrollar las capacidades cognitivas de los alumnos sino también que sus
conocimientos sean funcionales y el lenguaje matemático les sirva de herramienta
formalizadora en otros campos de conocimiento.
Expectativas de logro
Las Expectativas de Logro expresan lo que se espera que los alumnos logren
como procesos de pensamiento matemático a la vez que traducen las
intencionalidades educativas y orientan las intervenciones de los docentes.-
Al finalizar el cursado de “Matemática I”, los alumnos estarán en condiciones
de:
• Modelizar situaciones problemáticas de la física, biología, química,
economía, etc. y resolverlas utilizando los objetos matemáticos (números
reales, ecuaciones, inecuaciones, funciones, vectores) reconociendo las
limitaciones propias de la modelización.
• Generar estrategias y estimar resultados posibles, en la resolución de
problemas analizando luego la razonabilidad y validez de procedimientos y
resultados
• Recoger, registrar, organizar y procesar información aplicando conceptos
de estadística y probabilidad, los fenómenos aleatorios y probabilísticos
para resolver e interpretar situaciones considerando los alcances y
limitaciones de los mismos para la toma de decisiones.
• Interpretar y comunicar información matemática utilizando vocabulario y
notaciones aritméticos, geométricos, algebraicos y estadísticos.
• Valorar el lenguaje preciso y claro de la matemática como organizador del
pensamiento y para explicar procedimientos desde una actitud crítica y
constructiva.
• Trabajar cooperativamente aceptando responsabilidades, acordando,
aceptando y respetando las normas propuestas por el grupo como
condiciones necesarias del quehacer matemático y como actitud frente a la
vida.
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Contenidos Conceptuales
– Números y Vectores
– Números Reales. Propiedades. Operaciones. Aproximación decimal, cálculo
aproximado, técnicas de redondeo y truncamiento, error absoluto y relativo.
– Existencia de los Números Complejos. Forma binómica y trigonométrica.
Representación geométrica.
– Vectores en el plano. Operaciones: suma y producto por un escalar
– Funciones – Ecuaciones e inecuaciones
– Funciones: operaciones con funciones elementales. Funciones polinómicas
(operaciones con polinomios, raíces), valor absoluto. Función potencial,
exponencial y logarítmica. Funciones trigonométricas (relaciones).
– Ecuaciones e inecuaciones: formas de resolución de ecuaciones,
inecuaciones y sistemas (analítica, gráfica, entre otros).
– Curvas planas
Ecuaciones de la recta y el plano (escalares y vectoriales). Cónicas como lugar
geométrico y como secciones de un cono de revolución. Ecuaciones de la
circunferencia, la elipse, la parábola y la hipérbola.
– Probabilidad y estadística
– Probabilidades en espacios discretos. Experimentos aleatorios. Espacios
muestrales. Eventos o sucesos. Probabilidad condicional e independencia.
– Datos estadísticos. Formas de recolección, clasificación, análisis e
interpretación. Frecuencia. Medidas de posición y dispersión.
Contenidos procedimentales
• Representación de los números reales en la recta y de los números complejos en
el plano. Establecimiento y justificación de las relaciones de inclusión entre los
campos numéricos.
• Análisis de las operaciones en el conjunto de los números reales, su relación
con las operaciones en otros conjuntos desde sus propiedades y desde sus usos
para la resolución de problemas.
• Estimación y aproximación para predecir resultados, acotar su error y controlar su
razonabilidad.
• Operaciones con funciones: suma, multiplicación, composición. Representación
de la función inversa (cuando exista).
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Diseño Curricular de Educación Polimodal
• Reconocimiento desde el gráfico del dominio y de la imagen de funciones y
análisis de las gráficas de funciones sobre la base de propiedades de
crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos, periodicidad, continuidad,
discontinuidad, paridad.
• Planteo y resolución de problemas que involucren la resolución de triángulos, e
identidades trigonométricas ricas.
• Modelización del mundo real utilizando funciones.
• Modelización de situaciones problemáticas expresando las condiciones como
ecuaciones o sistemas de ecuaciones y/o inecuaciones (por ejemplo, problemas
de programación lineal)
• Resolución por distintos métodos (graficar, discutir el número de soluciones,
comparar métodos) de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas; sistemas
de dos y tres ecuaciones y/o inecuaciones de primer grado; ecuaciones e
inecuaciones de segundo grado (y de mayor grado reducibles a éstas);
ecuaciones logarítmicas, exponenciales y trigonométricas (casos simples);
sistemas de dos ecuaciones (una de ellas no lineal).
• Relaciones entre la ecuación general de la recta y su gráfico (variaciones del
gráfico según cambien los parámetros de la ecuación, pendiente, cantidad de
datos necesarios para determinar una recta y obtener su ecuación, generadores
de rectas en el plano), distintas formas de representar una recta (ecuación
general o vectorial en el plano o ecuación en el espacio).
• Resolución de ecuaciones usando las propiedades de las funciones (por ejemplo,
logarítmica y exponencial)
• Operaciones con vectores del plano, descomposición y composición de vectores,
determinación de módulo y dirección, su utilización en la resolución de
problemas.
• Establecimiento de las relaciones entre el producto vectorial y la normal a un
plano y el producto interno o escalar y la distancia, resolviendo problemas que
involucren el cálculo de distancias (entre dos puntos, un punto y una recta, un
punto y un plano) y ángulos (entre vectores, formado por dos rectas).
• Recolección de datos tomando en cuenta la representatividad de la muestra y la
escala de medición adecuada; representación en tablas, gráfico de barras,
diagramas circulares, gráficos de tallo y hojas, gráficos de cajas; e interpretación
de distintos gráficos que involucren medidas de posición y dispersión.
• Cálculo de medidas de posición (promedio, mediana, moda y cuál es la mejor
medida de tendencia central); medidas de dispersión (varianza, desviación
estándar); frecuencias (absoluta, relativa y acumulada).
• Predicción de la probabilidad de un resultado dado y cálculo de la probabilidad
para eventos dependientes e independientes.
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• Identificación del espacio muestral que describe adecuadamente un experimento
y de los eventos y las variables aleatorias relevantes. Análisis de criterios para
asignar probabilidades en los casos en que sea razonable una hipótesis de
equiprobabilidad (esquema clásico). Relación con la combinatoria. Aplicaciones a
juegos de azar.
• Investigación y resolución de problemas:
– Formulación de problemas y situaciones
– Creación y desarrollo de estrategias para la resolución de problemas
(descripción de un patrón, construcción de tablas, construcción de gráficos,
análisis sistemático de posibilidades, reducción a problemas más simples, actuar
o experimentar).
– Predicción, estimación y verificación de resultados y procedimientos.
• Razonamiento matemático
– Desarrollo de notación y vocabulario, elaboración de definiciones.
– Simulación y desarrollo de algoritmos y modelización (nociones de
interpretación y modelo, relaciones entre el modelo y la situación que
modeliza, desarrollo de modelos para resolver situaciones problemáticas
concretas).
– Relaciones, generalizaciones, particularizaciones y aplicaciones de resultados
(ejemplificaciones de resultados paradójicos).
– Diferenciación de las formas de prueba, conjetura y justificación en las
ciencias fácticas y formales.
– Demostraciones (distinción entre métodos de demostración directos e
indirectos, por el absurdo, uso de contra-ejemplos para negar afirmaciones,
interpretación de la afirmación y la negación de los conectivos lógicos y de los
cuantificadores, demostraciones simples).
• Comunicación
– Uso de vocabulario y notación adecuados a los distintos contextos.
– Relaciones entre representaciones.
– Descripción de procedimientos y resultados, discusión y crítica de los mismos.
MATEMÁTICA II
Fundamentación
Este espacio curricular incluye contenidos referidos particularmente a
aspectos analíticos y geométricos para la modelización de situaciones de la realidad,
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331
Diseño Curricular de Educación Polimodal
con un mayor avance hacia formas más específicas del razonamiento matemático y
un tratamiento más riguroso de la información.
Según vimos, los contenidos que se recuperan deberán ser ampliados y
profundizados, tanto en su organización como en su forma de comunicación o su
posibilidad de reinversión. Así los alumnos podrán acceder a un mayor nivel de
sistematización, integración y abstracción no sólo conceptual, sino metodológico.
Se pondrá especial atención tanto en la cohesión interna de este espacio
curricular, como en su significatividad y funcionalidad, sin perder de vista la
posibilidad del tratamiento de temas desde problemas relacionados directamente
con la Modalidad en la que se trabaje este espacio.
El desarrollo de los temas, con posibilidad de acceso a su construcción
histórica, su tratamiento y utilización en distintos contextos y de formas diferentes,
se dará en relación con la resolución de problemas y atendiendo a procesos de
modelización.
Esto implica, según vimos, generar el modelo matemático y resolverlo
validando su solución en la propia situación que le diera origen. Importa además,
analizar las limitaciones del mismo a partir de la posibilidad de realizar predicciones
y de explorar otros contenidos.
En la organización de los mismos se considerará tanto las características que
poseen como los procedimientos involucrados y su tratamiento estará determinada
de acuerdo a la estructuras cognitivas de los alumnos y las expectativas de logro
planteadas.
Expectativas de logro
Para este Espacio Curricular se plantean las Expectativas de Logro ya
definidas para “Matemática I” y se agregan las siguientes:
Al finalizar la Educación Polimodal, los alumnos estarán en condiciones de:
• Reconocer las cónicas como lugar geométrico, sus elementos y propiedades
y utilizarlas para resolver situaciones.
• Utilizar los conceptos de límites y derivadas definidas para el estudio de
funciones, seleccionando modelos, representaciones y estrategias de
acuerdo a la situación problemática a resolver.
• Discutir tanto acerca de los resultados obtenidos como de la metodología
aplicada en la resolución de un problema, tomando decisiones relacionadas
con problemas complejos y sustentadas en criterios de valor.
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332
Diseño Curricular de Educación Polimodal
• Realizar análisis crítico para determinar la efectividad de argumentos,
procedimientos y conceptos
Contenidos conceptuales
• Límite y derivada
– Sucesiones aritméticas y geométricas. Recurrencia, suma de los n primeros
términos.
– Límite de una sucesión. El número e. Límite de funciones (en un punto, en el
infinito). Límite y continuidad.
– Derivada. Derivada de una función en un punto. La función derivada. Derivadas
de funciones elementales. Crecimiento y decrecimiento de una función. Máximos
y mínimos.
• Vectores y trigonometría
– Vectores en el plano y en el espacio: Producto interno y vectorial en el
espacio. Distancia.
– Funciones trigonométricas: relaciones, teoremas del seno y del coseno.
• Probabilidad y estadística
– Probabilidad. Variables aleatorias. Distribuciones de probabilidad. Esperanza
matemática. Varianza. Ley de los grandes números.
– Estadística. Parámetros estadísticos y estimadores. Correlación entre variables.
Contenidos procedimentales
• Cálculo de la suma y del término general en algunas sucesiones, su uso en la
resolución de problemas de interés compuesto, capitalización y amortización.
• Análisis de los ceros, máximos y mínimos de funciones elementales a partir de su
expresión analítica y las variaciones en los gráficos al variar los parámetros.
• Cálculo de límites de sucesiones y funciones de números reales (ejemplos
ilustrativos) en la resolución de problemas.
• Determinación de las propiedades de una curva usando derivadas (máximos y
mínimos, crecimiento, decrecimiento, asíntotas) y trazado de su gráfico
aproximado a partir de las mismas.
• Modelización del mundo real utilizando funciones.
• Establecimiento de las relaciones entre el producto vectorial y la normal a un
plano y el producto interno o escalar y la distancia, resolviendo problemas que
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333
Diseño Curricular de Educación Polimodal
involucren el cálculo de distancias (entre dos puntos, un punto y una recta, un
punto y un plano) y ángulos (entre vectores, formado por dos rectas).
• Cálculo del coeficiente de correlación (usando la calculadora) y la forma de
distribución (a través del gráfico) de un grupo finito de datos y descripción sobre
la base de ello del comportamiento general del conjunto de datos.
• Toma de decisiones sobre la base del procesamiento estadístico de la
información.
• Análisis del cálculo de la probabilidad en ensayos repetidos (esquema de
Bernouli), distribución binomial, esperanza y varianza, interpretación de su
significado (por ejemplo la apuesta en los juegos de azar).
• Investigación y resolución de problemas
– Formulación de problemas y situaciones
– Creación y desarrollo de estrategias para la resolución de problemas
(descripción de un patrón, construcción de tablas, construcción de gráficos,
análisis sistemático de posibilidades, reducción a problemas más simples,
actuar o experimentar).
– Predicción, estimación y verificación de resultados y procedimientos.
• Razonamiento matemático
– Desarrollo de notación y vocabulario, elaboración de definiciones.
– Simulación y desarrollo de algoritmos y modelización (nociones de
interpretación y modelo, relaciones entre el modelo y la situación que
modeliza, desarrollo de modelos para resolver situaciones problemáticas
concretas).
– Relaciones, generalizaciones, particularizaciones y aplicaciones de resultados
(ejemplificaciones de resultados paradójicos).
– Diferenciación de las formas de prueba, conjetura y justificación en las
ciencias fácticas y formales.
– Demostraciones (distinción entre métodos de demostración directos e
indirectos, por el absurdo, uso de contra-ejemplos para negar afirmaciones,
interpretación de la afirmación y la negación de los conectivos lógicos y de los
cuantificadores, demostraciones simples).
– Axiomatización (interpretación de un sistema formal determinado por un
reducido número de axiomas y deducción de enunciados verdaderos).
• Comunicación
– Uso de vocabulario y notación adecuados a los distintos contextos.
– Relaciones entre representaciones.
– Descripción de procedimientos y resultados, discusión y crítica de los mismos.
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334
Diseño Curricular de Educación Polimodal
Bibliografía
• Alsina, C y otros. (1989) Invitación a la didáctica de la geometría. (Matemática:
cultura y aprendizaje), Madrid. Síntesis.
• Alsina, C. y otros. (1998) Enseñar matemáticas. Barcelona. Grao
• Artigue, M y otros (1995), Ingeniería didáctica en educación matemática.
Méjico Editorial Grupo Iberoamericano.
• Azcarate , Carmen y Deulofeu, Jordi (1996) Funciones y Gráficas.
Madrid..Síntesis.
• Barallobres, G y Foncuberta, Juan. (1998), Álgebra de las ecuaciones a las
transformaciones. Buenos Aires. Prociencia. Conicet.
• Beaufly, J y otros. (1998), Estrategias para enseñar a aprender. Buenos Aires.
Aique.
• Bers, L. (1972) Cálculo diferencial e integral. Vol I. Méjico. Nueva editorial
Interamericana.
• Chevallard, Bosch, Gascón (1997). Estudiar matemáticas, el eslabón perdido
entre enseñanza y aprendizaje. Barcelona. Horsori.
• Corbalán, Fernando (1998) La matemática aplicada a la vida cotidiana.
Barcelona. Grao
• Del Río Sánchez, J. (1996) Lugares Geométricos. Cónicas. Madrid. Síntesis.
• Díaz Godino, Batanero y Cañizares, (1996) Azar y probabilidad. Madrid.
Síntesis.
• Educación Matemática. (1994) Vol 6. Nº 3. Méjico Grupo Editorial
Iberoamérica.
• Foncuberta, Juan. (1997), Probabilidades y Estadística. Buenos Aires.
Prociencia. Conicet.
• Gardner H. (2000), La educación de la mente y el aprendizaje de las
disciplinas. Lo que todos los estudiantes deben comprender. Buenos Aires.
Piados.
• Grupo Azarquiel Ideas y actividades para enseñar álgebra. Madrid. Síntesis.
• Grupo Beta (1990) Proporcionalidad geométrica y semejanza. Madrid.
Síntesis.
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Ministerio de Educación
335
Diseño Curricular de Educación Polimodal
• Guasco, M.J.y otros. (1997), Geometría. Su enseñanza. Buenos Aires.
Prociencia. Conicet.
• Gutiérrez, A y Jaime A. (1995) Geometría y algunos aspectos generales de la
educación matemática. Méjico. Grupo Editorial Iberoamérica .
• Guzmán, M de y Cólera, J. (1994) Matemáticas I. Madrid. Anaya
• Guzmán, M de y Cólera, J. (1994) Matemáticas II. Madrid. Anaya
• Gysin, Fava y otros. (1996) Fuentes para la transformación Curricular.
Matemática. Ministerio de Educación de la Nación.
• Modelo matemáticos (1996), Prociencia. Conicet.
• Rico Luis y otros (1997) La educación matemática en la enseñanza
secundaria. Barcelona. Horsori.
• Santaló, Luis y colabs.(1997). Enfoques. Hacia una didáctica humanista de la
matemática. Buenos Aires. Troquel.
• Temas de matemática (1997). Prociencia. Conicet
• Vergnaud, G. (1995) Aprendizajes y didácticas, qué hay de nuevo. Buenos
Aires. Edicial.
• Whimbey A. y Lochhead J. ( 1993) Comprender y resolver problemas. Madrid.
Visor.
Publicaciones periódicas
• Uno ( Revista de Didáctica de la Matemática) (1998) Nº 16. La gestión de la
clase de matemática. Barcelona. Grao.
• Uno ( Revista de Didáctica de la Matemática) (2000) Nº 23. Matemática,
cultura y sociedad. Barcelona. Grao.
• Uno ( Revista de Didáctica de la Matemática) (1998) Nº 24. Aprendizaje de las
matemáticas para el siglo XXI. Barcelona. Grao.
• Uno ( Revista de Didáctica de la Matemática) (2000) Nº 25. Construcción de
conocimientos matemáticos para el siglo XXI. Barcelona. Grao.

Alumna: Rocío Carhua Araqueda.

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¿QUÉ APORTA LA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA A LA FORMACIÓN INICIAL DE LOS MATEMÁTICOS?

Recientemente se ha puesto en evidencia la necesidad de integrar asignaturas de Didáctica
de las Matemáticas en los Planes de Estudios de la Licenciatura de Matemáticas, el
problema que esto plantea es cómo llenar de contenido estas asignaturas. El reto es acertar
con un perfil que, recogiendo las aportaciones de la investigación afín, sea apropiado y
aceptado por la Comunidad de los Matemáticos, por los profesores de las Facultades de
Matemáticas y por los mismos estudiantes de Matemáticas. Para enfrentar este reto
adelanto a continuación algunas ideas.
LA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA Y SU ÁMBITO DE ACTUACIÓN
Por un lado la Didáctica de las Matemáticas atiende a la construcción de modelos teóricos
para explicar los distintos aspectos de la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas en el
marco de los sistemas educativos. Como tal es una disciplina científica que pretende ser
reconocida por sus aportaciones en un ámbito de estudio propio, aunque para lograrlo tiene
que hacer frente a dificultades que proceden de un clima de opinión reticente por parte de la
Comunidad afín, la de los matemáticos, más consolidada, prestigiosa y avanzada.
Por otro lado, la Didáctica de las Matemáticas atiende al desarrollo y concreción de
conocimientos aplicados y comprometidos con la práctica educativa. Como tal es una
disciplina profesional cuyo ámbito de actuación es la formación de docentes, en particular
en su formación inicial y, en este terreno, también tiene que hacer frente a dificultades de
otra índole, las que proceden de las prácticas y creencias de los estudiantes para futuros
profesores de matemáticas.
EL MODELO DE FORMACIÓN DE PROFESORES DE MATEMÁTICAS
Se puede decir que la formación de profesores de matemáticas tiene su origen en las
reformas educativas del siglo XIX que es cuando se universaliza el sistema general y
público de enseñanza. Este fenómeno planteó la necesidad de formar a una gran cantidad de
profesionales de la enseñanza para atender las demandas del nuevo sistema, lo que dio
lugar a la creación de las instituciones que se conocerían como Escuelas Normales. Es en
las Normales, encargadas de la formación inicial de los profesores, donde aparecen la
asignaturas denominadas de Metodología, que posteriormente se llamarán de Didáctica. En
España y en muchos otros países las Normales quedaron inicialmente fuera del sistema
universitario y sólo atendieron a la formación de los docentes de Educación Primaria,
denominados Maestros. La docencia en Secundaria y otros niveles superiores quedó
reservada a los licenciados universitarios, quienes en su ámbito de actuación son
denominados profesores.
LA IDEOLOGÍA QUE SUSTENTA EL MODELO TRADICIONAL DE
FORMACIÓN DE PROFESORES DE SECUNDARIA
Los licenciados universitarios se forman únicamente en los contenidos propios de su
disciplina y no reciben formación didáctica a lo largo de su carrera. Para paliar esta
deficiencia, en España, los licenciados que quieran acceder a un puesto en la enseñanza
oficial deben realizar un curso de especialización didáctica, una vez finalizada la carrera.
Este curso denominado CAP, ha venido conjugando dos ideologías:
1. Una, que considera que para enseñar es suficiente con el dominio de la disciplina.
2. Otra, que percibe la didáctica como un arte y como tal el profesor se forma dentro
de su propia práctica, o guiado por los prácticos.
Desde el primer punto de vista se señala que lo importante es la formación científica y, por
tanto, se reniega de lo didáctico bajo la idea de que es una falsa ciencia, un discurso
ideológico que desea imponerse en detrimento del conocimiento disciplinar. En
consecuencia, se considera que para cursar la especialización didáctica se debe esperar a
que los estudiantes terminen su carrera, con el fin de tener garantías de que ya se saben lo
importante; esto es, las matemáticas.
Desde el segundo punto de vista se entiende que la Didáctica se debe centrar en la
instrucción y en la práctica; es decir, en los problemas de selección, secuenciación,
temporalización, metodología de los contenidos curriculares, y gestión de la clase. En
consecuencia, se considera que los responsables del curso de especialización didáctica
deben ser los profesores de Secundaria en ejercicio, miembros experimentados de las
mismas instituciones que finalmente son las que van a recibir a los futuros profesores
cuando estos terminen sus estudios. ¡No los especialistas en Didáctica!
EL PUNTO DE VISTA DE LA DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS EN
RELACIÓN CON EL MODELO TRADICIONAL
Desde la comunidad de profesionales de la Didáctica de las Matemáticas se cuestionan
estas dos ideologías. Por una parte, frente a la renuncia a lo didáctico que se sigue de la
primera ideología, se señala que son los matemáticos los que han de responsabilizarse de lo
que se hace en su nombre y que, por lo tanto, que los matemáticos deberían pensar en la
formación en Didáctica de las Matemáticas como algo propio. Por otra parte, frente al
centramiento en la instrucción que se sigue de la segunda ideología se señalan carencias, ya
que se afirma que cuando sólo se mira la instrucción y gestión de la clase no se discute el
contenido, no se tiene en cuenta el aprendizaje y no se pone en duda el conocimiento del
profesor. En otras palabras, se ignora que hay otros objetos de estudio y reflexión que
amplían el ámbito de actuación de la disciplina, entre los que cabe citar el conocimiento del
funcionamiento de los alumnos o del profesor, el diseño e innovación curricular, o la
evaluación.
UN NUEVO MODELO DE FORMACIÓN DE PROFESORES DE SECUNDARIA
Como consecuencia de estos planteamientos desde la Didáctica de las Matemáticas se ha
defendido un nuevo modelo de formación de profesores de matemáticas para los niveles
Secundario y Bachillerato. Este nuevo modelo reivindica la necesidad de que los Planes de
Estudio de Matemáticas integren asignaturas de Didáctica de las Matemáticas y, para ello,
se argumenta con tres tipos de razones principales:
· Razones de índole social, ya que la Didáctica de las Matemáticas puede hacer
aportaciones en otros ámbitos de actuación tales como, por ejemplo, la difusión y
mantenimiento social o el proselitismo de la disciplina.
· Razones de índole académico, ya que la Didáctica de las Matemáticas es un
dominio de conocimientos que amplía el ámbito de estudio de los matemáticos,
ámbito que a estos incumbe y que no pueden dejar en manos de otros profesionales,
con las consecuencias que esto acarrearía.
· Razones de índole profesional, ya que la Didáctica de las Matemáticas es una
disciplina que implica como salida profesional muchos estudiantes de matemáticas.
EL PANORAMA ACTUAL
En el panorama actual español se ha conseguido integrar en los planes de estudio de las
licenciaturas de Matemáticas asignaturas de Didáctica de las Matemáticas, aunque con
carácter optativo. Se implica así a nuestra comunidad profesional de una manera directa en
los estudios del segundo ciclo universitarios. Esto no ha sido un logro gratuito sino que se
debe a un cambio en el clima de opinión académico motivado por
· Los retos del nuevo modelo educativo implantado en España y que eleva la
Educación obligatoria hasta los 16 años. Retos que no sólo afectan a los contenidos,
objetivos, metodología y criterios de evaluación, sino también al papel del profesor.
· La institucionalización de la Didáctica de la Matemática como Área de
Conocimiento en la Universidad española, que ha permitido su consolidación
académica.
· El gran incremento en investigación y desarrollo de la Didáctica de la Matemática y
el reconocimiento creciente de su importancia.
· La existencia de una numerosa comunidad profesional de Didáctas de las
matemáticas.
Reticencias
No obstante todavía existen resquicios de clima de opinión reticente basado en la
desconfianza acerca de lo que “lo didáctico” puede aportar en la formación de los
matemáticos. Opinión que, dejando de lado argumentos basados en prejuicios o
corporativismos, encuentra justificación en dos ideas: una es que una reflexión didáctica no
puede adquirir significado con jóvenes sin experiencia y que, por tanto, debe reservarse
para la formación permanente; la otra es el temor a que la formación didáctica se haga en
detrimento de la formación matemática de los estudiantes.
Dificultades
Este clima de opinión reticente se ve reforzado por las dificultades específicas que hay que
vencer en el trabajo diario con los estudiantes de matemáticas. Dificultades que tienen que
ver con sus creencias, con sus hábitos y con las expectativas que despierta la Didáctica.
Los estudiantes creen que la materia puede ser dominada si trabajan en ella y si han tenido
éxito es porque han trabajado duro (Schoenfeld, 1989 p. 66). Además, “la mayoría de los
(estudiantes) que tienen éxito nunca ponen en duda su conocimiento matemático o las
matemáticas que han aprendido: después de todo, no hace ninguna falta si tienen éxito” Sin
embargo, “la situación es bastante diferente para la mayoría de los jóvenes que no tienen
éxito. Siguen creyendo que las matemáticas son importantes, pero también que son difíciles
–imposibles para muchos – , misteriosas, sin sentido y aburridas. No tratan de nada y
provocan sentimientos de opresión y de estar bajo el dominio de alguien, no se sabe quién.
No es probable que estas personas pongan en duda las matemáticas mismas, pero
seguramente pondrán en duda, criticarán y vilipendiarán la llamada educación matemática
que han recibido. Culpan a los enseñantes de no haberlos comprendido nunca, culpan al
currículo de matemáticas por todos sus ejercicios irrelevantes y soporíferos y, naturalmente,
culpan al sistema educativo por haberlos engañado. El sistema les hizo creer que el estudio
de las matemáticas era, y es, importante, y el sistema les ha fallado. El sistema creó la
necesidad pero ha sido incapaz de satisfacerla” (Bishop, 1991, p. 18 y 19).
En cuanto a los hábitos de los estudiantes para futuros profesores, éstos tienden a emular
las metodologías de sus antiguos maestros sin cuestionar su idoneidad. A falta de otra
experiencia, tienden a organizarse de acuerdo con sus últimas vivencias, lo que trasladan a
la Escuela hasta que al darse de bruces con la realidad comienzan a generar sentimientos negativos por la falta de éxito esperado
Finalmente, las expectativas que despierta la didáctica en los estudiantes suelen ser
frustrantes, tanto por la complejidad de las nociones didácticas, su lenta comprensión y su
vinculación a la experiencia de su puesta en práctica, como por las contradicciones de la
ideología dominante que presupone la existencia de una relación de transferencia simple de
la enseñanza al aprendizaje (Laborde, 1992, p. 167). De aquí que, al comienzo, la visión
didáctica sea desestabilizadora y decepcionante y, como no parece dar respuestas a los
problemas, favorece más la crítica de la enseñanza tradicional que la oferta de soluciones
inmediatas.
Respuestas
Dado este panorama tan complejo es claro que hay que reaccionar en un sentido que tenga
en cuenta que a los estudiantes de matemáticas como futuros profesores se les va a exigir
conocer las matemáticas de una manera diferente a las otras personas implicadas
exclusivamente en la cultura matemática formal. No como un producto acabado, sino como
un producto en elaboración, que se plantea desde una perspectiva cultural, comprometida
con la educación de los ciudadanos, con sus procesos de enseñanza/aprendizaje, con su
comportamiento y sus sentimientos. Un conocimiento de Matemáticas diferente del que
necesita de las aplicaciones de las Matemáticas (un estadístico, un ingeniero o un físico).
Por lo tanto, es necesario producir cambios en la forma en que están viviendo su formación
los estudiantes de matemáticas, y para esto es necesario el punto de vista de la Didáctica de
las Matemáticas en los planes de estudio de las licenciaturas de Matemáticas. En otras
palabras, es necesario introducir en ellos asignaturas de Didáctica de las matemáticas.
Componentes de las asignaturas “Didáctica de la matemática
Para articular las asignaturas de “Didáctica de las matemáticas”, en el sentido señalado en
el epígrafe anterior, las componentes que se pueden abordar y cuyo desarrollo darán forma concreta al trabajo en el salón de clase podrían ser las siguientes:
Una componente cognitiva
Para mostrar la complejidad de las relaciones de enseñanza-aprendizaje que se manifiestan
en la subjetividad y en la insuficiencia de la práctica de la enseñanza.
La subjetividad, que se deriva del hecho de que los procesos de toma de decisión del
profesor se ven influidos por múltiples factores, por ejemplo, el impacto de sus creencias,
su pensamiento, su conocimiento y experiencia previa mientras aprendió matemáticas; o el
conocimiento acerca de cómo piensan y resuelven tareas los aprendices.
Y la insuficiencia de la enseñanza que se deriva de que siendo el aprendiz un constructor
activo de su propio conocimiento las presentaciones claras no son suficientes, por lo que
éste con ideas correctas puede adquirir conocimientos locales, parciales, vagos,
incoherentes o erróneos. Los profesores construyen este tipo de conocimientos que son
resistentes, difíciles de erradicar y los llevan a sus clases produciendo como una bola de
nieve.
Una componente de enseñanza
Para revelar la relatividad del curriculum, la metodología y la evaluación que se manifiesta
en una obra inacabada que es el resultado de decisiones de grupos dominantes, que
evoluciona y obedece a leyes que rigen su desarrollo interno, y que está conformada con
elementos que no son incuestionables.
Una componente formal.
No para mostrar los contenidos de la materia que los alumnos cuando sean profesores
tendrán que enseñar a sus alumnos; contenidos cuyo conocimiento se les supone por haberlos cursado en otras disciplinas matemáticas, sino porque es preciso saber cuáles son,
en qué sentido están concebidos, y como son objeto de un proceso de elementarización.
Una componente histórico-epistemológica.
Para mostrar el proceso constructivo del conocimiento matemático en sus dimensiones
cognitiva, pedagógica y epistemológica que se manifiesta en su progreso evolutivo y, no
tratando de introducir la historia como un pasatiempo, presentando anécdotas del pasado,
biografías o descripciones de hechos ordenados cronológicamente.
La dimensión cognitiva, para aprovechar paralelismos entre las concepciones y dificultades
en la historia de la ideas matemáticas y en los estudiantes de hoy cuando están tratando de
ser competentes en las matemáticas de la enseñanza. La dimensión epistemológica, para
señalar los cambios en las concepciones hasta llegar al concepto en su formulación actual,
así como los avances, retrocesos y controversias en la aceptación de esos cambios y, los
errores, contradicciones e incoherencias de los matemáticos del pasado, sus explicaciones y
sus justificaciones en relación también con esos cambios. Y la dimensión pedagógica, para
mostrar el orden en la presentación de las ideas matemáticas, su razón de ser y como se
organizan y relacionan, en los libros de texto.

ALUMNA: JESSICA ABANTO BARRANTES
EDUCACIÓN PRIMARIA VI CICLO

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LA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA COMO EPISTEMOLOGÍA DEL APRENDIZAJE MATEMÁTICO

Según el autor Bruno D´Amore, enfatiza lo siguiente en su lectura a raíz de las múltiples investigaciones realizadas en didáctica, se ha producido un notable interés en el fénomeno del aprendizaje aquel que va a estar sustentado, en diferentes Teorías del Aprendizaje, siendo la Teoría Cognitiva la más completa. El empleo de diversas teorías durante el Proceso Enseñanza – Aprendizaje de la Matemática permitirá que dicha disciplina consiga la categoría de ser científica, es a partir de aquí de donde surgen los Modelos Didácticos que no es mas que la manera como cada didáctica interpreta el concepto de ciencia, manifestándole en sus clases, realizadas en el aula entonces un Modelo Didáctico se puede diferir como la actividad que realiza el docente , su metodología emplea el uso de materiales didácticos y la manera como permite que su alumno accede al saber, en esta lectura también se considera los Aportes de Goleman, Bruner, para lograr el desarrollo de una TEORÍA DE LA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA, así como también se establecen oras interpretaciones de la Didáctica de la Matemática, según el autor Van Hiele, quien considera que su meta principal sería la redacción curricular y por tanto su contribución y practica del currículum y de la innovación curricular.

ALUMNA: JANET ROSANA BURGOS CHAMBA
CICLO: VI

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ANÁLISIS DE DISEÑO CURRICULAR NACIONAL

ANÁLISIS DEL DCN DEL PERÚ

ANÁLISIS DEL DCN:ÁREA DE MATEMÁTICA

RESPONDER LAS SIGUIENTES PREGUNTAS:
1. ¿Cuáles son las teorías que sustentan el D.C.N. en el área de matemática?
Teoría psicogenética de JEAN PIAGET.
El aprendizaje es un proceso de construcción interno, activo, individual e interactivo del sujeto con el medio social y natural. Los estudiantes, para aprender, utilizan estructuras lógicas que dependen de variables como los aprendizajes previos y el contexto socio-cultural, geográfico, lingüístico, económico-productivo, etc. en el que viven.

Teoría sociocultural de VIGOTSKY.
Porque hace alusión a las interacciones de los alumnos con sus pares y con el docente para aprender mejor la matemática.

Teoría de aprendizaje significativo de DAVID AUSBEL.
Principio de significatividad y funcionalidad de los aprendizajes
D. Ausubel opone el aprendizaje significativo al aprendizaje mecánico, distinción que indica dos formas de producirse los aprendizajes. El aprendizaje significativo es el aprendizaje en el que el alumno reorganiza sus conocimientos y les asigna sentido y coherencia, gracias a la manera en que el profesor presenta la información o la descubre el alumno por sí mismo. El modelo de aprendizaje significativo es el más utilizado en la enseñanza constructivista.
El aprendizaje significativo consta de los niveles siguientes:

 Hay una agregación de conocimientos a los conocimientos previos existentes.
 Se produce cuando el alumno establece relaciones sustanciales y no
arbitrarias entre los nuevos conocimientos y los ya existentes.
 Aprendizaje está relacionado con experiencias, hechos u objetos.
 Se forman nuevas estructuras conceptuales o nuevas formas de conocer.

Teoría de las situaciones didácticas de GUY BROSSEAU.
Menciona implícitamente que se han de propiciar interacciones ricas, motivadoras y saludables en las aulas, organizando situaciones de aprendizaje adecuadas para facilitar la construcción de los saberes, proponiendo actividades variadas y ricas, graduadas, promoviendo la reflexión de los estudiantes para que elaboren sus propias conclusiones(situación adidática),las cuales se afianzan con la ayuda del docente(situación didáctica).
Teoría del pensamiento divergente de EDUAR DE BONO.
Porque el alumno explora estrategias para dar solución a determinados problemas.

ALUMNA DEL VI CICLO DE EDUCACIÓN PRIMARIA:SUSANA SIESQUÉN PAJILLA

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Didáctica de las matematicas para maestros – Dirección: Juan D. Godino

Didáctica de las Matemáticas para Maestros
Proyecto Edumat-Maestros

Director: Juan D. Godino

http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/

Proyecto Edumat-Maestros
Director: Juan D. Godino

http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/

DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS
PARA MAESTROS
Dirección: Juan D. Godino
1
Didáctica de las Matemáticas para maestros
DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS PARA
MAESTROS
 Los autores
Departamento de Didáctica de la Matemática
Facultad de Ciencias de la Educación
Universidad de Granada
18071 Granada
ISBN: 84-933517-1-7
Depósito Legal: GR-1162-2004
Impresión:
GAMI, S. L. Fotocopias
Avda. de la Constitución, 24. Granada
Distribución en Internet:

http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/

Publicación realizada en el marco del
Proyecto de Investigación y Desarrollo
del Ministerio de Ciencia y Tecnología
y Fondos FEDER, BSO2002-02452.
2
Índice general
3
Índice general
Contenido: Autores:
I. FUNDAMENTOS DE LA
ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJE
DE LAS MATEMÁTICAS
Índice ………………………………………………
1. Perspectiva educativa de las
matemáticas ……………………………………..
2. Enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas ……………………………………..
3. Currículo matemático para la educación
primaria …………………………………………..
4. Recursos para el estudio de las
matemáticas ……………………………………..
Página
5
15
55
87
123
Juan D. Godino
Carmen Batanero
Vicenç Font
II. SISTEMAS NUMÉRICOS
Índice ………………………………………………
1. Números naturales. Sistemas de
numeración ………………………………………
2. Adición y sustracción ……………………….
3. Multiplicación y división ……………………
4. Fracciones y números racionales ………..
5. Números y expresiones decimales ……….
6. Números positivos y negativos ……………
155
157
187
205
221
239
259
Eva Cid
Juan D. Godino
Carmen Batanero
III. PROPORCIONALIDAD …………………. 271 Juan D. Godino
Carmen Batanero
Didáctica de las Matemáticas para maestros
4
IV. GEOMETRÍA
Índice ……………………………………………..
1. Figuras geométricas ………………………….
2. Transformaciones geométricas. Simetría
y semejanza ……………………………………..
3. Orientación espacial. Sistemas de
referencia …………………………………………
Página
287
291
323
341
Juan D. Godino
Francisco Ruiz
V. MAGNITUDES
Índice ………………………………………………
1. Magnitudes y medida …………………………
2. Magnitudes geométricas …………………….
355
359
381
Juan D. Godino
Carmen Batanero
Rafael Roa
VI. ESTOCÁSTICA
Índice ………………………………………………
1. Estadística ………………………………………..
2. Probabilidad …………………………………….
405
409
425
Carmen Batanero
Juan D. Godino
VII. RAZONAMIENTO ALGEBRAICO 456 Juan D. Godino
Vicenç Font
Proyecto Edumat-Maestros
Director: Juan D. Godino

http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/

I.
FUNDAMENTOS DE LA ENSEÑANZA Y
EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICA
PARA MAESTROS
Juan D. Godino
Carmen Batanero
Vicenç Font
6
Índice
Introducción ………………………………………………………………………………………….
CAPÍTULO 1:
PERSPECTIVA EDUCATIVA DE LAS MATEMÁTICAS
Página
7
A: Contextualización
Reflexión y discusión colectiva sobre las propias creencias hacia las
matemáticas …………………………………………………………………………………………..
B: Desarrollo de conocimientos
1. Algunas concepciones sobre las matemáticas ………………………………………..
1.1. Concepción idealista-platónica …………………………………………………..
1.2. Concepción constructivista …………………………………………………………
2. Matemáticas y sociedad
2.1. ¿Cómo surgen las matemáticas? Algunas notas históricas ……………..
2.2. Papel de las matemáticas en la ciencia y tecnología ………………………
2.3. Matemáticas en la vida cotidiana. Cultura matemática …………………..
3. Rasgos característicos de las matemáticas
3.1. Modelización y resolución de problemas ……………………………………..
3.2. Razonamiento matemático …………………………………………………………
3.3. Lenguaje y comunicación ………………………………………………………….
3.4. Estructura interna ……………………………………………………………………..
3.5. Naturaleza relacional de las matemáticas ……………………………………..
3.6. Exactitud y aproximación …………………………………………………………..
4. Contenidos matemáticos: Conceptos, procedimientos y actitudes …………….
5. Un modelo de análisis de la actividad matemática …………………………………
5.1. Significados de la suma y la resta en un libro de texto …………………..
5.2. Tipos de objetos que intervienen en la actividad matemática ………….
5.3. Procesos matemáticos ……………………………………………………………….
5.4. Conocimientos personales e institucionales …………………………………
6. Transposición didáctica ………………………………………………………………………
C: Seminario didáctico
1. Actitudes hacia las matemáticas …………………………………………………………..
2. Reflexión y redacción …………………………………………………………………………
3. Actividades de campo …………………………………………………………………………
4. Resolución de problemas (taller matemático) ………………………………………..
Bibliografía …………………………………………………………………………………………..
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CAPÍTULO 2:
ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS
Página
A: Contextualización
A1. Creencias sobre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas …………
A2. Lectura, reflexión y discusión …………………………………………………………..
B: Desarrollo de conocimientos
1. Introducción ……………………………………………………………………………………..
2. Competencia y comprensión matemática
2.1. Nociones de competencia y comprensión …………………………………….
2.2. Comprensión instrumental y relacional ……………………………………….
2.3. Los objetos de comprensión y competencia …………………………………
3. Aprender y enseñar matemáticas
3.1. Papel de la resolución de problemas en el aprendizaje matemático ….
3.2. Enseñanza de las matemáticas ……………………………………………………
4. Estudio dirigido de las matemáticas ……………………………………………………..
5. Normas sociomatemáticas. Contrato didáctico ………………………………………
6. Dificultades, errores y obstáculos ………………………………………………………..
7. Estándares para la enseñanza de las matemáticas
7.1. Supuestos de los estándares ……………………………………………………….
7.2. Tareas ……………………………………………………………………………………..
7.3. Discurso ………………………………………………………………………………….
7.4. Entorno ……………………………………………………………………………………
75. Análisis ……………………………………………………………………………………
C: Seminario didáctico
1. Análisis de documentos curriculares ……………………………………………..
2. Reflexión, redacción y discusión ………………………………………………….
3. Encuesta de actitudes a los alumnos ……………………………………………..
4. Errores y obstáculos ……………………………………………………………………
5. Diseño de actividades ………………………………………………………………….
6. Análisis de textos ………………………………………………………………………..
Anexo 2.1.
Estándares sobre la enseñanza de las matemáticas del NCTM ……………………
Bibliografía …………………………………………………………………………………………..
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CAPÍTULO 3:
CURRÍCULO MATEMÁTICO PARA LA EDUCACIÓN PRIMARIA
Página
A: Contextualización
Reflexión y discusión sobre orientaciones curriculares ……………………………….
B: Desarrollo de conocimientos
1. Introducción ………………………………………………………………………………………
2. Fines y objetivos de la educación matemática
2.1. ¿Por qué y para qué enseñar matemáticas? ………………………………………
2.2. Justificación y orientación del currículo básico del MEC ………………….
2.3. Principios para las matemáticas escolares propuestos por el NCTM …..
3. Contenidos matemáticos en primaria
3.1 Diferentes tipos de contenidos: conceptos, procedimientos y actitudes
3.2. Bloques de contenidos en el currículo básico del MEC y su
estructuración ………………………………………………………………………………………
3.3. Estándares de contenidos y procesos del NCTM ………………………………
4. Orientaciones sobre la evaluación
4.1. Fines y tipos de evaluación. Principios básicos …………………………….
4.2. La evaluación en el currículo básico del MEC …………………………………
4.3. La evaluación en los Estándares del NCTM ……………………………………..
5. Diseño y gestión de unidades didácticas
5.1 Elementos a tener en cuenta en la planificación de una unidad
didáctica ………………………………………………………………………………………..
5.2 Diseño de una unidad didáctica …………………………………………………..
5.3 Gestión de unidades didácticas. Adaptaciones ………………………………
5.4 La evaluación de la unidad didáctica ……………………………………………
C: Seminario didáctico
1. Análisis de textos y documentos curriculares ………………………………………..
2. Diferentes tipos de contenidos …………………………………………………………….
3. Actividades de campo …………………………………………………………………………
4. Diseño de secuencias de actividades …………………………………………………….
Bibliografía ………………………………………………………………………………………….
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CAPÍTULO 4:
RECURSOS PARA EL ESTUDIO DE LAS MATEMÁTICAS
A: Contextualización
Reflexión y discusión colectiva sobre los recursos didácticos en la enseñanza
de las matemáticas …………………………………………………………………………………
B: Desarrollo de conocimientos
1. Introducción ………………………………………………………………………………………
2. Recursos didácticos ……………………………………………………………………………
3. Ayudas al estudio de las matemáticas
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3.1. Los libros de texto y apuntes ………………………………………………….
3.2. Las tareas matemáticas y situaciones didácticas entendidas como
recurso. Variables de tarea ……………………………………………………………
4. Material manipulativo ……………………………………………………………………….
4.1. Funciones del material textual ………………………………………………..
4.2. El material manipulativo como puente entre la realidad y
los objetos matemáticos …………………………………………………………
4.3. Algunas precauciones ……………………………………………………………
4.4. Relaciones de los manipulativos con las situaciones didácticas …..
5. Recursos tecnológicos
5.1. Calculadoras ………………………………………………………………………..
5.2. Ordenadores …………………………………………………………………………
5.3. Internet ……………………………………………………………………………….
5.4. Vídeo ………………………………………………………………………………….
6.Juegos ……………………………………………………………………………………………….
7. Posiciones extremas: Formalismo y empirismo ……………………………………..
C: Seminario didáctico
1. Análisis de documentos curriculares ……………………………………………..
2. Análisis de actividades y libros de texto …………………………………………
3. El material manipulativo como puente entre la realidad y los objetos
matemáticos ………………………………………………………………………………..
4. Calculadoras ……………………………………………………………………………….
5. Programas informáticos ……………………………………………………………….
6. Internet ………………………………………………………………………………………
Bibliografía …………………………………………………………………………………………..
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INTRODUCCIÓN
En esta Monografía sobre “Fundamentos de la enseñanza y el
aprendizaje de las matemáticas para maestros” nos proponemos ofrecer
una visión general de la educación matemática. Tratamos de crear un
espacio de reflexión y estudio sobre las matemáticas, en cuanto objeto de
enseñanza y aprendizaje, y sobre los instrumentos conceptuales y
metodológicos de índole general que la Didáctica de las Matemáticas está
generando como campo de investigación.
Deseamos que los maestros en formación adquieran una visión de la
enseñanza de las matemáticas que contemple:1
– Las clases como comunidades matemáticas, y no como una simple
colección de individuos.
– La verificación lógica y matemática de los resultados, frente a la
visión del profesor como única fuente de respuestas correctas.
– El razonamiento matemático, más que los procedimientos de simple
memorización.
– La formulación de conjeturas, la invención y la resolución de
problemas, descartando el énfasis en la búsqueda mecánica de
respuestas.
– La conexión de las ideas matemáticas y sus aplicaciones, frente a la
visión de las matemáticas como un cuerpo aislado de conceptos y
procedimientos.
Los siguientes principios de la enseñanza de las matemáticas descritos
en los Principios y Estándares 2000 del NCTM2 orientan el contenido de la
Monografía:
1. Equidad. La excelencia en la educación matemática requiere equidad –
unas altas expectativas y fuerte apoyo para todos los estudiantes.
2. Currículo. Un currículo es más que una colección de actividades: debe ser
coherente, centrado en unas matemáticas importantes y bien articuladas a
lo largo de los distintos niveles.
1 NCTM (1991). Professional Standards for Teaching Mathematics. Reston, VA: National Council of
Teachers of Mathematics.
2 NCTM (2000). Principles and Standards for School Mathematics. Reston. VA: National Council of
Teachers of Mathematics.
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3. Enseñanza. Una enseñanza efectiva de las matemáticas requiere
comprensión de lo que los estudiantes conocen y necesitan aprender, y por
tanto les desafían y apoyan para aprenderlas bien.
4. Aprendizaje. Los estudiantes deben aprender matemáticas
comprendiéndolas, construyendo activamente el nuevo conocimiento a
partir de la experiencia y el conocimiento previo.
5. Evaluación. La evaluación debe apoyar el aprendizaje de unas
matemáticas importantes y proporcionar información útil tanto a los
profesores como a los estudiantes.
6. Tecnología. La tecnología es esencial en la enseñanza y el aprendizaje de
las matemáticas; influye en las matemáticas que se enseñan y estimula el
aprendizaje de los estudiantes.
Estos seis principios describen cuestiones cruciales que, aunque no sean
específicas de las matemáticas escolares, están profundamente
interconectadas con los programas de matemáticas. Deben ser tenidos en
cuenta en el desarrollo de propuestas curriculares, la selección de materiales,
la planificación de unidades didácticas, el diseño de evaluaciones, las
decisiones instruccionales en las clases, y el establecimiento de programas de
apoyo para el desarrollo profesional de los profesores.
El primer capítulo está centrado en el análisis del propio contenido
matemático, con la finalidad de hacer reflexionar a los maestros en
formación sobre sus propias creencias y actitudes hacia las matemáticas e
inducir en ellos una visión constructiva y sociocultural de las mismas. Tras
presentar una síntesis del papel que las matemáticas desempeñan en la
ciencia, la tecnología y en la vida cotidiana describimos algunos rasgos
característicos de las matemáticas, tomando como referencia las
orientaciones del currículo básico de matemáticas propuesto por el MEC.
Destacamos el carácter evolutivo del conocimiento matemático, el papel de
la resolución de problemas y la modelización, el razonamiento, lenguaje y
comunicación, la estructura lógica y naturaleza relacional de las
matemáticas, así como la dialéctica entre exactitud y aproximación. En este
capítulo también describimos las tres categorías básicas de contenidos que
propone el Diseño Curricular Básico (conceptos, procedimientos y
actitudes), y razonamos que el análisis de la actividad matemática y de los
procesos de enseñanza y aprendizaje en las clases requiere adoptar un
modelo epistemológico más detallado, considerando como objetos
matemáticos las propias situaciones – problemas, el lenguaje, las
propiedades y argumentaciones, además de los conceptos y
procedimientos. Junto a estos objetos matemáticos es necesario tener en
cuenta en la organización de la enseñanza los procesos matemáticos de
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resolución de problemas, representación, comunicación, justificación,
conexiones e institucionalización.
El segundo capítulo lo dedicamos al estudio de los procesos de
enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, comenzando con una situación
de contextualización sobre las creencias de los maestros en formación
acerca de la enseñanza y el aprendizaje de nuestra materia. Hemos
considerado necesario iniciar el tema con un breve análisis de las nociones
de competencia y comprensión matemática, esto es, sobre lo que vamos a
considerar como “conocer matemáticas” desde el punto de vista del sujeto
que aprende. No parece posible tomar decisiones educativas apropiadas si
no adoptamos previamente criterios claros sobre lo que vamos a considerar
qué es “saber matemáticas”.
Sin privar de importancia a los enfoques constructivistas en el estudio
de las matemáticas consideramos necesario reconocer explícitamente el
papel crucial del profesor en la organización, dirección y promoción de los
aprendizajes de los estudiantes. Una instrucción matemática significativa
debe atribuir un papel clave a la interacción social, a la cooperación, al
discurso del profesor, a la comunicación, además de a la interacción del
sujeto con las situaciones-problemas. El maestro en formación debe ser
consciente de la complejidad de la tarea de la enseñanza si se desea lograr
un aprendizaje matemático significativo. Será necesario diseñar y gestionar
una variedad de tipos de situaciones didácticas, implementar una variedad
de patrones de interacción y tener en cuenta las normas, con frecuencia
implícitas, que regulan y condicionan la enseñanza y los aprendizajes.
Finalizamos el desarrollo de los conocimientos del capítulo 2 con
información sobre los tipos de dificultades, errores y obstáculos en el
estudio de las matemáticas y una síntesis de los “Estándares para la
enseñanza de las matemáticas”, elaborados por la prestigiosa sociedad
NCTM de profesores de matemáticas de EE.UU.
El tercer capítulo está dedicado al estudio del currículo de matemáticas,
al nivel de propuestas curriculares básicas y de programación de unidades
didácticas. Presentamos una síntesis de las orientaciones curriculares del
MEC para el área de matemáticas, incluyendo los fines y objetivos,
contenidos y evaluación, así como las principales características de los
Principios y Estándares para las matemáticas escolares del NCTM. Esta
información aportará a los maestros en formación una visión
complementaria y crítica, tanto de las orientaciones propuestas a nivel del
estado español como de las respectivas comunidades autonómicas.
Respecto del diseño y gestión de unidades didácticas describimos los
principales elementos a tener en cuenta en la planificación, gestión y
evaluación de las unidades, así como las correspondientes adaptaciones
curriculares para alumnos con necesidades específicas.
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El último capítulo incluido en la Monografía lo dedicamos al estudio de
los recursos didácticos utilizables en la enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas. Presentamos una perspectiva general de los recursos,
incluyendo desde los libros de texto, materiales manipulativos, gráficos y
textuales, hasta los recursos tecnológicos (calculadoras, ordenadores,
internet, etc.). El maestro en formación debe lograr una actitud propicia al
uso de materiales manipulativos de toda índole, incardinados como
elementos de las situaciones didácticas, pero al mismo tiempo es necesario
que construya una actitud crítica al uso indiscriminado de tales recursos.
Razonamos que el material manipulativo (sea tangible o gráfico-textual)
puede ser un puente entre la realidad y los objetos matemáticos, pero es
necesario adoptar precauciones para no caer en un empirismo ciego ni en
un formalismo estéril.
En cuanto a las referencias bibliográficas hemos adoptado el criterio de
incluir a pié de página las principales fuentes documentales que hemos
utilizado de manera directa. Al final de cada capítulo hemos añadido
alguna bibliografía que consideramos de interés como complemento y que
son accesibles para el maestro en formación.
Cada capítulo ha sido estructurado en tres secciones. En la primera
sección, que denominamos Contextualización, proponemos una situación
inicial de reflexión y discusión colectiva sobre un aspecto del tema, En la
segunda, Desarrollo de conocimientos, presentamos las principales
posiciones e informaciones, así como una colección de actividades o tareas
intercaladas en el texto que pueden servir como situaciones introductorias a
los distintos apartados, o bien como complemento y evaluación del estudio.
La tercera sección, Seminario didáctico, incluye una colección de
“problemas de didáctica de las matemáticas” que amplían la reflexión y el
análisis de los conocimientos propuestos en cada tema.
Esperamos que este texto, que hemos intentado que sea a la vez riguroso
y de lectura asequible, pueda servir a los futuros maestros para aumentar su
interés por las matemáticas y su enseñanza
Los autores
Proyecto Edumat-Maestros
Director: Juan D. Godino

http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/

Capítulo 1
PERSPECTIVA EDUCATIVA DE LAS
MATEMÁTICAS
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
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Perspectiva educativa de las matemáticas
A: Contextualización
REFLEXIÓN Y DISCUSIÓN COLECTIVA SOBRE LAS PROPIAS CREENCIAS
HACIA LAS MATEMÁTICAS
Consigna:
A continuación se presentan algunos enunciados que reflejan diferentes modos de
pensar sobre las matemáticas, el conocimiento matemático y la habilidad para hacer
matemáticas.
1) Completa el cuestionario, leyendo con atención los enunciados e indicando el grado
de acuerdo con cada uno de ellos, mediante un valor numérico, siguiendo el
convenio presentado.
2) Si no estás de acuerdo con alguno de los enunciados, indica tus razones.
Cuestionario1
Indica tu grado de acuerdo con cada enunciado, según el siguiente convenio: 1:
Totalmente en desacuerdo; 2: En desacuerdo; 3: Neutral (ni de acuerdo ni en
desacuerdo); 4: De acuerdo; 5: Totalmente de acuerdo:
1. Las matemáticas son esencialmente un conjunto de conocimientos (hechos, reglas,
fórmulas y procedimientos socialmente útiles).
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2. Las matemáticas son esencialmente una manera de pensar y resolver problemas.
1 2 3 4 5
3. Se supone que las matemáticas no tienen que tener significado.
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4. Las matemáticas implican principalmente memorización y seguimiento de reglas.
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5. La eficacia o dominio de las matemáticas se caracteriza por una habilidad en conocer
hechos aritméticos o de hacer cálculos rápidamente.
1 2 3 4 5
6. El conocimiento matemático esencialmente es fijo e inmutable.
1 Baroody, A. J. y Coslick, R. T. (1998). Fostering children’s mathematical power. An investigative
approach to K-8 mathematics instruction..London: Lawrence Erlbaum Ass. (p. 1-8)
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7. Las matemáticas están siempre bien definidas; no están abiertas a cuestionamientos,
argumentos o interpretaciones personales.
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8. La habilidad matemática es esencialmente algo con lo que se nace o no se nace.
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7. Los matemáticos trabajan típicamente aislados unos de otros.
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Perspectiva educativa de las matemáticas
B: Desarrollo de conocimientos
1. ALGUNAS CONCEPCIONES SOBRE LAS MATEMÁTICAS
En la reflexión sobre las propias concepciones hacia las matemáticas habrán
surgido diversas opiniones y creencias sobre las matemáticas, la actividad matemática y
la capacidad para aprender matemáticas. Pudiera parecer que esta discusión está muy
alejada de los intereses prácticos del profesor, interesado fundamentalmente por cómo
hacer más efectiva la enseñanza de las matemáticas (u otro tema) a sus alumnos. La
preocupación sobre qué es un cierto conocimiento, forma parte de la epistemología o
teoría del conocimiento, una de las ramas de la filosofía.
Sin embargo, las creencias sobre la naturaleza de las matemáticas son un factor que
condiciona la actuación de los profesores en la clase, como razonamos a continuación.
􀂃 Supongamos, por ejemplo, que un profesor cree que los objetos matemáticos tienen
una existencia propia (incluso aunque esta “existencia” sea no material). Para él,
objetos tales como “triángulo”, “suma”, “fracciones”, “probabilidad”, existen, tal como
lo hacen los elefantes o los planetas. En este caso, sólo tenemos que ayudar a los niños
a “descubrirlos”, ya que son independientes de las personas que los usan y de los
problemas a los que se aplican, e incluso de la cultura.
Para este profesor, la mejor forma de enseñar matemáticas sería la presentación de
estos objetos, del mismo modo que la mejor forma de hacer que un niño comprenda
qué es un elefante es llevarlo al zoológico, o mostrarle un vídeo sobre la vida de los
elefantes.
¿Cómo podemos mostrar lo que es un círculo u otro objeto matemático? La mejor
forma sería enseñar sus definiciones y propiedades, esto es lo que este profesor
consideraría “saber matemáticas”. Las aplicaciones de los conceptos o la resolución de
problemas matemáticos serían secundarios para este profesor. Éstas se tratarían
después de que el alumno hubiera aprendido las matemáticas.
1. Para los siguientes objetos matemáticos, razona si su existencia es o no independiente
de la cultura: a) sistema de numeración; b) unidades de medida; c) notación algebraica.
􀂃 Otros profesores consideran las matemáticas como un resultado del ingenio y la
actividad humana (como algo construido), al igual que la música, o la literatura. Para
ellos, las matemáticas se han inventado, como consecuencia de la curiosidad del
hombre y su necesidad de resolver una amplia variedad de problemas, como, por
ejemplo, intercambio de objetos en el comercio, construcción, ingeniería, astronomía,
etc.
Para estos profesores, el carácter más o menos fijo que hoy día –o en una etapa
histórica anterior- tienen los objetos matemáticos, es debido a un proceso de
negociación social. Las personas que han creado estos objetos han debido ponerse de
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J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
acuerdo en cuanto a sus reglas de funcionamiento, de modo que cada nuevo objeto
forma un todo coherente con los anteriores.
Por otro lado, la historia de las matemáticas muestra que las definiciones,
propiedades y teoremas enunciados por matemáticos famosos también son falibles y
están sujetos a evolución. De manera análoga, el aprendizaje y la enseñanza deben
tener en cuenta que es natural que los alumnos tengan dificultades y cometan errores
en su proceso de aprendizaje y que se puede aprender de los propios errores. Esta es la
posición de las teorías psicológicas constructivistas sobre el aprendizaje de las
matemáticas, las cuales se basan a su vez en la visión filosófica sobre las matemáticas
conocida como constructivismo social.
2. Busca algún episodio de historia de las matemáticas en que se muestre cómo un concepto ha
evolucionado.
1.1. Concepción idealista-platónica
Entre la gran variedad de creencias sobre las relaciones entre las matemáticas y sus
aplicaciones y sobre el papel de éstas en la enseñanza y el aprendizaje, podemos identificar
dos concepciones extremas.
Una de estas concepciones, que fue común entre muchos matemáticos profesionales
hasta hace unos años, considera que el alumno debe adquirir primero las estructuras
fundamentales de las matemáticas de forma axiomática. Se supone que una vez adquirida
esta base, será fácil que el alumno por sí solo pueda resolver las aplicaciones y problemas
que se le presenten.
Según esta visión no se puede ser capaz de aplicar las matemáticas, salvo en casos muy
triviales, si no se cuenta con un buen fundamento matemático. La matemática pura y la
aplicada serían dos disciplinas distintas; y las estructuras matemáticas abstractas deben
preceder a sus aplicaciones en la Naturaleza y Sociedad. Las aplicaciones de las
matemáticas serían un “apéndice” en el estudio de las matemáticas, de modo que no se
producirían ningún perjuicio si este apéndice no es tenido en cuenta por el estudiante. Las
personas que tienen esta creencia piensan que las matemáticas son una disciplina
autónoma. Podríamos desarrollar las matemáticas sin tener en cuenta sus aplicaciones a
otras ciencias, tan solo en base a problemas internos a las matemáticas.
Esta concepción de las matemáticas se designa como “idealista-platónica”. Con esta
concepción es sencillo construir un currículo, puesto que no hay que preocuparse por las
aplicaciones en otras áreas. Estas aplicaciones se “filtrarían”, abstrayendo los conceptos,
propiedades y teoremas matemáticos, para constituir un dominio matemático “puro”.
3. Consulta algunos libros de texto destinados a estudiantes de secundaria o de primeros
cursos de Universidad y escritos en los años 70 y 80. Compara con algunos libros
recientes destinados a los mismos alumnos. ¿Puedes identificar si la concepción del
autor del texto sobre las matemáticas es de tipo platónico? ¿Cómo lo deduces?
1.2. Concepción constructivista
Otros matemáticos y profesores de matemáticas consideran que debe haber una estrecha
relación entre las matemáticas y sus aplicaciones a lo largo de todo el currículo. Piensan
20
Perspectiva educativa de las matemáticas
que es importante mostrar a los alumnos la necesidad de cada parte de las matemáticas
antes de que les sea presentada. Los alumnos deberían ser capaces de ver cómo cada parte
de las matemáticas satisfacen una cierta necesidad.
Ejemplo:
Poniendo a los niños en situaciones de intercambio les creamos la necesidad de comparar,
contar y ordenar colecciones de objetos. Gradualmente se introducen los números naturales
para atender esta necesidad
En esta visión, las aplicaciones, tanto externas como internas, deberían preceder y
seguir a la creación de las matemáticas; éstas deben aparecer como una respuesta natural y
espontánea de la mente y el genio humano a los problemas que se presentan en el entorno
físico, biológico y social en que el hombre vive. Los estudiantes deben ver, por sí mismos,
que la axiomatización, la generalización y la abstracción de las matemáticas son necesarias
con el fin de comprender los problemas de la naturaleza y la sociedad. A las personas
partidarias de esta visión de las matemáticas y su enseñanza les gustaría poder comenzar
con algunos problemas de la naturaleza y la sociedad y construir las estructuras
fundamentales de las matemáticas a partir de ellas. De este modo se presentaría a los
alumnos la estrecha relación entre las matemáticas y sus aplicaciones.
La elaboración de un currículo de acuerdo con la concepción constructivista es compleja,
porque, además de conocimientos matemáticos, requiere conocimientos sobre otros
campos. Las estructuras de las ciencias físicas, biológicas, sociales son relativamente más
complejas que las matemáticas y no siempre hay un isomorfismo con las estructuras
puramente matemáticas. Hay una abundancia de material disperso sobre aplicaciones de
las matemáticas en otras áreas, pero la tarea de selección, secuenciación e integración no es
sencilla.
4. ¿Por qué son necesarios los conceptos de longitud y área? ¿Qué tipo de problemas
resuelven? ¿Qué otros conceptos, operaciones y propiedades se les asocian?
2. MATEMÁTICAS Y SOCIEDAD
Cuando tenemos en cuenta el tipo de matemáticas que queremos enseñar y la forma de
llevar a cabo esta enseñanza debemos reflexionar sobre dos fines importantes de esta
enseñanza:
􀂃 Que los alumnos lleguen a comprender y a apreciar el papel de las matemáticas en la
sociedad, incluyendo sus diferentes campos de aplicación y el modo en que las
matemáticas han contribuido a su desarrollo.
􀂃 Que los alumnos lleguen a comprender y a valorar el método matemático, esto es, la
clase de preguntas que un uso inteligente de las matemáticas permite responder, las
formas básicas de razonamiento y del trabajo matemático, así como su potencia y
limitaciones.
2.1. ¿Cómo surgen las matemáticas? Algunas notas históricas
La perspectiva histórica muestra claramente que las matemáticas son un conjunto de
conocimientos en evolución continua y que en dicha evolución desempeña a menudo un
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J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
papel de primer orden la necesidad de resolver determinados problemas prácticos (o
internos a las propias matemáticas) y su interrelación con otros conocimientos.
Ejemplo:
Los orígenes de la estadística son muy antiguos, ya que se han encontrado pruebas de
recogida de datos sobre población, bienes y producción en las civilizaciones china
(aproximadamente 1000 años a. C.), sumeria y egipcia. Incluso en la Biblia, en el libro de
Números aparecen referencias al recuento de los israelitas en edad de servicio militar. No
olvidemos que precisamente fue un censo, según el Evangelio, lo que motivó el viaje de José
y María a Belén. Los censos propiamente dichos eran ya una institución en el siglo IV a.C.
en el imperio romano. Sin embargo, sólo muy recientemente la estadística ha adquirido la
categoría de ciencia. En el siglo XVII surge la aritmética política, desde la escuela alemana
de Conring. Posteriormente su discípulo Achenwall orienta su trabajo a la recogida y análisis
de datos numéricos, con fines específicos y en base a los cuales se hacen estimaciones y
conjeturas, es decir se observan ya los elementos básicos del método estadístico.
La estadística no es una excepción y, al igual que ella, otras ramas de las
matemáticas se han desarrollado como respuesta a problemas de índole diversa:
􀂃 Muchos aspectos de la geometría responden en sus orígenes históricos, a la
necesidad de resolver problemas de agricultura y de arquitectura.
􀂃 Los diferentes sistemas de numeración evolucionan paralelamente a la necesidad de
buscar notaciones que permitan agilizar los cálculos aritméticos.
􀂃 La teoría de la probabilidad se desarrolla para resolver algunos de los problemas
que plantean los juegos de azar.
Las matemáticas constituyen el armazón sobre el que se construyen los modelos
científicos, toman parte en el proceso de modelización de la realidad, y en muchas
ocasiones han servido como medio de validación de estos modelos. Por ejemplo, han
sido cálculos matemáticos los que permitieron, mucho antes de que pudiesen ser
observados, el descubrimiento de la existencia de los últimos planetas de nuestro
sistema solar.
Sin embargo, la evolución de las matemáticas no sólo se ha producido por
acumulación de conocimientos o de campos de aplicación. Los propios conceptos
matemáticos han ido modificando su significado con el transcurso del tiempo,
ampliándolo, precisándolo o revisándolo, adquiriendo relevancia o, por el contrario,
siendo relegados a segundo plano.
Ejemplos
􀂃 El cálculo de probabilidades se ha transformado notablemente, una vez que se
incorporaron conceptos de la teoría de conjuntos en la axiomática propuesta por
Kolmogorov. Este nuevo enfoque permitió aplicar el análisis matemático a la
probabilidad, con el consiguiente avance de la teoría y sus aplicaciones en el último
siglo.
􀂃 El cálculo manual de logaritmos y funciones circulares (senos, cosenos, etc.) fue objeto de
enseñanza durante muchos años y los escolares dedicaron muchas horas al aprendizaje
de algoritmos relacionados con su uso. Hoy las calculadoras y ordenadores producen
directamente los valores de estas funciones y el cálculo manual ha desaparecido. El
mismo proceso parece seguir actualmente el cálculo de raíces cuadradas.
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Perspectiva educativa de las matemáticas
2.2. Papel de las matemáticas en la ciencia y tecnología
Las aplicaciones matemáticas tienen una fuerte presencia en nuestro entorno. Si
queremos que el alumno valore su papel, es importante que los ejemplos y situaciones que
mostramos en la clase hagan ver, de la forma más completa posible, el amplio campo de
fenómenos que las matemáticas permiten organizar.
2.2.1. Nuestro mundo biológico
Dentro del campo biológico, puede hacerse notar al alumno que muchas de las
características heredadas en el nacimiento no se pueden prever de antemano: sexo, color de
pelo, peso al nacer, etc. Algunos rasgos como la estatura, número de pulsaciones por
minuto, recuento de hematíes, etc., dependen incluso del momento en que son medidas. La
probabilidad permite describir estas características.
En medicina se realizan estudios epidemiológicos de tipo estadístico. Es necesario
cuantificar el estado de un paciente (temperatura, pulsaciones, etc.) y seguir su evolución,
mediante tablas y gráficos, comparándola con los valores promedios en un sujeto sano. El
modo en que se determina el recuento de glóbulos rojos a partir de una muestra de sangre
es un ejemplo de situaciones basadas en el razonamiento proporcional, así como en la idea
de muestreo.
Cuando se hacen predicciones sobre la evolución de la población mundial o sobre la
posibilidad de extinción de las ballenas, se están usado modelos matemáticos de
crecimiento de poblaciones, de igual forma que cuando se hacen estimaciones de la
propagación de una cierta enfermedad o de la esperanza de vida de un individuo.
Las formas de la naturaleza nos ofrecen ejemplos de muchos conceptos geométricos,
abstraídos con frecuencia de la observación de los mismos.
El crecimiento de los alumnos permite plantear actividades de medida y ayudar a los
alumnos a diferenciar progresivamente las diferentes magnitudes y a estimar cantidades de
las mismas: peso, longitud, etc.
2.2.2. El mundo físico
Además del contexto biológico del propio individuo, nos hallamos inmersos en un
medio físico. Una necesidad de primer orden es la medida de magnitudes como la
temperatura, la velocidad, etc. Por otra pare, las construcciones que nos rodean (edificios,
carreteras, plazas, puentes) proporcionan la oportunidad de analizar formas geométricas; su
desarrollo ha precisado de cálculos geométricos y estadísticos, uso de funciones y
actividades de medición y estimación (longitudes, superficies, volúmenes, tiempos de
transporte, de construcción, costes, etc.)
¿Qué mejor fuente de ejemplos sobre fenómenos aleatorios que los meteorológicos?. La
duración, intensidad, extensión de las lluvias, tormentas o granizos; las temperaturas
máximas y mínimas, la intensidad y dirección del viento son variables aleatorias. También
lo son las posibles consecuencias de estos fenómenos: el volumen de agua en un pantano,
la magnitud de daños de una riada o granizo son ejemplos en los que se presenta la ocasión
del estudio de la estadística y probabilidad.
2.2.3. El mundo social
El hombre no vive aislado: vivimos en sociedad; la familia, la escuela, el trabajo, el ocio
están llenos de situaciones matemáticas. Podemos cuantificar el número de hijos de la
familia, la edad de los padres al contraer matrimonio, el tipo de trabajo, las creencias o
23
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
aficiones de los miembros varían de una familia a otra, todo ello puede dar lugar a estudios
numéricos o estadísticos.
Para desplazarnos de casa a la escuela, o para ir de vacaciones, dependemos del
transporte público. Podemos estimar el tiempo o la distancia o el número de viajeros que
usarán el autobús.
En nuestros ratos de ocio practicamos juegos de azar tales como quinielas o loterías.
Acudimos a encuentros deportivos cuyos resultados son inciertos y en los que tendremos
que hacer cola para conseguir las entradas. Cuando hacemos una póliza de seguros no
sabemos si la cobraremos o por el contrario perderemos el dinero pagado; cuando
compramos acciones en bolsa estamos expuestos a la variación en las cotizaciones La
estadística y probabilidad se revela como herramienta esencial en estos contextos.
2.2.4. El mundo político
El Gobierno, tanto a nivel local como nacional o de organismos internacionales,
necesita tomar múltiples decisiones y para ello necesita información. Por este motivo la
administración precisa de la elaboración de censos y encuestas diversas. Desde los
resultados electorales hasta los censos de población hay muchas estadísticas cuyos
resultados afectan las decisiones de gobierno.
Los índices de precios al consumo, las tasas de población activa, emigración -
inmigración, estadísticas demográficas, producción de los distintos bienes, comercio, etc.,
de las que diariamente escuchamos sus valores en las noticias, proporcionan ejemplo de
razones y proporciones.
2.2.5 El mundo económico
La contabilidad nacional y de las empresas, el control y previsión de procesos de
producción de bienes y servicios de todo tipo no serían posibles sin el empleo de
métodos y modelos matemáticos.
En la compleja economía en la que vivimos son indispensables unos conocimientos
mínimos de matemáticas financieras. Abrir una cuenta corriente, suscribir un plan de
pensiones, obtener un préstamo hipotecario, etc. son ejemplos de operaciones que
necesitan este tipo de matemáticas.
2.3. Matemáticas en la vida cotidiana. Cultura matemática
Uno de los fines de la educación es formar ciudadanos cultos, pero el concepto de
cultura es cambiante y se amplía cada vez más en la sociedad moderna. Cada vez más se
reconoce el papel cultural de las matemáticas y la educación matemática también tiene
como fin proporcionar esta cultura. El objetivo principal no es convertir a los futuros
ciudadanos en “matemáticos aficionados”, tampoco se trata de capacitarlos en cálculos
complejos, puesto que los ordenadores hoy día resuelven este problema. Lo que se
pretende es proporcionar una cultura con varios componentes interrelacionados:
a) Capacidad para interpretar y evaluar críticamente la información matemática y los
argumentos apoyados en datos que las personas pueden encontrar en diversos
contextos, incluyendo los medios de comunicación, o en su trabajo profesional.
b) Capacidad para discutir o comunicar información matemática, cuando sea
relevante, y competencia para resolver los problemas matemáticos que encuentre
en la vida diaria o en el trabajo profesional.
24
Perspectiva educativa de las matemáticas
5. Las siguientes informaciones han sido tomadas de un mapa, una estación de tren y de la prensa.
Indica para cada uno de ellas los conocimientos matemáticos necesarios para una lectura comprensiva
a) Se quiere calcular la distancia real entre Valencia y Casablanca con este mapa
b) En la estación de Granada se anuncia el siguiente horario:
Origen Hora de salida Destino Hora de llegada Tipo de tren
Granada 22h 10 min. Barcelona-Sants 9h 50 min. TALGO
c)
Marca (6/10/2002)
d)
El País (2/10/2002)
25
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
3. RASGOS CARACTERÍSTICOS DE LAS MATEMÁTICAS
El Diseño Curricular Base (DCB) para la Educación Primaria (MEC, 1989) ofrece
una visión constructivista-social de las matemáticas. En este apartado incluimos un
resumen de este documento, que en conjunto permite apreciar los rasgos característicos
de esta visión de las matemáticas.
6. Contrasta tu propia manera de interpretar el conocimiento matemático con la
perspectiva sugerida en los siguientes párrafos. ¿Qué implicaciones suponen para la
forma de organizar la clase de matemáticas?
3.1. Modelización y resolución de problemas
El dar un papel primordial a la resolución de problemas y a la actividad de
modelización tiene importantes repercusiones desde el punto de vista educativo. Sería
cuanto menos contradictorio con la génesis histórica de las matemáticas, al igual que
con sus aplicaciones actuales, presentar las matemáticas a los alumnos como algo
cerrado, completo y alejado de la realidad. Debe tenerse en cuenta, por una parte, que
determinados conocimientos matemáticos permiten modelizar y resolver problemas de
otros campos y por otra, que a menudo estos problemas no estrictamente matemáticos
en su origen proporcionan la base intuitiva sobre la que se elaboran nuevos
conocimientos matemáticos.
7. En el siguiente problema, ¿cuál es el conocimiento matemático que permite resolverlo?
¿Qué significado intuitivo permite construir sobre dicho conocimiento? Inventa otros
problemas sencillos que permitan construir un significado diferenciado para el
conocimiento en cuestión.
Problema. Unos niños llevan a clase caramelos. Andrés lleva 5, María 8, José 6, Carmen
1 y Daniel no lleva ninguno. ¿Cómo repartir los caramelos de forma equitativa?
8. ¿Qué contenidos matemáticos serían útiles para resolver los siguientes tipos de
problemas:
􀂃 Construir a escala la maqueta de un edificio
􀂃 Determinar en forma aproximada la altura de una torre, desde el suelo
􀂃 Calcular el número de lentejas en un paquete de kilo, sin contarlas todas
Desde el punto de vista de la enseñanza de las matemáticas, las reflexiones anteriores
deben concretarse a la edad y conocimientos de los alumnos. No podemos proponer los
mismos problemas a un matemático, a un adulto, a un adolescente o a un niño, porque
sus necesidades son diferentes. Hay que tener claro que la realidad de los alumnos
incluye su propia percepción del entorno físico y social y componentes imaginadas y
lúdicas que despiertan su interés en mayor medida que pueden hacerlo las situaciones
reales que interesan al adulto.
26
Perspectiva educativa de las matemáticas
En consecuencia, la activación del conocimiento matemático mediante la resolución
de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecánica situaciones “reales”,
aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto, ya que éstas pueden no
interesar a los alumnos.
3.2. Razonamiento matemático
Razonamiento empírico-inductivo
El proceso histórico de construcción de las matemáticas nos muestra la importancia
del razonamiento empírico-inductivo que, en muchos casos, desempeña un papel mucho
más activo en la elaboración de nuevos conceptos que el razonamiento deductivo.
Esta afirmación describe también la forma en que trabajan los matemáticos, quienes
no formulan un teorema “a la primera”. Los tanteos previos, los ejemplos y
contraejemplos, la solución de un caso particular, la posibilidad de modificar las
condiciones iniciales y ver qué sucede, etc., son las auténticas pistas para elaborar
proposiciones y teorías. Esta fase intuitiva es la que convence íntimamente al
matemático de que el proceso de construcción del conocimiento va por buen camino. La
deducción formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior.
Esta constatación se opone frontalmente a la tendencia, fácilmente observable en
algunas propuestas curriculares, a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo
plano, tendencia que priva a los alumnos del más poderoso instrumento de exploración
y construcción del conocimiento matemático.
9. Al disponer puntos en el plano en forma cuadrangular y contar el número total de éstos en
cada uno de los cuadrados, obtenemos los llamados “números cuadrados”: 1, 4, 9, 16, …
* * * * * *
* * * * *
* * *
a) ¿Podrías escribir los primeros 10 números cuadrados?
b) Llamaremos Cn al número cuadrado cuya base está formada por n puntos ¿Puedes
encontrar una expresión general para Cn ?
c) ¿Puedes dar algún tipo de razonamiento que la justifique?
10. Repite el proceso para los “números triangulares”:
* * * *
** ** **
*** ***
****
11. Analiza el papel del razonamiento empírico-inductivo y deductivo en la resolución de
los problemas anteriores
27
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
Formalización y abstracción
Desde una perspectiva pedagógica -y también epistemológica-, es importante
diferenciar el proceso de construcción del conocimiento matemático de las
características de dicho conocimiento en un estado avanzado de elaboración. La
formalización, precisión y ausencia de ambigüedad del conocimiento matemático debe
ser la fase final de un largo proceso de aproximación a la realidad, de construcción de
instrumentos intelectuales eficaces para conocerla, analizarla y transformarla.
Ciertamente, como ciencia constituida, las matemáticas se caracterizan por su
precisión, por su carácter formal y abstracto, por su naturaleza deductiva y por su
organización a menudo axiomática. Sin embargo, tanto en la génesis histórica como en
su apropiación individual por los alumnos, la construcción del conocimiento
matemático es inseparable de la actividad concreta sobre los objetos, de la intuición y de
las aproximaciones inductivas activadas por la realización de tareas y la resolución de
problemas particulares. La experiencia y comprensión de las nociones, propiedades y
relaciones matemáticas a partir de la actividad real es, al mismo tiempo, un paso previo
a la formalización y una condición necesaria para interpretar y utilizar correctamente
todas las posibilidades que encierra dicha formalización.
3.3. Lenguaje y comunicación
Las matemáticas, como el resto de las disciplinas científicas, aglutinan un conjunto
de conocimientos con unas características propias y una determinada estructura y
organización internas. Lo que confiere un carácter distintivo al conocimiento
matemático es su enorme poder como instrumento de comunicación, conciso y sin
ambigüedades. Gracias a la amplia utilización de diferentes sistemas de notación
simbólica (números, letras, tablas, gráficos, etc,), las matemáticas son útiles para
representar de forma precisa informaciones de naturaleza muy diversa, poniendo de
relieve algunos aspectos y relaciones no directamente observables y permitiendo
anticipar y predecir hechos situaciones o resultados que todavía no se han producido.
Ejemplo:
Un número par se puede escribir como 2n. Esta expresión es equivalente a (n+1)+(n-1). Pero
esta última expresión nos da una nueva información ya que muestra que todo número par es
la suma de dos impares consecutivos
Sería sin embargo erróneo, o al menos superficial, suponer que esta capacidad del
conocimiento matemático para representar, explicar y predecir hechos, situaciones y
resultados es simplemente una consecuencia de la utilización de notaciones simbólicas
precisas e inequívocas en cuanto a las informaciones que permiten representar. En
realidad, si las notaciones simbólicas pueden llegar a desempeñar efectivamente estos
papeles es debido a la propia naturaleza del conocimiento matemático que está en su
base y al que sirven de soporte.
12. Analiza una página de un libro de matemáticas de primaria. Identifica los
diferentes medios de expresión en el texto (términos, símbolos, gráficas, diagramas).
Localiza los conceptos implícitos y explícitos a que hacen referencias. ¿Cómo se
representan los diferentes conceptos?
28
Perspectiva educativa de las matemáticas
16. ¿Cómo podemos comunicar las matemáticas a alumnos ciegos? ¿Piensas que
pueden tener dificultades especiales con alguna parte de las matemáticas debido a su
carencia?
3.4. Estructura interna
La insistencia sobre la actividad constructiva no supone en ningún caso ignorar que,
como cualquier otra disciplina científica, las matemáticas tienen una estructura interna
que relaciona y organiza sus diferentes partes. Más aún, en el caso de las matemáticas
esta estructura es especialmente rica y significativa.
Hay una componente vertical en esta estructura, la que fundamenta unos conceptos
en otros, que impone una determinada secuencia temporal en el aprendizaje y que
obliga, en ocasiones, a trabajar algunos aspectos con la única finalidad de poder integrar
otros que son los que se consideran verdaderamente importantes desde un punto de vista
educativo. Sin embargo, interesa destacar una vez más que casi nunca existe un camino
único, ni tan siquiera uno claramente mejor, y si lo hay tiene una fundamentación más
de tipo pedagógico que epistemológico. Por el contrario, determinadas concepciones
sobre la estructura interna de las matemáticas pueden llegar incluso a ser funestas para
el aprendizaje de las mismas, como ha puesto claramente de relieve el intento de
fundamentar toda la matemática escolar en la teoría de conjuntos.
13. Considera los siguientes conjuntos numéricos: números racionales, números naturales,
números enteros, números decimales, números primos. ¿Cómo se relacionan entre sí?
14. ¿Por qué en los diseños curriculares, se contempla una enseñanza cíclica de algunos
conceptos? Identifica algunos conceptos que aparezcan cíclicamente en los diferentes niveles
de la educación primaria.
3.5. Naturaleza relacional
El conocimiento lógico-matemático hunde sus raíces en la capacidad del ser humano
para establecer relaciones entre los objetos o situaciones a partir de la actividad que
ejerce sobre los mismos y, muy especialmente, en su capacidad para abstraer y tomar en
consideración dichas relaciones en detrimento de otras igualmente presentes.
Ejemplo
En las frases “A es más grande que B”, “A mide tres centímetros más que B”, “B mide tres
centímetros menos que A”, etc., no expresamos una propiedad de los objetos A y B en sí
mismos, sino la relación existente entre una propiedad -el tamaño- que comparten ambos
objetos y que precisamente es el resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne
a esta propiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma, masa, densidad
volumen, etc.).
Las relaciones más grande que, más pequeño que, tres centímetros más que, tres
centímetros menos que, etc. son pues verdaderas construcciones mentales y no una simple
lectura de las propiedades de los objetos. Incluso la referencia a los objetos A y B como
grande y pequeño supone una actividad de comparación con elementos más difusos, como
pueden ser objetos similares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior.
Este sencillo ejemplo muestra hasta qué punto el conocimiento matemático implica
la construcción de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobre los objetos. Las
29
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
matemáticas son pues más constructivas que deductivas, desde la perspectiva de su
elaboración y adquisición. Si desligamos el conocimiento matemático de la actividad
constructiva que está en su origen, corremos el peligro de caer en puro formalismo.
Perderemos toda su potencialidad como instrumento de representación, explicación y
predicción.
Otra implicación curricular de la naturaleza relacional de las matemáticas es la
existencia de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse en campos
distintos y con propósitos diferentes.
Ejemplo,
Numerar, contar, ordenar, clasificar, simbolizar, inferir, etc. son herramientas igualmente
útiles en geometría y en estadística.
Para que los alumnos puedan percibir esta similitud de estrategias y procedimientos y
su utilidad desde ópticas distintas, es necesario dedicarles una atención especial
seleccionando cuidadosamente los contenidos de la enseñanza.
3.6. Exactitud y aproximación
Una característica adicional de las matemáticas, que ha ido haciéndose cada vez más
patente a lo largo de su desarrollo histórico, es la dualidad desde la que permite
contemplar la realidad. Por un lado la matemática es una “ciencia exacta”, los resultados
de una operación, una transformación son unívocos. Por otro, al comparar la
modelización matemática de un cierto hecho de la realidad, siempre es aproximada,
porque el modelo nunca es exacto a la realidad. Si bien algunos aspectos de esta
dualidad aparecen ya en las primeras experiencias matemáticas de los alumnos, otros lo
hacen más tarde.
Es frecuente que las propuestas curriculares potencien exclusivamente una cara de la
moneda: la que se ajusta mejor a la imagen tradicional de las matemáticas como ciencia
exacta. Así, por ejemplo, se prefiere la matemática de la certeza (“sí” o “no”,
“verdadero” o “falso”) a la de la probabilidad (“es posible que. . . “, “con un nivel de
significación de. . . “); la de la exactitud (“la diagonal mide √2”, “el área de un círculo
es πr2”,…) a la de la estimación (“me equivoco como mucho en una décima”, “la
proporción áurea es aproximadamente 5/3”, …).
Las matemáticas escolares deben potenciar estos dobles enfoques, y ello no sólo por
la riqueza intrínseca que encierran, sino porque los que han sido relegados hasta ahora a
un segundo plano tienen una especial incidencia en las aplicaciones actuales de las
matemáticas.
15. ¿Es posible medir con exactitud la longitud de una costa? ¿la cantidad de agua
embalsada en un pantano? ¿el nivel de ruido ambiental? Pon otros ejemplos en que la
medida sólo puede ser aproximada. ¿Qué interés tiene en estos casos un valor
aproximado de la medida?
4. CONTENIDOS MATEMÁTICOS: CONCEPTOS, PROCEDIMIENTOS Y
ACTITUDES
En el Diseño Curricular Base (MEC, 1989) se entiende por contenido escolar tanto
los que habitualmente se han considerado contenidos, los de tipo conceptual, como
otros que han estado más ausentes de los planes de estudio y que no por ello son menos
30
Perspectiva educativa de las matemáticas
importantes: contenidos relativos a procedimientos, y a normas, valores y actitudes. En
la escuela los alumnos aprenden de hecho estos tres tipos de contenidos. Todo
contenido que se aprende es también susceptible de ser enseñado, y se considera tan
necesario planificar la intervención con respecto a los contenidos de tipo conceptual
como planificarla con relación a los otros tipos de contenido.
En los bloques del Diseño Curricular Base se señalan en tres apartados distintos los
tres tipos de contenido. El primero de ellos es el que presenta los conceptos, hechos y
principios. Los hechos y conceptos han estado siempre presentes en los programas
escolares, no tanto los principios. Por principios se entiende enunciados que describen
cómo los cambios que se producen en un objeto o situación se relacionan con los
cambios que se producen en otro objeto o situación.
El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los procedimientos. Un
procedimiento es un conjunto de acciones ordenadas, orientadas a la consecución de una
meta. Se puede hablar de procedimientos mas o menos generales en función del número
de acciones o pasos implicados en su realización, de la estabilidad en el orden de estos
pasos y del tipo de meta al que van dirigidos. En los contenidos de procedimientos se
indican contenidos que también caben bajo la denominación de “destrezas’’, técnicas’’
o “estrategias’’, ya que todos estos términos aluden a las características señaladas como
definitorias de un procedimiento. Sin embargo, pueden diferenciarse en algunos casos
en este apartado contenidos que se refieren a procedimientos o destrezas más generales
que exigen para su aprendizaje otras técnicas más específicas, relacionadas con
contenidos concretos.
16. La suma de números naturales es a la vez un concepto (concepto de suma) y un
procedimiento (sumar). Explica cómo se apoyan entre sí el aprendizaje del
procedimiento y del concepto en este caso particular.
17. Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimentales referentes a la suma de
números naturales.
El último apartado, que aparece en todos los bloques de contenido, es el que se
refiere a los valores, normas y actitudes. La pertinencia o no de incluir este tipo de
contenido en el Diseño Curricular puede suscitar alguna duda. Hay personas que
consideran que puede ser peligroso estipular unos valores y unas normas y actitudes
para todos los alumnos. Desde esta propuesta curricular se pretende, en cambio, que los
profesores programen y trabajen estos contenidos tanto como los demás ya que, de
hecho, los alumnos aprenden valores, normas y actitudes en la escuela. La única
diferencia, que se considera en esta propuesta una ventaja, es que ese aprendizaje no se
producirá de una manera no planificada, formando parte del currículo oculto, sino que la
escuela intervendrá intencionalmente favoreciendo las situaciones de enseñanza que
aseguraran el desarrollo de los valores, normas y actitudes que, a partir de las cuatro
fuentes del currículo, pero especialmente de la fuente sociológica, se consideren
oportunas.
18. ¿Cómo crees que se forman las actitudes negativas hacia las matemáticas? ¿Cómo
se ponen de manifiesto?
La distinción entre contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales es, en
primer lugar y sobre todo, de naturaleza pedagógica. Es decir, llama la atención sobre la
31
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
conveniencia de adoptar un enfoque determinado en la manera de trabajar los
contenidos seleccionados. Esta es la razón por la cual, en ocasiones, un mismo
contenido aparece repetido en las tres categorías: la repetición en este caso traduce la
idea pedagógica de que el contenido en cuestión debe ser abordado convergentemente
desde una perspectiva conceptual, procedimental y actitudinal. En otras ocasiones, sin
embargo, un determinado contenido aparece únicamente en una u otra de las tres
categorías, con ello se sugiere que dicho contenido, por su naturaleza y por la intención
educativa propia de la etapa, debe ser abordado con un enfoque prioritariamente
conceptual, procedimental o actitudinal.
Estos tres tipos de contenido son igualmente importantes ya que todos ellos
colaboran en igual medida a la adquisición de las capacidades señaladas en los objetivos
generales del área. El orden de presentación de los apartados referidos a los tres tipos de
contenido no supone ningún tipo de prioridad entre ellos. Los diferentes tipos de
contenido no deben trabajarse por separado en las actividades de enseñanza y
aprendizaje. No tiene sentido programar actividades de enseñanza y aprendizaje ni de
evaluación distintas para cada uno de ellos, ya que será el trabajo conjunto lo que
permitirá desarrollar las capacidades de los objetivos generales. Sólo en circunstancias
excepcionales, cuando así lo aconsejen las características de los alumnos o alguno de los
elementos que intervienen en la definición del Proyecto Curricular, puede ser
aconsejable enfocar de manera específica el trabajo sobre uno u otro tipo de contenido.
5. UN MODELO DE ANÁLISIS DE LA ACTIVIDAD MATEMÁTICA
La descripción de los contenidos matemáticos en el Diseño Curricular Base puede
ser adecuada para una planificación global del currículo, pero consideramos que es
insuficiente para describir la actividad de estudio de las matemáticas.
Por ejemplo, para el bloque temático de “Números y operaciones”, los contenidos
conceptuales (designados como conceptos) que se mencionan son:
1. Números naturales, fraccionarios y decimales:
2. Sistema de Numeración Decimal:
3. Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división:
4. Reglas de uso de la calculadora
Y como procedimientos se mencionan, entre otros,
1. Utilización de diferentes estrategias para contar de manera exacta y aproximada.
2. Explicación oral del proceso seguido en la realización de cálculos y en la
resolución de problemas numéricos.
Este listado de “conceptos y procedimientos” matemáticos es insuficiente para
planificar y gestionar el proceso de enseñanza y aprendizaje de los “números y
operaciones” en los distintos niveles de educación primaria. Para poder identificar las
dificultades que los alumnos tienen en el estudio de las matemáticas necesitamos
reflexionar sobre los tipos de objetos que se ponen en juego en la actividad matemática
y las relaciones que se establecen entre los mismos. Ejemplificamos a continuación el
modelo de análisis que proponemos para el caso del estudio de la suma y resta en un
libro de texto.
32
Perspectiva educativa de las matemáticas
5.1. Significados de la suma y la resta en un libro de texto
En lo que sigue analizaremos un fragmento de una lección sobre la “suma y la
resta” tomada de un libro de matemáticas de 5º de matemáticas (Figuras 1.1, 1.2 y 1.3).
Mostraremos2 que, dentro de una “etiqueta” como la “suma y la resta”, aparecen,
además de los conceptos y procedimientos, los problemas, lenguaje y argumentos de
una manera articulada y sistemática. Cada uno de estos objetos requiere una atención
especial en los procesos de enseñanza y aprendizaje.
A
B
Figura 1.1: La suma y la resta
Observa la parte A de la figura 1.1.
2 Se trata de un modelo epistemológico de las matemáticas que asume los supuestos básicos del
constructivismo social y proporciona elementos para un análisis detallado de la actividad matemática.
33
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
19. Describe la actividad que llevan a cabo los niños en la supuesta clase de
matemáticas. ¿A qué juegan? ¿Cómo anotan los puntos obtenidos en la competición?.
¿Qué tipo de representaciones matemáticas usan?
Observa la parte B
20. ¿Qué preguntas deben resolver los alumnos que usan el texto? ¿A qué situación se
refieren? ¿Qué conceptos matemáticos y procedimientos debe aplicar el alumno para
resolverlas?
Aunque las tareas parecen sencillas, el alumno posiblemente necesite una actividad
de exploración, debe recordar sus conocimientos previos (seguramente no es la primera
vez que han encontrado este tipo de problemas) y ser capaz de aplicar el algoritmo de la
suma y la resta. Se espera también que el alumno justifique sus soluciones, usando los
conocimientos compartidos con el profesor y el resto de la clase.
El contenido “la suma y la resta”, no es simple. En realidad con esta expresión se
hace referencia a una serie compleja de prácticas, que mostraremos con detalle a
continuación con el análisis de este libro de texto. El alumno ha de ser capaz de realizar
dichas prácticas para resolver los problemas aditivos que se le proponen.
Observa la parte C de la figura 1.2
21. ¿Qué otro nuevo problema se propone?
Observa la parte D de la figura 1.2
El autor usa el problema para explicar el significado de la suma y la operación de
sumar números naturales.
􀂃 Introduce para ello dos formas diferentes de representar los números (sumandos):
notación simbólica decimal, resaltando en columnas las unidades, decenas y
centenas; y una representación lineal de los tres sumandos y el total, o suma.
􀂃 Da dos definiciones distintas de la suma:
“sumar es reunir, juntar, añadir, aumentar, incrementar, …”
“resultado de sumar números”
34
Perspectiva educativa de las matemáticas
C
D
E
Figura 1.2: La suma. Significados
􀂃 Describe la manera de realizar la suma de los números en el caso general:
“se colocan los sumandos uno debajo del otro haciendo coincidir en columna las
unidades con las unidades, las decenas con las decenas, etc.”
22. Analiza la explicación que el profesor da de la suma en la parte D e identifica los
siguientes tipos de “objetos matemáticos” que usan:
– Términos, expresiones y gráficos
– Conceptos (definiciones)
– Procedimientos (maneras de realizar las operaciones)
35
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
Algunos posibles conflictos
En la explicación de la suma (parte D) no se da ninguna justificación o
argumentación de por qué la operación de sumar se hace de esta manera.
El niño que usa el libro debe interpretar lo escrito, lo que puede no estar exento de
dificultades (conflictos de significados):
– Se dice que sumar es reunir, …, luego para sumar se debería hacer esa reunión, o sea
la unión de los conjuntos disjuntos involucrados. Sin embargo, puede que los
alumnos del colegio no se “reúnan físicamente”. La operación de sumar no se refiere
a la unión de conjuntos, sino a la suma de números que expresan los cardinales de
tales conjuntos.
– La descripción de la operación de sumar se hace en lenguaje ordinario y en forma
general. El niño debe ponerla en correspondencia con los símbolos numéricos del
ejemplo y con la gráfica de la recta numérica. Puede que el niño no vea clara la
correspondencia entre los números naturales y un segmento (continuo) de la recta.
– La representación mediante la recta numérica sugiere interpretar la suma como
“seguir contando”. Esta es una técnica completamente diferente, que no se ha
descrito en el libro.
Observa la parte E de la figura 1.2
23. ¿Qué nuevas tareas se incluyen?
¿En qué se diferencian?
¿Qué finalidad tiene cada una de ellas?
Observa la figura 1.3
24. ¿Qué nuevas propiedades se estudian de la suma?
¿Cómo se justifican?
¿Cuál es la finalidad de los nuevos problemas presentados?
36
Perspectiva educativa de las matemáticas
F
G
H
Figura 1.3: Las propiedades de la suma
5.2. Tipos de objetos que intervienen en la actividad matemática
En las actividades anteriores habrás observado cómo, al describir con detalle la
actividad matemática, encontramos los siguientes seis tipos de objetos:
– Problemas y situaciones (cuestiones, ejercicios, etc.)
– Lenguaje (términos, expresiones, gráficos, etc.)
– Acciones (, técnicas, algoritmos, etc.)
– Conceptos (definiciones o reglas de uso)
– Propiedades de los conceptos y acciones
37
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
– Argumentaciones (inductivas, deductivas, etc.)
Estos objetos están relacionados unos con otros. El lenguaje es imprescindible para
describir los problemas, acciones, conceptos, propiedades y argumentaciones. Los
conceptos y propiedades deben ser recordados al realizar las tareas, las argumentaciones
sirven para justificar las propiedades.
5.3. Procesos matemáticos
En la actividad matemática aparecen también una serie de procesos que se articulan
en su estudio, cuando los estudiantes interaccionan con las situaciones – problemas, bajo
la dirección y apoyo del profesor. Los Principios y Estándares 2000 del NCTM resaltan
la importancia de los procesos matemáticos, en la forma que resumimos a continuación.
1. Resolución de problemas (que implica exploración de posibles soluciones,
modelización de la realidad, desarrollo de estrategias y aplicación de técnicas).
2. Representación (uso de recursos verbales, simbólicos y gráficos, traducción y
conversión entre los mismos).
3. Comunicación (diálogo y discusión con los compañeros y el profesor).
4. Justificación (con distintos tipos de argumentaciones inductivas, deductivas, etc.).
5. Conexión (establecimiento de relaciones entre distintos objetos matemáticos).
Nosotros, además añadimos el siguiente proceso:
6. Institucionalización (fijación de reglas y convenios en el grupo de alumnos, de
acuerdo con el profesor)
Estos procesos se deben articular a lo largo de la enseñanza de los contenidos
matemáticos organizando tipos de situaciones didácticas que los tengan en cuenta. A
continuación los describimos brevemente.
1. Resolución de problemas
La importancia que se da a resolución de problemas en los currículos actuales es el
resultado de un punto de vista sobre las matemáticas que considera que su esencia es
precisamente la resolución de problemas. Muchos autores han ayudado a desarrollar
este punto de vista como, por ejemplo, Lakatos3. Entre estos autores destaca Polya. Para
Polya4, la resolución de un problema consiste, a grandes rasgos, en cuatro fases: 1)
Comprender el problema, 2) Concebir un plan, 3) Ejecutar el plan y 4) Examinar la
solución obtenida. Cada fase se acompaña de una serie de preguntas cuya intención
clara es actuar como guía para la acción.
Los trabajos de Polya, se pueden considerar como un intento de describir la manera
de actuar de un resolutor ideal. Ahora bien ¿Por qué es tan difícil, para la mayoría de los
humanos, la resolución de problemas en matemáticas? Los trabajos de Schoenfeld5
tienen por objetivo explicar la conducta real de los resolutores reales de problemas.
3 En su libro “Pruebas y refutaciones” Lakatos presenta un choque de opiniones, razonamientos y
refutaciones entre un profesor y sus alumnos. En lugar de presentar el producto de la actividad
matemática, presenta el desarrollo de la actividad matemática a partir de un problema y una conjetura
(1978, Alianza editorial)
4 Polya, G. (1965). ¿Cómo plantear y resolver problema?. México: Trillas
5 Schoenfeld, A. (1985). Mathematical Problem Solving. Academic Press, New York
38
Perspectiva educativa de las matemáticas
Schoenfeld propone un marco con cuatro componentes que sirva para el análisis de la
complejidad del comportamiento en la resolución de problemas: 1) Recursos cognitivos:
conjunto de hechos y procedimientos a disposición del resolutor, 2) Heurísticas: reglas
para progresar en situaciones difíciles, 3) Control: aquello que permite un uso eficiente
de los recursos disponibles y 4) Sistema de creencias: nuestra perspectiva con respecto a
la naturaleza de la matemática y cómo trabajar en ella.
La resolución de problemas no es sólo uno de los fines de la enseñanza de las
matemáticas, sino el medio esencial para lograr el aprendizaje. Los estudiantes deberán
tener frecuentes oportunidades de plantear, explorar y resolver problemas que requieran
un esfuerzo significativo.
Mediante la resolución de problemas matemáticos, los estudiantes deberán adquirir
modos de pensamiento adecuados, hábitos de persistencia, curiosidad y confianza ante
situaciones no familiares que les serán útiles fuera de la clase de matemáticas. Incluso
en la vida diaria y profesional es importante ser un buen resolutor de problemas.
La resolución de problemas es una parte integral de cualquier aprendizaje matemático,
por lo que consideramos que no debería ser considerado como una parte aislada del
currículo matemático. En consecuencia, la resolución de problemas debe estar articulada
dentro del proceso de estudio de los distintos bloques de contenido matemático. Los
contextos de los problemas pueden referirse tanto a las experiencias familiares de los
estudiantes así como aplicaciones a otras áreas. Desde este punto de vista, los problemas
aparecen primero para la construcción de los objetos matemáticos y después para su
aplicación a diferentes contextos.
25. Analiza cómo se usa la resolución de problemas en el texto anteriormente analizado.
26. Indica algunas situaciones de la vida ordinaria en que sea precisa la resolución de
problemas.
2. Representación con diversos lenguajes
La manera de expresar nuestras ideas influye en cómo las personas pueden
comprender y usar dichas ideas. Por ejemplo, es diferente la comprensión que tenemos
de los números naturales cuando los representamos mediante dígitos o mediante la recta
numérica. Algunos autores como Wittgenstein piensan incluso, que sin el lenguaje no
hay tales ideas, ya que éstas no son otra cosa que reglas gramaticales de los lenguajes
que usamos para describir nuestro mundo.
Ejemplo
Sin la palabra “triángulo” (u otra que tenga los mismos usos) no existiría la idea de
triángulo. Esta idea no es más que una regla para describir un cierto tipo de objetos (con tres
vértices, con tres lados, suma de ángulos igual a 180 grados, etc.).
El lenguaje matemático tiene además una doble función:
􀂃 representacional: nos permite designar objetos abstractos que no podemos percibir;
􀂃 instrumental: como herramienta para hacer el trabajo matemático. El valor
instrumental puede ser muy diferente según se trate de palabras, símbolos, o
gráficas. En consecuencia, el estudio de los diversos sistemas de representación para
39
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
un mismo contenido matemático es necesario para la comprensión global del
mismo.
El lenguaje es esencial para:
􀂃 comunicar las interpretaciones y soluciones de los problemas a los compañeros o
el profesor;
􀂃 reconocer las conexiones entre conceptos relacionados;
􀂃 aplicar las matemáticas a problemas de la vida real mediante la modelización.
􀂃 para utilizar los nuevos recursos tecnológicos que se pueden usar en el trabajo
matemático.
27. Haz una lista de las posibles representaciones a) de un triángulo, b) de un número, y
c) de un conjunto de datos estadísticos. ¿Qué características se visualizan mejor en cada
una de ellas?
3. Comunicación
La comunicación de nuestras ideas a otros es una parte esencial de las matemáticas
y, por tanto, de su estudio . Por medio de la formulación, sea esta oral o escrita , y la
comunicación, las ideas pasan a ser objetos de reflexión, discusión, revisión y
perfeccionamiento. El proceso de comunicación ayuda a construir significado y
permanencia para las ideas y permite hacerlas públicas.
Cuando pedimos a los estudiantes que piensen y razonen sobre las matemáticas y
que comuniquen los resultados de su pensamiento a otras personas, de manera oral o
escrita, aprenden a ser claros y convincentes. Cuando los estudiantes escuchan las
explicaciones de otros compañeros tienen oportunidades de desarrollar sus propias
interpretaciones. Los diálogos mediante los que las ideas matemáticas se exploran desde
distintas perspectivas ayudan a los participantes a ajustar su pensamiento y hacer
conexiones.
Cuando los alumnos participan en discusiones en las que tienen que justificar sus
soluciones -especialmente cuando hay desacuerdos – mejoran su comprensión
matemática a medida que tienen que convencer a sus compañeros de puntos de vista
diferentes. Esa actividad también ayuda a los estudiantes a desarrollar un lenguaje para
expresar ideas matemáticas y les hace conscientes de la necesidad de usar un lenguaje
preciso. Los alumnos que tienen oportunidades, estímulo y apoyo para hablar, escribir,
leer y escuchar en las clases de matemáticas reciben un doble beneficio: mejoran su
aprendizaje matemático al tiempo que aprenden a comunicarse de manera matemática.
4. Justificación
El razonamiento matemático y la demostración son componentes esenciales del
conocimiento matemático entendido éste de la manera integral que proponemos.
Mediante la exploración de fenómenos, la formulación de conjeturas matemáticas, la
justificación de resultados, sobre distintos contenidos matemáticos y diferentes niveles
de complejidad los alumnos apreciarán que las matemáticas tienen sentido. Partiendo de
las destrezas de razonamiento con las que los niños entran en la escuela, los maestros
pueden ayudarles a que aprendan lo que supone el razonamiento matemático.
El razonamiento y la demostración matemática no se pueden enseñar impartiendo
40
Perspectiva educativa de las matemáticas
un tema sobre lógica, o unas demostraciones aisladas sobre temas como la geometría.
Este componente del conocimiento matemático deberá estar presente en la experiencia
matemática de los estudiantes desde los niveles de educación infantil. Razonar de
manera matemática es un hábito, y como todos los hábitos se debe desarrollar mediante
un uso consistente en muchos contextos.
5. Conexiones matemáticas
Cuando los estudiantes pueden conectar las ideas matemáticas entre sí, con las
aplicaciones a otras áreas, y en contextos de su propio interés, la comprensión
matemática es más profunda y duradera. Podemos postular que sin conexión no hay
comprensión, o ésta comprensión es débil y deficiente. Mediante una instrucción que
enfatiza las interrelaciones entre las ideas matemáticas, los estudiantes no sólo aprenden
matemáticas, sino que también aprecian la utilidad de las matemáticas.
Las matemáticas no se deben ver como una colección de partes separadas, aunque
con frecuencia se divide en temas que se presentan desconectados. Las matemáticas son
un campo integrado de estudio, por lo que los matemáticos profesionales prefieren
referirse a su disciplina en singular: la Matemática. Concebir las matemáticas como un
todo resalta la necesidad de estudiar y pensar sobre las conexiones internas de la
disciplina, tanto en un nivel particular del currículo como entre distintos niveles. Para
enfatizar las conexiones, los profesores deben conocer las necesidades de sus
estudiantes, así como las matemáticas que estudiaron en los niveles anteriores, y las que
estudiarán en los siguientes.
28. Estudia las conexiones del concepto de polígono con otras ideas matemáticas.
Elabora un mapa conceptual que ponga de relieve estas relaciones.
6. Institucionalización
Las matemáticas constituyen un sistema conceptual lógicamente organizado. Una
vez que un objeto matemático ha sido aceptado como parte de dicho sistema puede ser
considerado como una realidad cultural, fijada mediante el lenguaje, y un componente
de la estructura lógica global. En el proceso de estudio matemático habrá pues una fase
en la que se fija una “manera de decir”, públicamente compartida, que el profesor
deberá poner a disposición de los alumnos en un momento determinado.
Los profesores en formación de los distintos niveles educativos deberán conocer
la importancia de los seis procesos de índole matemática que hemos descrito, y tenerlos
en cuenta en su trabajo como directores y ayudantes de los procesos de estudio
matemático de los niños.
29. A partir de la observación de una sesión de clase de matemáticas identifica los
diferentes procesos que se ponen en juego entre los descritos anteriormente.
41
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
5.4. Conocimientos personales e institucionales
En una clase, los conocimientos de cada alumno en un momento dado son muy
variados. Hablamos de conocimiento personal de cada alumno para diferenciarlo del
conocimiento fijado por el profesor, por el libro de texto o en un currículo
(conocimiento institucional).
Ejemplo,
El Diseño Curricular Base (MEC) fija unos contenidos para la suma y la resta que se
concretan en la programación que hace cada profesor en su clase (conocimiento
institucional). Un niño puede finalizar un nivel escolar sin haber alcanzado plenamente
todos los objetivos fijados.
Podemos describir metafóricamente el aprendizaje como “acoplamiento
progresivo” entre significados personales e institucionales en una clase. Es importante
diferenciar las facetas personal e institucional de los conocimientos matemáticos para
poder describir y explicar las interacciones entre el profesor y los alumnos en los
procesos de enseñanza y aprendizaje.
6. TRANSPOSICIÓN DIDÁCTICA
Cuando queremos enseñar un cierto contenido matemático, tal como los números
racionales, hay que adaptarlo a la edad y conocimientos de los alumnos, con lo cual hay
que simplificarlo, buscar ejemplos asequibles a los alumnos, restringir algunas
propiedades, usar un lenguaje y símbolos más sencillos que los habitualmente usados
por el matemático profesional.
Ejemplo
En Matemáticas, se define la suma de dos números naturales a y b como “el cardinal de la
unión de dos conjuntos disjuntos que tienen como cardinales a y b respectivamente.
Esta definición es demasiado complicada para el alumno de primaria. Se suele sustituir por
ideas tales como “reunir”, “juntar”, “añadir”. Se proporciona al niño regletas, colecciones de
objetos y otros materiales para que pueda experimentar con los mismos. Es claro que el
significado es muy diferente en los dos casos.
La expresión “transposición didáctica”6 hace referencia al cambio que el
conocimiento matemático sufre para ser adaptado como objeto de enseñanza. Como
consecuencia se producen diferencias en el significado de los objetos matemáticos entre
la “institución matemática” y las instituciones escolares. Por ejemplo, los usos y
propiedades de las nociones matemáticas tratadas en la enseñanza son necesariamente
restringidos. El problema didáctico se presenta cuando, en forma innecesaria, se muestra
un significado sesgado o incorrecto.
6 Chevallard, Y. (1985). La transposition didactique. Grenoble: La Pensée Sauvage.
42
Perspectiva educativa de las matemáticas
C: Seminario didáctico
1. ACTITUDES HACIA LAS MATEMÁTICAS
(1) Cumplimentar el cuestionario adjunto de “Actitudes hacia las matemáticas”.
Presentar y discutir los resultados en la clase.
Cuestionario de actitudes7:
Señalar el grado de acuerdo o desacuerdo respecto de las siguientes afirmaciones sobre
las matemáticas, según el siguiente convenio:
1: Totalmente en desacuerdo; 2: En desacuerdo; 3: Neutral (ni de acuerdo ni en
desacuerdo); 4: De acuerdo; 5: Totalmente de acuerdo:
1. Considero las matemáticas como una materia muy necesaria en mis estudios.
1 2 3 4 5
2. La asignatura de matemáticas se me da bastante mal.
1 2 3 4 5
3. Estudiar o trabajar con las matemáticas no me asusta en absoluto
1 2 3 4 5
4. Utilizar las matemáticas es una diversión para mí.
1 2 3 4 5
5. Las matemáticas son demasiado teóricas para que puedan servirme de algo.
1 2 3 4 5
6. Quiero llegar a tener un conocimiento más profundo de las matemáticas..
1 2 3 4 5
7. Las matemáticas son una de las asignaturas que más temo.
1 2 3 4 5
8. Tengo confianza en mí cuando me enfrento a un problema de matemáticas.
1 2 3 4 5
9. Me divierte el hablar con otros de matemáticas.
1 2 3 4 5
7 Auzmendi, E. (1992). Las actitudes hacia la matemática-estadística en las enseñanzas medias
y universitarias. Bilbao: Mensajero.
43
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
10. Las matemáticas pueden ser útiles para el que decida realizar una carrera de
“ciencias”, pero no para el resto de los estudiantes.
1 2 3 4 5
11. Tener buenos conocimientos de matemáticas incrementará mis posibilidades de
trabajo.
1 2 3 4 5
12. Cuando me enfrento a un problema de matemáticas me siendo incapaz de pensar
con claridad.
1 2 3 4 5
13. Estoy calmado/a y tranquilo/a cuando me enfrento a un problema de matemáticas.
1 2 3 4 5
14. Las matemáticas son agradables y estimulantes para mí.
1 2 3 4 5
15. Espero tener que utilizar poco las matemáticas en mi vida profesional.
1 2 3 4 5
16. Considero que existen otras asignaturas más importantes que las matemáticas para
mi futura profesión.
1 2 3 4 5
17. Trabaja con las matemáticas hace que me sienta muy nervioso/a.
1 2 3 4 5
18. No me altero cuando tengo que trabajar en problemas de matemáticas.
1 2 3 4 5
19. Me gustaría tener una ocupación en la cual tuviera que utilizar las matemáticas.
1 2 3 4 5
20. Me provoca una gran satisfacción el llegar a resolver problemas de matemáticas.
1 2 3 4 5
21. Para mi futuro las matemáticas son una de las asignaturas más importantes que
tengo que estudiar.
1 2 3 4 5
22. Las matemáticas hacen que me sienta incómodo/a y nervioso/a.
1 2 3 4 5
23. Si me lo propusiera creo que llegaría a dominar bien las matemáticas.
1 2 3 4 5
24. Si tuviera oportunidad me inscribiría en más cursos de matemáticas de los que son
obligatorios.
1 2 3 4 5
25. La materia que se imparte en las clases de matemáticas es muy poco interesante.
44
Perspectiva educativa de las matemáticas
1 2 3 4 5
(2) Comenta el siguiente texto que hace referencia a un chico de 12 años:
“Una mujer imploraba desesperadamente al otro lado del teléfono:
<>.
Después de que Mark entrara con mucha vergüenza en mi despacho, sus primeras
palabras revelaron su temor:
<>
Le expliqué que el propósito de la reunión era descubrir qué sabía y qué no sabía de las
matemáticas para que sus padres y sus maestros pudieran ayudarle mejor(…) (Baroody
1988, pp. 75-76).
(3) ¿Qué tipo de enseñanza de las matemáticas pueden generar las siguientes
creencias sobre las matemáticas:
“- La incapacidad para aprender datos o procedimientos con rapidez es señal de
inferioridad en cuanto a inteligencia y carácter.
– La incapacidad para responder con rapidez o emplear un procedimiento con eficacia
indica <>.
– La incapacidad para responder correctamente indica una deficiencia mental.
– Una incapacidad total para responder es señal de una estupidez absoluta.
– Todos los problemas deben tener una respuesta correcta.
– Sólo hay una manera (correcta) de resolver un problema.
– Las respuestas inexactas (por ejemplo las estimaciones) y los procedimientos
inexactos (por ejemplo, resolver problemas por ensayo y error) son inadecuados.
– Comprender las matemáticas es algo que sólo está al alcance de los genios.
– Las matemáticas no tienen por qué tener sentido.” (Barody 1988, pp. 77-78).
2. REFLEXIÓN Y REDACCIÓN
(4) Explicar y dar ilustraciones de las siguientes afirmaciones:
Las matemáticas son:
o El estudio de patrones y relaciones
o Una manera de pensar
o Un arte
o Un lenguaje
45
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
(5) Compara la siguiente afirmación sobre las matemáticas con las de la actividad
anterior:
Las matemáticas son la ciencia que estudia el número y el espacio
¿Estás de acuerdo con esta afirmación?
(6) Las matemáticas muchas veces se presentan como una ciencia objetiva e
ideológicamente neutral.
Primero resuelve y después comenta qué opinión te merecen estos dos problemas
correspondientes a textos de aritmética de inicios del siglo XX.
“La viuda de un militar que pereció en la última guerra de Cuba disfruta de un
sueldo de 1.375 ptas al año; y dando lecciones de música y francés a algunas
señoritas, gana 10 duros mensuales. ¿Qué cantidad podrá depositar cada mes en
la Caja de Ahorros, necesitando para su manutención y demás gastos los 7/9 de lo
que posee y destinando el 4% del resto para limosnas?”(1906)
“Un industrial explotador, cuyo capital, como el de todos los capitalistas, se
acumula merced a las privaciones de la clase obrera, ha determinado, contando de
antemano con la inconsciencia de sus obreros, rebajar 2 reales a cada una de las
252 piezas que semanalmente le elaboran sus esclavos. Dígase cuánto representa
esta rebaja al cabo de un año, cuántos obreros trabajan en su fábrica, sabiendo
que cada uno fabrica 6 piezas semanalmente y cuánto roba a cada obrero?”
(1905).
(7) Para algunos sociólogos, la idea de que las matemáticas puedan variar igual
que varía la organización social no es admisible.
Uno de los primeros sociólogos que se opuso a este punto de vista fue Splenger en el
primer capítulo “El sentido de los números” de su obra “La decadencia de Occidente”
publicada en 1918. En este capítulo Spengler expone, entre otras, las siguientes ideas:
• “Mas no debe confundirse la matemática considerada como la facultad de
pensar prácticamente los números, con el concepto mucho más estrecho de la
matemática como <> de los números desarrollada en forma hablada
o escrita. Ni la matemática escrita ni la filosofía explicada en libros teóricos
representan todo el caudal de intuiciones y pensamientos matemáticos y
filosóficos que atesora una cultura.”
• “En vano aplicaremos nosotros, los occidentales, nuestro propio concepto
científico del número, violentamente, al objeto de que se ocupaban los
matemáticos de Atenas y Bagdad; es lo cierto que el tema, el propósito y el
método de la ciencia que en estas ciudades llevaba el mismo nombre, eran muy
diferentes de los de nuestra matemática. <>.”
Comenta las opiniones de estos sociólogos.
46
Perspectiva educativa de las matemáticas
3. ACTIVIDADES DE CAMPO
(8) Observar una sesión de clase de matemáticas en un nivel de primaria.
Hacer una lista de momentos en los se muestra evidencia de usar uno o varios de los
procesos matemáticos considerados en la sección 5.3. Decir lo que hacen o dicen los
niños y en qué tipo de actividad estaban implicados. ¿Qué papel juega el profesor?
(9) Plantear a los estudiantes de primaria las siguientes cuestiones sobre la
resolución de problemas matemáticos:
a) ¿Qué es un problema matemático?
b) ¿Qué haces para resolver un problema?
Clasificar y discutir las distintas respuestas.
(10) Analizar y discutir la evolución de las respuestas dadas por niños de infantil y
primaria a las cuestiones que se indican8:
a) Maestra: “Yo tengo 3 caramelos (la maestra enseña los 3 caramelos que tiene) y tú
tienes 2 (el niño tiene 2 caramelos en su mano) ¿Quién tiene más caramelos?”
“La que tiene más caramelos es la señora de la portería que tiene una caja llena”
“No, yo no tengo ningún caramelo, tú me lo has dado, pero no son míos … “
b) Maestra: ¿Qué es un problema?
“Un problema es tener un hermanito” (P3, Preescolar 3 años)
“Un problema es que mi hermano me pegue”(P3)
“Un problema es alguna cosa que nos preocupa”(P3)
“Un problema es no hacer las cosas bien”(P4)
“Un problema es perder alguna cosa” (P4)
“Que Maria se haga pipi encima”(P4)
“Un problema es que pasa alguna cosa”(P5)
“Que te dicen una pregunta que no sabes” (1º)
“Que te dicen una cosa y has de decir la respuesta” (1º)
“Es una pregunta que tienes que pensar con la cabeza” (1º)
“Es una pregunta que tienes que adivinar” (1º)
“Son preguntas que te hacen y al principio no las sabes, pero luego haces un dibujo
en el papel o lo dibujas en la cabeza o te lo imaginas y luego ya lo ves más claro”
(1º)
8 Coll, C. (2001). La resolució de problemes en les primeres edats. Biaix, 18: 9-12.
47
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
“Un problema es una pregunta que no sabes la respuesta y tienes que pensar y
pensar para dar la respuesta (2º)
c) Maestra: ¿Qué haces para resolver un problema?
“Estoy callado, luego no veo nada, bueno lo veo todo oscuro…y luego ya me sale la
respuesta” (P4)
“Me fijo mucho y después me sale” (P4)
“Me meto lo que me dicen en la cabeza, después me lo imagino, veo lo que está
pasando y luego ya lo sé” (P5)
“Pienso, muevo la cabeza y…….ya me sale” (1º)
“Lo pienso hasta que lo encuentre” (1º)
“Lo pienso un rato, depende de si el problema es difícil o no. Algunas veces sólo de
escucharlo ya sé como se hace” (1º)
“Lo pienso con el cerebro” (1º)
d) Al preguntarle a un alumno de segundo ciclo si el problema,
“En un árbol hay 2 gorriones y uno se va volando. ¿Cuántos gorriones quedan?, era
realmente un problema, el alumno contestó que “esto no es un problema, porque yo
ya sé la solución”.
e) La siguiente respuesta corresponde a un alumno de segundo ciclo inicial cuando se le
pidió que explicara a un niño de otra clase los problemas que resolvían en su clase:
“Hay muchos problemas, algunos problemas los has de escuchar muy bien para
saber que te preguntan, en otros los has de mirar, porque en la fotografía esta la
respuesta, en otros los has de pensar sólo con la cabeza, en otros los has de tocar
para saber la respuesta…..en otros necesitas alguna cosa que te ayude a hacerlos ….
por ejemplo si me preguntan cuánto peso y no lo sé he de ir a pesarme y después ya
sabré el problema….En otros me los imagino con la cabeza y luego ya los sé…”
¿Qué conclusión te sugieren estas respuestas sobre la enseñanza de la resolución de
problemas en las primeras edades?
4. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS (TALLER MATEMÁTICO)
(11) Resuelve los siguientes problemas:
1. Encuentra el mayor número posible de cuadrados de cualquier tamaño que se
puedan formar en un tablero de 4×4.9
9 Este problema se comenta en: Bolt, B. (1998). Què és la geometria?. Biaix, 12: 2-14.
48
Perspectiva educativa de las matemáticas
2. Unir 6 cerillas de modo que formen cuatro triángulos equiláteros contiguos cuyos
lados sean iguales a la longitud de una cerilla.10
3. Utilizando sólo cuatro líneas rectas, unir los nueve puntos sin levantar el lápiz del
papel
4. Desplaza tres segmentos a nuevas posiciones para que los seis cuadrados de la
figura se conviertan en 4 de área igual a los de la figura
5. Demuestra que la suma de los ángulos de un triángulo es 180º
6. En las figuras siguientes resulta fácil saber si el punto X es interior o exterior a la
curva y también saber si la curva (simple) es cerrada o abierta.
a) ¿Los puntos de la figura siguiente están dentro o fuera?
c) Un francés llamado Jordan descubrió una manera muy simple para saber si un
punto es interior o exterior a una curva cerrada simple: dibujó una línea recta
desde el punto hasta el exterior de la curva y contó si esta recta cortaba a la
curva un número par o impar de veces. ¿Puedes decir de qué regla se trata?
10 Los problemas 2,3 y 4 se comentan con detalle en Orton (1990)
49
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
7. Tienes que completar este cuadrado mágico, de tal manera que ha de tener todos los
números del 1 al 25 y ha de cumplir la propiedad de que todas las columnas y filas
sumen 65.
8. Las siguientes figuras son polidiamantes. Estas figuras son triángulos de un
determinado tipo conectados por un lado. En la figura puedes ver los polidiamantes
formados por 1 triángulo, por 2 triángulos, por 4 triángulos y por 5 triángulos.
a) ¿Cuál es la clase de triángulos que forman los polidiamantes? ¿Qué
propiedad cumplen?
b) ¿Cuáles de los polidiamantes formados por 4 triángulos son desarrollos
planos del tetraedro?
c) De polidiamantes formados por 6 triángulos, o hexadiamantes, hay 12.
Dibújalos.
50
Perspectiva educativa de las matemáticas
9. ¿Cuál es el número mínimo de cerillas que hemos de añadir para obtener
exactamente 11 cuadrados en la figura?
10. ¿Cuál es el número del último vagón del tren?
11. Diez encinas producen 17 kg de oxígeno en 1 hora. ¿Cuántas encinas necesitamos
para proporcionar a 34 estudiantes el oxígeno que necesitan durante 1 hora si cada
uno necesita 0,7 kg por hora?
12. ¿Cuál es el número de diagonales de un polígono?
13. Dado un cuadrado de 20 cm de lado unimos los puntos medios de los lados opuestos
para obtener 4 cuadrados. Si en cada cuadrado unimos los puntos medios de los
lados consecutivos se obtiene otro cuadrado. ¿Cuál es su área?
14. a) A partir de los polígonos de la figura siguiente completa las filas de la tabla tomando
como unidad el área del cuadrado determinado por cuatro puntos de la trama
51
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
Figura Área Puntos interiores (i) La mitad de los puntos de la frontera (b/2)
1 7 2 6
2
3
4
5
6
…………
b) ¿Puedes hallar alguna relación entre el área, los puntos interiores y los puntos
de la frontera (si lo necesitas puedes dibujar más polígonos)?
15. Dos amigos, Juan y Pedro, se encuentran después de mucho tiempo. Juan le
pregunta a Pedro cómo le va la vida. Pedro le responde que tiene tres hijas y Juan le
pregunta qué edades tienen. Pedro le dice que el producto de las tres edades es 36 y
que su suma es el número de su casa (la casa de Juan). Juan piensa un rato y le dice
que no hay suficiente información para saber las edades de sus hijas, a lo que Pedro
responde que la mayor toca el piano. Juan descubre inmediatamente les edades de
las hijas de Pedro. ¿Cuáles son las edades de las tres hijas de Pedro?
(12) A continuación tienes algunas de las estrategias que se utilizan para resolver
problemas:
a. Ensayo y error,
b. Construir un modelo,
c. Análisis-síntesis,
d. Resolver un problema más simple,
e. Hallar alguna regularidad,
f. Utilizar una tabla o un esquema.
Explica cuál de ellas has utilizado para resolver cada uno de los problemas
anteriores
52
Perspectiva educativa de las matemáticas
BIBLIOGRAFÍA
Alsina, C.; Burgués, C., Fortuny, J., Jiménez, J. y Torra, M. (1995). Enseñar
matemáticas. Barcelona: Graó.
Baroody, A. J. (1988). El pensamiento matemático de los niños. Madrid: Visor/MEC.
Davis, P. J. y Hersh, R. (1988). Experiencia matemática. Madrid: MEC-Labor.
Ernest, P. (2000). Los valores y la imagen de las matemáticas: una perspectiva
filosófica, Uno, 23: 9-28.
MEC (1989). Diseño curricular base. Madrid: Ministerio de Educación y Ciencia.
Orton, A. (1990). Didáctica de las matemáticas. Madrid: Morata/MEC.
53
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
54
Proyecto Edumat-Maestros
Director: Juan D. Godino

http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/

Capítulo 2
ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS
MATEMÁTICAS
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
56
Enseñanza y aprendizaje de las matemáticas
A: Contextualización
A1. Creencias sobre la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas
Consigna:
A continuación presentamos dos cuestionarios con algunos enunciados que reflejan
diferentes modos de pensar sobre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas.
1) Completa cada cuestionario, leyendo con atención los enunciados e indicando el
grado de acuerdo con cada uno de ellos, mediante un valor numérico, siguiendo el
convenio presentado.
2) Si no estás de acuerdo con alguno de los enunciados, indica tus razones.
Cuestionario A:
Indica tu grado de acuerdo con cada enunciado, según el siguiente convenio:
1: Totalmente de acuerdo con el enunciado de la izquierda; 2: Si estás de acuerdo con el
enunciado de la izquierda; 3: Si estás indeciso; 4: Si estás más de acuerdo con el
enunciado de la derecha; 5: Si estás completamente de acuerdo con el enunciado de la
derecha.
El fin principal de la educación
matemática elemental es asegurar el
dominio de hechos básicos, reglas,
fórmulas y procedimientos
1 2 3 4 5
El fin principal de la educación
matemática es promover la
comprensión y el pensamiento
El crecimiento del conocimiento
implica acumulación de información
para estar más informado
1 2 3 4 5 El crecimiento del conocimiento
implica ganar nuevas comprensiones
y reorganizar el propio pensamiento
El aprendizaje es esencialmente un
proceso receptivo y pasivo de
memorización de información
1 2 3 4 5 El aprendizaje es esencialmente un
proceso activo de construir
comprensiones y estrategias
La memorización precisa de hechos
y procedimientos y requiere que los
niños estén atareados: que escuchen
con atención y practiquen con
diligencia lo que se les ha enseñado
1 2 3 4 5 La construcción activa del
conocimiento requiere hacer
matemáticas (esto es, descubrir
patrones, hacer y comprobar
conjeturas, y resolver problemas)
La instrucción directa y la práctica
son el modo más efectivo de
transmitir información a los niños
1 2 3 4 5 La implicación activa de los alumnos
en el aprendizaje por descubrimiento
y la solución de problemas es el modo
más efectivo de estimular la
comprensión y el pensamiento
Enseñar es explicar – un profesor es
principalmente un transmisor de
información.
1 2 3 4 5 Enseñar es guiar – un profesor sirve
principalmente para facilitar el
descubrimiento y el pensamiento.
57
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
Puesto que los niños no tienen un
interés natural en aprender
matemáticas, es esencial para los
educadores encontrar modos de
estimular el aprendizaje.
1 2 3 4 5 Puesto que los niños tienen un interés
natural en explorar y comprender las
cosas, las matemáticas pueden ser
interesantes por sí mismas.
Cuestionario B:
Señala el grado de acuerdo o desacuerdo respecto de las siguientes afirmaciones sobre
la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, según el siguiente convenio:
1: Totalmente en desacuerdo; 2: En desacuerdo; 3: Neutral (ni de acuerdo ni en
desacuerdo); 4: De acuerdo; 5: Totalmente de acuerdo:
1. Los procedimientos no estándares se deberían descartar porque pueden interferir con el
aprendizaje del procedimiento correcto.
1 2 3 4 5
2. La instrucción matemática debería comenzar con las destrezas básicas y progresar hacia el
estímulo del pensamiento de orden superior.
1 2 3 4 5
3. Cuando se introduce un tema matemático, un profesor debería seguir el siguiente principio:
“Primero lo simple y directo” y sólo más tarde introducir problemas más complejos.
1 2 3 4 5
4. Los niños pequeños son matemáticamente incapaces. Esto es, son incapaces de resolver
incluso problemas matemáticos elementales porque les falta el prerrequisito de experiencia
y conocimiento.
1 2 3 4 5
5. Para comprender las matemáticas elementales, los niños deben ser conducidos mediante una
secuencia sistemática de lecciones bien organizadas.
1 2 3 4 5
6. Un profesor debe servir como el juez de lo que es correcto o no.
1 2 3 4 5
7. Un profesor debería siempre proporcionar feedback (esto es, alabar las respuestas correctas
de los estudiantes y corregir inmediatamente sus respuestas incorrectas).
1 2 3 4 5
8. Un profesor debería actuar rápidamente para eliminar desacuerdos porque son perturbadores
y pueden causar confusión innecesaria.
1 2 3 4 5
9. Para estimular la independencia, los estudiantes deberían trabajar solos para realizar las
tareas.
1 2 3 4 5
58
Enseñanza y aprendizaje de las matemáticas
A2. Lectura, reflexión y discusión
Consigna:
A continuación se presenta un texto que describe una clase de matemáticas imaginaria
1) Léelo con atención. Subraya los puntos que consideras especialmente atractivos en la
descripción.
2) ¿Qué puntos corresponden a una clase estándar de matemáticas? ¿Cuáles podrían
alcanzarse si el profesor se lo propone? ¿Cuáles te gustaría personalmente conseguir en
tu clase de matemáticas?
3) ¿Cuáles son las tareas, responsabilidades y funciones que se describen del profesor?
¿Y de los alumnos?
“Imagine una clase, una escuela, o un distrito escolar donde todos los estudiantes
tienen acceso a una instrucción matemática atractiva y de alta calidad. Se proponen
unas expectativas ambiciosas para todos, con adaptación para aquellos que lo
necesitan. Los profesores están bien formados, tienen recursos adecuados que apoyan
su trabajo y están estimulados en su desarrollo profesional. El currículo es
matemáticamente rico y ofrece oportunidades a los estudiantes de aprender conceptos y
procedimientos matemáticos con comprensión. La tecnología es un componente
esencial del entorno. Los estudiantes, de manera confiada, se comprometen con tareas
matemáticas complejas elegidas cuidadosamente por los profesores. Se apoyan en
conocimientos de una amplia variedad de contenidos matemáticos, a veces enfocando el
mismo problema desde diferentes perspectivas matemáticas o representando las
matemáticas de maneras diferentes hasta que encuentran métodos que les permiten
progresar. Los profesores ayudan a los estudiantes a hacer, refinar y explorar
conjeturas sobre la base de la evidencia y usan una variedad de razonamientos y
técnicas de prueba para confirmar o rechazar las conjeturas. Los estudiantes son
resolutores flexibles de problemas y tienen recursos variados. Solos o en grupos y con
acceso a la tecnología, los estudiantes trabajan de manera productiva y reflexiva, con
la guía experimentada de sus profesores. Los estudiantes son capaces de comunicar sus
ideas y resultados oralmente o por escrito de manera efectiva. Valoran las matemáticas
y se comprometen activamente en su aprendizaje.”
(NCTM 2000, Una Visión de las Matemáticas Escolares).
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J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
B: Desarrollo de conocimientos
1. INTRODUCCIÓN
Seguramente pensarás que la visión de la clase de matemáticas que nos propone el
NCTM en la lectura introductoria, aunque ciertamente ambiciosa, es muy valiosa.
Hemos tomado esta lectura como punto de partida para reflexionar sobre la enseñanza y
el aprendizaje de las matemáticas.
En el capítulo 1 hemos presentado nuestra visión de las matemáticas como
quehacer humano (las matemáticas son una actividad humana), lenguaje simbólico (el
lenguaje de la ciencia) y sistema conceptual (red interconectada de conceptos, propiedades
y relaciones, construida progresivamente mediante negociación social). No hay duda que
la forma de concebir las matemáticas por parte del profesor incidirá en la forma en que éste
las enseña.
Además el profesor tiene en cuenta las funciones y tareas que cree más efectivas para
favorecer el aprendizaje de sus estudiantes y la adquisición de disposiciones y actitudes
favorables hacia las matemáticas. Algunas de estas tareas las debe realizar él mismo y otras
las llevarán a cabo los estudiantes.
En este capítulo reflexionaremos sobre las características de una enseñanza de las
matemáticas que sea eficaz para el logro del aprendizaje significativo de los alumnos.
Ello implica del profesor la labor docente de dirección y ayuda en los procesos de
estudio. El profesor trata de conjugar las orientaciones curriculares con una visión
constructiva de las matemáticas y del aprendizaje matemático, adoptando para ello
modelos didácticos coherentes.
1. ¿Cuáles de los siguientes tipos de tareas podrían ser adecuados para los alumnos en una
clase de matemáticas y con relación a qué temas? ¿Qué aprenden en cada una de ellas?
• Corregir el ejercicio o examen de un compañero.
• Búsqueda de información en Internet.
• Preparar un poster con los resultados de un trabajo en equipo.
• Construir la maqueta de un edificio.
2. COMPETENCIA Y COMPRENSIÓN MATEMÁTICA
Cuando analizamos el aprendizaje, o en los documentos curriculares, se habla con
frecuencia de que el fin principal es que los estudiantes comprendan las matemáticas o
que logren competencia o capacidad matemática.
Ejemplos:
Las orientaciones curriculares del DCB (Documento Curricular Base, MEC, 1989), indican
que, al finalizar la Educación Primaria, los alumnos habrán desarrollado la capacidad de
identificar en su vida cotidiana situaciones y problemas para cuyo tratamiento se requieren
60
Enseñanza y aprendizaje de las matemáticas
operaciones elementales de cálculo (suma, resta), discriminando la pertinencia de las
mismas y utilizando los algoritmos correspondientes.
Para los grados K-2 (Infantil y primer ciclo de primaria) el NCTM (2000) propone en uno
de los estándares: Comprender los significados de las operaciones y las relaciones entre
ellas
¿Cómo podemos reconocer la competencia y comprensión? Trataremos de
clarificar estas nociones desde nuestra perspectiva del conocimiento matemático.
2.1. Nociones de competencia y comprensión
Una primera respuesta la encontramos a partir de diversos diccionarios:
• El diccionario de uso del español de María Moliner se refiere a la persona
‘competente’ como al “conocedor de cierta ciencia o materia, o experto o apto en la
cosa que se expresa o a la que se refiere el nombre afectado por ‘competente’”. La
competencia se relaciona con la aptitud, capacidad, disposición, “circunstancia de
servir para determinada cosa”. Una persona apta, o capaz, es “útil en general para
determinado trabajo, servicio o función”.
• El diccionario Penguin de Psicología define “competencia” como “la capacidad de
realizar una tarea o de finalizar algo con éxito”. Pone en juego la noción de
‘capacidad’, que se refiere tanto al nivel general de inteligencia de alguien como a la
cualidad o destreza que tiene esa persona para hacer una cosa particular.
Parece claro que la competencia es un rasgo cognitivo y disposicional del sujeto.
También que será distinta según el campo profesional, el objeto de saber o la edad.
Hablamos así de competencia matemática del ingeniero, del físico, o del estudiante de
primaria o secundaria.
Ejemplos
Un ingeniero puede ser muy competente en su campo y no serlo como traductor de alemán.
Una cocinera competente puede no ser competente como conductora. Alguien puede ser
competente para el bricolage, la mecánica de los automóviles, pero un incompetente para la
gestión burocrática, etc.
Vemos que la palabra competencia se refiere a un saber hacer específico.
Generalmente tener competencia es equivalente a tener conocimiento práctico sobre
algo; se usa habitualmente referido a destrezas manipulativas o procedimentales.
• En el caso de las matemáticas se podrá hablar de competencias generales, como
competencia aritmética, algebraica, geométrica; o más específicas como,
competencia para resolver ecuaciones, cálculo con fracciones, etc.
• Las expresiones del tipo, “A es competente para realizar la tarea T”, indican que el
sujeto A domina o es capaz de aplicar correctamente la técnica t que resuelve o
permite hacer bien la tarea T. Decimos que el sujeto tiene una capacidad o
competencia específica, o que “sabe cómo hacer” la tarea.
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J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
3. Da una lista de competencias específicas relacionadas con la adición y substracción.
¿Cómo podrías evaluar tales competencias?
4. Analiza una lección de un texto de matemáticas de primer curso de primaria. ¿Qué
competencias se tratan de desarrollar?
• El diccionario de uso del español de María Moliner define la comprensión como
“entendimiento” o “facultad de comprender”. Comprender lo considera “entender;
percibir el significado de algo”, “percibir las ideas contenidas en algo dicho o
escrito”.
• Por tanto, cuando decimos “A comprende la técnica t que permite realizar la tarea
T”, queremos decir que A sabe por qué dicha técnica es adecuada, conoce su ámbito
de validez y la relaciona con otras técnicas.
Competencia y comprensión se complementan mutuamente:
• La competencia atiende al componente práctico, mientras que la comprensión al
componente teórico del conocimiento.
• La competencia pone en juego conocimientos de tipo procedimental, la comprensión
requiere conocimiento conceptual.
La sociedad valora la acción; pero, ¿es posible o deseable la acción sin
comprensión? Parece que la acción será más flexible y adaptable, generalizable, y por
tanto, más eficaz si va acompañada de comprensión, de saber por qué se hacen así las
cosas.
5. ¿Piensas que en el caso de las matemáticas, podemos separar los conocimientos de tipo
conceptual y procedimental? ¿Por qué?
6. ¿En qué medida el profesional competente tiene también conocimientos conceptuales,
lógicos y argumentativos.
7. Al preguntar a un alumno de 6º qué significa la frase “El número medio de hijos por
familia en España es 1.2” da la siguiente respuesta: “Significa que por cada familia, si
hubiera que repartir todos los hijos, tocaría a cada una un hijo. El 1.2 es tan solo el número
de la operación matemática”. Analiza los tipos de comprensión y competencia sobre la
media que podemos deducir de la respuesta del niño.
2.2. Comprensión instrumental y relacional
Richard Skemp1 (psicólogo y matemático) analizó la diferencia entre comprensión
relacional (saber qué) y comprensión instrumental (saber hacer). Estos dos tipos de
comprensión no siempre van unidos.
Ejemplo
Es frecuente que los alumnos aprendan el algoritmo de la resta llevándose, sin saber por
qué se aplica el algoritmo.
1 Skemp, R. (1976). Relational understanding and instrumental understanding. Mathematics Teaching, 77,
20-26.
62
Enseñanza y aprendizaje de las matemáticas
Otro caso es que los alumnos sumen correctamente fracciones pasando a común
denominador, aunque no entiendan por qué no pueden sumarse directamente las fracciones
de distinto denominador.
Al preguntarse si un tipo de comprensión es preferible al otro, Skemp concluye a
favor de la comprensión relacional. El conocimiento instrumental implica la aplicación
de múltiples reglas en lugar de unos pocos principios de aplicación general, y por tanto
puede fallar en cuanto la tarea pedida no se ajuste exactamente al patrón estándar.
• Para las matemáticas relacionales Skemp citas las siguientes ventajas:
1. Son más adaptables a nuevas tareas. Al saber no sólo qué método funciona sino
también por qué, el niño puede adaptar los métodos a los nuevos problemas, mientras
que si sólo tiene comprensión instrumental necesita aprender un método diferente para
cada nueva clase de problemas.
2. Las matemáticas relacionales son más fáciles de recordar, aunque son más difíciles de
aprender. Ciertamente es más fácil que los alumnos aprendan que “el área de un
triángulo = (1/2) base x altura”, que aprender por qué eso es así. Ahora bien, tienen que
aprender reglas separadas para los triángulos, rectángulos, paralelogramos, trapecios;
mientras que la comprensión relacional consiste en parte en ver todas estas fórmulas con
relación al área del rectángulo. Si se sabe cómo están interrelacionadas se pueden
recordar mejor que como partes desconectadas. Hay más cosas que aprender –las
conexiones y las reglas separadas- pero el resultado, una vez aprendido, es más
duradero.
Vemos, por tanto, que aunque a corto plazo y en un contexto limitado las
matemáticas instrumentales pueden estar justificadas, no pueden estarlo a largo plazo y
en el proceso educativo del niño.
• Sin embargo, algunos profesores enseñan unas matemáticas instrumentales, por las
siguientes razones:
1. Son usualmente más fáciles de aprender; por ejemplo, es difícil entender
relacionalmente la multiplicación de dos números negativos, o la división de
fracciones , mientras que reglas como “Menos por menos, más” y “para dividir por
una fracción, multiplicas en cruz ” se recuerdan con facilidad.
2. Debido a que se requieren menos conocimientos, permite proporcionar la
respuesta correcta de manera más rápida y fiable que la que se consigue mediante un
pensamiento relacional.
3. Al poder dar la respuesta correcta rápidamente el alumno puede obtener un
sentimiento de éxito.
Estas argumentaciones, presentadas por Skemp en los años setenta, sobre las
relaciones entre comprensión instrumental y relacional nos parecen igualmente válidas
para las relaciones entre competencia y comprensión entendidas como hemos propuesto
en la primera sección.
63
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
8. Analiza en la siguiente ficha, tomada de un texto escolar. ¿Qué conocimientos
instrumentales y relacionales se requieren para su realización. ¿Cómo podríamos distinguir
si un niño que realiza la tarea con competencia, también comprende lo que hace
2.3. Los objetos de comprensión y competencia
Para lograr la comprensión y la competencia matemática, tenemos que responder a
dos cuestiones básicas:
• ¿Qué comprender? ¿Cuáles son los conocimientos matemáticos que queremos que
nuestros alumnos lleguen a dominar? La respuesta a estas preguntas es el eje
descriptivo, que indicará los aspectos o componentes de los objetos a comprender.
Definir la “buena” comprensión y la “buena competencia” matemática requiere
definir previamente las “buenas” matemáticas.
• ¿Cómo lograr la comprensión y la competencia por parte de nuestros alumnos? La
respuesta a esta pregunta es el eje procesual que indicará las fases o momentos
necesarios para el logro tanto de la “buena” comprensión como de la “buena”
competencia.
Nuestras ideas sobre el logro de la competencia y comprensión están, por
consiguiente, íntimamente ligadas a cómo concebimos el conocimiento matemático2.
Los términos y expresiones matemáticas denotan entidades abstractas cuya naturaleza y
origen tenemos que explicitar para poder elaborar un modelo útil y efectivo sobre qué
2 Si, por ejemplo, consideramos el conocimiento matemático como información internamente
representada, la comprensión ocurre cuando las representaciones logran conectarse en redes
progresivamente más estructuradas y cohesivas. Pero equiparar la actividad matemática al procesamiento
de información nos parece excesivamente reduccionista, por lo que, desde nuestro punto de vista las
teorías de la comprensión derivadas de esta concepción no modelizarían adecuadamente los procesos de
enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, en especial los aspectos sociales y culturales implicados en
dichos procesos.
64
Enseñanza y aprendizaje de las matemáticas
entendemos por comprender tales objetos. Para ello debemos responder a preguntas
tales como: ¿Cuál es la estructura del objeto a comprender? ¿Qué formas o modos
posibles de comprender existen para cada objeto matemático? ¿Qué aspectos o
componentes de la práctica y el discurso matemático es posible y deseable que aprendan
los estudiantes en un momento y circunstancias dadas? ¿Cómo articular el estudio de
sus diversas componentes?
9. Supón que tienes que enseñar los números del 10 al 15 a un niño de primer curso de
Primaria. Analiza la estructura de este conocimiento. ¿Qué conceptos, representaciones,
procedimientos debe aprender el niño si queremos que logre competencia y comprensión de
estos números? ¿Cómo podríamos secuenciar su enseñanza? Da algunos ejemplos de
actividades que resulten significativas para este aprendizaje.
10. ¿Te parece suficiente el modelo epistemológico en el que de manera implícita basa
Skemp su análisis de la comprensión instrumental y relacional, y que le lleva a considerar
dos tipos de matemáticas: una matemática instrumental y otra relacional? ¿Cuáles son las
características de ambas matemáticas? ¿Cómo están relacionadas? ¿Qué otras facetas
deberíamos tener en cuenta?
Hemos visto que todo modelo de competencia y comprensión matemática
involucra una determinada manera de entender las matemáticas y los objetos
matemáticos. El reconocimiento de la complejidad del conocimiento matemático que
hemos expuesto en el capítulo 1 debe llevarnos, coherentemente, a reconocer también
una complejidad para el logro de la competencia y comprensión matemática.
11. ¿Piensas que se puede concebir la comprensión y competencia como estados
dicotómico, esto es, se tiene o no competencia, se comprende o no se comprende un tema
matemático? ¿Se tratan más bien de procesos en progresivo crecimiento y mejora, que
además dependen y deberán ser valorados respecto a los contextos institucionales
correspondientes?.
12. A continuación tienes algunas de las respuestas de alumnos del primer curso de la
especialidad de maestro de primaria a la pregunta ¿Qué significa saber matemáticas?
formulada cuando ingresan en la facultad. Coméntalas teniendo en cuenta las
consideraciones anteriores sobre comprensión y competencia.
• Saber hacer los cálculos y resoluciones de problemas apropiados para la edad del
alumno.
• Adquirir y utilizar los métodos y estrategias necesarias para poder resolver los
ejercicios.
• Aplicar los contenidos matemáticos que han aprendido.
• Tener la capacidad suficiente para poder resolver o explicar cualquier cuestión
relacionada con las matemáticas.
• Tener interiorizados conocimientos sobre la materia en cuestión.
• Entenderemos por “saber matemáticas” que cualquier individuo haya adquirido
unos conceptos básicos
• Saber matemáticas significa tener conocimientos sobre esta asignatura dependiendo
del nivel en que se encuentre.
65
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
3. APRENDER Y ENSEÑAR MATEMATICAS
De acuerdo con nuestra concepción de las matemáticas, descrita en el capítulo 1,
“conocer” o “saber” matemáticas, es algo más que repetir las definiciones o ser capaz de
identificar propiedades de números, magnitudes, polígonos u otros objetos matemáticos.
La persona que sabe matemáticas ha de ser capaz de usar el lenguaje y conceptos
matemáticos para resolver problemas. No es posible dar sentido pleno a los objetos
matemáticos si no los relacionamos con los problemas de los que han surgido.
Ejemplos:
Si no se pone a los niños en situación de contar o de comparar cantidades de objetos, de
ordenar colecciones, no captarán el sentido de los números naturales.
Es difícil comprender la utilidad de los números enteros negativos si no nos hemos encontrado
con la necesidad de resolver algunas ecuaciones algebraicas cuya solución es negativa.
• Es frecuente que las orientaciones curriculares insistan en que el aprendizaje de las
matemáticas debe ser significativo y que para conseguirlo “Los estudiantes deben
aprender las matemáticas con comprensión, construyendo activamente los nuevos
conocimientos a partir de la experiencia y los conocimientos previos” (NCTM,
2000, Principio de Aprendizaje)
• Las orientaciones curriculares consideran que el aprendizaje significativo supone
comprender y ser capaz de aplicar los procedimientos, conceptos y procesos
matemáticos, y para ello deben coordinarse el conocimiento de hechos, la eficacia
procedimental y la comprensión conceptual.
13. Supongamos que quieres lograr de tus alumnos de primaria un aprendizaje significativo
de la multiplicación de números naturales de hasta dos cifras. Enumera:
• Algunos hechos que los alumnos deben conocer.
• Algunos procedimientos que deben dominar.
• Algunos conceptos y propiedades que deben comprender.
Redacta un ejercicio de evaluación para cada uno de ellos.
14. ¿Por qué los estudiantes que memorizan hechos o procedimientos sin comprensión a
menudo no están seguros de cuándo y cómo usar lo que conocen, y ese aprendizaje es con
frecuencia frágil?
15. ¿Por qué el aprendizaje con comprensión hace más fácil el aprendizaje posterior y las
matemáticas tienen más sentido y son más fáciles de recordar y de aplicar cuando los
estudiantes conectan de manera significativa los nuevos conocimientos con los ya
construidos?.
3.1. Papel de la resolución de problemas en el aprendizaje significativo
La actividad de resolver problemas es esencial si queremos conseguir un aprendizaje
significativo de las matemáticas. No debemos pensar en esta actividad sólo como un
contenido más del currículo matemático, sino como uno de los vehículos principales del
aprendizaje de las matemáticas, y una fuente de motivación para los alumnos ya que
66
Enseñanza y aprendizaje de las matemáticas
permite contextualizar y personalizar los conocimientos. Al resolver un problema, el
alumno dota de significado a las prácticas matemáticas realizadas, ya que comprende su
finalidad.
El trabajo del alumno en la clase de matemáticas debe ser en ciertos momentos
comparable al de los propios matemáticos:
• el alumno investiga y trata de resolver problemas, predice su solución (formula
conjeturas),
• trata de probar que su solución es correcta,
• construye modelos matemáticos,
• usa el lenguaje y conceptos matemáticos, incluso podría crear sus propias teorías,
• intercambia sus ideas con otros,
• finalmente reconoce cuáles de estas ideas son correctas- conformes con la cultura
matemática-, y entre todas ellas elige las que le sean útiles.
Por el contrario, el trabajo del profesor es, en cierta medida, inverso al trabajo de un
matemático:
• En lugar de partir de un problema y llegar a un conocimiento matemático, parte de un
conocimiento matemático y busca uno o varios problemas que le den sentido para
proponerlo a sus alumnos (recontextualización).
• Una vez producido un conocimiento, el matemático lo despersonaliza. Trata de
quitarle todo lo anecdótico, su historia y circunstancias particulares, para hacerlo más
abstracto y dotarlo de una utilidad general. El profesor debe, por el contrario, hacer
que el alumno se interese por el problema (repersonalización). Para ello, con
frecuencia busca contextos y casos particulares que puedan motivar al alumno.
16. Busca algunos problemas interesantes para los alumnos que le sirvan para comprender la
multiplicación de fracciones. ¿Cómo se ejemplifican los procesos de recontextualización y
repersonalización en esta actividad?
No basta con cualquier solución a un problema. El profesor trata de ayudar a sus
alumnos a encontrar las que son “correctas” matemáticamente. El conocimiento
matemático tiene una dimensión cultural. Por ello el profesor ha de ayudar a sus alumnos a
encontrar o construir este “saber cultural” de modo que progresivamente se vayan
incorporando a la comunidad científica y cultural de su época.
3.2. Enseñanza de las matemáticas
La mayor parte de los profesores comparten actualmente una concepción
constructivista de las matemáticas y su aprendizaje. En dicha concepción, la actividad de
los alumnos al resolver problemas se considera esencial para que éstos puedan construir el
conocimiento.
Pero el aprendizaje de conceptos científicos complejos (por ejemplo de conceptos
físicos o matemáticos) en adolescentes y personas adultas, no puede basarse solamente en
un constructivismo estricto. Requeriría mucho tiempo de aprendizaje y, además, se
67
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
desperdiciarían las posibilidades de poder llevar al alumno rápidamente a un estado más
avanzado del conocimiento, mediante técnicas didácticas adecuadas.
17. ¿Por qué una interpretación ingenua del constructivismo, daría un papel limitado a la
enseñanza, considerando que el principal trabajo del profesor sería seleccionar problemas
significativos para sus alumnos?.
18. ¿Qué implicaciones se deducen para la enseñanza del hecho que las matemáticas no
constituyen solamente una actividad sino también son un lenguaje simbólico y un sistema
conceptual, lógicamente organizado?
• El aprendizaje de una lengua, requiere la práctica de la conversación desde su
comienzo, pero si queremos lograr un aprendizaje funcional que permita la
comunicación, será preciso el estudio de la gramática. Del mismo modo, además de
hacer matemáticas es preciso estudiar las reglas matemáticas para poder progresar en
la materia.
• Puesto que disponemos de todo un sistema conceptual previo, herencia del trabajo de
las mentes matemáticas más capaces a lo largo de la historia desaprovecharíamos esta
herencia si cada estudiante tuviese que redescubrir por sí mismo todos los conceptos
que se le tratan de enseñar.
La ciencia, y en particular las matemáticas, no se construyen en el vacío, sino sobre los
pilares de los conocimientos construidos por nuestros predecesores. El fin de la enseñanza
de las matemáticas no es sólo capacitar a los alumnos a resolver los problemas cuya
solución ya conocemos, sino prepararlos para resolver problemas que aún no hemos sido
capaces de solucionar. Para ello, hemos de acostumbrarles a un trabajo matemático
auténtico, que no sólo incluye la solución de problemas, sino la utilización de los
conocimientos previos en la solución de los mismos.
19. La mejora de la educación matemática para todos los estudiantes requiere una enseñanza
eficaz de las matemáticas en las clases. Comenta la cita siguiente “La enseñanza eficaz de
las matemáticas requiere comprender lo que los estudiantes conocen y necesitan aprender
y, en consecuencia, les desafía y apoya para aprender bien los nuevos conocimientos”
(NCTM, 2000, Principio de la Enseñanza).
Los estudiantes aprenden matemáticas por medio de las experiencias que les
proporcionan los profesores. Por tanto, la comprensión de las matemáticas por parte de
los estudiantes, su capacidad para usarlas en la resolución de problemas, y su confianza
y buena disposición hacia las matemáticas están condicionadas por la enseñanza que
encuentran en la escuela.
No hay recetas fáciles para ayudar a todos los estudiantes a aprender, o para que
todos los profesores sean eficaces. No obstante, los resultados de investigaciones y
experiencias que han mostrado cómo ayudar a los alumnos en puntos concretos deberían
guiar el juicio y la actividad profesional. Para ser eficaces, los profesores deben conocer
y comprender con profundidad las matemáticas que están enseñando y ser capaces de
apoyarse en ese conocimiento con flexibilidad en sus tareas docentes. Necesitan
comprender y comprometerse con sus estudiantes en su condición de aprendices de
matemáticas y como personas y tener destreza al elegir y usar una variedad de
68
Enseñanza y aprendizaje de las matemáticas
estrategias pedagógicas y de evaluación. Además, una enseñanza eficaz requiere una
actitud reflexiva y esfuerzos continuos de búsqueda de mejoras.
20. A continuación tienes algunas de las respuestas de alumnos del primer curso de la
especialidad de maestro de primaria a la pregunta ¿Qué significa enseñar matemáticas?,
formulada cuando ingresan en la facultad. ¿Crees que la mayoría corresponden a una
concepción constructivista?.
• Para enseñar matemáticas se requiere de unos conocimientos previos de ámbito
matemático, y al mismo tiempo ser capaz de transmitir tus conocimientos de
manera clara, concisa y ordenada a los alumnos.
• Saber transmitir de forma coherente y que se pueda entender los objetivos,
contenidos y procedimientos de esta materia.
• Transmitir tus conocimientos adaptándolos al ciclo educativo al que va dirigido.
• Explicar de manera clara y coherente de forma que los otros te entiendan sin
dificultades.
• Tener los conocimientos adecuados para motivar al niño a aprender matemáticas.
• Es utilizar todos los procedimientos, recursos y estrategias necesarias para ayudar al
alumno (suporte pedagógico) a adquirir unos aprendizajes significativos.
4. ESTUDIO DIRIGIDO DE LAS MATEMÁTICAS
Llamaremos instrucción matemática o estudio dirigido de las matemáticas a la
enseñanza y aprendizaje organizado de un contenido matemático dentro de la clase de
matemáticas.
Ejemplos:
• El estudio dirigido del sistema de numeración decimal en la escuela primaria;
• El estudio dirigido de la suma de números naturales en una clase de primaria
• El estudio dirigido de las funciones en una clase de educación secundaria.
En los ejemplos anteriores, y en todo proceso de instrucción matemática
intervienen:
• Un contenido matemático, que incluye todas las prácticas en torno al mismo. En el
segundo ejemplo anterior estas prácticas incluirían los algoritmos de la suma, el
aprendizaje de las tablas, la forma de colocación de los sumandos y el total, la
resolución de problemas sencillos, etc. Hablamos de sistema de prácticas
matemáticas relativas a la suma.
• Unos sujetos que tratan de adquirir (apropiarse, construir) dicho contenido, en
nuestro ejemplo los alumnos de la clase.
• El profesor, que dirige y organiza el proceso de instrucción.
• Los recursos didácticos o medios instruccionales, entre los que incluimos el tiempo,
libros, fichas, materiales manipulativos, etc.
Un supuesto básico del constructivismo piagetiano es el aprendizaje por adaptación
a un medio. Ciertamente que el conocimiento progresa como resultado de la
construcción personal del sujeto enfrentado a tareas problemáticas. Pero es preciso tener
también en cuenta el papel de la interacción entre los propios alumnos y la de éstos con
el profesor. Esta última es crucial para orientar e impulsar el aprendizaje, debido a que
69
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
el conocimiento matemático tiene un componente discursivo (basado en reglas y
argumentos) y no sólo un componente práctico (basado en problemas y acciones).
21. Damos a una pareja de niños de segundo curso de primaria un geoplano y una caja de
gomas de colores, con la siguiente consigna: Construye todos los triángulos de diferentes
formas y tamaño como puedas. Discute con tu compañero cuáles son iguales y por qué.
¿Cuáles son diferentes y por qué?
a) ¿Qué estrategias pueden usar los niños de esta edad para realizar la tarea? ¿Qué aprenden
al realizarla?
b) ¿Qué vocabulario podrían emplear? ¿Qué conceptos y propiedades hay implícitos detrás
de los mismos?
c) ¿Por qué es mejor que los dos niños trabajen juntos, en lugar de trabajar por separado?
d) Indica algunas posibles dificultades o errores y cómo el profesor puede ayudar a
superarlas.
e) ¿Cómo cambia la tarea si en vez del geoplano usamos papel y lápiz? ¿Y si les damos una
colección de figuras triangulares planas de plástico para clasificar?
La instrucción matemática significativa atribuye un papel clave a la interacción
social, a la cooperación, al discurso, y a la comunicación, además de a la interacción del
sujeto con las situaciones-problemas. El sujeto aprende mediante su interacción con un
medio instruccional, apoyado en el uso de recursos simbólicos, materiales y
tecnológicos disponibles en el entorno. Algunas consecuencias de este enfoque de la
enseñanza son las siguientes:
1. Para que el estudio de un cierto concepto sea significativo, debemos mostrar a los
alumnos una muestra representativa de las prácticas que lo dotan de significado. Al
planificar la enseñanza debemos partir del análisis del significado de dicho
concepto. Puesto que el tiempo de enseñanza es limitado, se procurará seleccionar
las prácticas más representativas.
Ejemplo
Al enseñar a los niños la clasificación de los cuadriláteros, será mejor mostrar algún
ejemplo de cada tipo diferente de cuadrilátero (rombos, cuadrados, trapecios,
paralelogramos, etc.) más que centrarnos en muchos ejemplos del mismo tipo (solo
paralelogramos). Conviene también plantearles problemas variados (construcción, medida
del perímetro, clasificación, cálculo y medida de área, etc.), más que repetir muchas veces el
70
Enseñanza y aprendizaje de las matemáticas
mismo tipo de problema. El significado del concepto cuadrilátero será más completo
cuanto mayor sea la gama de propiedades, lenguaje y problemas presentados.
2. Es importante dar a los alumnos la oportunidad de plantearse y de tratar de resolver
problemas interesantes para que: 1) formulen hipótesis y conjeturas, 2) traten de
usar diferentes sistemas de representación, 3) traten de comunicar y validar las
soluciones propuestas, 4) confronten sus soluciones con las de otros compañeros, y,
finalmente, 5) traten de confrontar su solución con la solución que se considera
correcta en matemáticas.
3. Debemos ser conscientes que al final del proceso de instrucción el conocimiento
construido por cada alumno será siempre parcial y dependerá del contexto
institucional, material y temporal en que tiene lugar el proceso3.
Si queremos que los alumnos adquieran competencia y comprensión sobre los distintos
componentes de un contenido matemático, debemos tener en cuenta dichos componentes
al planificar y llevar a cabo la enseñanza. Para ello el investigador francés Brousseau
propuso diseñar situaciones didácticas de diversos tipos:
• Acción, en donde el alumno explora y trata de resolver problemas; como consecuencia
construirá o adquirirá nuevos conocimientos matemáticos; las situaciones de acción
deben estar basadas en problemas genuinos que atraigan el interés de los alumnos, para
que deseen resolverlos; deben ofrecer la oportunidad de investigar por sí mismos
posibles soluciones, bien individualmente o en pequeños grupos.
• Formulación/ comunicación, cuando el alumno pone por escrito sus soluciones y las
comunicar a otros niños o al profesor; esto le permite ejercitar el lenguaje matemático.
• Validación, donde debe probar que sus soluciones son correctas y desarrollar su
capacidad de argumentación.
• Institucionalización, donde se pone en común lo aprendido, se fijan y comparten las
definiciones y las maneras de expresar las propiedades matemáticas estudiadas.
El tipo de discurso -comunicación oral o escrita- del profesor y los alumnos es un
aspecto determinante de lo que los alumnos aprenden sobre matemáticas. Si sólo hay
comunicación del profesor hacia los alumnos, en una enseñanza expositiva, a lo más con
apoyo de la pizarra, los alumnos aprenderán unas matemáticas distintas, y adquirirán una
visión diferente de las matemáticas, que si el profesor les anima a que comuniquen sus
ideas a otros niños y al profesor.
22. Se da a una pareja de niños nueve fichas cuadradas del mismo tamaño, con la siguiente
consigna:
Buscad la manera de unir las nueve fichas cuadradas para formar el polígono que tenga el
menor perímetro posible. Busca también el polígono con el mayor perímetro posible.
¿Qué tipo de situación didáctica se plantea? ¿Cuál es el conocimiento que se adquiere al
resolver la tarea? ¿Piensas que puede variar la dificultad si sólo damos al niño una hoja de
3 Al reconocer la complejidad del conocimiento matemático, no podremos concebir competencia y
comprensión como estados dicotómicos – un niño es o no competente, comprende o no comprende un
tema matemático-. La competencia y comprensión son crecientes y progresivas a lo largo del aprendizaje.
71
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
papel y un lápiz? ¿Y si la hoja es cuadriculada? ¿Cómo se podría completar la tarea si
queremos que aparezcan los cuatro tipos de situaciones: acción, formulación, validación e
institucionalización?
5. NORMAS SOCIOMATEMÁTICAS. CONTRATO DIDÁCTICO
La clase de matemáticas está con frecuencia regida por “obligaciones” o normas no
explícitas entre el profesor y los alumnos. Estas “normas sociales” guían la colaboración
de los alumnos, y sus obligaciones, así como su forma de reaccionar ante un error o una
indicación del profesor.
Ejemplos
Los niños suponen que han de ser críticos hacia las afirmaciones, tanto propias como de
otros niños.
Se espera del alumno que explique las soluciones de los problemas que el profesor le
propone.
El profesor es quien pone los exámenes. Los alumnos aceptan la calificación del profesor.
Estas normas determinan un microcultura del aula y tienen las siguientes
características:
• Algunas son generales y se pueden aplicar a cualquier disciplina.
• Regulan el funcionamiento de las actividades docentes y discentes.
Llamamos contrato pedagógico al conjunto de estas normas que no están ligadas a
una disciplina específica. Otras normas son específicas de la actividad matemática,
regulan, por ejemplo, las argumentaciones matemáticas e influyen en las oportunidades
de aprendizaje.
Ejemplos:
Hay un acuerdo sobre lo que es “matemáticamente diferente”, o “matemáticamente
relevante ” en el aula. Así, cuando esperamos que el niño resuelva un problema de forma
aritmética y uno de los alumnos idea una solución original y completamente inesperada
También hay un convenio implícito sobre lo que es “matemáticamente eficiente”,
“matemáticamente elegante”, o “matemáticamente aceptable”.
En didáctica de las matemáticas se habla de contrato didáctico para describir y
explicar las obligaciones o normas no explícitas que rigen las interacciones entre el
profesor y los alumnos en el aula de matemáticas (en general de una disciplina
específica). El “contrato didáctico” regula los derechos y obligaciones del profesor y los
alumnos. Es el resultado de un proceso de negociación entre los alumnos, el profesor y
el medio educativo. Uno de los componentes esenciales del contrato didáctico son los
criterios de evaluación explícitos, pero hay otros no explicitados que sólo se detectan
cuando el profesor plantea actividades poco habituales que vulneran las reglas del
contrato, lo cual produce el consiguiente desconcierto en los alumnos. Los alumnos, en
su adaptación al medio escolar, llegan a desarrollar un sentido que les permite captar
cuáles son las reglas del contrato didáctico en cada caso.
La importancia de los fenómenos de contrato didáctico se debe a que condicionan de
manera determinante el tipo de aprendizaje. La actitud del profesor determina con
frecuencia de manera inconsciente las relaciones de los alumnos con la matemática. Por
ejemplo:
• actitud de espera de la explicación del profesor,
72
Enseñanza y aprendizaje de las matemáticas
• interés en investigar la situación,
• control de los resultados, por parte de los alumnos.
Si el profesor quiere, por ejemplo, fomentar la iniciativa del alumno puede optar por
no incorporar indicaciones sobre la solución al presentar un problema. Este es un
ejemplo de una ruptura del “contrato” habitual, ya que se supone que el profesor “sabe
la solución”, y su función como profesor debería ser “enseñar” ese conocimiento.
23. Analiza esta página de un
texto de primaria.
¿Por qué no podemos hablar
aquí de situación problemática,
propiamente dicha?
¿Piensas que es frecuente este
tipo de situaciones en los libros
de texto?
¿Y en la clase de matemáticas?
¿Qué habría que cambiar en la
situación para convertirla en un
verdadero problema?
6. DIFICULTADES, ERRORES Y OBSTÁCULOS
Todas las teorías sobre la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas coinciden en la
necesidad de identificar los errores de los alumnos en el proceso de aprendizaje,
determinar sus causas y organizar la enseñanza teniendo en cuenta esa información. El
profesor debe ser sensible a las ideas previas de los alumnos y utilizar las técnicas del
conflicto cognitivo para lograr el progreso en el aprendizaje.
• Hablamos de error cuando el alumno realiza una práctica (acción, argumentación,
etc.) que no es válida desde el punto de vista de la institución matemática escolar.
• El término dificultad indica el mayor o menor grado de éxito de los alumnos ante
una tarea o tema de estudio. Si el porcentaje de respuestas incorrectas (índice de
dificultad) es elevado se dice que la dificultad es alta, mientras que si dicho
porcentaje es bajo, la dificultad es baja.
Las creencias del profesor sobre los errores de los alumnos dependen de sus propias
concepciones sobre las matemáticas. Aquellos que no han tenido ocasión de conocer
cómo se desarrollan las matemáticas, o no han realizado un cierto trabajo matemático
73
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
piensan que hay que eliminar el error a toda costa. Cambiar su manera de pensar implica
un cierto cambio en la relación de dicho profesor con respecto a la actividad
matemática.
El modelo de aprendizaje es también determinante. En un aprendizaje conductista, el
error tiene que ser corregido, mientras que es constitutivo del conocimiento en un
aprendizaje de tipo constructivista.
Algunas causas de errores y dificultades son las siguientes:
1. Dificultades relacionadas con los contenidos matemáticos
La abstracción y generalización de las matemáticas es una posible causa de las
dificultades de aprendizaje. El análisis del contenido matemático permite prever su
grado de dificultad potencial e identificar las variables a tener en cuenta para facilitar su
enseñanza.
• A veces el error no se produce por una falta de conocimiento, sino porque el alumno
usa un conocimiento que es válido en algunas circunstancias, pero no en otras en las
cuales se aplica indebidamente. Decimos que existe un obstáculo. Con frecuencia el
origen de los errores no es sencillo de identificar, aunque a veces se encuentran
ciertos errores recurrentes, para los cuales la investigación didáctica aporta
explicaciones y posibles maneras de afrontarlos.
Ejemplo
La ordenación de los números decimales 2’47 y 2’328 es una tarea para la que un alto
porcentaje de alumnos dicen que 2’328 es mayor que 2’47, “porque 328 es mayor que 47″.
Los números decimales los están considerando como si fueran “dos números naturales
separados por una coma”, y comparan ambos números separadamente.
La identificación de tales obstáculos revela complejidades del significado de los
objetos matemáticos que pueden pasar inadvertidas. La superación del obstáculo
requiere que el alumno construya un significado personal del objeto en cuestión
suficientemente rico, de manera que la práctica que es adecuada en un cierto contexto
no se use en otro en el que no es válida. Parece razonable pensar que si un tipo de error
se manifiesta en un cierto número de alumnos de manera persistente en una tarea, su
origen se debe buscar en los conocimientos requeridos por la tarea, y no tanto en los
propios alumnos.
74
Enseñanza y aprendizaje de las matemáticas
Ejemplo4
En el ítem adjunto se obtienen
habitualmente porcentajes de
respuestas correctas bastante
desiguales a las partes a) y b) (del
orden del 90% a la a) y del 40% a la
b).
Alrededor del 40% de alumnos de 6º
de primaria afirman que el perímetro
de la región B es mayor que el de la A.
Estos alumnos consideran que el área y
el perímetro son magnitudes
relacionadas de manera que varían en
el mismo sentido. “A más área, mayor
perímetro”. Se ve sin dificultad que la
parcela B es mayor que la A (área B >
área A). Deducen de esto que el
perímetro de B será mayor que el de A.
Un terreno se ha dividido como se indica en la figura.
Señalar en cada caso la respuesta que consideres
correcta:
a) – El área de la parcela A es la más grande
– Las dos parcelas tienen igual área
– El área de la parcela B es la más grande.
b)- El perímetro de la parcela A es el mayor
– Las dos parcelas tienen el mismo perímetro
– El perímetro de la parcela B es el mayor.
2. Dificultades causadas por la secuencia de actividades propuestas
Se puede dar el caso de que la propuesta de actividades que presenta el profesor a
los alumnos no sea potencialmente significativa, por causas diferentes:
a) Cuando el profesor no estructura bien los contenidos que quiere enseñar.
b) Cuando los materiales que ha escogido, como por ejemplo los libros de texto, no
son claros -ejercicios y problemas confusos, mal graduados, rutinarios y
repetitivos, errores de edición, etc.
c) Cuando la presentación del tema que hace el profesor no es clara ni está bien
organizada -no se le entiende cuando habla, habla demasiado rápido, la
utilización de la pizarra es caótica, no pone suficiente énfasis en los conceptos
clave del tema, etc.
El profesor debe analizar las características de las situaciones didácticas sobre las
cuales puede actuar, y su elección afecta al tipo de estrategias que pueden implementar
los estudiantes, conocimientos requeridos, etc. Estas características suelen denominarse
variables didácticas y pueden ser relativas al enunciado de los problemas o tareas, o
también a la organización de la situación (trabajo individual, en grupo, etc.).
La edad de los alumnos o sus conocimientos previos influyen sobre el éxito de una
tarea. Pero sobre estas variable poco o nada puede hacer el profesor en el momento en
que gestiona la situación. En consecuencia, no se trata de variables didácticas.
Ejemplo
En un problema del tipo, “Juan tenía 69 bolas, gana 2. ¿Cuántas bolas tiene ahora?” los
valores numéricos elegidos permiten que el alumno encuentre la solución con la estrategia
simple del recuento (69, 70, 71). Si cambia el enunciado de manera que en lugar de ganar 2
4 Briand, J. y Chevalier, M.C (1995). Les enjeux didactiques dans l’ensignement des mathématiques.
Paris: Hatier.
75
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
bolas, gana 28, el recuento es una técnica poco eficaz, por lo que el alumno probablemente
se verá forzado a usar otros procedimientos.
3. Dificultades que se originan en la organización del centro.
En ocasiones el horario del curso es inapropiado, el número de alumnos es
demasiado grande, no se dispone de materiales o recursos didácticos, etc.
4. Dificultades relacionadas con la motivación del alumnado
Puede ocurrir que las actividades propuestas por el profesorado a los alumnos sean
potencialmente significativas y que la metodología sea la adecuada, pero que el
alumnado no esté en condiciones de hacerlas suyas porque no esté motivado. Este tipo
de dificultades está relacionado con la autoestima y la historia escolar del alumno.
5. Dificultades relacionadas con el desarrollo psicológico de los alumnos
Una fuente de dificultades de aprendizaje de los alumnos de primaria hay que
buscarla en el hecho de que algunos alumnos aún no han superado la etapa preoperatoria
(teoría de Piaget) y realizan operaciones concretas, o bien que aquellos que aún están en
la etapa de las operaciones concretas realicen operaciones formales. En la planificación
a largo plazo del currículo habrá que tener en cuenta dos aspectos fundamentales:
– Cuáles de los objetivos del área de matemáticas corresponde a la etapa
preoperatoria, cuáles a la de las operaciones concretas y cuáles a la de las
operaciones formales
– Precisar las edades en que los alumnos pasan aproximadamente de una etapa a la
otra.
Ejemplo:
Una de las maneras más habituales para introducir la fórmula de la longitud de una
circunferencia en primaria consiste en hacer medir a los alumnos diferentes longitudes y
diámetros de objetos circulares como platos, monedas, etc. para que comprueben que el
cociente entre la longitud y el diámetro siempre es el mismo y que aproximadamente es
3,14. Para ello, los alumnos pueden rodear con una cuerda el perímetro del plato y luego
extenderla sobre una regla para medirla. Si algún alumno no está en la etapa operatoria
puede no entender que la longitud de la cuerda no varía al extenderla sobre la regla
6. Dificultades relacionadas con la falta de dominio de los contenidos anteriores
Puede ocurrir que el alumno, a pesar de tener un nivel evolutivo adecuado, no
tenga los conocimientos previos necesarios para poder aprender el nuevo contenido, y,
por tanto, la “distancia” entre el nuevo contenido y lo que sabe el alumno no es la
adecuada. La evaluación inicial puede detectar los contenidos previos que hay que
adquirir para conseguir el aprendizaje del contenido previsto.
Ejemplo: Un alumno con dificultades en el algoritmo de la resta es de esperar que tenga
dificultades con el algoritmo de la división.
24. En una clase de 6º de primaria el maestro no ha dado ninguna justificación de la fórmula
de la longitud de una circunferencia ni de la fórmula del área del círculo. ¿Qué tipo de error
podemos esperar de sus alumnos?
76
Enseñanza y aprendizaje de las matemáticas
25. De acuerdo con el esquema propuesto en el apartado 6 encuentra una explicación para
las siguientes respuestas:
a)5
b) El alumno renuncia a todo tipo de reacción mostrando una actitud de indiferencia, falta
de atención y aparente pereza.
7. ESTÁNDARES PARA LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS
Al reflexionar sobre qué caracteriza a un buen profesor de matemáticas o sobre
cómo conducir una clase de matemáticas, es útil analizar algunos documentos
preparados sobre esta problemática por asociaciones de profesores. Una de estas
asociaciones, de gran prestigio, que incluye también investigadores en educación
matemática es el National Council of Teachers of Mathematics (N.C.T.M).
Dicha asociación elaboró en 1991 un documento titulado Estándares profesionales
para la enseñanza de las matemáticas (N.C.T.M. 1991) con el fin de que fuese una
referencia para orientar la labor de los profesores de matemáticas en la década de los 90.
A continuación sintetizamos dicho documento.
7.1. Supuestos de los estándares
1. El fin de la enseñanza de las matemáticas es ayudar a los estudiantes a desarrollar
su capacidad matemática:
El currículo matemático propuesto en los “Estándares” trata de fomentar el
razonamiento matemático, la comunicación, la resolución de problemas y el
establecimiento de conexiones entre las distintas partes de las matemáticas y las
restantes disciplinas. Para ello se sugiere que:
• Los profesores deben ayudar a cada estudiante para que desarrolle su comprensión
5 Fernández, Llopis y Pablo (1985). Niños con dificultades para las matemáticas. Madrid:CEPE.
77
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
conceptual y procedimental de cada núcleo conceptual matemático: números,
operaciones, geometría, medición, estadística, probabilidad, funciones y álgebra y
los relacione entre sí.
• Deben tratar de que todos los estudiantes formulen y resuelvan una amplia variedad
de problemas, hagan conjeturas, den argumentos, validen soluciones, y evalúen si
las afirmaciones matemáticas son o no plausibles.
• Deben estimular la disposición de los estudiantes para usar e interesarse por las
matemáticas, para apreciar su belleza y utilidad, y comprender a los que se quedan
atascados o despistados.
• Deben ayudar a los estudiantes a reconocer que en el trabajo matemático llegamos a
veces a callejones sin salida y animarles a perseverar cuando se enfrentan con
problemas intrincados, así como a desarrollar auto confianza e interés.
2. Lo que los estudiantes aprenden está fundamentalmente conectado con el cómo lo
aprenden
Las oportunidades de los estudiantes para aprender matemáticas dependen del
entorno y del tipo de tareas y discurso en que participan. Lo que los estudiantes
aprenden -sobre conceptos y procedimientos particulares así como su capacidad de
razonamiento – depende de cómo se implican en la actividad en clase de matemáticas.
Su actitud hacia las matemáticas también queda marcada por tales experiencias. Por
consiguiente, hemos de cuidar no sólo el currículo, sino también la metodología de
enseñanza si queremos desarrollar la capacidad matemática de los estudiantes.
3. Todos los estudiantes pueden aprender a pensar matemáticamente
Cada estudiante puede -y debe- aprender a razonar y resolver problemas, hacer
conexiones a través de una rica red de tópicos y experiencias, y a comunicar ideas
matemáticas. Aunque los objetivos tales como hacer conjeturas, argumentar sobre las
matemáticas usando la evidencia matemática, formular y resolver problemas parezcan
complejos, no están destinados sólo a los chicos “brillantes” o “capaces
matemáticamente”.
4. La enseñanza es una práctica compleja y por tanto no reducible a recetas o
prescripciones
La enseñanza de las matemáticas se apoya en el conocimiento de varios dominios:
– conocimiento general de las matemáticas,
– de cómo los estudiantes aprenden matemáticas en general,
– del contexto de la clase, la escuela y la sociedad,
– la enseñanza es específica del contexto.
Ejemplo
El conocimiento teórico general sobre el desarrollo del adolescente, puede sólo
parcialmente informar una decisión sobre estudiantes particulares aprendiendo un concepto
matemático particular en un contexto dado.
Los profesores combinan el conocimiento procedente de estos dominios diferentes
para decidir cómo responder a la pregunta de un estudiante, cómo representar una idea
matemática particular, hasta cuándo proseguir con la discusión de un problema, o qué
tarea usar para introducir a los estudiantes en un tópico nuevo. Estas decisiones
78
Enseñanza y aprendizaje de las matemáticas
dependen de una variedad de factores antes los cuales el profesor debe encontrar un
equilibrio.
26. ¿Por qué enseñar bien las matemáticas es un compromiso complejo, que no se puede
reducir a un conjunto de recetas?.
La buena enseñanza depende de una serie de consideraciones y demanda que los
profesores razonen de un modo profesional dentro de contextos particulares de trabajo.
Los estándares para la enseñanza de las matemáticas están diseñados como una ayuda
en tales razonamientos y decisiones resaltando aspectos cruciales para la creación del
tipo de prácticas de enseñanza que apoyan los objetivos de aprendizaje. Se agrupan en
cuatro categorías: tareas, discurso del profesor y de los estudiantes, entorno y análisis.
7.2. Tareas
Las tareas en que se implican los estudiantes – proyectos, problemas, construcciones,
aplicaciones, ejercicios, etc. – y los materiales con los que trabajan enmarcan y centran
sus oportunidades para aprender las matemáticas en la escuela. Dichas tareas:
• Proporcionan el estímulo para que los estudiantes piensen sobre conceptos y
procedimientos particulares, sus conexiones con otras ideas matemáticas, y sus
aplicaciones a contextos del mundo real.
• Pueden ayudar a los estudiantes a desarrollar destrezas en el contexto de su utilidad.
• Expresan lo que son las matemáticas y lo que implica la actividad matemática.
Pueden dar una visión de las matemáticas como un dominio de indagación valioso y
atrayente.
• Requieren que los estudiantes razonen y comuniquen matemáticamente y
promueven su capacidad para resolver problemas y para hacer conexiones.
Una responsabilidad central del profesor consiste en seleccionar y desarrollar tareas
valiosas y materiales que creen oportunidades para que los estudiantes desarrollen su
comprensión matemática, competencias, intereses y disposiciones.
27. En un grupo de alumnos de primaria, el profesor quiere trabajar las diferentes unidades
de medida de longitud. Compara los dos tipos de tarea siguientes, desde el punto de vista
de las oportunidades que proporcionan para aprender matemáticas.
a. Realizar ejercicios de transformación y cálculo con diferentes unidades de medida, por
ejemplo, pasando de metros a centímetros o sumando medidas expresadas en diferentes
unidades y transformándolas a una unidad común.
b. Se da a los alumnos reglas de 30 cm. de longitud y se les pide medir el perímetro de la
clase. Los alumnos pueden usar si desean técnicas auxiliares, por ejemplo, contar el
número de pasos que hay que dar alrededor de la clase, contar el número de baldosas
cuadradas completas a lo largo del perímetro, midiendo los trozos de baldosas no
completas, usar un carrete de hilo como ayuda, etc. El profesor no da indicaciones sobre
cómo trabajar, aunque proporciona los recursos necesarios. Finalizada la tarea se produce
una comparación de estrategias y soluciones.
79
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
7.3. Discurso
El discurso de una clase – los modos de representar, pensar, hablar, ponerse de
acuerdo o en desacuerdo- es central para que los estudiantes comprendan que las
matemáticas como un dominio de investigación humana con modos característicos de
conocimiento.
El discurso incluye el modo en que las ideas son intercambiadas y lo que implican
las ideas: Es conformado por las tareas en las que los estudiantes se comprometen y la
naturaleza del entorno de aprendizaje; también influye sobre las mismas.
28. Da una lista de todos los tipos de actividades en un aula de matemáticas que puedan
considerarse como parte del discurso. ¿Quién habla?, ¿Sobre qué?, ¿De qué manera? ¿Qué
escriben las personas, qué registran y por qué? ¿Qué cuestiones son importantes? ¿Cómo
se intercambian las ideas? ¿Qué ideas y modos de pensamiento son valorados? ¿Quién
determina cuándo finalizar una discusión?
7.4. Entorno
El profesor de matemáticas es responsable de crear un entorno intelectual en que la
norma consista en un serio compromiso hacia el pensamiento matemático, para que el
entorno de la clase sea el fundamento de lo que los alumnos aprenden. Mas que un
entorno físico, con bancos, cuadernos y posters, el entorno de la clase forma un
currículo oculto con mensajes sobre lo que cuenta en el aprendizaje y la actividad
matemática: ¿Pulcritud?, ¿Velocidad?, ¿Precisión? ¿Escuchar bien? ¿Ser capaz de
justificar una solución? ¿Trabajar independientemente? Si deseamos que los estudiantes
aprendan a hacer conjeturas, experimenten con aproximaciones alternativas para
resolver problemas, y construir y responder a los argumentos de los demás, entonces la
creación de un entorno que estimule este tipo de actividades es esencial.
7.5. Análisis
Los profesores deben ser responsables de analizar su práctica docente, para intentar
comprender tanto como sea posible los efectos de la clase de matemáticas sobre cada
estudiante. El profesor debe llevar un registro sobre su clase usando una variedad de
estrategias y centrando la atención sobre una amplia matriz de dimensiones de la
competencia matemática, como se indica en los Estándares de Currículo y Evaluación
de las Matemáticas Escolares. Lo que los profesores aprenden de esto debería ser una
fuente primaria de información para la planificación y mejora de la instrucción tanto a
corto como a largo plazo. Algunas posibles preguntas son:
• ¿Uso buenas tareas, es decuado el discurso y el entorno de trabajo para estimular el
desarrollo de la capacidad y el conocimiento matemático de los estudiantes?
• ¿Qué parecen comprender bien los estudiantes, y qué sólo parcialmente? ¿
• Qué conexiones parece que están haciendo?
• ¿Qué disposición matemática parecen que están desarrollando?
• ¿Cómo trabaja el grupo conjuntamente como una comunidad de aprendizaje dando
sentido a las matemáticas?
80
Enseñanza y aprendizaje de las matemáticas
C: Seminario didáctico
1. ANÁLISIS DE DOCUMENTOS CURRICULARES
El anexo 2.1. contiene el enunciado del conjunto de normas o criterios para el logro
de una enseñanza eficaz de las matemáticas según el NCTM 91. Estudia con
detenimiento cada uno de dichos estándares y contrástalos con las orientaciones
metodológicas indicadas en los currículos españoles (estatal y autonómico), así como
con las indicaciones sobre el estudio dirigido de las matemáticas incluidas en este
capítulo.
2. REFLEXIÓN, REDACCIÓN Y DISCUSIÓN
Para las siguientes afirmaciones6 expresa tu grado de acuerdo y explica las posibles
razones de tu acuerdo o desacuerdo. Clasifícalas según las personas o instituciones que
suelen manifestarlas.
a) Todos los niños pueden aprender matemáticas
b) Las matemáticas son muy difíciles
c) Las matemáticas son muy abstractas
d) Con tantos alumnos por clase es muy difícil dar clase
e) Los alumnos vienen mal preparados de los cursos anteriores
f) No están motivados para estudiar
g) Lo más importante es que el profesor domine la materia
h) Los profesores de primaria tienen pocos conocimientos de matemáticas
i) A este alumno le cuesta mucho
j) Me han puesto las clases a unas horas en las que es imposible explicar nada
k) A mí las matemáticas nunca me han ido bien / me cuestan mucho
l) Lo sabía pero en el examen me pongo nervioso y lo hago todo mal
m) No sirvo para las matemáticas
n) Este profesor se explica muy mal
o) Este alumno no hace nada pero no molesta, en cambio este, además de no hacer
nada, distorsiona la clase
p) Cuando se explicó este tema yo estaba enfermo
q) Le faltan los conocimientos previos
r) Cuando yo estudiaba tampoco entendía las matemáticas
3. ENCUESTA DE ACTITUDES DE LOS ALUMNOS
Plantea algunas preguntas a una pequeña muestra de niños para conocer sus
actitudes y percepción de las matemáticas7. Por ejemplo,
– ¿Qué asignatura te gusta más? ¿Se te da bien?
6 Font, V (1998). Classificació de les dificultats d’aprenentatge dels continguts matemàtics. Actes de les
3es Jornades de Didàctica de les Matemàtiques. (pp. 41-50). Ed. Associació de Professors de
Matemàtiques de les Comarques Meridionals. Reus
7 Reys, R. E. y cols (2001). Helping children learn mathemtics. New York: John Wiley. (p. 24)
81
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
– ¿Crees que saber matemáticas te ayudará cuando seas mayor? ¿Por qué?
– Si te digo, “Vamos a hacer matemáticas”. ¿Qué harías?
– ¿Crees que a tu profesor le gusta enseñar matemáticas? Dime por qué.
4. ERRORES Y OBSTÁCULOS
1. Encuentra una explicación para las siguientes respuestas de un alumno a estas tres
sustracciones:
287
– 75
_____
212
369
– 295
_____
134
1528
– 233
______
1315
2. Algunos alumnos resuelven tareas aritméticas aplicando las siguientes reglas de su
propia invención:
1. No se puede dividir a por b a menos que a sea mayor que b.
2. No se puede restar a de b a menos que a sea menor que b.
3. Cuando se multiplican dos números, el resultado es mayor que ambos números.
4. Cuando se suman dos números, el resultado es mayor que cada uno de los
sumandos.
5. Para hacer una adición en columna, se “alinean” las cifras a la derecha.
Determina el campo de validez de cada una de estas reglas.
5. DISEÑO DE ACTIVIDADES
Elige un contenido matemático para un nivel determinado de primaria (números,
geometría, datos). Enunciar al menos un problema para ese tema que se pueda resolver
usando las técnicas: buscar un patrón, hacer un dibujo o diagrama, y construir una tabla.
6. ANÁLISIS DE TEXTOS
A continuación tienes dos explicaciones que tienen por objetivo introducir la
multiplicación en 3º de primaria. Compáralas y di cuál crees que es la que
potencialmente es más significativa. Justifica tu respuesta.
82
Enseñanza y aprendizaje de las matemáticas
ANEXO 2.1:
ESTANDARES SOBRE LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS (NCTM, 1991)
ESTÁNDAR 1: TAREAS MATEMÁTICAS VALIOSAS
El profesor de matemáticas debería plantear tareas que estén basadas en:
* unas matemáticas significativas y razonables;
* el conocimiento de los intereses, experiencias y comprensión de los estudiantes;
83
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
* el conocimiento de los distintos modos en que aprenden los alumnos: y que
* comprometa el intelecto de los estudiantes;
* desarrolle la comprensión y destrezas matemáticas de los estudiantes;
* estimule a los estudiantes a hacer conexiones y a desarrollar un marco coherente
para las ideas matemáticas;
* exija la formulación y resolución de problemas y el razonamiento matemático;
* promueva la comunicación sobre las matemáticas;
* presente las matemáticas como una actividad humana en desarrollo;
* muestre sensibilidad y tenga en cuenta las diversas disposiciones y experiencias
previas de los estudiantes;
* promueva el desarrollo de las disposiciones para hacer matemáticas de los
estudiantes.
ESTÁNDAR 2: EL PAPEL DEL PROFESOR EN EL DISCURSO
El profesor de matemáticas debería organizar el discurso mediante
* el planteamiento de cuestiones y tareas que pongan de manifiesto, comprometan y
desafíen el pensamiento de cada estudiante;
* escuchar cuidadosamente las ideas de los estudiantes;
* pidiendo a los estudiantes que clarifiquen y justifiquen sus ideas oralmente y por
escrito;
* decidiendo cuáles ideas de las que los estudiantes afloran durante una discusión se
van a tratar con detalle;
* decidiendo cuando y cómo asociar una notación y el lenguaje matemático a las ideas
de los estudiantes;
* decidir cuando proporcionar una información, cuando clarificar una cuestión, cuando
modelizar, cuando llevar el protagonismo, y cuando dejar al estudiante luchar contra
una dificultad;
* registrar la participación de cada estudiante en las discusiones y decidir cuando y
como animar a cada estudiante a participar.
ESTÁNDAR 3: EL PAPEL DEL ESTUDIANTE EN EL DISCURSO
El profesor de matemática debería promover un discurso de la clase en el que los
estudiantes -
* escuchen, respondan y pregunten al profesor y unos a otros;
* usen una variedad de herramientas para razonar, hacer conexiones, resolver problemas
y comunicarlos;
* plantear problemas y cuestiones;
* hacer conjeturas y presentar soluciones;
* explorar ejemplos y contraejemplos para investigar y conjeturar;
84
Enseñanza y aprendizaje de las matemáticas
* tratar de convencerse a sí mismos y a los demás de la validez de representaciones
particulares, soluciones, conjeturas y respuestas;
* apoyarse en la evidencia y los argumentos matemáticos para determinar la validez.
ESTÁNDAR 4: INSTRUMENTOS PARA ESTIMULAR EL DISCURSO
El profesor de matemáticas, con objeto de estimular el discurso, debería promover
y aceptar el uso de -
* ordenadores, calculadoras y demás tecnología;
* materiales concretos usados como modelos;
* dibujos, diagramas, tablas y gráficas;
* términos y símbolos inventados y convencionales;
* metáforas, analogías y relatos;
* hipótesis, explicaciones y argumentos escritos;
* presentaciones orales y dramatizaciones.
ESTÁNDAR 5: ENTORNO DE APRENDIZAJE
El profesor de matemáticas debería crear un entorno de aprendizaje que estimule el
desarrollo de la capacidad matemática de cada estudiante:
* proporcionando y estructurando el tiempo necesario para que exploren unas
matemáticas adecuadas y que intenten resolver problemas e ideas significativas;
* usando el espacio físico y los materiales de modo que faciliten el aprendizaje
matemático por los estudiantes;
* proporcionando un contexto que estimule el desarrollo de las destrezas y eficiencia
matemática;
* respetando y valorando las ideas de los estudiantes, modos de pensamiento y
disposición hacia las matemáticas;
y mediante la animación consistente de los estudiantes para -
* trabajar independientemente y en colaboración para dar sentido a las matemáticas;
* asumir riesgos intelectuales mediante el planteamiento de cuestiones y formulando
conjeturas;
* mostrar competencia matemática mediante la validación y el apoyo de ideas
matemáticas con argumentos matemáticos.
ESTÁNDAR 6: ANÁLISIS DE LA ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJE
El profesor de matemáticas debería comprometerse en el análisis progresivo de la
enseñanza y el aprendizaje sabiendo –
* observar, escuchar y reunir información sobre los estudiantes para evaluar lo que están
aprendiendo;
85
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
86
* examinar los efectos de las tareas, el discurso, y el entorno del aprendizaje sobre el
conocimiento de los estudiantes, sus destrezas y actitudes;
en orden a -
* asegurar que cada estudiante está aprendiendo unas matemáticas adecuadas y
significativas y que está desarrollando una disposición positiva hacia las matemáticas;
* desafiar y extender las ideas de los estudiantes;
* adaptar o cambiar las actividades durante la enseñanza;
* hacer planes, tanto a corto como a largo plazo;
* describir y comentar sobre el aprendizaje de cada estudiante con los padres,
directores, así como con los propios estudiantes.
BIBLIOGRAFÍA
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Brousseau, G. (1988). Utilidad e interés de la didáctica para un profesor. Suma, 4: 5-12 y
Suma 5: 5-12 (segunda parte).
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matemática en la Educación Primaria (pp. 41-59). Madrid: Síntesis.
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Skemp, R. (1980). Psicología del aprendizaje de las matemáticas. Madrid: Morata.
Proyecto Edumat-Maestros
Director: Juan D. Godino

http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/

Capítulo 3
CURRÍCULO MATEMÁTICO PARA LA
EDUCACIÓN PRIMARIA
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
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Currículo matemática para la educación primaria
A: Contextualización
REFLEXIÓN Y DISCUSIÓN SOBRE LAS ORIENTACIONES CURRICULARES
Consigna:
A continuación se presenta un extracto del Decreto de Currículo de Educación Primaria,
para el área de Matemáticas.
1) Léelo con atención. Subraya los puntos que consideras especialmente acertados.
2) ¿Cómo se contempla el aprendizaje de las matemáticas?
3) ¿Se da prioridad a unas matemáticas ligadas a la experiencia, integradoras y
funcionales, y se tienen en cuenta las características personales, sociales y psicológicas
del alumnado?.
4) Si no estás de acuerdo con alguno de los enunciados, indica tus razones.
Las matemáticas en la Educación Primaria (Decreto de Primaria, MEC)
Las consideraciones precedentes sobre el conocimiento matemático y sobre el papel que juega en el
desarrollo global de los alumnos muestran hasta qué punto las contribuciones de esta área son decisivas
para alcanzar los Objetivos Generales de la Educación Primaria. En efecto, mediante el aprendizaje de las
matemáticas los alumnos desarrollan su capacidad de pensamiento y de reflexión lógica, y adquieren un
conjunto de instrumentos poderosísimos para explorar la realidad, para representarla, explicarla y
predecirla, en suma, para actuar en y sobre ella.
Tradicionalmente, la enseñanza de las matemáticas en la Educación Primaria ha estado fuertemente
determinada por dos tipos de reflexiones: las relativas al nivel de desarrollo intelectual y de competencia
cognitiva de los alumnos y las relativas a la estructura interna del conocimiento matemático. Respecto a
las segundas, se ha subrayado sobre todo que las matemáticas no son un conjunto de elementos
desconectados, sino que poseen una estructura interna, con una fuerte componente jerárquica entre sus
partes, que impone una determinada secuencia temporal en el aprendizaje. De este modo, la estructura
interna del saber matemático se ha convertido a menudo en el punto de referencia único para la selección,
organización y secuenciación de los contenidos de aprendizaje en la Educación Primaria.
Esta manera de proceder ignora la diferencia, esencial desde el punto de vista pedagógico, entre, por
una parte, las características del saber matemático en un estado avanzado de elaboración y, por otra, el
proceso de construcción del conocimiento matemático. Como ya se ha mencionado, la formalización, el
rigor, la coherencia, la ausencia de ambigüedad y las otras características del conocimiento matemático
no son el punto de partida, sino más bien el punto de llegada de un largo proceso de construcción. Es en
este sentido que la elección de la estructura interna del saber matemático como único punto de referencia
para la selección, organización y secuenciación de los contenidos del aprendizaje no parece una opción
adecuada, siendo necesario introducir igualmente criterios relativos a la naturaleza del propio proceso de
construcción.
Algo similar cabe decir en cuanto a las consideraciones relativas al nivel de desarrollo intelectual y
de competencia cognitiva de los alumnos. En la medida en que el aprendizaje de las matemáticas se
entienda como la apropiación por parte de los alumnos de un saber constituido y acabado, es evidente que
su capacidad para asimilar y aprehender la estructura interna de dicho saber condicionará la posibilidad
misma de llevar a cabo el aprendizaje. Por el contrario, si el aprendizaje de las matemáticas se contempla,
como es el caso en este Diseño Curricular Base, como un proceso de construcción y de abstracción de
relaciones, progresivamente más complejas, elaboradas en y a partir de la actividad del alumno, entonces
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J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
las características psicoevolutivas de los alumnos, sin dejar de jugar un papel esencial, difícilmente
podrán ser consideradas como el punto de referencia único para la selección, organización y
secuenciación de los contenidos del aprendizaje. En efecto, buena parte de los conceptos y
procedimientos matemáticos que, por su grado de formalización, abstracción y complejidad, escapan a las
posibilidades de comprensión de los alumnos hasta bien entrada la adolescencia, aparecen sin embargo de
forma intuitiva y práctica en las actividades escolares y extraescolares de los alumnos de la Educación
Primaria convirtiéndose, de este modo, en objeto de atención preferente de la enseñanza y el aprendizaje
de las matemáticas en esta etapa educativa.
De lo dicho hasta aquí se infiere que, en la Educación Primaria, el proceso de construcción del
conocimiento matemático debe utilizar como punto de partida la propia experiencia práctica de los
alumnos. Las relaciones entre las propiedades de los objetos y de las situaciones que los alumnos
establecen de forma intuitiva en el transcurso de sus actividades pueden convertirse en objeto de reflexión
dando paso, de este modo, a las primeras experiencias específicamente matemáticas. En un primer
momento, estas experiencias matemáticas serán de una naturaleza esencialmente intuitiva y estarán
vinculadas a la manipulación de objetos concretos y a la actuación en situaciones particulares.
Conviene tener presente, sin embargo, que la experiencia práctica sólo constituye un punto de
partida -en el que será preciso detenerse en ocasiones durante períodos de tiempo ciertamente dilatados-,
y que la construcción del conocimiento matemático obliga a una abstracción y una formalización
crecientes. Quiere esto decir que la experiencia práctica y la comprensión intuitiva de nociones,
relaciones y propiedades matemáticas ha de ir enriqueciéndose progresivamente con formas de
representación (por ejemplo, dibujos, esquemas y otras formas de representación gráfica) que permitan
trascender la manipulación concreta de objetos y situaciones hasta llegar, en último término, a una
comprensión plena de las mismas mediante el manejo adecuado de las notaciones y operaciones
simbólicas de tipo numérico, algebraico o geométrico.
Son muchos los conceptos y procedimientos matemáticos cuya comprensión plena en el sentido
apuntado escapa a las posibilidades intelectuales de los alumnos de la Educación Primaria. Sin embargo,
esto no implica, como ya se ha dicho, que deban excluirse necesariamente como objeto de aprendizaje.
Por una parte, su introducción de forma más o menos intuitiva durante esta etapa permite iniciar el largo
camino que lleva desde la reflexión sobre la propia actividad hasta los niveles más abstractos, formales y
deductivos del conocimiento matemático. Por otra parte, mucho antes de que sea posible alcanzar su
comprensión plena, algunos de estos conceptos y procedimientos (por ejemplo, sistema de numeración
decimal, estrategias de conteo, operaciones aritméticas, unidades de medida, etc.) adquieren un valor
instrumental que se corresponde plenamente con las necesidades e intereses de los alumnos de la
Educación Primaria.
En cualquier caso, el hecho de tomar como punto de partida para la construcción del conocimiento
matemático la propia experiencia y la reflexión sobre la misma con el fin de ir avanzando,
progresivamente, hacia niveles más elevados de abstracción y de formalización posee importantes
implicaciones para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en la Educación Primaria. Sin
menoscabo del desarrollo del que son objeto en el apartado de Orientaciones Didácticas y para la
Evaluación, señalemos, por ejemplo, que el planteamiento expuesto aconseja:
• conceder prioridad al trabajo práctico y oral, introduciendo únicamente las actividades
descontextualizadas y el trabajo escrito (utilización de notaciones simbólicas) cuando los alumnos
muestren una comprensión de los conceptos matemáticos y un interés por los mismos;
• conceder prioridad al trabajo mental (y, en especial, al cálculo mental) con el fin de profundizar
los conocimientos matemáticos intuitivos antes de pasar a su formalización;
• utilizar ampliamente actividades grupales de aprendizaje que favorezcan los intercambios, la
discusión y la reflexión sobre las experiencias matemáticas;
• prestar especial atención al desarrollo de estrategias personales de resolución de problemas,
potenciando la inclusión en las mismas de los conocimientos matemáticos que se vayan adquiriendo
(representaciones gráficas y numéricas, registro de las alternativas exploradas, simplificación del
problema,..);
• utilizar los distintos ámbitos de experiencia de los alumnos, escolares (otras áreas del currículo:
conocimiento del medio, actividades físicas y deportivas, actividades artísticas, etc.) y extraescolares,
como fuente de experiencias matemáticas.
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Currículo matemática para la educación primaria
B: Desarrollo de conocimientos
1. INTRODUCCIÓN
En la bibliografía encontramos diferentes interpretaciones del término currículo,
así como diferentes formas de explicarlo y justificarlo (teorías curriculares) con las que
ya estáis familiarizados por vuestros estudios de pedagogía.
En síntesis el currículo trata de establecer de manera razonada y para cada etapa
educativa, qué enseñar y cómo en las distintas áreas de conocimiento. Los elementos
que componen el currículum se pueden agrupar en torno a cuatro cuestiones: ¿Qué
enseñar?, ¿Cuándo enseñar?, ¿Cómo enseñar?, y ¿Qué, cómo y cuándo evaluar?
En un sentido restringido el “currículo” se refiere a las directrices y documentos
oficiales dirigidos a un nivel y contenido concreto. Las directrices curriculares oficiales,
tanto a nivel nacional como de las comunidades autonómicas, establecen los fines
generales de la educación matemática, los objetivos, contenidos y criterios de
evaluación, pero a un nivel de generalidad que debe ser posteriormente desarrollado por
los centros, seminarios y los propios profesores. Estos deberán tener una preparación
adecuada para realizar la labor de desarrollo e implementación curricular.
En sentido amplio el currículo comprendería también el detalle de las acciones
educativas específicas que se deben realizar en el aula para el logro de los objetivos,
esto es, el plan operativo que detalla qué matemáticas necesitan conocer los alumnos, qué
deben hacer los profesores para conseguir que sus alumnos desarrollen sus conocimientos
matemáticos y cuál debe ser el contexto en el que tenga lugar el proceso de enseñanzaaprendizaje.
El currículum se concreta en tres niveles: el primer nivel es el marco común
elaborado por el Ministerio de Educación y Ciencia, que se completa con las
aportaciones de la Comunidad Autónoma. El segundo nivel lo establece el equipo
docente de cada centro marcando los objetivos básicos, la organización y coordinación
de recursos. El tercer nivel está formado por las programaciones de aula con todos los
elementos que esto conlleva.
En los capítulos 1 y 2 hemos descrito nuestros supuestos epistemológicos sobre la
naturaleza de las matemáticas, su enseñanza y aprendizaje. De ellos se derivan los
siguientes supuestos pedagógicos sobre la elaboración de propuestas curriculares para la
educación matemática:
1. El fin primordial del profesor en el aula es ayudar a sus alumnos a desarrollar el
razonamiento matemático, su capacidad de formular y resolver problemas, de
comunicar sus ideas matemáticas y relacionar las diferentes partes de las matemáticas
entre sí y con las restantes disciplinas. Finalmente debe promover unas buenas
actitudes en los alumnos hacia las matemáticas.
2. El profesor debe prestar una atención especial a la organización de la enseñanza y el
aprendizaje: lo que los alumnos aprenden depende fundamentalmente de cómo se lleva
a cabo este aprendizaje. Debe realizar una cuidadosa selección de las tareas y
situaciones didácticas que proporcionen oportunidades a los alumnos de indagar
problemas significativos para ellos y relevantes desde el punto de vista matemático,
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J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
formular hipótesis y conjeturas, utilizar diversos tipos de representaciones; validar sus
soluciones y comunicarlas a otros, dentro de un clima cooperativo y científico.
3. Hay que llevar al alumno progresivamente a la construcción de una red de conceptos y
procedimientos, y al dominio del lenguaje matemático, en consonancia con el
conocimiento matemático objetivo. Con dicho fin se deben diseñar situaciones
específicas de institucionalización de los conocimientos pretendidos.
4. El currículo debe ser flexible y adaptado a los distintos alumnos. Todos los niños
deben alcanzar los objetivos de aprender a realizar conjeturas y argumentos, formular y
resolver problemas. Para ello se deben proponer tareas sencillas sobre las que toda la
clase puede trabajar, pero, además, se deben proporcionar actividades de desarrollo y
sugerencias para los alumnos más capacitados.
5. La observación continuada de los procesos de enseñanza-aprendizaje debe ser la
principal estrategia evaluadora de los mismos.
1. Compara el nivel de concreción que presentan los siguientes documentos para el bloque
de contenidos “Números y operaciones”: 1) El DCB, 2) El Proyecto curricular de una
escuela que puedas conseguir, y 3) Un libro de texto de matemáticas de primaria.
2. ¿Por qué el currículo realmente implementado en el aula puede ser diferente del currículo
oficial, contenido en las directrices curriculares e incluso diferente del currículo planificado
por el mismo profesor? ¿Qué motivos pueden llevar al profesor a cambiar lo planificado?
El currículo matemático escolar tiene una fuerte incidencia sobre lo que los
estudiantes tienen oportunidad de aprender y de lo que aprenden efectivamente:
• En un currículo coherente, las ideas matemáticas se presentan y vinculan de forma
que permite progresar al conocimiento de los estudiantes y su capacidad de aplicar
las matemáticas.
• Un currículo matemático efectivo se centra en las partes más importantes de las
matemáticas –las que preparan a los estudiantes para sus estudios futuros y para
resolver problemas en una variedad de situaciones, en la vida diaria y en el trabajo.
• Un currículo matemático bien articulado desafía a los estudiantes para que aprendan
ideas matemáticas cada vez más sofisticadas a medida que continúan en sus
estudios.
La Ley Orgánica 1/1990 de Ordenación General del Sistema Educativo (LOGSE),
determina, en su artículo cuarto, los elementos integrantes del currículo: los objetivos,
contenidos, métodos y criterios de evaluación de cada uno de los niveles, etapas, ciclos,
grados y modalidades en los que se organiza la práctica educativa. Dispone también que
corresponde al Gobierno fijar los aspectos básicos del currículo o enseñanzas mínimas
para todo el Estado, mientras es competencia de las Administraciones Educativas
establecer el currículo con mayor detalle. En el Real Decreto 1006/1991, de 14 de junio
(BOE 26-6-1991), el MEC establece los mencionados aspectos básicos del currículo de
matemáticas de Educación Primaria.
En este capítulo presentamos las principales características del currículo oficial de
matemáticas para la educación primaria en España, junto con las orientaciones
curriculares elaboradas en EE.UU por el National Council of Teachers of Matemáticas
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Currículo matemática para la educación primaria
(Principios y Estándares para las Matemáticas Escolares; NCTM 2000). Esto permitirá a
los maestros en formación tener elementos de comparación y disponer de criterios para
hacer una interpretación crítica y constructiva de las orientaciones curriculares.
2. FINES Y OBJETIVOS DE LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA
2.1. ¿Por qué y para qué enseñar matemáticas?
En este apartado analizaremos las siguientes razones ofrecidas en los documentos
curriculares para apoyar la enseñanza de las matemáticas:
• La matemática es una parte de la educación general deseable para los futuros
ciudadanos adultos, quienes precisan adquirir competencias numéricas, geométricas,
estadísticas y de medida suficientes para desenvolverse en su vida diaria, así como
para leer e interpretar información matemática que aparece en los medios de
información.
• Es útil para la vida posterior, ya que en todas las profesiones se precisan unos
conocimientos de diverso nivel de sofisticación sobre las matemáticas.
• Su estudio ayuda al desarrollo personal, fomentando un razonamiento crítico,
basado en la valoración de la evidencia objetiva.
• Ayuda a comprender los restantes temas del currículo, tanto de la educación
obligatoria como posterior, que con frecuencia se apoyan en cálculos, conceptos o
razonamientos matemáticos.
3. Analiza las ideas matemáticas que aparecen en un ejemplar del diario local o nacional.
¿Piensas que algún adulto puede tener dificultad en interpretar algunas de estas ideas? ¿Cómo
puede influir una interpretación incorrecta de ideas o información matemática en las siguientes
situaciones: elaboración de un presupuesto, lectura de un contrato de trabajo, elaboración del
plano de una vivienda?
4. Analiza la presencia de contenidos matemáticos en otras áreas curriculares, tales como
geografía, ciencias sociales, dibujo, etc.
2.2. Justificación y orientación del currículo básico del MEC
El Diseño Curricular Base (MEC, 1989) reconoce que las matemáticas constituyen
hoy un conjunto amplio de modelos y procedimientos de análisis, cálculo, medida y
estimación, útiles para establecer relaciones espaciales, cuantitativas y de otros tipos
entre diferentes aspectos de la realidad. A semejanza de otras disciplinas, constituyen un
campo en continua expansión y de creciente complejidad, lo que tiene también
consecuencias sobre la educación en matemáticas, que si bien ha estado presente
tradicionalmente en la enseñanza, puede y merece ser enseñada con procedimientos
distintos de los tradicionales. La misma introducción y aplicación de nuevos medios
tecnológicos en matemáticas obliga a un planteamiento diferente tanto en los contenidos
como en la forma de su enseñanza.
El currículo debe reflejar el proceso constructivo del conocimiento matemático, tanto
en su progreso histórico como en su apropiación por el individuo. La formalización y
estructuración del conocimiento matemático como sistema deductivo no es el punto de
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J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
partida, sino más bien un punto de llegada de un largo proceso de construcción de
instrumentos intelectuales eficaces para interpretar, representar, analizar, explicar y
predecir determinados aspectos de la realidad.
La constante referencia a la realidad que se encierra en la actividad matemática no ha
de hacer olvidar, por otro lado, los elementos por los que las matemáticas precisamente
se distancian de la misma, mediante la creatividad, la crítica, el poder de imaginar y
representar no sólo espacios físicos reales, sino, con generalidad mayor, una “realidad”
alternativa. La exploración y desarrollo de modelos “puramente” matemáticos
contribuyen a describir, comprender y explicar mejor la complejidad del mundo.
La enseñanza de las matemáticas se justifica también por objetivos de desarrollo
intelectual general: se destaca que las matemáticas contribuyen al desarrollo de
capacidades cognitivas abstractas y formales, de razonamiento, abstracción, deducción,
reflexión y análisis.
Hay que destacar también el valor funcional que poseen como conjunto de
procedimientos para resolver problemas en muy diferentes campos, para poner de
relieve aspectos y relaciones de la realidad no directamente observables y para predecir
hechos, situaciones o resultados antes de que se produzcan o se observen
empíricamente. Ambos aspectos, el funcional y el formativo, son indisociables y
complementarios, no antagónicos.
Por otro lado, en la sociedad actual es imprescindible manejar conceptos
matemáticos relacionados con la vida diaria, en el ámbito del consumo, la economía
privada y otras situaciones de la vida social. A medida que los alumnos progresan a
través de los ciclos de la educación obligatoria, se precisan unas matemáticas más
complejas, tanto en las ciencias de la naturaleza como en las ciencias sociales. Por ello,
su aprendizaje ha de llevar a la capacidad de utilizar el lenguaje matemático en la
elaboración y comunicación de conocimientos.
Así pues, a lo largo de la educación obligatoria las matemáticas han de desempeñar,
un papel formativo básico de capacidades intelectuales, un papel aplicado a problemas y
situaciones de la vida diaria, y un papel instrumental para adquirir conocimientos en
otras materias.
Todo ello justifica los contenidos de las matemáticas en esta etapa, así como las
características didácticas básicas de su enseñanza, así como los siguientes principios de
selección y organización de sus contenidos. Estos principios no se aplican por igual
desde el comienzo de la Educación Primaria al final de la Educación Secundaria, pero
mantienen su vigencia a lo largo de la educación obligatoria:
1. Las matemáticas han de ser presentadas a alumnos y alumnas como un conjunto de
conocimientos y procedimientos que han evolucionado en el transcurso del
tiempo, y que, con seguridad, continuarán evolucionando en el futuro. En esa
presentación han de quedar resaltados los aspectos inductivos y constructivos y no
sólo los aspectos deductivos de la organización formalizada que le caracteriza
como producto final. En el aprendizaje de los propios alumnos hay que reforzar el
uso del razonamiento empírico inductivo en paralelo con el uso del razonamiento
deductivo y de la abstracción.
2. Es necesario relacionar los contenidos de matemáticas con la experiencia de
alumnos y alumnas, y presentarlos en un contexto de resolución de problemas y
de contraste de puntos de vista en esta resolución. En relación con ello, hay que
presentar las matemáticas como conocimiento que sirve para almacenar una
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Currículo matemática para la educación primaria
información de otro modo inasimilable, para proponer modelos que permiten
comprender procesos complejos del mundo natural y social y para resolver
problemas muy diferentes, gracias a la posibilidad de abstracción, simbolización y
formalización propia de las matemáticas.
3. La enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas ha de atender equilibradamente a:
a) al establecimiento de destrezas cognitivas de carácter general, susceptibles de
ser utilizadas en una amplia gama de casos particulares, que potencian las
capacidades cognitivas de los alumnos; b) a su aplicación funcional, posibilitando
que los alumnos valoren y apliquen sus conocimientos matemáticos fuera del
ámbito escolar, en situaciones de la vida cotidiana; c) a su valor instrumental,
creciente a medida que el alumno progresa hacia tramos superiores de la
educación, y en la medida en que las matemáticas proporcionan formalización al
conocimiento humano riguroso y, en particular, al conocimiento científico.
En la educación Primaria los diferentes aspectos (formativo, funcional, instrumental)
son muy importantes, ya que, debido a su abstracción, formalización y complejidad,
gran parte de los conceptos y procedimientos matemáticos escapan a las posibilidades
de comprensión de alumnos y alumnas. Por ello, en esta etapa, a semejanza de lo que
debe hacerse con otras áreas, el punto de partida del proceso de construcción del
conocimiento matemático ha de ser la experiencia práctica y cotidiana que niños y niñas
poseen. Las relaciones entre las propiedades de los objetos y de las situaciones que
alumnos y alumnas establecen de forma intuitiva y espontánea en el curso de sus
actividades diarias han de convertirse en objeto de reflexión, dando paso de ese modo a
las primeras experiencias propiamente matemáticas. Se trata de experiencias sencillas y
cotidianas tales como la organización del espacio y la orientación dentro de él (en casa,
en el colegio, en la vecindad), los ciclos y rutinas temporales (días de la semana, horas
de comer, etc.), las operaciones de medición que realizan los adultos (contando,
pesando, etc.), el uso del dinero en las compras cotidianas o la clasificación de objetos
de acuerdo con determinadas propiedades.
La orientación de la enseñanza y del aprendizaje en esta etapa se sitúa a lo largo de
un continuo que va de lo estrictamente manipulativo, práctico y concreto hasta lo
esencialmente simbólico, abstracto y formal. Las experiencias matemáticas iniciales
serán de naturaleza esencialmente intuitiva y estarán vinculadas a la manipulación de
objetos concretos y a la actuación en situaciones particulares. Aunque podemos
detenernos durante períodos de tiempo dilatados, estas experiencias iniciales son sólo
un punto de partida que hay que abandonar en algún momento, para construir el
conocimiento matemático a través de una abstracción y formalización crecientes, y
corregir los errores, distorsiones e insuficiencias de la intuición espontánea. Sin
necesidad de alcanzar la comprensión plena de algunos conceptos y procedimientos
matemáticos, éstos pueden cumplir sus funciones instrumentales en un nivel que se
corresponde con las necesidades y capacidades de los alumnos de Primaria.
Es importante que los alumnos tengan dominio funcional de estrategias básicas de
cómputo, de cálculo mental, de estimaciones de resultados y de medidas, así como
también de utilización de la calculadora, sin necesidad de conocer sus fundamentos
matemáticos. Junto con ello, los alumnos y alumnas tendrán que adquirir una actitud
positiva hacia las matemáticas, para valorar y comprender la utilidad del conocimiento
matemático, interesarse por su uso, el modo en que permite ordenar la información,
comprender la realidad y resolver determinados problemas.
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5. Analiza la siguiente actividad de un
texto de primer curso de primaria.
¿Qué contenidos se tratan?
¿Cómo se relacionan con la experiencia del
alumno?
¿Qué tipo de conocimiento puede adquirir
el alumno?
¿Cómo se podría hacer progresar hacia un
conocimiento más formal?
Objetivos generales
Una vez establecidas las motivaciones anteriores, el Decreto curricular indica que la
enseñanza de las matemáticas en la etapa de Educación Primaria tendrá como objetivo
contribuir a desarrollar en los alumnos y alumnas las capacidades de:
1. Utilizar el conocimiento matemático para interpretar, valorar y producir
informaciones y mensajes sobre fenómenos conocidos.
2. Reconocer situaciones de su medio habitual en las que existan problemas para cuyo
tratamiento se requieran operaciones elementales de cálculo, formularlos
mediante formas sencillas de expresión matemática y resolverlos utilizando los
algoritmos correspondientes.
3. Utilizar instrumentos sencillos de cálculo y medida decidiendo, en cada caso, sobre
la posible pertinencia y ventajas que implica su uso y sometiendo los resultados a
una revisión sistemática.
4. Elaborar y utilizar estrategias personales de estimación, cálculo mental y
orientación espacial para la resolución de problemas sencillos, modificándolas si
fuera necesario.
5. Identificar formas geométricas en su entorno inmediato, utilizando el conocimiento
de sus elementos y propiedades para incrementar su comprensión y desarrollar
nuevas posibilidades de acción en dicho entorno.
6. Utilizar técnicas elementales de recogida de datos para obtener información sobre
fenómenos y situaciones de su entorno; representarla de forma gráfica y numérica
y formarse un juicio sobre la misma.
7. Apreciar el papel de las matemáticas en la vida cotidiana, disfrutar con su uso y
reconocer el valor de actitudes como la exploración de distintas alternativas, la
conveniencia de la precisión o la perseverancia en la búsqueda de soluciones.
8. Identificar en la vida cotidiana situaciones y problemas susceptibles de ser
analizados con la ayuda de códigos y sistemas de numeración, utilizando las
propiedades y características de éstos para lograr una mejor comprensión y
resolución de dichos problemas.
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Currículo matemática para la educación primaria
6. Indica dos situaciones de la vida cotidiana del niño en que aparezca problemas aritméticos,
otras dos en que se requiera la orientación espacial y otras dos en que aparezcan problemas de
estimación o medida.
7. Identifica en un libro de matemáticas de educación primaria una actividad relacionada con
cada uno de los objetivos anteriores.
2.3. Principios para las matemáticas escolares propuestos por el NCTM
A continuación presentaremos una síntesis de la última edición de las orientaciones
curriculares elaboradas por la prestigiosa organización de profesores de matemáticas de
Estados Unidos, National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), que se conocen
con el nombre de “Principios y Estándares para la Matemática Escolar” (Principios y
Estándares 2000). El proceso riguroso y sistemático aplicado en su desarrollo han
permitido elaborar unas guías curriculares que suponen un claro progreso con relación a las
orientaciones curriculares elaboradas en nuestro país a principios de los noventa, tanto para
todo el estado español como en las distintas comunidades autónomas.
Los Principios y Estándares proporcionan una guía y una perspectiva general, esto es,
se trata de un “Diseño curricular base”, y deja, por tanto, las decisiones curriculares
específicas a los niveles locales de decisión (Proyectos de Centro, y Programaciones de
Aula). Consideramos que es un documento de gran ayuda que nos permite contrastar y
valorar los diseños curriculares propuestos en España a nivel nacional y regional para el
área de matemáticas. Además, ofrecen una visión de las matemáticas y su enseñanza, y
unos recursos educativos, que en líneas generales son coherentes con el enfoque
epistemológico, cognitivo e instruccional que hemos descrito en los capítulos anteriores.
El documento “Principios y Estándares para la Matemática Escolar” está disponible
en Internet en versión electrónica, junto con otros recursos complementarios para la
enseñanza de las matemáticas en los niveles de educación infantil hasta el bachillerato para
su difusión internacional.
8. Explora la página de Internet dedicada a los Principios y Estándares para la matemática
escolar: http://standards.nctm.org/
¿Qué tipo de recursos se recogen? ¿Cómo pueden estos recursos ser útiles a un profesor?
Los Principios y Estándares para la Matemática Escolar pretenden ser un recurso y
una guía para todas las personas que toman decisiones que afectan a la educación
matemática de los estudiantes de los niveles desde infantil hasta el bachillerato (grados K-
12, en terminología de EE.UU.). Las recomendaciones enfatizan la importancia de la
comprensión y se describen modos de cómo pueden lograrla los estudiantes. Han sido
elaborados por diversos grupos de trabajo formados por profesores de matemáticas y
especialistas en educación matemática durante un período de unos tres años, partiendo de
la información y experiencia aportada por documentos similares elaborados en ediciones
anteriores (Estándares Curriculares; Estándares Profesionales para la Enseñanza de las
Matemáticas; Estándares de Evaluación para las Matemáticas Escolares)
• Los Principios son enunciados que reflejan preceptos básicos que son fundamentales
para el logro de una educación matemática de calidad; deberían ser útiles como
perspectivas sobre las que los educadores pueden basar sus decisiones que afectan a las
matemáticas escolares.
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• Los Estándares describen el contenido matemático y los procesos que los estudiantes
deberían aprender.
Los Principios y los Estándares conjuntamente constituyen guías para los educadores
en su esfuerzo por una mejora continua de la educación matemática en las clases, las
escuelas y el sistema educativo. A continuación describimos los seis principios recogidos
en el documento
Principios para las Matemáticas Escolares
􀂃 Equidad. La educación matemática de calidad ha de basarse en la equidad – unas altas
expectativas y apoyo para todos los estudiantes, según sus características.
􀂃 Currículo. Un currículo es más que una colección de actividades: debe ser coherente,
centrado en unas matemáticas importantes y bien articuladas a lo largo de los distintos
niveles.
􀂃 Enseñanza. Una enseñanza efectiva de las matemáticas requiere que los estudiantes
comprendan lo que conocen y lo que necesitan aprender, y por tanto se plantea el
desafío de apoyarles en un aprendizaje correcto.
􀂃 Aprendizaje. Los estudiantes deben aprender matemáticas con comprensión,
construyendo activamente el nuevo conocimiento a partir de la experiencia y el
conocimiento previo.
􀂃 Evaluación. La evaluación debe apoyar el aprendizaje de unas matemáticas relevantes
y proporcionar información útil tanto a los profesores como a los estudiantes.
􀂃 Tecnología. La tecnología es esencial en la enseñanza y el aprendizaje de las
matemáticas; influye en las matemáticas que se enseñan y estimula el aprendizaje de
los estudiantes.
Estos seis principios no se refieren a contenidos o procesos matemáticos específicos,
mientras que los Estándares sí se refieren a dichos contenidos y procesos. Los principios
describen cuestiones cruciales que, aunque no sean específicas de las matemáticas
escolares, están profundamente interconectadas con los programas de matemáticas. Pueden
influir en el desarrollo de marcos curriculares, la selección de materiales curriculares, la
planificación de unidades o lecciones instruccionales, el diseño de evaluaciones, la
asignación de los profesores y los estudiantes a las clases, las decisiones instruccionales en
las clases, y el establecimiento de programas de apoyo para el desarrollo profesional de los
profesores.
9. ¿Cómo pueden producirse problemas de falta de equidad en la clase de matemáticas? ¿Cómo
pueden los libros de texto u otros materiales no respetar el principio de equidad?
10. Pon ejemplos de la forma en la que la calculadora puede afectar a la clase de matemáticas.
¿Qué otros recursos tecnológicos podrían afectar a la enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas?
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Currículo matemática para la educación primaria
3. CONTENIDOS MATEMÁTICOS EN PRIMARIA
3.1 Diferentes tipos de contenidos: conceptos, procedimientos y actitudes
En el Capítulo 1 de esta Monografía ya se ha comentado que el Diseño Curricular
Base está organizado teniendo en cuenta tres tipos de contenidos: conceptos,
procedimientos y actitudes. En los bloques de estas orientaciones se señalan en tres
apartados distintos los tres tipos de contenido. El primero de ellos es el que presenta los
conceptos, hechos y principios. El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los
procedimientos. Este tipo de contenido, si bien estaban presentes en los currículos
anteriores, quedaban relegados a un segundo plano. En el DCB los procedimientos
pasan a un primer plano y además éstos no se restringen a los algoritmos ya que se
contemplan procedimientos generales como por ejemplo el cálculo mental o la
resolución de problemas. La novedad más importante es la incorporación en el
currículo contenidos de actitudes, valores y normas con el objetivo de que el alumno
tenga una actitud positiva que le permita perseverar en el esfuerzo necesario para la
construcción de los nuevos contenidos que se le proponen en el proceso de estudio.
3.2. Bloques de contenidos en el currículo básico del MEC y su estructuración
El Currículo del MEC se organiza en cuatro bloques de contenidos, diferenciando en
ellos conceptos, procedimientos y actitudes. A continuación los reproducimos.
1. Números y operaciones
Conceptos
1. Números naturales, fraccionarios y decimales:
2. Sistema de Numeración Decimal:
3. Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división:
4. Reglas de uso de la calculadora
Procedimientos
1. Utilización de diferentes estrategias para contar de manera exacta y aproximada.
2. Explicación oral del proceso seguido en la realización de cálculos y en la
resolución de problemas numéricos.
3. Estimación del resultado de un cálculo y valoración de si una determinada
respuesta numérica es o no razonable.
4. Elaboración de estrategias personales de cálculo mental con números sencillos.
5. Utilización de la calculadora de cuatro operaciones y decisión sobre la
conveniencia o no de usarla atendiendo a la complejidad de los cálculos y a la
exigencia de exactitud de los resultados.
Actitudes
1. Curiosidad por indagar y explorar sobre el significado de los códigos numéricos y
alfanuméricos y las regularidades y relaciones que aparecen en conjuntos de
números.
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2. Sensibilidad e interés por las informaciones y mensajes de naturaleza numérica
apreciando la utilidad de los números en la vida cotidiana.
3. Confianza en las propias capacidades y gusto por la elaboración y uso de
estrategias personales de cálculo mental.
4. Gusto por la presentación ordenada y clara de los cálculos y de sus resultados.
11. ¿Qué puede hacer el maestro en la clase de matemáticas para aumentar la curiosidad de
sus alumnos? ¿para reforzar la confianza en su propia capacidad para hacer matemáticas?
¿para motivarlos a una presentación clara y ordenada de las soluciones a las tareas
propuestas?
12. Da una lista de estrategias sencillas de cálculo mental que puedan ser útiles a los alumnos
que finalizan la educación primaria en situaciones cotidianas, tales como ir a hacer la
compra.
13. Razona cómo la implantación del Euro ha influido en la creación de nuevas necesidades
de aprendizaje, en lo que se refiere a conceptos numéricos.
2. La medida
Conceptos
1. Necesidad y funciones de la medición:
2. Unidades no convencionales.
3. Las unidades de medida del Sistema Métrico Decimal: (longitud, superficie,
capacidad, masa).
4. Las unidades de medida de tiempo.
Procedimientos
1. Mediciones con unidades convencionales y no convencionales.
2. Elaboración y utilización de estrategias personales para llevar a cabo
estimaciones de medidas en situaciones cotidianas.
3. Toma de decisiones sobre las unidades de medida más adecuadas en cada caso
atendiendo al objetivo de la medición.
4. Expresión verbal del proceso seguido y de la estrategia utilizada en la medición.
Actitudes
1. Valoración de la importancia de las mediciones y estimaciones en la vida
cotidiana.
2. Gusto por la precisión apropiada en la realización de mediciones.
3. Curiosidad e interés por averiguar la medida de algunos objetos y tiempos
familiares.
4. Tendencia a expresar los resultados numéricos de las mediciones manifestando
las unidades de medida utilizadas.
100
Currículo matemática para la educación primaria
14. Analiza la progresión del aprendizaje de las unidades de medida de tiempo en la
enseñanza primaria en una colección de libros de texto. ¿Piensas que tienen en cuenta los
contenidos actitudinales?
3. Formas geométricas y situación en el espacio
Conceptos
1. La situación en el espacio (distancias, ángulos y giros, y sistema de coordenadas
cartesianas)
2. Relación entre elementos geométricos (paralelismo, perpendicularidad)
3. La representación elemental del espacio (planos, mapas, maquetas)
4. Formas planas y espaciales
5. Regularidades y simetrías.
Procedimientos
1. Descripción de la situación y posición de un objeto en el espacio con relación a
uno mismo y/o a otros puntos de referencia apropiados.
2. Interpretación y descripción verbal de croquis, planos, maquetas y mapas.
3. Comparación y clasificación de figuras y cuerpos geométricos utilizando diversos
criterios.
4. Formación de figuras planas y cuerpos geométricos a partir de otras por
composición y descomposición.
5. Búsqueda de elementos de regularidad y simetría en figuras y cuerpos
geométricos.
Actitudes
1. Valoración de la utilidad de los sistemas de referencia y de la representación
espacial en actividades cotidianas.
2. Sensibilidad y gusto por la elaboración y por la presentación cuidadosa de las
construcciones geométricas.
3. Precisión y cuidado en el uso de instrumentos de dibujo y disposición favorable
para la búsqueda de instrumentos alternativos.
4. Interés y perseverancia en la búsqueda de soluciones a situaciones problemáticas
relacionadas con la organización y utilización del espacio.
4. Organización de la información
Conceptos
1. La representación gráfica:
2. Las tablas de datos.
3. Tipos de gráficas estadísticas: bloques de barras, pictogramas, diagramas
lineales, etc.
4. Carácter aleatorio de algunas experiencias.
101
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
Procedimientos
1. Exploración sistemática, descripción verbal e interpretación de los elementos
significativos de gráficas sencillas relativas a fenómenos familiares.
2. Recogida y registro de datos sobre objetos, fenómenos y situaciones familiares
utilizando técnicas elementales de encuesta, observación y medición.
3. Elaboración de gráficas estadísticas con datos poco numerosos relativos a
situaciones familiares.
4. Expresión sencilla del grado de probabilidad de un suceso.
Actitudes
1. Actitud crítica ante las informaciones y mensajes transmitidos de forma gráfica y
tendencia a explorar todos los elementos significativos.
2. Valoración de la expresividad del lenguaje gráfico como forma de representar
muchos datos.
3. Sensibilidad y gusto por las cualidades estéticas de los gráficos observados o
elaborados.
15. Analiza los conceptos y procedimientos implicados en la resolución de la siguiente
tarea. ¿Se recogen todas las indicadas en el Decreto de Educación Primaria? Completa la
tarea para que se recojan todos ellos.
Ejercicio. Al medir la altura en cm. que pueden saltar un grupo de escolares, antes y
después de haber efectuado un cierto entrenamiento deportivo, se obtuvieron los valores
siguientes. ¿Piensas que el entrenamiento es efectivo?
Altura saltada en cm.
Alumno Ana Bea Carol Diana Elena Fanny Gema Hilda Ines Juana
Antes del
entrenamiento
115 112 107 119 115 138 126 105 104 115
Después del
entrenamiento
128 115 106 128 122 145 132 109 102 117
3.3. Estándares de contenidos y procesos del NCTM
Los Estándares constituyen un fundamento global recomendado para todos los
estudiantes. Se formulan estándares para cinco bloques de contenido matemático y cinco
tipos de procesos matemáticos. Los bloques de contenido son: Números y operaciones,
Álgebra, Geometría, Medición, Análisis de Datos y Probabilidad, mientras que los tipos de
procesos matemáticos se refieren a: Resolución de Problemas, Razonamiento y prueba,
Comunicación, Conexiones y Representaciones.
Cada uno de estos diez Estándares se aplican en todos los niveles, desde educación
infantil a bachillerato y proponen las matemáticas que todos los estudiantes deberían tener
oportunidad de aprender. Cada Estándar comprende un pequeño número de objetivos que
se aplican a todos los niveles – un núcleo común que promueve un foco en el crecimiento
del conocimiento de los estudiantes a medida que progresan en el currículo. En cada tramo
de niveles se formulan un conjunto adicional de expectativas específicas sobre los
102
Currículo matemática para la educación primaria
estándares de contenido. No se espera que cada tópico sea tratado todos los años ni que los
distintos contenidos se traten de manera separada unos de otros. Las distintas áreas se
solapan y están integradas. Los procesos se pueden aprender dentro de los contenidos, y
los contenidos se puede aprender dentro de los procesos.
Ejemplos
Los números penetran en todas las áreas de matemáticas. Algunos temas sobre análisis de
datos se pueden caracterizar como parte de la medición. Los patrones y funciones aparecen en
geometría. Los procesos de razonamiento, prueba, resolución de problemas y representación
se usan en todas las áreas de contenido.
La disposición del currículo en estos Estándares se propone como una organización
coherente del contenido y los procesos matemáticos. Las personas que diseñen marcos
curriculares específicos, evaluaciones, materiales instruccionales, programaciones de aula
basados en los Principios y Estándares necesitarán tomar sus propias decisiones sobre el
orden y el énfasis en los distintos contenidos y procesos.
Los objetivos generales incluidos en las tablas 3.1 y 3.2 se concretan en objetivos más
específicos (expectativas) según los siguientes tramos de niveles o grados en que se divide
el sistema educativo en EE.UU: Preescolar a 2º Grado (edades 5 a 7 años); Grados 3 a 5
(8-10 años); Grados 6 a 8 (11-13 años) y Grados 9 a 12 (14-17 años). El tramo de edades
de los niveles intermedios, Grados 6 a 8, incluye el 6º Nivel, que para nosotros
corresponde a la Educación Primaria.
Tabla 3.1: Estándares de contenidos matemáticos para los niveles de educación infantil a
bachillerato
Contenidos y
procesos
Los programas instruccionales deberían capacitar a los estudiantes para:
Números y
operaciones
• comprender los números, los modos de representar los números, relaciones
entre los números, y los sistemas numéricos;
• comprender los significados de las operaciones y cómo se relacionan unas con
otras;
• calcular eficazmente y hacer estimaciones razonables.
Álgebra • comprender patrones, relaciones y funciones;
• representar y analizar situaciones y estructuras matemáticas usando símbolos
algebraicos;
• usar modelos matemáticos para representar y comprender relaciones
cuantitativas;
• analizar el cambio en diversos contextos.
Geometría • analizar las características y propiedades de las formas geométricas de dos y
tres dimensiones y desarrollar argumentos matemáticos sobre relaciones
geométricas;
• especificar posiciones y describir relaciones espaciales usando geometría de
coordenadas y otros sistemas de representación;
• aplicar transformaciones y usar la simetría para analizar situaciones
matemáticas;
• usar la visualización, el razonamiento espacial, y la modelización geométrica
para resolver problemas.
Medición • comprender los atributos medibles de los objetos y las unidades, sistemas, y
procesos de medición;
103
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
• aplicar técnicas apropiadas, herramientas, y fórmulas para determinar
mediciones.
Análisis de
Datos y
Probabilidad
• formular cuestiones que se puedan plantear sobre datos y recoger, organizar, y
presentar datos relevantes para responderlos;
• seleccionar y usar métodos estadísticos apropiados para analizar datos;
• desarrollar y evaluar inferencias y predicciones basadas en los datos;
• comprender y aplicar conceptos básicos de probabilidad.
Tabla 3.2: Estándares sobre procesos matemáticos para los niveles de educación infantil a
bachillerato
Contenidos y
procesos
Los programas instruccionales deberían capacitar a los estudiantes para:
Resolución de
Problemas
• construir nuevo conocimiento matemático por medio de la resolución de
problemas;
• resolver problemas que surgen de las matemáticas y en otros contextos;
• aplicar y adaptar una variedad de estrategias apropiadas para resolver
problemas;
• controlar y reflexionar sobre el proceso de resolver problemas
matemáticos.
Razonamiento y
Prueba
• reconocer el razonamiento y la prueba como aspectos fundamentales de
las matemáticas;
• hacer e investigar conjeturas matemáticas;
• desarrollar y evaluar argumentos y pruebas;
• seleccionar y usar varios tipos de razonamientos y métodos de prueba.
Comunicaciones • organizar y consolidar su pensamiento matemático mediante la
comunicación;
• comunicar su pensamiento matemático de manera coherente y clara a los
compañeros, profesores y a otras personas;
• analizar y evaluar el pensamiento matemático y las estrategias de los
demás;
• usar el lenguaje de las matemáticas para expresar ideas matemáticas de
manera precisa.
Conexiones • reconocer y usar conexiones entre las ideas matemáticas;
• comprender cómo se relacionan las ideas matemáticas y se organizan en
un todo coherente.
• reconocer y aplicar las ideas matemáticas en contextos no matemáticos.
Representaciones
• crear y usar representaciones para organizar, registrar, y comunicar ideas
matemáticas;
• seleccionar, aplicar, y traducir representaciones matemáticas para resolver
problemas;
• usar representaciones para modelizar e interpretar fenómenos físicos,
sociales y matemáticos
16. Analizar las diferencias y semejanzas en las orientaciones curriculares siguientes
respecto de los contenidos matemáticos para los niveles de primaria:
– Currículo básico del MEC
– Las orientaciones curriculares de tu Comunidad Autónoma
– Principios y Estándares 2000 del NCTM.
104
Currículo matemática para la educación primaria
4. ORIENTACIONES SOBRE LA EVALUACIÓN
4.1. Fines y tipos de evaluación. Principios básicos
La evaluación es el proceso de recogida y análisis de información que permite
conocer hasta qué punto se está produciendo un buen proceso de enseñanza y
aprendizaje y qué problemas se están planteando en este proceso. La información
resultante proporciona al profesor elementos para analizar críticamente su intervención
educativa, detectar necesidades y tomar decisiones al respecto. En la evaluación, como
seguimiento continuo del proceso de enseñanza y aprendizaje cabe distinguir tres
momentos o aspectos complementarios:
• Evaluación inicial: aporta información sobre la situación de cada alumno al iniciar
un determinado proceso de enseñanza y aprendizaje que permite adecuar este
proceso a sus posibilidades. Desde la perspectiva del aprendizaje significativo, esta
evaluación se convierte en una tarea prioritaria para conocer los conocimientos
previos de los alumnos.
• Evaluación formativa o continua: pone énfasis en el proceso de enseñanza y
aprendizaje entendido como un continuo. Es una evaluación con carácter regulador,
de orientación y autocorrectora del proceso educativo, al proporcionar información
constante sobre si este proceso se adapta a las necesidades o posibilidades del
sujeto, permitiendo la modificación de aquellos aspectos que resulten poco
funcionales.
• Evaluación sumativa: proporciona información sobre el grado de consecución de los
objetivos propuestos, referidos a cada alumno y al proceso formativo. Esta
evaluación toma datos de la formativa y añade a éstos otros obtenidos de forma más
puntual.
La evaluación se considera hoy día una parte importante del proceso de instrucción.
Se concibe la evaluación como un proceso dinámico y continuo de producción de
información sobre el progreso de los alumnos hacia los objetivos de aprendizaje. El
principal propósito es mejorar el aprendizaje de los alumnos. Otros fines secundarios de la
evaluación son:
• Proporcionar a los alumnos información individual sobre qué han aprendido y en qué
puntos tienen dificultades.
• Proporcionar información al profesor, a los padres y al centro escolar sobre el progreso
y la comprensión de sus alumnos, en general y sobre las dificultades de estudiantes
particulares
• Proporcionar a las autoridades educativas o a cualquier agente educativo un indicador
global del éxito conseguido en los objetivos educativos.
Cuando la evaluación es una parte integral de la instrucción matemática, contribuye
de manera significativa al aprendizaje matemático de todos los estudiantes. “La
evaluación debería apoyar el aprendizaje de unas matemáticas importantes y
proporcionar información útil a los profesores y a los estudiantes” (NCTM 2000,
Principio de Evaluación)
La evaluación debería ser más que un test al final de la instrucción para ver cómo se
comportan los estudiantes bajo condiciones especiales; en su lugar, debería ser una parte
integral de la instrucción que informa y guía a los profesores en la toma de decisiones.
105
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
Además, la evaluación no debería hacerse sólo a los estudiantes; se debe realizar para
los estudiantes, para guiar y estimular su aprendizaje. Los Estándares de Evaluación de
las Matemáticas Escolares (NCTM, 1995) proponen que una evaluación ejemplar de las
matemáticas debería,
• reflejar las matemáticas que los estudiantes deberían conocer y lo que deberían ser
capaces de hacer;
• estimular el aprendizaje de las matemáticas;
• promover la equidad;
• ser un proceso abierto;
• promover inferencias válidas;
• ser un proceso coherente.
En los siguientes apartados incluimos las orientaciones sobre la evaluación de la
enseñanza y aprendizaje de las matemáticas contenidas en el currículo básico del MEC
y los Estándares sobre Evaluación del NCTM.
4.2. La evaluación en el currículo básico del MEC
En el DCB se contemplan los siguientes criterios:
1. En un contexto de resolución de problemas sencillos, anticipar una solución
razonable y buscar los procedimientos matemáticos más adecuados para abordar el
proceso de resolución.
Este criterio está dirigido especialmente a comprobar la capacidad del alumno o la
alumna en la resolución de problemas, atendiendo al proceso que ha seguido. Se trata de
verificar que el alumnado trata de resolver un problema de forma lógica y reflexiva.
2. Resolver problemas sencillos del entorno aplicando las cuatro operaciones con
números naturales y utilizando estrategias personales de resolución.
Con este criterio se pretende evaluar que el alumnado sabe seleccionar y aplicar
debidamente las operaciones de cálculo en situaciones reales. Se deberá atender a que
sean capaces de transferir los aprendizajes sobre los problemas propuestos en el aula a
situaciones fuera de ella.
3. Leer, escribir y ordenar números naturales y decimales, interpretando el valor de
cada una de sus cifras (hasta las centésimas), y realizar operaciones sencillas con estos
números.
Con este criterio se pretende comprobar que el alumnado maneja los números
naturales y decimales; igualmente, se trata de ver que sabe operar con estos números y
que, en situaciones de la vida cotidiana, interpreta su valor.
4. Realizar cálculos numéricos mediante diferentes procedimientos (algoritmos, uso
de la calculadora, cálculo mental y tanteo) utilizando el conocimiento sobre el sistema
de numeración decimal
Este criterio trata de comprobar que los alumnos y las alumnas conocen las
relaciones existentes en el sistema de numeración y que realizan cálculos numéricos
eligiendo alguno de los diferentes procedimientos. Igualmente, se pretende detectar que
saben usar la calculadora de cuatro operaciones.
106
Currículo matemática para la educación primaria
5. Realizar estimaciones y mediciones escogiendo entre las unidades e instrumentos
de medida más usuales, los que se ajusten mejor al tamaño y naturaleza del objeto a
medir
Con este criterio se trata de que alumnos y alumnas demuestren su conocimiento
sobre las unidades más usuales del SMD y sobre los instrumentos de medida más
comunes. También se pretende detectar si saben escoger los más pertinentes en cada
caso y si saben estimar la medida de magnitudes de longitud, superficie, capacidad,
masa y tiempo. En cuanto a las estimaciones, se pretende que hagan previsiones
razonables.
6. Expresar con precisión medidas de longitud, superficie, masa, capacidad y tiempo
utilizando los múltiplos y submúltiplos usuales y convirtiendo unas unidades en otras
cuando sea necesario
Con este criterio se pretende detectar que alumnos y alumnas saben utilizar con
corrección las unidades de medida más usuales, que saben convertir unas unidades en
otras (de la misma magnitud), y que los resultados de las mediciones que realizan los
expresan en las unidades de medida más adecuadas y utilizadas.
7. Realizar e interpretar una representación espacial (croquis de un itinerario,
plano, maqueta) tomando como referencia elementos familiares y estableciendo
relaciones entre ellos
Este criterio pretende evaluar el desarrollo de las capacidades espaciales topológicas
en relación con puntos de referencia, distancias, desplazamientos y ejes de coordenadas.
La evaluación deberá llevarse a cabo mediante representaciones de espacios conocidos
o mediante juegos.
8. Reconocer y describir formas y cuerpos geométricos del entorno próximo,
clasificarlos y dar razones del modo de clasificación
Este criterio pretende comprobar que el alumno o la alumna conoce algunas
propiedades básicas de los cuerpos y formas geométricas, que elige alguna de esas
propiedades para clasificarlos y que explica y justifica la elección.
9. Utilizar las nociones geométricas de simetría, paralelismo, perpendicularidad,
perímetro y superficie para describir y comprender situaciones de la vida cotidiana.
En este criterio es importante detectar que los alumnos han aprendido estas nociones
y saben utilizar los términos correspondientes para dar y pedir información.
10. Realizar, leer e interpretar representaciones gráficas de un conjunto de datos
relativos al entorno inmediato
Este criterio trata de comprobar que el alumno o la alumna es capaz de recoger y
registrar una información que se pueda cuantificar, que sabe utilizar algunos recursos
sencillos de representación gráfica, tablas de datos, bloques de barras, diagramas
lineales, etc., y que entiende y comunica la información así expresada.
11. Hacer estimaciones basadas en la experiencia sobre el resultado de juegos de
azar sencillos y comprobar dicho resultado
Se trata de comprobar que los alumnos empiezan a constatar que hay sucesos
imposibles, sucesos que con toda seguridad se producen, o que se repiten, siendo más o
menos probable esta repetición. Estas nociones estarán basadas en su experiencia.
107
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
12. Expresar de forma ordenada y clara los datos y las operaciones realizadas en la
resolución de problemas sencillos
Este criterio trata de comprobar que el alumno o la alumna comprende la importancia
que el orden y la claridad tienen en la presentación de los datos de un problema para la
búsqueda de una buena solución, para detectar los posibles errores y para explicar el
razonamiento seguido. Igualmente, trata de verificar que comprende la importancia que
tiene el cuidado en la disposición correcta de las cifras al realizar los algoritmos de las
operaciones propuestas.
13. Perseverar en la búsqueda de datos y soluciones precisas en la formulación y la
resolución de un problema
Se trata de ver si el alumno valora la precisión en los datos que recoge y en los
resultados que obtiene y si persiste en su búsqueda, en relación con la medida de las
distintas magnitudes, con los datos recogidos para hacer una representación gráfica y
con la lectura de representaciones.
17. Indica cuáles de los siguientes instrumentos de evaluación podrían ser útiles para cada
uno de los criterios básicos de evaluación (1 a 13) del currículo del MEC.
• Observación sistemática de las intervenciones de los alumnos en clase a lo largo del curso
• Revisión periódica de los cuadernos y apuntes de los alumnos;
• Pruebas específicas escritas tipo examen
• Preguntas realizadas en clase a alumnos particulares o a toda la clase;
• Trabajos de síntesis sobre un tema o una colección de lecturas. que muestren la comprensión y
capacidad de síntesis
• Proyectos y trabajos individuales o colectivos
• Test de opciones múltiples
• Problemas para realizar en la clase o como trabajo de casa
• “Dossier” donde el profesor va recogiendo información diversa acerca del alumno
• “Diario” elaborado por los alumnos con resúmenes de lo aprendido en clase
4.3. La evaluación en los Estándares del NCTM
El National Council of Teachers of Mathematicas (NCTM, 1991), propone dos
categorías de estándares de evaluación de la enseñanza de las matemáticas: El proceso y
los focos de la evaluación. Sobre el proceso de evaluación se formulan tres estándares y
sobre los focos de evaluación cinco estándares.
A: EL PROCESO DE EVALUACIÓN:
ESTÁNDAR 1: EL CICLO DE EVALUACIÓN
La evaluación de la enseñanza de las matemáticas debería ser un proceso cíclico
que implique:
• recogida periódica y análisis de información sobre la enseñanza de las matemáticas
de un individuo;
• el desarrollo profesional basado en el análisis de la enseñanza;
108
Currículo matemática para la educación primaria
• la mejora de la enseñanza como consecuencia del desarrollo profesional.
ESTÁNDAR 2: LOS PROFESORES COMO PARTICIPANTES DE LA EVALUACIÓN
La evaluación de la enseñanza de las matemáticas debería proporcionar
oportunidades progresivas para que los profesores:
• analicen su propia enseñanza;
• deliberar con los colegas sobre su enseñanza;
• consultar con sus supervisores sobre su enseñanza.
ESTÁNDAR 3: FUENTES DE INFORMACIÓN
La evaluación de la enseñanza de las matemáticas debería estar basada en
información procedente de una variedad de fuentes incluyendo:
• los objetivos del profesor y las expectativas sobre el aprendizaje de los estudiantes;
• los planes del profesor para el logro de estos objetivos;
• el archivo del profesor, formado por una muestra de planes de lecciones, actividades
y materiales de los estudiantes, y los medios para evaluar la comprensión
matemática de los estudiantes;
• análisis de múltiples episodios de enseñanza en clase;
• los análisis del profesor de la enseñanza en clase;
• evidencia, de la comprensión y actitud de los estudiantes hacia las matemáticas.
18. Indica todas las fuentes que el profesor puede utilizar para evaluar su propia actuación
en el aula. ¿Por qué la autoevaluación es una parte importante de la tarea del profesor?
B. LOS FOCOS DE LA EVALUACIÓN:
ESTÁNDAR 4: CONCEPTOS, PROCEDIMIENTOS Y CONEXIONES
MATEMÁTICAS
La evaluación de la enseñanza de conceptos, procedimientos y conexiones
matemáticas debería proporcionar evidencia de que el profesor,
• demuestra un conocimiento adecuado de los conceptos y procedimientos
matemáticos;
• representa las matemáticas como una red de conceptos y procedimientos
interconectados;
• enfatiza las conexiones entre las matemáticas y otras disciplinas y las relaciona con
la vida diaria;
• compromete a los estudiantes en tareas que promueven la comprensión de los
conceptos, procedimientos y conexiones matemáticas;
• compromete a los estudiantes en un discurso matemático que amplia su
109
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
comprensión de los conceptos, procedimientos y conexiones matemáticas.
ESTÁNDAR 5: LAS MATEMÁTICAS COMO RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS,
RAZONAMIENTO Y COMUNICACIÓN
La evaluación de la enseñanza de las matemáticas como un proceso que implica la
resolución de problemas, el razonamiento y la comunicación debería proporcionar
evidencia de que el profesor:
• ejemplifica y enfatiza los aspectos de resolución de problemas, incluyendo la
formulación y el planteamiento de problemas, resolución de problemas usando
diferentes estrategias, verificando e interpretando resultados, y generalizando
soluciones;
• muestra y enfatiza el papel del razonamiento matemático;
• ejemplifica y enfatiza la comunicación matemática usando formas escritas, orales y
visuales;
• compromete a los estudiantes en tareas que implican la resolución de problemas, el
razonamiento y la comunicación;
• compromete a los estudiantes en el discurso matemático que amplia su comprensión
de la resolución de problemas y su capacidad para razonar y comunicarse
matemáticamente.
ESTÁNDAR 6: PROMOCIÓN DE LA DISPOSICIÓN MATEMÁTICA
La evaluación de que el profesor estimula la disposición matemática de los estudiantes
debería proporcionar evidencia de que:
• modeliza una disposición para hacer matemáticas;
• muestra el valor de las matemáticas como un modo de pensar y sus aplicaciones en
otras disciplinas y en la sociedad;
• promueve la confianza de los estudiantes, la flexibilidad, perseverancia, curiosidad,
e inventiva en la actividad de matematización por medio del uso apropiado de tareas
y comprometiendo a los estudiantes en el discurso matemático.
ESTÁNDAR 7: EVALUACIÓN DE LA COMPRENSIÓN MATEMÁTICA DE LOS
ESTUDIANTES
La evaluación de los medios, por los que el profesor evalúa la comprensión de las
matemáticas de los estudiantes debería proporcionar evidencia de que el profesor —
• usa una variedad de métodos de evaluación para determinar la comprensión
matemática de los estudiantes;
• los métodos de evaluación concuerdan con el nivel de desarrollo, madurez
matemática, y 1a base cultural de. los estudiantes;
• los métodos de evaluación se corresponden con lo que se enseña y cómo se enseña;
• analiza la comprensión individual de cada estudiante, su disposición para hacer,
110
Currículo matemática para la educación primaria
matemáticas, de modo que la información sobre su desarrollo matemático pueda ser
proporcionado a los estudiantes, sus padres y al personal escolar pertinente;
• basa la instrucción en la información obtenida en la evaluación de la comprensión
de los estudiantes y de su disposición hacia las matemáticas.
ESTÁNDAR 8: ENTORNO DE APRENDIZAJE
La evaluación de la capacidad del profesor para crear un entorno de aprendizaje
que estimula el desarrollo de la capacidad matemática de cada estudiante debería
proporcionar evidencia de que el profesor:
• transmite la idea de que las matemáticas son un contenido para ser explorado y
creado tanto individualmente como en colaboración con otros.
• respeta a los estudiantes y sus ideas y anima su curiosidad y espontaneidad;
• estimula a que los estudiantes extraigan y validen sus propias conclusiones;
• selecciona las tareas que permitan a los estudiantes construir nuevos significados
mediante la construcción y la extensión de su conocimiento previo;
• hace un uso apropiado de los recursos disponibles;
• respeta y responde a los diversos intereses de los estudiantes así como a sus
identidades culturales, lingüísticas y socioeconómicas mediante el diseño de las
tareas matemáticas;
• apoya y estimula la participación completa y el estudio continuado de las
matemáticas de todos los estudiantes.
19. Analizar las diferencias y semejanzas en las orientaciones curriculares siguientes
respecto de la evaluación de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en primaria:
– Currículo básico del MEC
– Las orientaciones curriculares de tu Comunidad Autónoma
– Principios y Estándares 1991 del NCTM.
5. DISEÑO Y GESTIÓN DE UNIDADES DIDÁCTICAS
En este apartado sólo se dan algunas indicaciones para conseguir el objetivo de
aprender a diseñar y gestionar unidades didácticas, ya que, evidentemente, este objetivo
es muy ambicioso y sólo se puede alcanzar a partir de la experiencia que se obtiene al
impartir clases reales.
El diseño de unidades didácticas (programaciones de aula o tercer nivel de
concreción del currículo) tendrá en cuenta los documentos oficiales (primer nivel de
concreción) y el proyecto de centro (segundo nivel de concreción).
El diseño de unidades didácticas implica la toma de decisiones en distintos ámbitos
de concreción hasta culminar en un documento en el que el profesor concreta los
objetivos, contenidos, actividades, recursos y materiales, instrumentos de evaluación y
111
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
selección de estrategias metodológicas. Este documento será un instrumento de
planificación y gestión del trabajo en clase con los alumnos, en un período corto de
tiempo (unas 3 o 4 semanas) y se centra en un contenido matemático que tiene una
cierta unidad temática, y que organiza el tratamiento de un cierto tipo de problemas en
el nivel educativo correspondiente.
5.1 Elementos a tener en cuenta en la planificación de una unidad didáctica
Nos parece evidente que el diseño de las unidades didácticas se ha de basar en los
seis elementos que describimos a continuación.
(1) La información disponible sobre los objetivos y contenidos del currículo de
primaria y del proyecto de centro correspondiente.
Pero está información no es suficiente para asegurar que los alumnos realicen una
actividad matemática “rica” que contemple los diferentes aspectos de dicha actividad
descritos en el capítulo 1. Al analizar la actividad matemática en el primer capítulo
vimos que un contenido que puede parecer elemental como, por ejemplo “suma”, se
convierte en un sistema complejo formado por conceptos, procedimientos, lenguaje,
situaciones, argumentaciones, etc. Para analizar y organizar este sistema complejo las
orientaciones curriculares, siendo importantes, son insuficientes, ya que el maestro tiene
que tomar decisiones sobre el tipo de problemas que propondrá a los alumnos, el tipo de
representaciones que utilizará, el orden de presentación de los contenidos, etc.
Por tanto conviene tener en cuenta en segundo lugar:
(2) Los tipos de problemas que son el campo de aplicación de los contenidos
matemáticos seleccionados.
Las situaciones de la vida cotidiana y las otras ciencias puede ayudarnos mostrando
los problemas que se pueden resolver con los contenidos de la unidad didáctica,
mientras que la historia de las matemáticas puede ayudarnos para saber cómo y por qué
fueron planteados.
Los tipos de problemas se resuelven con determinados procedimientos, entre los
cuales tendremos que hacer una selección; estos procedimientos se justifican por medio
de unos conceptos que se tendrán que definir (institucionalizar) de una o varias maneras
diferentes, estos conceptos y procedimientos se tendrán que representar por algunas de
las diferentes representaciones que se utilizan normalmente, etc.
Por lo tanto también es conveniente tener en cuenta en tercer lugar:
(3) El conjunto organizado de prácticas institucionales, operativas y discursivas, que
proporcionan la solución a los tipos de problemas seleccionados (contenidos
procedimentales, conceptuales y formas de representación).
Un análisis a fondo de los contenidos a enseñar, su organización, estructura,
relaciones lógicas, técnicas de resolución, formas de representación, etc. es fundamental
para diseñar una secuencia didáctica Para este análisis puede ser muy útil conocer la
génesis histórica de los contenidos que se quieren enseñar, ya que ésta puede ser una
fuente importante de material para su enseñanza. Considerar el momento histórico en el
que se desarrolla un contenido matemático lleva a hablar de sus conexiones con la
ciencia de la época, con las necesidades humanas, sociales o de cualquier otro tipo que
112
Currículo matemática para la educación primaria
llevaron al inicio y posterior desarrollo de dicho contenido. También obliga a hablar de
las aplicaciones posteriores, esperadas o que surgieron de forma imprevista. Otro
elemento a destacar es que la historia también puede ayudar a resolver el problema de la
motivación del alumno.
Para este tipo de análisis también puede ser muy útil el estudio de las unidades
didácticas que proponen los libros de texto. Un análisis comparativo de la organización
que presentan los libros de texto de primaria es un elemento importante a tener en
cuenta para elaborar una propuesta de unidad didáctica. De todas maneras, el análisis
que se propone ha de ser un análisis de los contenidos a enseñar que lleve a su
problematización y no a una asunción acrítica tanto de los contenidos del DCB como de
las organizaciones que proponen los diferentes libros de texto para su enseñanza.
Los tres puntos anteriores son los fundamentales para el diseño de unidades. Ahora
bien, hay otros aspectos a tener en cuenta. El primero de ellos son los recursos y
materiales didácticos, ya que estos tienen una incidencia importante en el proceso de
enseñanza-aprendizaje y pueden condicionar la organización, los contenidos y la
metodología de la unidad didáctica. Por ejemplo, el hecho de poder usar un programa de
geometría dinámica como el programa Cabri, o bien una Hoja de Cálculo puede
implicar que determinados contenidos de geometría o estadística puedan ser
incorporados a la unidad.
Por lo tanto, un cuarto aspecto a tener en cuenta es el siguiente:
(4) Materiales y recursos disponibles para el estudio del tema, incluyendo los libros de
texto y experiencias didácticas descritas en las publicaciones accesibles.
Otro elemento que conviene tener en cuenta es el conocimiento de los errores y
dificultades recurrentes en el estudio del tema que la investigación didáctica ha
documentado. En la fase de planificación de la unidad se pueden contemplar a priori
estos errores y dificultades para diseñar actividades que los tengan presentes.
Por lo tanto, un quinto aspecto a tener en cuenta es el siguiente
5. El conocimiento de los errores y dificultades recurrentes en el estudio del tema que
la investigación didáctica ha documentado
Por último conviene tener presente un sexto aspecto, ya que, por ejemplo, la
organización de una unidad no será la misma si optamos por una metodología
globalizadora, por ejemplo, un proyecto de trabajo, en la que se traten conjuntamente
contenidos de varios bloques (por ejemplo, geometría y medida) que si no lo hacemos, y
nos limitamos a los contenidos de un solo bloque.
Por lo tanto, un sexto aspecto a tener en cuenta es el siguiente
6. Los criterios metodológicos y de evaluación incluidos en las orientaciones
curriculares, así como las recomendaciones aportadas por la investigación
didáctica descritas en publicaciones accesibles.
5.2 Diseño de una unidad didáctica
Las consideraciones anteriores se refieren a la fase de la planificación de la unidad
didáctica. Pero en el diseño de una unidad didáctica, hay que contemplar una primera
fase de planificación y una segunda fase propiamente de diseño. En la fase de
planificación conviene tener presente el mayor número posible de los seis aspectos
comentados anteriormente. Una vez hemos recogido información sobre los elementos
113
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
anteriores, podemos empezar a tomar decisiones que permiten el diseño efectivo de la
unidad. Esto es, concretar en actividades de aula las tomas de posición sobre los
aspectos anteriores.
Con relación a las actividades diseñadas se ha de remarcar que la naturaleza de la
actividad de los alumnos en clase de matemáticas es una cuestión central en su
enseñanza puesto que el aprendizaje es siempre el producto de la actividad, y si esta se
reduce, por ejemplo, a la resolución repetitiva de ejercicios para aplicar ciertas fórmulas
esto es lo que se aprende y lo que queda en los alumnos. Por lo tanto, hay que procurar
incorporar en la unidad actividades “ricas” en el sentido de que permitan superar el
aprendizaje pasivo, gracias a la incorporación al proceso de enseñanza-aprendizaje,
entre otros, de algunos de los siguientes aspectos:
– la actividad del alumno,
– el uso de materiales,
– problemas contextualizados,
– grupos de trabajo,
– uso de diferentes representaciones,
– la contextualización de contenidos, etc.
Tal como se comentó en el capítulo 2 al tratar el estudio dirigido de las
matemáticas conviene diseñar actividades que permitan la acción, la formulación, la
validación y la institucionalización.
Por otra parte, es conveniente elaborar una unidad didáctica para un alumno
“promedio”, que contemple actividades de refuerzo para los alumnos con más
dificultades y también actividades de ampliación.
En la fase de diseño también se han de contemplar actividades de evaluación
inicial, formativa y sumativa.
Las consideraciones anteriores se han de concretar en un material que, de manera
indicativa, tendrá la siguiente estructura:
• Objetivos







Contenidos
Una breve descripción de las actividades con orientaciones metodológicas y el
tipo de recurso a utilizar
Una breve descripción de las actividades de evaluación con orientaciones
metodológicas
Una breve descripción de las posibles actividades de refuerzo y de ampliación
Recursos y materiales
Bibliografía
Actividades para los alumnos
5.3. Gestión de las unidades didácticas. Adaptaciones
En el diseño de la unidad se ha previsto, muchas veces de manera implícita, una
determinada gestión de aula. Por ejemplo, si la unidad incorpora una actividad en la que
los alumnos han de descubrir una fórmula para hallar el número de diagonales de un
114
Currículo matemática para la educación primaria
polígono, el maestro en la situación de acción de los alumnos tendrá una actuación muy
diferente que en la situación de validación o en la de institucionalización de los
resultados obtenidos.
La gestión de la unidad puede llegar a ser más importante que las propias
actividades que la componen ya que una actividad “rica”, mal gestionada, normalmente
termina siendo una actividad “pobre”, mientras que una actividad mal diseñada, bien
gestionada, se puede llegar a convertir en una actividad “rica”.
A pesar de que en la planificación y el diseño de la unidad ya se ha previsto a priori
una determinada gestión de aula y un determinado tratamiento de la diversidad, tenemos
que pasar a analizar la gestión efectiva de aula que permite la unidad diseñada. Hay que
tener en cuenta que esta unidad se va a utilizar con unos alumnos determinados sobre
los cuales podemos tener mucha información de los cursos anteriores. Esta información,
junto con la evaluación inicial de los alumnos y la evaluación formativa -utilizadas tal
como se ha explicado en este capítulo- permiten adaptar la unidad a la diversidad de los
alumnos. Esto es, la unidad didáctica se ha de adaptar, ampliar o variar para tratar la
diversidad de errores y dificultades que pueden presentar los alumnos.
En la fase de gestión de la unidad, el maestro tendrá en cuenta las características de
las situaciones que pueden ser modificadas por él (variables didácticas), así como los
fenómenos del contrato didáctico.
De todas maneras, hay que ser conscientes de que nos podemos encontrar con
determinados alumnos que necesitarán una adaptación curricular. El currículum escolar
propuesto por las administraciones tiene un carácter abierto, flexible o adaptable a las
necesidades o características de la comunidad educativa en la que están inmersos los
centros educativos. Esta concepción permite la puesta en marcha de un proceso de
adaptación curricular a diferentes niveles, hasta llegar al nivel de concreción de una
Adaptación Curricular Individual (ACI). Por tanto, a los tres niveles de concreción
comentados anteriormente (DCB, Proyecto de centro, unidad didáctica) hay que
añadirles un cuarto nivel que son las ACI, las cuales consisten en que los tutores,
maestros y maestros de apoyo, asesorados por especialistas, acomodan el currículo
teniendo en cuenta las características individuales.
5.4 La evaluación de la unidad didáctica
Una vez implementada la unidad didáctica es conveniente reflexionar sobre su
utilidad y sobre su posible modificación. Para poner un solo ejemplo, si se ha optado
por utilizar un determinado material es conveniente formularse preguntas del tipo: ¿He
conseguido integrarlo en las actividades de los alumnos?¿Qué ventajas e inconvenientes
he observado cuando la actividad se realiza con ese material?¿Lo volveré a a utilizar de
la misma manera?¿Qué modificaciones introduciré en la secuencia de actividades para
optimizar el uso de este material? ¿Hay algún material similar que ofrezca más
ventajas?, etc.
20. Selecciona un contenido matemático y planifica una semana de trabajo para un nivel de
primaria determinado teniendo en cuenta los criterios y elementos descritos en esta sección.
Trabaja en equipo con otro compañero.
115
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
C: Seminario didáctico
1. ANÁLISIS DE TEXTOS Y DOCUMENTOS CURRICULARES
(1) Discutir el siguiente comentario:
“El currículo está siempre en un proceso continuo de cambio con el fin de mantener
un equilibrio entre las necesidades del contenido matemático, el niño y los cambios
sociales “.
(2) Seleccionar un contenido matemático (por ejemplo, las fracciones). Comparar la
manera en que se planifica su enseñanza en dos libros de texto diferentes.
(3) Seleccionar un contenido matemático (por ejemplo, la multiplicación de números
naturales). Analizar su desarrollo en tres cursos en los libros de una misma
editorial. Identificar lo que se repasa y lo que se incluye como nuevos
conocimientos en cada nivel.
2. DIFERENTES TIPOS DE CONTENIDOS
(4) Identifica los tipos de contenidos (conceptos, procedimientos o actitudes) que
pretenden evaluar las siguientes actividades:
1) ¿Se puede decir que la parte rayada del triángulo es 2/3? ¿Por qué?
2) Aproximadamente un tercio de los residuos sólidos es material combustible (papel,
cartón, plásticos,…), la mitad es materia orgánica y el resto es material inerte (metales,
vidrio, restos de obra,…). ¿Qué fracción de los residuos representa el material inerte? Si
en un pueblo se producen diariamente 120 Kg de residuos, ¿Cuál es su composición?
3) Señalar el grado de acuerdo o desacuerdo respecto de las siguientes afirmaciones
sobre las matemáticas, según el siguiente convenio:
1: Totalmente en desacuerdo; 2: En desacuerdo; 3: Neutral (ni de acuerdo ni en
desacuerdo); 4: De acuerdo; 5: Totalmente de acuerdo:
116
Currículo matemática para la educación primaria
1. Considero las matemáticas como una materia muy necesaria en mis estudios.
1 2 3 4 5
2. La asignatura de matemáticas se me da bastante mal.
1 2 3 4 5
3. Estudiar o trabajar con las matemáticas no me asusta en absoluto
1 2 3 4 5
4) a) Dibuja otro polígono que tenga la misma área que este
cuadrado de lado 6 m.
b) Dibuja otro polígono que tenga el mismo perímetro que este
3. ACTIVIDADES DE CAMPO
(5) Proponer una prueba de resolución de problemas a un grupo reducido de
alumnos de primaria. Analizar las soluciones dadas por los alumnos y puntuar
según la siguiente escala1:
Escala de puntuación de resolución de problemas
Comprender el problema
0: Incomprensión completa del problema
1: Incomprensión o interpretación incorrecta
de parte del problema
2: Comprensión completa del problema.
Planificación de la solución:
0: No se intenta resolver o plan completamente
inapropiado.
1: Plan parcialmente correcto basado en una
interpretación correcta de parte del problema
2: El plan podría llevara la solución correcta si
se hubiera implementado correctamente
Obtención de la solución:
0: Sin solución, o respuesta errónea basada en
un plan inapropiado.
1: Error de escritura o cálculo, respuesta
parcial en un problema con varios apartados.
2. Respuesta correcta y formulación correcta.
4. DISEÑO DE SECUENCIAS DE ACTIVIDADES
(6) Preguntas para iniciar la reflexión:
a) ¿Conviene empezar a diseñar una unidad de estadística por la lectura de gráficas o
bien por la confección de gráficas a partir de tablas?
b) ¿En la primaria hay que introducir la media ponderada?
117
1 Reys, R. E. y cols. (2001). Helping children learn mathematics (Sixth edit.). New York: John Wiley.
( p. 63).
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
c) ¿En el último curso de primaria es conveniente trabajar la estadística con la hoja de
cálculo?
d) ¿Qué tipo de material y cómo se puede utilizar para hacer un gráfico de barras en el
primer ciclo de primaria? .
(7) En la tabla incluida al final de este problema tienes una secuencia de 12
actividades de 6º de primaria. Reflexiona sobre esta secuencia de actividades
teniendo en cuenta los siguientes aspectos2:
1. Organización de la actividad, gestión, recursos, etc.
a) ¿Se trata de una propuesta de trabajo colaborativo?. b) ¿Todos los alumnos
pueden participar?. c) ¿Se presenta una situación que implica una actividad
manipulativa?. d) ¿Qué tipo de material se utiliza? e) ¿Se trata de una tarea que
permite que los alumnos realicen una actividad matemática “rica”?, f) ¿En cuál
actividad el alumno tiene que dar justificaciones y argumentaciones? ¿Qué
actividad se puede considerar una situación de acción? Compara la gestión de las
actividades 8 y 10, etc..
2. Los contenidos y su organización
a) ¿Qué bloques del currículum se trabajan? b) ¿Se trabaja simultáneamente la
geometría en tres dimensiones y la geometría en dos dimensiones?. c) ¿Cuáles son
los principales contenidos que se trabajan en esta secuencia? Confecciona una tabla
con los contenidos (conceptos, procedimientos y valores) que se han trabajado en
cada una de las diferentes actividades.
3. Dificultades del alumno
a) Comenta las dificultades que crees que tendrán los alumnos de primaria. b) Lee
y comenta el apartado “Representaciones bidimensionales del espacio
tridimensional” (apartado 1.7, pp. 48-55) del libro El aprendizaje de las
matemáticas (Dickson y cols., 1991). c) Si tienes oportunidad de que un alumno de
6º de primaria resuelva estas actividades, ¿qué tipo de dificultades has observado?
¿Qué tipo de dificultades has tenido tú para resolver estas actividades?
4. Actividades para continuar la secuencia
a) Observa que así como hay situaciones de acción o de argumentación no hay
situaciones que sirvan para institucionalizar los contenidos que se han construido
en el proceso de enseñanza-aprendizaje. ¿Cuáles son los contenidos que conviene
institucionalizar en esta secuencia de actividades?. Diseña actividades para su
institucionalización
b) Una casa ha de tener puertas, ventanas, etc. Una forma de continuar esta
secuencia de actividades es que los alumnos construyan sus propias casas en base a
módulos de 1 dm3, pongan puertas, ventanas, tejado, etc.; hagan planos de su
distribución, dibujen las vistas, etc. Diseña una secuencia de ampliación de las 12
actividades iniciales teniendo en cuenta estos aspectos.
2 Font, V.(2003) La formación inicial en matemáticas de los maestros de educación primaria. Una
propuesta dialógica. Actas 2º Congreso Internacional de Docencia Universitaria e Innovación. Julio de
2002. Tarragona
118
Currículo matemática para la educación primaria
c) ¿Qué escala es conveniente tomar para que la casa construida con los 4 cubos
sea la maqueta de una casa razonablemente “real”? Diseña una ampliación de esta
secuencia de 12 actividades que contemple el contenido “escala”.
d) En la actividad 8 se ha de construir 1 dm3 Esta actividad se suele proponer en
las clases de primaria ya que una vez construido el cubo se puede plastificar con lo
que se puede llenar de agua y a continuación pesar con una balanza. Esta actividad
permite comprobar a los alumnos la relación entre el dm3 , el litro y el kilogramo.
Diseña una continuación de la secuencia de actividades para continuar el proyecto
trabajando el volumen.
e) Antes de la secuencia inicial de 12 actividades se podría trabajar una secuencia
de actividades sobre los poliminós que sirviera para justificar que sólo hay 35
hexaminós. Confecciona una propuesta de ampliación del proyecto trabajando
actividades relacionadas con los poliminós.
f) El cubo y la casa son poliedros. Diseña una secuencia didáctica de ampliación en
la que los alumnos primero tengan que construir otros poliedros y después tengan
que resolver actividades en las que tengan que contar para cada poliedro las caras,
los vértices y las aristas y, finalmente, comprobar (o bien obtener por inducción) el
teorema de Euler.
g) Considera otras posibilidades de ampliación de la secuencia.
Secuencia de actividades para sexto curso:
Actividad 1: Frecuentemente has utilizado objetos con forma de cubo. Pon cuatro
ejemplos.
Actividad 2: Dibuja un cubo
Actividad 3: ¿Qué es un “recortable” de un cubo? Dibuja uno.
Actividad 4: Los hexaminós son figuras formadas por seis cuadrados de manera que cada
dos de ellos tengan un lado en común. A continuación tienes dibujados todos los
hexaminós posibles. Entre los 35 hexaminós has de encontrar los 11 que permiten
construir un cubo. Puedes dibujar el hexaminó en papel cuadriculado para poderlo
recortar con unas tijeras.
119
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
Actividad 5: Un cubo tiene caras, aristas y vértices:
a) Dibuja un cubo y señala un vértice, una cara y una arista
b) ¿Cuántas caras tiene un cubo? ¿Cuántas son laterales?¿Y cuántas son bases?
c) ¿Cuántas aristas tiene un cubo?
d) ¿Cuántas caras confluyen en un vértice?
Actividad 6: Fíjate en los hexaminós que no son “recortables” de un cubo:
a) Teniendo en cuenta el número de caras que confluyen en un vértice, ¿cuáles de los
hexaminós quedan descartados como “recortables”?
b) ¿Has observado alguna otra característica?
Actividad 7: Para construir un cubo a partir de un hexaminó que es un “recortable” suyo
necesitamos pestañas.
a) Dibuja un hexaminó que sea un “recortable” del cubo con las pestañas necesarias.
Recórtalo y comprueba que se obtiene un cubo.
b) Repite el mismo proceso con otro hexaminó que sea un “recortable” del cubo.
c) ¿Has necesitado las mismas pestañas?¿Cuál es el número mínimo de pestañas que
se necesitan?
Actividad 8: Dibuja un hexaminó que sea un recortable del cubo (con las pestañas) de
lado 10 cm en una cartulina. Recórtalo y engánchalo.
Actividad 9: Cada grupo de cuatro alumnos tiene cuatro cubos. Construir una casa con
estos cuatro cubos de manera que cada dos cubos se toquen.
Actividad 10: Construye todas las casas posibles. ¿Cuántas hay? Dibújalas.
Actividad 11: Pon los cuatro cubos en posición de “T” y dibuja las vistas (alzado, planta y
perfil)
Actividad 12: a) Construye un “recortable” -con las pestañas necesarias- que permita
construir una casa. El modelo más simple es la casa de cuatro cubos en forma de “T”,
pero también se puede hacer con casas de más de 4 cubos.
b) Construye la casa con una cartulina y de manera que las aristas sean de 10 cm.
BIBLIOGRAFÍA
Burgués, C. (2000). El currículum de primaria. En, J.M. Goñi (Coord.), El
currículum de matemáticas en los inicios del siglo XXI (pp. 59-66). Barcelona:
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Flores, P. (2001). Aprendizaje y evaluación. En, E. Castro (Ed.), Didáctica de la
matemática en la Educación Primaria (pp. 41-60). Madrid: Síntesis. (apartado
2.2)
Giménez, J. (1997). Evaluación en Matemáticas. Una integración de perspectivas.
Madrid: Síntesis.
120
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Gorgorió, N., Artigues, F., Banyuls, F., Moyano, D., Planes, N., Roca, M. y Xifré,
A. (2000). Proceso de elaboración de actividades geométricas ricas: un
ejemplo, las rotaciones. Suma. 33: 59-71.
Jorba, J. y Casellas E. (1997). La regulación y la autoregulación de los
aprendizajes. Madrid: Síntesis.
Rico, L. (2001). Matemáticas en educación primaria. En, E. Castro (Ed.), Didáctica
de la matemática en Educación Primaria (pp. 23-40). Madrid: Síntesis.
Secada,W.G., Fennema, E. y Adajian,L. B. (Comps) (1997). Equidad y enseñanza
de las matemáticas: nuevas tendencias. Madrid: MEC-Morata.
121
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
122
Proyecto Edumat-Maestros
Director: Juan D. Godino

http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/

Capítulo 4
RECURSOS PARA EL ESTUDIO DE LAS
MATEMÁTICAS
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
124
Recursos para el estudio de las matemáticas
A: Contextualización
REFLEXIÓN Y DISCUSIÓN SOBRE LOS RECURSOS DIDÁCTICOS EN LA
ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS
Consigna:
A continuación se presenta un extracto de un documento sobre el uso de recursos
didácticos en la enseñanza de las matemáticas en primaria.
1) Léelo con atención. Subraya los puntos que consideras especialmente acertados.
2) ¿Qué papel da a los alumnos en su proceso de aprendizaje? ¿Qué requisitos se
sugieren para las situaciones didácticas a proponer en la clase de matemáticas?
3) ¿Por qué se destaca la importancia del material manipulativo? ¿En qué forma se
sugiere su uso?
4) ¿Cómo debe complementar el profesor el uso del material didáctico?
5) Si no estás de acuerdo con alguno de los enunciados, indica tus razones.
Extracto del documento:
Para ayudar a los chicos y chicas de tercer ciclo a construir conocimientos matemáticos es
preciso combinar varios factores en una secuencia de aprendizaje:
* Por un lado, es importante proponerles situaciones en las que tengan un papel activo, es
decir, plantearles algo que tengan que hacer, por ejemplo: distribuir cosas entre…, buscar
todos los que tengan…, construir una figura que sea…, y, a ser posible, que tengan una
implicación personal en la propuesta, ya sea porque corresponda a alguna situación de la
vida diaria o a algunas de sus aficiones; aunque esto último no siempre resulta fácil,
cuando se consigue, el interés y la significatividad de la propuesta aumentan
notablemente y se obtienen mejores resultados.
* Igualmente, es importante ofrecer material que ayude a representar la propuesta: cubos,
ábacos, instrumentos de medida, cuerpos geométricos o material para construirlos, etc., es
decir, algo que permita que, al pensar maneras de resolver una determinada cuestión, se
pueda materializar y comprobar los resultados de una manera física. Si, por ejemplo, les
proponemos que busquen distintas maneras de dividir un cuadrado en partes iguales y
disponen de un cuadrado de papel, podrán doblarlo o recortarlo y comprobar así algunas
de las combinaciones que se les ocurran.
* La manipulación, siempre que sea posible, no debería ser silenciosa; debemos intentar
que describan lo que están haciendo, que evoquen lo que hicieron en otro momento,
motivarles con preguntas para que hagan conjeturas, expresen lo que están considerando
y que lo discutan con sus compañeros. Obtendremos así varios efectos beneficiosos: uno
de ellos es provocar la verbalización, cosa que influye de manera muy determinante en la
clarificación de las propias ideas y en la elaboración de conceptos; otro es el
establecimiento de un intercambio, una discusión entre iguales que fomenta la seguridad
y la confianza en uno mismo, actitud que resulta fundamental en el aprendizaje de las
matemáticas; además, en el transcurso de estas discusiones, podemos ayudar a considerar
el error no como un fracaso, sino como una forma de aproximación a la solución
adecuada.
125
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
* Es importante también ayudar a generalizar, a encontrar “la norma”, para lo cual hay que
promover experiencias similares que consideren un abanico de ejemplos suficientes y
representativos que sirvan de referencia, y conducir, con preguntas y ejemplos, el
pensamiento de los niños hasta llegar a la conceptualización. Obtendrán así una
definición o una norma que, por ser elaborada a partir de experiencias concretas y con la
práctica y la discusión, tiene un valor totalmente distinto al de la definición que se podría
haber dado a un alumno considerado receptor.
* No hay que olvidar tampoco la importancia de la mecanización. Las matemáticas hay que
comprenderlas, pero también hay que practicarlas con el fin de alcanzar un dominio que
permita utilizarlas economizando esfuerzos; por lo tanto, deben proponerse también
ejercicios encaminados a conseguir una automatización de determinadas habilidades.
Este planteamiento de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas contrasta con el que
muchos de nosotros hemos vivido como alumnos cuando el lápiz y el papel, la tiza y la pizarra
eran los únicos elementos que acompañaban la explicación del maestro; explicación que se
limitaba, en muchos casos, a dar unos enunciados que se debían memorizar, que nadie podía
discutir, ni siquiera comentar, y que representaban el preludio de una serie de ejercicios que hay
que resolver.
Desde entonces han cambiado muchas cosas: los niños tienen libros de texto agradables y
bien ilustrados y pueden, por supuesto, comentar y preguntar con mucha más libertad a su
maestro, pero debemos plantearnos hasta qué punto hemos conseguido cambiar la idea de fondo
y si realmente admitimos que para aprender hay que reelaborar los conocimientos en un proceso
en el que es preciso tantear soluciones, comentar ideas y razonar resultados, y en el que cada
cual participa a la vez de forma individual y como miembro de una colectividad. Nuestras ideas
respecto a este tema imprimirán un cariz decisivo al aprendizaje que fomentemos, e influirán
más, por supuesto, que el material que utilicemos.
126
Recursos para el estudio de las matemáticas
B: Desarrollo de conocimientos
1. INTRODUCCIÓN
En las distintas propuestas de reforma del currículo matemático de las comunidades
autónomas españolas, y de otros países, se sugiere el uso de materiales didácticos
(generalmente de tipo manipulativo o visual) como un factor importante para mejorar la
calidad de la enseñanza. El uso de recursos manipulativos como el geoplano, tangram,
ábacos, material multibase, dados, fichas, etc. se presenta como “casi obligado” en los
niveles primarios y secundarios. Estas propuestas vienen apoyadas por instituciones
prestigiosas como el NCTM, que ha dedicado varias publicaciones a este tema. También
en España los profesores se han preocupado por el tema; por ejemplo, la Federación
Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas organizó unas jornadas
específicas sobre el tema.
Uno de los argumentos en que se apoyan estas orientaciones es que se supone que
los materiales manipulativos ayudan a los niños a comprender tanto el significado de las
ideas matemáticas como las aplicaciones de estas ideas a situaciones del mundo real.
Sin embargo, es necesario profundizar sobre el sentido, fundamento y problemática que
plantea a los profesores y a los investigadores en didáctica de las matemáticas el uso de
materiales “manipulativos” en el estudio de las matemáticas.
Este capítulo tiene dos objetivos principales:
• Proporcionar al profesor en formación un marco conceptual que le ayude a tomar
una posición crítica y constructiva sobre el uso de los recursos didácticos, y en
particular los materiales manipulativos, en la enseñanza de las matemáticas.
• Hacerle reflexionar sobre la complejidad del uso de los materiales concretos debido
a las relaciones nada simples que existen entre los materiales, las situaciones
didácticas y los diversos lenguajes utilizados en la construcción de los conceptos y
estructuras matemáticas.
2. RECURSOS DIDÁCTICOS
Son muchos los posibles recursos didácticos que podemos usar en la enseñanza y
aprendizaje de las matemáticas.
Ejemplos
• Los propios libros de texto, cuadernos de ejercicio, pizarra, lápiz, papel e instrumentos de
dibujo o la calculadora que usamos habitualmente en clase son recursos didácticos, puesto
que ayudan al alumno en su aprendizaje y al profesor en la enseñanza.
• Cuando se enseña a los niños a contar, se puede usar como recurso los propios dedos de las
manos, piedrecillas, regletas Cuisenaire, material multibase, etc.
• Juegos habituales, tales como la oca, parchís, ruleta, dominó, dados, cartas, pueden ayudar a
los niños a comprender la idea de azar y probabilidad.
127
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
• Recursos didácticos más sofisticados incluyen los documentales grabados en vídeo sobre
aspectos concretos de las matemáticas, los programas didácticos de ordenador y
recientemente los recursos en Internet.
Para comprender mejor la importancia de los recursos o material didáctico, se usan
diferentes clasificaciones de los mismos. Una de ella consiste en diferenciar dos tipos de
recursos:
• Ayudas al estudio: recursos que asumen parte de la función del profesor
(organizando los contenidos, presentando problemas, ejercicios o conceptos). Un
ejemplo lo constituyen las pruebas de autoevaluación o los programas tutoriales de
ordenador, etc. También se incluyen aquí los libros de texto, libros de ejercicios, etc.
• Materiales manipulativos que apoyan y potencian el razonamiento matemático:
Objetos físicos tomados del entorno o específicamente preparados, así como
gráficos, palabras específicas, sistemas de signos etc., que funcionan como medios
de expresión, exploración y cálculo en el trabajo matemático.
1. ¿Qué tipos de recursos usas o has usado personalmente en el estudio de las
matemáticas? ¿Cuáles te han sido más útiles?
2. En la década de los 80 estuvo en auge el lenguaje de ordenador LOGO. En este lenguaje
los niños pueden dar órdenes a una “tortuga” que se desplaza por la pantalla del ordenador
y “conoce”, entre otras, las órdenes avanza (AV) gira derecha (GD), gira izquierda (GI) y
REPITE. Además se puede enseñar a la tortuga nuevas palabras mediante el comando
PARA.
Una vez aprendidas nuevas palabras, se puede dar órdenes a la tortuga utilizándolas.
Como ejemplo, mostramos las instrucciones para enseñar a la tortuga las palabras
cuadrado y bandera.
a. ¿Clasificarías el lenguaje LOGO de ayuda al estudio o de instrumento semiótico?
b. ¿Qué complemento sería necesario para que el lenguaje LOGO cumpliese ambas
funciones?
c. Busca algunos libros sobre lenguaje LOGO y analiza qué parte o partes de las
matemáticas pueden beneficiarse del uso de este recurso.
PARA CUADRADO
REPITE 4
AV 50
GD 90
PARA BANDERA
AV 50
CUADRADO
3. AYUDAS AL ESTUDIO DE LAS MATEMÁTICAS
3.1. Los libros de texto y apuntes
El recurso didáctico más común en la enseñanza de cualquier tema es el libro de
texto. Por ello es importante tener un criterio para elegir los que se han de recomendar a
los alumnos. El libro de texto “conserva y transmite” de alguna formal el conocimiento
matemático, puesto que el alumno lo usa como referencia, cuando tiene que resolver un
problema o recordar una definición o propiedad.
128
Recursos para el estudio de las matemáticas
Hay que tener en cuenta además que las matemáticas que se presentan en un libro
destinado a los niños son muy diferentes de las matemáticas que usan los matemáticos
(por ejemplo, la que encontramos en un texto universitario). En el capítulo 1 ya hemos
comentado que en didáctica se habla de transposición didáctica para referirse al cambio
que el conocimiento matemático sufre para ser adaptado como objeto de enseñanza. La
transposición didáctica es necesaria porque:
• Hay que seleccionar y secuenciar las partes de las matemáticas que se van a enseñar
a los alumnos de un cierto nivel escolar.
• Hay que adaptarlas para hacerlas comprensibles a los niños; para ello se requiere
prescindir de la formalización y usar un lenguaje comprensible para ellos.
• Hay que buscar ejemplos, problemas y situaciones que interesen a los niños y que
permitan a los alumnos apropiarse de los conocimientos pretendidos.
3. Compara la presentación de los números naturales en tu texto de matemáticas (por
ejemplo, en el capítulo 1 de este Manual) con la que se hace en los libros de texto de
primer a tercer curso de primaria. ¿Qué diferencias observas? ¿Cómo se ha secuenciado
el tema para hacerlo asequible a los alumnos? ¿Son los ejemplos presentados a los niños
los mismos que los presentados en el texto para la formación del profesor?
La importancia del libro de texto es resaltada en diversos documentos:
• En el denominado Informe Cockcroft1 se afirma que “los libros de texto constituyen
una ayuda inestimable para el profesor en el trabajo diario del aula”.
• En Rico2 encontramos que “El libro proporciona seguridad y continuidad en los
puntos de vista, facilita la imagen de que el conocimiento es algo localizado, que se
puede encontrar fácilmente y con respecto al cual el único trabajo posible consiste
en su asimilación. Su determinación ya está hecha, y su base fundamentalmente es
“científica”, apoyada por la tradición y la experiencia. Como el libro supone un gran
esfuerzo de síntesis, planificación, estructuración y acomodación de contenidos, por
encima de la capacidad del profesor medio, se considera el paradigma del
conocimiento que hay que transmitir”.
• Romberg y Carpenter3 por su parte indican que “el libro de texto es visto como la
autoridad del conocimiento y guía del aprendizaje. La propiedad de las matemáticas
descansa en los autores del libro de texto y no en el maestro”.
Quizás en estas citas hay también una advertencia velada: el profesor debe ser
cuidadoso y hacer un uso crítico de los libros de texto. No todos ellos son igualmente
valiosos. Más allá de que la presentación sea agradable, que los ejercicios y problemas
sean interesantes hay que cuidar que el contenido sea adecuado y que el significado que
se presente de las matemáticas esté carente de sesgos.
1 Cockcroft, W. H. (1985). Las Matemáticas sí cuentan. Madrid: MEC (p.114).
2 Rico, L. (1990). Diseño curricular en Educación Matemática: Una perspectiva cultural. En S. Llinares, y
V. Sánchez (Eds.), Teoría y práctica en Educación Matemática (pp. 17-62). Sevilla: Alfar (p.22).
3 Romberg, T. A. y Carpenter, T. P (1986). Research on teaching and learning mathematics: Two
disciplines of scientific inquiry. En M. C. Wittrock (Ed.), Handbook of Research on Teaching (pp. 850-
869). New York: McMillan (p. 867).
129
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
Además de los libros de texto, los cuadernos de ejercicios, esquemas y apuntes de
los alumnos son también herramientas importantes en el aprendizaje. Los apuntes
también pueden proporcionar información al profesor sobre lo que sus alumnos
aprenden.
4. Compara el tema de fracciones en dos libros de texto de primaria diferentes. ¿Cuál te
parece más completo y por qué? ¿Puedes observar algún sesgo, por ejemplo, la falta de
un punto importante para el aprendizaje de los alumnos?
5. Consigue unos apuntes de dos de tus amigos tomados en la clase de matemáticas y
compara con los tuyos propios. ¿Puedes detectar algún punto incorrectamente
comprendido? ¿Qué partes de la lección fueron recogidas por los tres estudiantes?
¿Cuáles sólo por alguno de ellos? Si tú fueras el profesor, ¿cómo podrías usar estos
apuntes para mejorar tu acción docente?
3.2. Las tareas matemáticas y situaciones didácticas entendidas como recurso.
Variables didácticas
Desde una perspectiva muy general podemos considerar que las tareas que se proponen
en la clase de matemáticas son un recurso didáctico que puede controlar el profesor. En el
capítulo 2 sobre enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, destacamos que al resolver
estas tareas el alumno dota de significado a los conceptos matemáticos y también
describimos las características deseadas en las tareas matemáticas.
Estas tareas toman diversas formas en los libros de texto y en el material elaborado por
el profesorado, pero los ejemplos y ejercicios son una parte importante. Una práctica
común en los libros de texto es mostrar al alumno algunos ejemplos del concepto antes o
después de haberlo definido y estudiado sus propiedades y luego asignarle algunos
ejercicios para reforzar el aprendizaje. Esta práctica se justifica porque se supone que se
gana maestría en el tema a través del trabajo con los ejercicios y de los ejemplos mostrados
del concepto.
Por otra parte, el aprendizaje matemático no es consecuencia directa y exclusiva de
la confrontación de los alumnos con tareas más o menos problemáticas. Los problemas
matemáticos propuestos en clase formarán parte de dispositivos más generales y
complejos que son las secuencias de situaciones didácticas. Estas secuencias de
situaciones, tal como ya hemos comentado en el capítulo 2 al analizar el estudio dirigido
de las matemáticas, deben contemplar no sólo los momentos de la acción/ investigación
personal de los alumnos con las tareas – fase para la cual el material tangible puede
desempeñar un papel importante – sino que deben diseñarse e implementarse, además,
momentos de formulación /comunicación de las soluciones, justificación /discusión de
las mismas, institucionalización de los conocimientos pretendidos (compaginar las
técnicas, el lenguaje y los conceptos puestos en juego con la cultura matemática
correspondiente).
6. Propón una lista de ejercicios sobre la multiplicación de fracciones. Inventa una
situación didáctica a partir de la cual el alumno pueda llegar a comprender para qué se
necesita la multiplicación de fracciones.
130
Recursos para el estudio de las matemáticas
Variables didácticas
La resolución de problemas ha sido una de las áreas de investigación de mayor
impacto en la didáctica de las matemáticas. Los investigadores interesados en entender
la interacción entre el estudiante y la tarea de resolución de problemas han analizado las
tareas presentadas, las características de los estudiantes, de la situación de evaluación, la
enseñanza recibida y otros puntos, tratando de ver cuáles de ellos influyen tanto en el
éxito del alumno al resolver el problema como en su aprendizaje.
En la bibliografía sobre resolución de problemas se suele diferenciar tres tipos
principales de variables, que, en nuestra opinión, se puede extender a casi todo tipo de
tarea matemática:
• variables del problema: en un mismo problema o tarea, ligeras variaciones en el
enunciado, pueden variar su dificultad, las estrategias con que los alumnos tratan de
resolverlo o bien los contenidos matemáticos de la tarea.
• variables del sujeto: los alumnos tienen diversas capacidades, intereses, actitud e
historia. Las circunstancias sociales y familiares también pueden influir, por
ejemplo, el apoyo de sus padres en el estudio o los medios que éstos le
proporcionan.
• la situación de resolución, herramientas disponibles, si se trabaja sólo o en grupo,
etc.
Interesa destacar aquellas variables cuyo control se puede considerar como un
recurso del profesor, es decir sobre las que podemos actuar y que producen un cambio
significativo en lo que el alumno aprende: son las llamadas variables didácticas.
Generalmente son variables de tarea o de la situación; pero también a veces se puede
actuar sobre las variables del sujeto, por ejemplo, tratando de aumentar el interés o
mejorar la actitud de los alumnos.
7. Considera el siguiente ejercicio. Identifica posibles variables de tarea y escribe el
enunciado de otros ejercicios similares, variando estas variables.
Juan y María juegan a lanzar dos monedas. Si salen dos caras Juan gana un euro y en
otro caso María gana un euro. ¿Es equitativo el juego? ¿Cuánto tiene que ganar María
para que el juego sea equitativo?
4. MATERIAL MANIPULATIVO
A continuación planteamos unas reflexiones sobre esta segunda clase de recursos
didácticos, que, en realidad, constituyen los instrumentos semióticos del trabajo
matemático (sea éste profesional o escolar). Nos referiremos a ellos con el nombre
genérico de manipulativos y distinguiremos dos tipos, “manipulativos tangibles” y
“manipulativos gráfico-textuales-verbales”:
• “Manipulativos tangibles” –que ponen en juego la percepción táctil: regletas,
ábacos, piedrecillas u objetos, balanzas, compás, instrumentos de medida, etc. Es
importante resaltar que los materiales tangibles también desempeñan funciones
simbólicas. Por ejemplo, un niño puede usar conjuntos de piedrecillas para
representar los números naturales.
131
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
Ejemplo
En Resnick y Ford4 se describe el caso de Leslie, una niña de 9 años que utilizaba
sistemáticamente una regla defectuosa para la resta, a saber, la de restar el número menor
del mayor en cada columna, sin tener en cuenta cuál era el sustraendo y cuál el minuendo.
Leslie realizaba manipulaciones simbólicas con los números pero no les atribuía un
significado. Estas manipulaciones simbólicas pueden ser “concretadas” de manera tangible
con un material: los bloques de base diez de Dienes. Este material fue usado con Leslie
para dar un significado concreto a sus manipulaciones con símbolos numéricos de la
manera siguiente:
• “Manipulativos gráfico-textuales-verbales” –en los que participan la percepción
visual y/o auditiva; gráficas, símbolos, tablas, etc. Es importante resaltar que este
4 Resnick, L. B. y Ford, W. (1991). La enseñanza de las matemáticas y sus fundamentos psicológicos.
Barcelona: Paidós-MEC (pp. 248-252).
132
Recursos para el estudio de las matemáticas
segundo tipo de objetos -gráficos, palabras, textos y símbolos matemáticos,
programas de ordenador- también pueden manipularse, pues podemos actuar sobre
ellos. Sirven como medio de expresión de las técnicas y conceptos matemáticos y al
mismo tiempo son instrumentos del trabajo matemático.
El carácter dinámico y “manipulable” de los sistemas de signos matemáticos está
siendo potenciado recientemente por el uso de las nuevas tecnologías en las distintas
ramas de las matemáticas (Geometría, Cabri; Análisis de datos, Statgraphics; Cálculo,
Derive; etc.)
Ejemplo
Las gráficas siguientes están realizadas con la hoja de cálculo EXCEL, disponible en la
mayor parte de los ordenadores. En EXCEL u otras hojas electrónicas, los alumnos pueden
introducir sus datos, realizar con ellos cálculos (lo que le obliga a pensar la fórmula
correspondiente para obtener el resultado deseado) y pasar de un gráfico a otro. Cada
gráfico se puede manipular de diversas formas, cambiando, por ejemplo, las escalas,
rótulos, números de datos.
Cada una de estas gráficas, y el mismo listado de datos en la hoja constituye un sistema
diferente de representación que visualiza distintos conceptos matemáticos. Por ejemplo,
mientras el gráfico de sectores visualiza mejor la proporción que cada dato representa del
total (frecuencia relativa, fracción como parte-todo) el gráfico de barras visualiza mejor la
frecuencia absoluta, así como la idea de escala numérica para las frecuencias. En el caso de
datos numéricos también visualiza mejor la tendencia central (moda) y dispersión).
Número de aciertos
1 0
4
14
5 3
0
5
10
15
7 8 9 10 11 12
Frecuencia
Número de aciertos
1 0
4
14
3
5
7
89
10
11
12
8. La tabla 100
La tabla que reproducimos a continuación muestra una disposición de los números del 0 al 99
que se conoce como la “tabla 100”; una variante puede ser comenzar desde 1.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
a. Inventa algunas tareas utilizando esta tabla que sean útiles para el aprendizaje de la serie
numérica, ligadas al descubrimiento de patrones o regularidades en la disposición de los
números.
b. ¿Cómo se manipulan los números de la tabla para descubrir los patrones?
133
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
c. ¿Qué objetos matemáticos se representan en la tabla? ¿Cuáles se pueden representar
mientras buscamos los diferentes patrones?
d. Construye una tabla similar para un sistema de numeración diferente (por ejemplo, en base
5). ¿Cómo se modifican ahora los patrones que habías encontrado para la tabla 100?
4.1. Funciones del material textual
Las funciones que pueden desempeñar los materiales manipulativos en la
enseñanza de las matemáticas elementales se explican porque algunas teorías
ampliamente aceptadas sobre el aprendizaje de las matemáticas dan un peso importante
a las relaciones entre lenguaje y pensamiento y conceden, por ello, gran relevancia a los
medios de expresión en la actividad y el estudio de las matemáticas.
No podemos olvidar que tanto las situaciones didácticas, problemas y tareas que
proponemos a los niños como los objetos abstractos que ellos deben evocar para
resolverlos (por ejemplo, la ideas de número, operación, suma, propiedad asociativa, …)
requieren del lenguaje para ser comunicadas por los niños a su profesor o compañeros, o
incluso para pensar en ellas.
Ejemplo:
Los símbolos matemáticos permiten expresar cantidades, realizar operaciones, fijar
procesos y resultados intermedios, localizar y corregir posibles errores, obtener reglas y
algoritmos estrechamente ligados a tales expresiones simbólicas. Por ello, el cálculo escrito
potencia el cálculo mental, que no es sino la manipulación interiorizada de los lenguajes
tangibles, verbales y gráfico-textuales.
9. Reproducimos a continuación un problema y las soluciones al mismo de tres alumnos.
¿Qué objetos matemáticos representan los símbolos en cada una de las tres soluciones?
¿Cómo operan los alumnos con dichos símbolos? ¿Cómo puede utilizar el profesor las
respuestas para detectar errores de comprensión?
Problema. Maria y Pedro dedican una media de 8 horas cada fin de semana a hacer deporte. Otros
8 estudiantes dedican cada semana una media de 4 horas a hacer deporte. ¿Cuál es el número
medio de horas que hacen deporte cada fin de semana los 10 estudiantes?.
134
Recursos para el estudio de las matemáticas
Los sistemas de signos matemáticos desempeñan un papel esencial en el trabajo
matemático, de manera que el progreso en la puesta a punto de tales recursos está
fuertemente relacionado con el avance de las matemáticas.
Pero no todos los instrumentos semióticos son igualmente eficaces para resolver
problemas matemáticos. Pensemos, por ejemplo, en la eficacia del sistema de
numeración decimal (numerales indo-arábigos) frente a una representación simple
mediante, piedrecillas o el sistema de numeración romano; o también, en la mayor
eficacia del registro escrito algebraico frente al registro oral característico de la
aritmética tradicional.
10. Intenta resolver el siguiente problema suponiendo que no puedes utilizar el álgebra
(por ejemplo por tanteo como lo podría resolver un alumno de primaria). Después vuelve a
resolverlo utilizando las ecuaciones (por ejemplo como lo resolvería un alumno de
secundaria)
a) La edad de Ana es el triple de la edad de Alberto. Las dos edades suman 32. Halla estas
edades por tanteo completando la tabla siguiente:
Edad de Alberto Edad de Ana Suma de las dos edades
2
12
6
….
3 · 2 = 6
3 · 12 = 36
3 · …. = ….
2 + 6 = 8 El resultado es menor
12 + 36 = 48 El resultado es mayor
6 + …. = ….
b) Resuelve el problema anterior utilizando ecuaciones
Una vez reconocidos los papeles instrumentales y representacionales (semióticos) de
los recursos manipulativos en la actividad matemática tenemos que analizar su eficacia
relativa, el espacio y circunstancias en las que cada manipulativo se revela como mejor
adaptado a la función requerida. Así, por ejemplo, diversas investigaciones han
mostrado que la aritmética oral es más eficaz que la escrita en ciertos contextos
etnomatemáticos; que el ábaco japonés puede superar en eficacia a la calculadora; que,
como dice el proverbio, “una imagen vale más que mil palabras”. Pero tales ventajas se
restringen a ámbitos reducidos y específicos frente a la generalidad de los
“manipulativos textuales”, como se refleja en el uso del lenguaje algebraico en la mayor
parte de las matemáticas.
11. Realiza la suma: 14278 + 1799 + 93219: a) mentalmente; b) usando numeración
romana; c) usando el algoritmo habitual de la suma. ¿Cuál de los tres métodos te parece más
eficaz? ¿Qué papel representan los símbolos manipulativos en cada uno de los tres
sistemas?
12. Da una lista de situaciones de la vida diaria en que habitualmente se use la aritmética
oral.
135
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
4.2. El material manipulativo como puente entre la realidad y los objetos
matemáticos
Gran parte de la actividad matemática puede ser descrita como procesos de
modelización, en el que interpretamos de forma abstracta, simplificada e idealizada un
objeto, un sistema de relaciones o un proceso evolutivo que surge de la descripción de
la realidad. La construcción de modelos matemáticos, su comparación con la realidad, y
su perfeccionamiento progresivo intervienen en cada fase de la resolución de problemas
matemáticos, no sólo relacionados con situaciones prácticas, sino también en el trabajo
de desarrollo teórico. Este proceso seguiría las cinco fases siguientes:
1. Observación de la realidad
2. Descripción simplificada de la realidad
3. Construcción de un modelo
4. Trabajo matemático con el modelo
5. Interpretación de resultados en la realidad
Ejemplo:
Supongamos que quiero estimar el tiempo que debo esperar cada día en la parada del
autobús que tomo para ir a la facultad. En el paso 1 observaré durante algunos días el tiempo
que espero, para diferenciar, si es o no constante. Si observo bastante variación y es difícil
predecir el tiempo exacto de espera, consideraré que estoy en una situación aleatoria. Para
ello debo admitir que la situación es, por lo menos potencialmente, reproducible (tengo que
esperar al autobús más de una vez en condiciones similares) y que tiene diferentes
resultados posibles, sin que sepamos con seguridad cuál será el que ocurrirá en una
experiencia particular (no sé con seguridad el tiempo que debo esperar en la parada a que
aparezca el autobús).
Una vez aceptada la aleatoriedad de la situación, en el paso 2 debemos realizar una
descripción simplificada de la misma que nos permita pasar de la realidad observada (paso
1) a la construcción del modelo (paso 3). Para ello tomamos unos aspectos de la situación y
prescindimos de otros. En el ejemplo del autobús deberemos decidir qué parada elegimos, si
esperamos un autobús dado (el número 1) o si contamos el tiempo hasta que aparezca en la
parada cualquier autobús. También si diferenciamos la hora del día o el día de la semana o
no.
Al comenzar la construcción del modelo (punto 3) de nuevo se precisan una serie de
decisiones: ¿aceptamos que el tiempo de llegada del próximo autobús es independiente del
que acaba de llegar? ¿trataremos los tiempos como una variable continua? ¿cuáles son otras
variables, además del tiempo de espera que me podrían interesar en el trabajo con el
modelo?
Una vez que hemos construido un modelo matemático para la situación (por ejemplo
aceptamos que los tiempos de espera varían entre 10 y 30 minutos y cualquier tiempo en
este intervalo es equiprobable) puedo trabajar con el modelo para obtener resultados
“matemáticos”.
Finalmente queda todavía la parte más importante: comparar estas conclusiones con el
comportamiento real de la situación analizada y decidir que el modelo matemático elegido
nos proporciona una buena descripción de la realidad.
El propósito de construir un modelo es obtener una mejor comprensión de una parte
de nuestro universo y, así, poder predecirla y si es posible controlarla. Un modelo no es
136
Recursos para el estudio de las matemáticas
“real”, ni tampoco “verdadero”; en el mejor de los casos es consistente y concordante
con las observaciones. Esto se olvida con facilidad y se suele confundir “modelo” y
“realidad”.
Por otro lado, todos los pasos 1 a 5 son igualmente importantes en la actividad de
modelización. Sin embargo, en la clase de matemáticas, con frecuencia nos apresuramos
a correr a los pasos 3 y 4 (las “verdaderas” matemáticas) con lo que se impide al alumno
apreciar la relación entre matemáticas y realidad así como la aplicabilidad y
limitaciones de las matemáticas.
13. Da otros ejemplos de situaciones reales que puedan ser estudiadas con ayuda de un
modelo matemático. Para cada una de ella indica en qué forma simplificamos la realidad
para poder modelizarla, qué tipo de modelo matemático utilizamos y cómo podemos
comprobar que el modelo es útil para describir la realidad.
Utilidad del material tangible en la actividad de modelización
Algunas veces la parte formal del modelo matemático (puntos 3 y 4 del proceso) es
demasiado abstracta para la edad de los alumnos, quienes, sin embargo, podrían
comprender bien los pasos 1, 2 y 5, así como adquirir al menos intuitivamente alguna
comprensión sobre el modelo matemático o sobre alguna de sus propiedades y
relaciones. Una pregunta que se plantea el profesor en estos casos es si sería posible
llevar a cabo un estudio intuitivo de un problema o de un tema, con ayuda del material
concreto o tangible. Aunque este estudio no sería todavía un estudio matemático
particular, podría preparar al alumno para una comprensión posterior más completa.
Ejemplo:
Supongamos que planteamos a unos alumnos de primaria la tarea de encontrar cuál de
todos los rectángulos de perímetro dado tiene área máxima y, posteriormente, cuál de todos
los polígonos regulares de perímetro dado tiene área máxima.
Un estudio formal podría no estar a su alcance, porque se necesitaría la idea de función,
para escribir el área en función del perímetro, y también la idea de derivada así como la
capacidad de derivar que se adquiere sólo al final de la secundaria.
Sin embargo, podemos proporcionar a los alumnos algunos materiales concretos que les
permitan explorar el problema y llegar a una conjetura. Algunos de estos materiales
podrían ser:
• Una hoja de papel cuadriculado; podrían tratar el primer problema en forma
aproximada, solo para valores discretos, es decir cuando solo se toman medidas enteras
del perímetro y área.
• un geoplano y una cinta de longitud fija, no elástica, junto con una regla para medir,
papel lápiz y calculadora ordinaria.
• Una calculadora gráfica.
• Un microordenador, dotado de Lenguaje LOGO que el alumno pueda programar.
• Un ordenador dotado del lenguaje CABRI.
Observamos en el ejemplo, que no siempre llegamos a la parte de formulación
matemática. Sin embargo, en todos los casos hemos comenzado una actividad de
modelización, que será diferente según el material udilizado. Entre el dominio de la
realidad en que se encuentra la situación que queremos analizar y el dominio teórico
137
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
donde, con ayuda de las matemáticas construimos un modelo teórico que debe, por un
lado, simplificar la realidad y abstraer sólo sus aspectos esenciales y, por otro, ser útil
para interpretar los caracteres retenidos en la modelización, podemos situar el dominio
pseudo- concreto en el que podemos trabajar con los alumnos por medio del material.
En el dominio pseudo-concreto el alumno ya ha salido de la realidad y trabaja con
una situación, que siendo ya abstracta e idealizada, permite “concretar” y dar significado
a los conceptos y símbolos característicos del dominio teórico, e incluso prescindir de
determinados símbolos y representaciones formales que a ciertas edades pueden
dificultar más que facilitar la comprensión de los alumnos.
Ejemplo
Cuando el alumno trabaja sólo con papel cuadriculado, prescinde de posibles valores no
enteros para los lados de los rectángulos. También supone que todos los cuadros de la
cuadrícula son perfectamente cuadrados, prescindiendo de posibles irregularidades. Al
mismo tiempo conserva la denominación rectángulo, cuadrado para los resultados de sus
dibujos, que pudieran no ser perfectamente regulares. El papel didáctico del modelo pseudoconcreto
es inducir implícitamente el modelo teórico a los alumnos, incluso aunque su
formulación matemática formalizada no sea posible.
14. Analizar qué simplificaciones de la realidad se hacen para resolver el problema
propuesto con cada uno de los materiales sugeridos en el ejemplo anterior. Describir la
actividad matemática que se lleva a cabo en el trabajo con cada uno de dichos
materiales.
En definitiva, el trabajo con material es muy importante en las primeras etapas de la
educación matemática. Las metáforas de “manipular y ver los objetos matemáticos” son
esenciales para la comprensión matemática.
4.3. Algunas precauciones
Como toda metáfora, el uso del material concreto en el aprendizaje de las
matemáticas resalta unos aspectos de los conceptos que tratamos de enseñar y ocultan
otros, por lo que debemos prestar una atención cuidadosa en su uso.
Cuando trabajamos con materiales (por ejemplo, con “polígonos” o “poliedros” de
plástico), en cierta forma “manipulamos” y vemos los sistemas de signos matemáticos,
pero no los conceptos matemáticos, que son intangibles e invisibles. Es una idea errónea
pensar que los conceptos matemáticos, incluso los figurales, están plasmados, reflejados
o cristalizados en el material tangible. Los objetos que investiga y manipula el
razonamiento geométrico son entidades mentales que Fischbein5 denomina conceptos
figurales, los cuales “reflejan propiedades espaciales (forma, posición y magnitud), y al
mismo tiempo, poseen cualidades conceptuales, como idealidad, abstracción,
generalidad y perfección” (p. 143).
5 Fischbein, E. (1993). The theory of figural concepts. Educational Studies in Mathematics, 24: 139-162.
138
Recursos para el estudio de las matemáticas
Ejemplo
El borde de una cara de una moneda, o de la esfera de un reloj NO es una circunferencia,
aunque solemos decir “este borde tiene forma de circunferencia”
La circunferencia es un objeto matemático idealizado que no existe en el mundo real. Es
una abstracción o generalidad que surge cuando encontramos muchos ejemplos de formas
tales como ruedas, relojes, mesas, camilla, etc.
Matemáticamente se define como “el lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de uno fijo”, o el conjunto de pares de números reales que satisfacen la ecuación
x2 + y2 = r2. Posiblemente si comprobamos esta propiedad en cada uno de los ejemplos
anteriores nunca se cumple con exactitud, aunque sí de una forma aproximada.
En el ejemplo anterior, sin embargo, hablamos de “circunferencia” para referirnos a
estas múltiples formas y también en frases como “el área interior de la circunferencia”,
“longitud de la circunferencia”, “polígono inscrito a la circunferencia”, etc.
Por tanto la expresión “concepto de circunferencia” es signo de un sistema de
prácticas actuativas y discursivas asociada a cierta clase de situaciones problemáticas o
descripciones del entorno tal como ya hemos comentado en el capítulo 1. Los objetos
matemáticos (técnicas y estructuras conceptuales) provienen de sistemas de prácticas
ante tipos de tareas, y no sólo por abstracción empírica de cualidades de objetos
ostensivos6.
Ejemplo
Si sólo consideramos el “cuadrado” como el concepto geométrico que resulta por
abstracción empírica de cualidades de objetos ostensivos que podemos encontrar en nuestro
entorno, entenderemos el cuadrado como la figura formada por cuatro lados iguales y con los
cuatro ángulos de 90º, pero no podemos entender el “cuadrado” como “construcción
geométrica” ni podemos construir el cuadrado a partir de la diagonal o bien a partir del lado. En
cambio si manipulamos con un programa informático como el Cabri y realizamos las siguientes
construcciones: 1) construcción de un cuadrado a partir de un lado y 2) construcción de un
cuadrado a partir de la diagonal el alumno, por una parte, puede aprender y generalizar dos
métodos de construcción de cuadrados y, por otra parte, el concepto de cuadrado que tiene el
alumno queda enriquecido con la visión de que un cuadrado es el resultado de una construcción
geométrica. Así mismo, en el contexto de la “geometría de la tortuga” (lenguaje Logo), la
expresión REPITE 4 [AV 30 GD 90] es un cuadrado.
15. Con relación a los conceptos de “recta”, “ángulo”, “medida” analiza la diferencia
entre el uso que se hace de estas palabras al trabajar con un material manipulativo o en
la vida cotidiana y escolar, y el significado matemático de los términos.
Parte del problema señalado se explica porque con un mismo término del lenguaje
nos referimos con frecuencia, tanto a objetos matemáticos abstractos, como a las
situaciones concretas modelizadas por dicho concepto. Así, en la clase de matemática, y
en los manuales escolares encontramos expresiones tales como:
“Dibuja una recta, un ángulo, recorta un triángulo, muéstrame un plano, etc.”
Como entidades abstractas que son, parece obvio que no se puede dibujar una recta o un
ángulo. Lo que el alumno dibuja para realizar estas tareas es un trazo (objeto ostensivo
6 Godino, J. D. y Batanero, C. (1994). Significado institucional y personal de los objetos matemáticos.
Recherches en Didactiques des Mathématiques, 14, nº 3: 325-355.
139
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
manipulable) que evoca o simboliza el concepto de recta, ángulo (objeto abstracto)
correspondiente:
• La recta, como entidad matemática, es ilimitada y carece de espesor, no así los
dibujos y representaciones gráficas que se hacen de ella.
• Del mismo modo, un triángulo no es una pieza de material de una forma especial, ni
una imagen dibujada sobre el papel. Es una forma controlada por su definición.
En consecuencia, un uso irreflexivo del material manipulativo podría constituir
obstáculos para la apropiación efectiva del conocimiento matemático:
• Las acciones matemáticas son virtuales, imaginadas, no reales. Son acciones sobre
objetos mentales, “materializados” mediante sistemas de signos específicos.
• El lenguaje y la práctica escolar pueden llevar a confundir entre las propiedades
concretas del material manipulativo y los objetos matemáticos que modelizan dichas
propiedades. Ello puede impregnar a los objetos matemáticos de unas connotaciones
tangibles y visuales de las que progresivamente los alumnos deben desprenderse en
los niveles superiores de enseñanza.
• Al mismo tiempo, las manipulaciones puramente sintácticas y formalistas de los
sistemas de signos verbales-textuales pueden ocasionar un aprendizaje memorístico,
rutinario, desprovisto de sentido para los alumnos.
• Si no se es cuidadoso en separar el material manipulativo del objeto abstracto, el
paso de la acción física directa sobre material tangible a la acción imaginada,
apoyada en sistemas de signos, puede estar no exento de conflictos.
16. Un tipo de material manipulativo
usado para hacer comprensible la idea de
media aritmética es una balanza, donde los
datos se representan como pesos situados
en diferentes posiciones de un tablero
(cada dato se sitúa en la posición que
indica su valor numérico) y la media es el
punto de equilibrio de la balanza (en el
ejemplo, el valor 5). ¿Qué conflictos piensas se podrían producir por un uso inadecuado de
este material?
4.4. Relación de los manipulativos con las situaciones didácticas
El uso del material debe permitir el planteamiento de problemas significativos para
los estudiantes, que puedan ser asumidos por ellos, apropiados a su nivel e intereses, y
pongan en juego los conceptos, procedimientos y actitudes buscadas. El material en sí
es inerte, tanto si es tangible como gráfico-textual, y puede ser usado incluso de forma
indeseable. Los aparatos físicos, ni tampoco los restantes manipulativos, ofrecen
experiencia matemática inmediata en sí mismos. La actividad matemática se pone en
juego por las personas enfrentadas a tareas que les resultan problemáticas.
Por tanto, lo que se debe considerar como recurso didáctico no es el material
concreto o visual, sino la situación didáctica integral, que atiende tanto a la práctica
como al discurso, de la que emergen las técnicas y estructuras conceptuales
matemáticas.
140
Recursos para el estudio de las matemáticas
Ejemplos
Un juego de ruletas puede usarse para trabajar el tema de la probabilidad; para estudiar la
idea de sector circular y amplitud y medir diferentes amplitudes, o bien simplemente para
hacer un sorteo de un premio en clase, pero sin conectarlo con la clase de probabilidad.
Una calculadora puede usarse sólo para comprobar las operaciones realizadas primero con
papel y lápiz, o bien como ayuda en el cálculo mental, o incluso para plantear la idea de
redondeo, error absoluto y relativo.
En consecuencia el estudio de las matemáticas requiere enfrentar al alumno a
problemas o tareas cuya solución son los conocimientos matemáticos pretendidos. Esta
confrontación con situaciones-problemas, inductora de la actividad de matematización,
contribuirá, además, a su formación integral como persona, objetivo final del proceso
educativo.
Es importante también que el uso del material, no comprometa toda la atención de
los alumnos, desplazando la propia reflexión matemática. Usar manipulativos tangibles
en la enseñanza de las matemáticas es siempre un medio para un fin, nunca un fin en sí
mismo.
Con frecuencia se defiende el uso de distintos sistema de representación para el
aprendizaje significativo de las matemáticas, incluyendo las representaciones con
material tangible. Pero como afirma Baroody7, “desafortunadamente, no hay aún
evidencia suficiente disponible para determinar qué modos de presentación son
cruciales y qué secuencia de representaciones deberían usarse antes de introducir las
representaciones simbólicas” (p. 5). Pensemos, por ejemplo, en la enseñanza a personas
invidentes, las cuales pueden aprender cualquier contenido matemático sin el recurso a
la percepción visual.
El juego de representaciones puede ser una condición necesaria, pero no suficiente
para el aprendizaje matemático. La eficacia relativa de cada sistema de signos desde el
punto de vista instrumental nos debe llevar a descartar algunos de estos sistemas y
concentrar los esfuerzos en el dominio de herramientas con perspectivas de futuro.
Ejemplo
El ábaco japonés, por ejemplo, es un instrumento de cálculo de extraordinaria eficacia para
realizar cálculos aritméticos; compite incluso, una vez adquirida cierta destreza, con el uso
de la calculadora. Pero se duda de su valor como recurso didáctico en los primeros niveles
de enseñanza debido a sus convenciones particulares de representación de los números y la
complejidad de su manipulación. Incluso el uso del ábaco ordinario, aunque es una
herramienta excelente y útil, está lejos de ser el remedio para las dificultades de la
enseñanza y aprendizaje de la aritmética. “Es más que dudoso, por ejemplo, que el ábaco
sea el mejor modelo -o siquiera bueno- para el aprendizaje de la multiplicación o la
división”8.
El uso del material dentro de una secuencia de situaciones didácticas por parte de los
profesores debe estar basado en la reflexión sobre las siguientes preguntas:
• ¿Qué aprenden los alumnos tras un proceso de estudio basado en el uso de un
material determinado?
• ¿De qué factores depende el estudio?
7 Baroody, A. J. (1989). Manipulatives don’t come with garantees. Arithmetic Teacher (October): 4-5.
8 Hernan, F. y Carrillo, E. (1988). Recursos en el aula de matemáticas. Madrid: Síntesis. (p. 60).
141
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
• ¿Podemos aspirar en los niveles de educación obligatoria a que los alumnos
adquieran determinadas destrezas en el manejo de sistemas de signos textuales?
• ¿Cuándo y de qué modo dejar de usar material tangible y pasar al textual?
5. RECURSOS TECNOLÓGICOS
Diversas investigaciones están demostrando que los estudiantes pueden aprender
más matemáticas y de manera más profunda con el uso de una tecnología apropiada.
Hay que tener en cuenta, no obstante, que la tecnología no se debería usar como
sustituto de intuiciones y comprensiones básicas; al contrario, deberá enfocarse de
manera que estimule y favorezca tales intuiciones y comprensiones más sólidas. Los
recursos tecnológicos se deben usar de manera amplia y responsable, con el fin de
enriquecer el aprendizaje matemático de los estudiantes.
La existencia, versatilidad y potencia de la tecnología hace posible y necesario
replantearse qué matemáticas deberían aprender los estudiantes, y cómo deberían
aprender mejor. Pueden aparecer también algunas dificultades:
• Dificultades de aprendizaje del software o la calculadora si el alumno no está
familiarizado con el mismo. Ello puede ocasionar que el tiempo, ya limitado, para la
enseñanza de la matemática se invierta en el aprendizaje de la tecnología. Por ello se
recomienda usar recursos fácilmente manipulables que no añadan complejidad
innecesaria a la actividad matemática.
• Dificultad en aceptar datos de la calculadora u ordenador que no han obtenido
personalmente. Por ejemplo, algunos alumnos se resisten a tomar como aleatorios
los números obtenidos de una calculadora u ordenador, puesto que estos
instrumentos siempre producen un resultado exacto y esto contradice la idea de
aleatoriedad.
• Dificultad en diferenciar la estimación que proporciona la calculadora u ordenador
del verdadero valor teórico; por ejemplo, en probabilidad, dificultad en diferenciar
la estimación frecuencial de la probabilidad, obtenida mediante la tecnología del
verdadero valor teórico de la probabilidad; en el estudio de las funciones, dificultad
en distinguir el límite teórico de una estimación discreta del mismo; en general
dificultad de diferenciar lo discreto y lo continuo al trabajar con la tecnología.
5.1. Calculadoras
Las calculadoras y los ordenadores se consideran actualmente como herramientas
esenciales para la enseñanza, el aprendizaje y la construcción de las matemáticas. “La
tecnología es esencial en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas; influye en
las matemáticas que se enseñan y favorece el aprendizaje de los estudiantes” (NCTM,
2000).
Estos recursos han reducido muchas horas dedicadas al cálculo, permitiendo dedicar
más tiempo a tareas interpretativas y eliminando temas, como el cálculo de logaritmos a
los que se destinaba mucho tiempo hace unos años.
142
Recursos para el estudio de las matemáticas
5.2. Ordenadores
Han sido principalmente los ordenadores los que están cambiando la manera de
enseñar matemáticas, debido principalmente a la revolución que hizo que los
ordenadores estuvieran a disposición de un mayor número de usuarios, y al desarrollo
del lenguaje natural en el manejo del software que hizo accesible su uso.
Los programas de ordenador proporcionan imágenes visuales que evocan nociones
matemáticas, facilitan la organización, el análisis de los datos, la graficación y el cálculo
de manera eficiente y precisa. Pueden apoyar la investigación de los propios estudiantes
en las distintas áreas de matemáticas: geometría, estadística, álgebra, medida y sistemas
numéricos. Cuando proporcionamos herramientas tecnológicas, los estudiantes pueden
centrarse en la toma de decisiones, la reflexión, el razonamiento y la resolución de
problemas.
La gran ventaja de los ordenadores es su naturaleza dinámica, su velocidad, y el
creciente rango de software que soportan. De esta manera, permiten a los estudiantes
experimentar y explorar todos los aspectos de la matemática y tienen oportunidad de
poder trabajar sobre preguntas de investigación reales, las cuales brindan mayor interés.
Podemos diferenciar los siguientes tipos de software para la enseñanza:
1. Lenguajes de programación. En las primeras experiencias de enseñanza, una opción
era que los alumnos escribieran sus propios programas de ordenador, por ejemplo en
lenguaje LOGO. Esta opción hoy día apenas se usa, aunque todavía encontramos en
Internet algunos micro-programas interactivos similares a LOGO.
2. Paquetes profesionales. Existe una gran variedad de ellos, como por ejemplo SPSS,
o Mathematica, tan sólo se usan en la universidad y en pocos casos en los últimos
cursos de enseñanza secundaria.
3. Software didáctico. Debido a la complejidad de los programas profesionales algunos
investigadores han realizado adaptaciones de ellos a lo que generalmente se requiere
en la clase o han construido su propio paquete didáctico. Un ejemplo es Fathom, un
medio de aprendizaje para análisis exploratorio de datos y álgebra, y se utiliza en
secundaria que incluye manipulación dinámica de diversas representaciones,
permite trazar gráficos de puntos, de barras, trazar funciones e importar datos desde
Internet. Otro ejemplo es el programa Clic que se usa fundamentalmente para
diseñar paquetes educativos para la etapa de educación primaria.
4. Micromundos. Estos consisten en grupos de programas que sirven para estudiar
conceptos particulares. Ejemplos particulares son muchos de los programas
interactivos preparados con relación a los estándares del NCTM y que están
disponibles en Internet. Entre estos micromundos destaca el programa Cabri que
está especialmente pesnsado para su aplicación a la geometrías
5. Software de uso general, como por ejemplo las hojas de cálculo, EXCEL, LOTUS,
etc, que son aplicadas en diversas experiencias de clase y brindan un amplio
espectro de posibilidades en la enseñanza de conceptos estadísticos,
proporcionalidad, o funciones.
Los programas informáticos llamados de “propósito general” como los
procesadores de texto, hojas de cálculo, etc. son programas que están disponibles en
casi todos los ordenadores y que pueden ser muy útiles para trabajar diferentes
contenidos matemáticos. Por ejemplo con el programa WORD o con el PAINT
143
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
podemos trabajar contenidos geométricos como los frisos y mosaicos, mientras que
con la hoja de cálculo podemos trabajar aritmética, estadística y probabilidad.
Con relación a la hoja de cálculo hay que destacar los siguientes aspectos: 1)
Permite la representación de la información en formato numérico y gráfico y en un
formato semialgébrico -si se utilizan fórmulas. 2) La interacción del alumno con una
hoja de cálculo le obliga a ser preciso y metódico, 3) La hoja de cálculo produce una
variación en “tiempo real”. Cada una de las acciones y decisiones que realiza el
alumno tienen una respuesta inmediata en la pantalla del ordenador. 4) La hoja de
cálculo asume la realización de cálculos matemáticos que pueden ser complicados o
“pesados” para el alumno, y le permite dedicar sus esfuerzos a otros objetivos.
6. Tutoriales, que son programas desarrollados para la enseñanza personalizada de los
estudiantes y para la evaluación.
5.3. Internet
El enorme potencial de esta tecnología y la rapidez con que su uso se está
generalizando es especialmente visible en la educación. Destacan entre otras las
siguientes posibilidades:
• Correo electrónico: que permite enviar y recibir mensajes a través del ordenador y
los sistemas de comunicación asociados. Puesto que los mensajes pueden contener
documentos de texto o gráficos u otro material informático adosados, posibilita la
tutoría a distancia y el trabajo conjunto de profesor y alumnos o varios alumnos,
incluso a distancia
• Listas de distribución y discusión por correo electrónico, que permiten enviar un
mismo mensaje a toda una lista de personas en forma instantánea y podemos utilizar
tanto con nuestros alumnos como para intercambiar ideas o soluciones a problemas
con otros profesores.
• Sociedades: El numero de asociaciones educativas y de profesores de matemáticas
que construyen sus propias páginas, con información sobre sus actividades y desde
las cuales podemos acceder a recursos útiles para la enseñanza de las matemáticas,
es cada día creciente.
• Revistas y boletines: la revista electrónica constituye una nueva filosofía en la
difusión del conocimiento. Por un lado, acorta todo el proceso desde que se remite
un trabajo hasta que se publica, y la difusión es potencialmente mucho mayor, pues
no hay costes de distribución implicados, por lo que, generalmente, estas revistas se
distribuyen libre de coste. No sólo encontramos revistas para los profesores de
matemáticas, sino también para los alumnos.
• Software: También hay software disponible en Internet y algunos programas pueden
cargarse directamente o bien ser solicitados a través de correo electrónico. En otros
casos podemos usar cierto software “a distancia”. De este modo, Internet suprime las
barreras de compatibilidad o de limitaciones de memoria y pone a nuestra
disposición el uso “on-line” de otros medios informáticos.
• Otros recursos didácticos: incluyen, conjuntos de datos para el trabajo en la clase de
estadística, juegos y pasatiempos matemáticos, libros de texto interactivos, notas
sobre historia de las matemáticas, etc.
144
Recursos para el estudio de las matemáticas
5.4 Video
Actualmente se pueden encontrar videos didácticos que tratan muchos de los
contenidos matemáticos de la educación primaria -por ejemplo, la colección Ojo
Matemático. Si bien el video permite tratar los contenidos de una manera muy diferente
a como lo hace un libro de texto puede resultar una actividad muy pasiva para los
alumnos. Algunos consejos generales que conviene tener en cuenta son:
1) Antes de llevarlo al aula, hay que determinar qué parte se va a usar, por qué y
para qué. Se necesita verlo completo para determinar qué segmentos son
adecuados para los alumnos.
2) No hay que caer en la tentación de querer proyectar todo el video en una sola
sesión. Los chicos no tienen la misma retentiva que los adultos, o la que
desarrollan cuando van al cine. No hay que sustituir la clase con un video, sino
que hay que aprovechar partes del mismo para enriquecer la enseñanza.
3) Hay que diseñar actividades que permitan a los estudiantes estar atentos antes,
durante y después de ver el segmento del video.
4) No es conveniente apagar las luces.
6. JUEGOS
Otro recurso que conviene tener presente son los juegos, sobretodo por su papel
motivador. Una de las clasificaciones sobre los juegos es la que considera por una parte
los juegos de conocimiento en los que hay que poner en funcionamiento un
determinado contenido matemático de la enseñanza primaria y, por otra parte, los
juegos de estrategia en los que hay que encontrar la estrategia que permite ganar el
juego
17. Clasifica los juegos siguientes como juegos de conocimiento o de estrategia. Para
cada uno de ellos comenta el conocimiento que hay que poner en funcionamiento o la
estrategia ganadora.
• Escondite
• Parchís
• La carrera del 20. Se trata de un juego de dos jugadores en el que el jugador que
empieza jugando debe decir un número menor que 20 y el contrincante debe decir
un número 1 o 2 unidades mayor. Gana el jugador que dice 20 por primera vez9.
7. DOS POSICIONES EXTREMAS: FORMALISMO Y EMPIRISMO
Los análisis de la actividad matemática llevados a cabo por distintos autores
sugieren el importante papel de los medios expresivos para el desempeño de tal
actividad, la cual, aunque es esencialmente mental, se apoya en la acción sobre tales
instrumentos semióticos. Estos análisis apoyarían, por tanto, el uso de materiales
manipulativos tangibles en los primeros niveles de enseñanza siempre que tales recursos
sirvieran de apoyo ostensivo para la reflexión matemática y no la limiten.
En las secciones anteriores hemos enfatizado una cierta precaución respecto del uso
ingenuo de los manipulativos tangibles. Pero esa actitud es igualmente aplicable
9 Chevallard, Y., Bosch, M. y Gascón, J. (1997). Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre la
enseñanza y el aprendizaje. Barcelona: ICE-Horsori (p. 222).
145
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
respecto del uso de los manipulativos gráfico-textuales. En general el empleo de los
instrumentos semióticos en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas puede caer en
dos posiciones extremas:
• el formalismo, consistente en un uso exclusivo y prematuro de símbolos formales -
con la consiguiente pérdida por parte del alumno del significado fenomenológico de
la actividad matemática (conexión con las situaciones- problemas);
• el empirismo, esto es, el uso abusivo de materiales tangibles, incluso cuando ya la
edad y comprensión del alumno no los hace necesarios, con la consiguiente pérdida
del sentido discursivo de la actividad matemática (conexión con la actividad de
generalización y abstracción) .
Para superar ambos sesgos se requiere implementar una dialéctica compleja entre
los distintos tipos de símbolos y materiales ostensivos que promueva la actividad
reflexiva del alumno. Esto precisa un gran esfuerzo de investigación para dilucidar qué
materiales usar, cuándo, cómo, con quién, así como sobre las conexiones que se
deberían establecer entre los manipulativos tangibles, orales y gráfico-textuales, entre
las técnicas y estructuras conceptuales matemáticas y las situaciones-problemas que
resuelven y organizan tales estructuras.
146
Recursos para el estudio de las matemáticas
C: Seminario didáctico
1. ANÁLISIS DE DOCUMENTOS CURRICULARES
(1) A continuación se presenta un extracto de un documento curricular sobre el uso de
recursos en el aprendizaje significativo de las matemáticas.
1) Léelo con atención. Subraya los puntos que consideras especialmente acertados.
2) ¿Qué papel juega el uso de recursos en el aprendizaje significativo según este
documento?
Extracto del documento: Recursos didácticos para la enseñanza de las matemáticas en
primaria (MEC)
Señalamos a continuación algunos aspectos que favorecen el aprendizaje significativo:
* Atiende a la diversidad del alumnado, tanto en sus experiencias previas y sus estrategias personales de
aprendizaje como en sus capacidades, ya que la actividad puede abordarse de maneras distintas: pueden
hacerlo de forma verbal, otros de forma manipulativa o gráfica, etc. La participación de cada niño en la
elaboración de conjeturas y la verbalización garantizan la diversidad de enfoques y de lenguajes.
* Plantea un aprendizaje funcional y significativo al considerar la conveniencia de partir de los intereses de los
niños y las niñas, y de situaciones reales para establecer relaciones con sus conocimientos anteriores y
elaborar conjuntamente definiciones y generalizaciones.
* Permite también integrar conceptos, procedimientos y actitudes en una misma secuencia de aprendizaje, ya
que, a través de procedimientos, es decir de “hacer” alguna cosa, ya sea contar, clasificar, representar, etc., se
llega a sacar conclusiones y a generalizar, y con ello a los conceptos; sin olvidar que las actitudes de
participación, gusto por el trabajo, por la precisión, etc., se adquieren simultáneamente.
Difícilmente se pueden garantizar estas condiciones en una secuencia en la que se empieza por la definición, se pasa a
exponer algunos ejemplos y después se presentan ejercicios para practicar. Éste es un planteamiento que, por
desgracia, es muy frecuente todavía en nuestras escuelas, y que sólo garantiza la uniformidad, que relaciona poco o
nada los aprendizajes con las situaciones de la vida diaria y que fomenta actitudes muy negativas frente a la
matemática.
2. ANÁLISIS DE ACTIVIDADES Y LIBROS DE TEXTO
(2) Examina en un libro de texto de primaria si se incluyen actividades que requieran el
empleo de materiales manipulativos.
(3). En una clase la maestra ha utilizado papel cuadriculado de la siguiente manera:
¿Qué contenido matemático se está trabajando en esta actividad?
147
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
(4) Explica como y con qué material justificarías a un alumno de primaria la propiedad
asociativa 2·(3·5) = (2·3)·5
(5) Utilizando el plegado de papel:
a) Trazar la perpendicular por un punto A a una recta r.
b) Trazar la paralela por un punto A a una recta r.
c) Trazar la bisectriz de un ángulo.
d) Construir un pentágono regular.
(6) ¿Cuál es el objetivo de la siguiente actividad?¿Crees que el uso del geoplano permite
realizar esta actividad en el primer ciclo de primaria?
En un geoplano de 5×5 construye el triángulo de la siguiente figura y su simétrico
respecto de la línea horizontal
(7) En un libro de texto se propone el siguiente método para dibujar un diagrama de
sectores.
a) Explica por qué este procedimiento es correcto.
b) Explica cómo se puede determinar el centro del círculo
c) Busca en un libro de texto el procedimiento normal para dibujar un diagrama de
sectores. ¿Qué tipo de contenido matemático se evita utilizando este
procedimiento?
d) ¿Qué tipo de material se evita utilizando este procedimiento?
Para dibujar un gráfico de sectores para esta tabla de datos, has de seguir los
pasos siguientes:
148
Recursos para el estudio de las matemáticas
Edad Frecuencia absoluta
7 3
8 2
9 3
10 4
11 6
12 2
Total 20
1) Coge una tira de cartulina de 24 cm de largo por 5 cm de alto. Dibuja 20 rectángulos
de base 1 cm. A continuación pinta 3 de color azul, 2 de color verde, 3 de color amarillo,
4 de color negro, 6 de color rojo y 2 de color marrón.
.
2) Une con pegamento los extremos de la tira de cartulina, de manera que los 4
rectángulos sin colorear queden por detrás de los segmentos coloreados y la tira forme
un anillo con los colores hacia adentro.
3 ) En una hoja se traza una circunferencia utilizando la tira del apartado anterior.
Marca el principio y el final de cada color
4) Determina el centro de la circunferencia y une las marcas con el centro. Por último
colorea cada sector con el color correspondiente.
149
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
3. EL MATERIAL MANIPULATIVO COMO PUENTE ENTRE LA REALIDAD Y
LOS OBJETOS MATEMÁTICOS10
(8) A continuación tienes una secuencia de actividades que permite modelizar una
situación “real”. El modelo matemático se corresponde con el currículum de la
ESO, pero la utilización de un programa de geometría dinámico como el Cabri
permite considerar la posibilidad de utilizar esta secuencia de actividades con
alumnos de primaria. Después de leer las actividades y de pensar cómo las podría
resolver un alumno de primaria, contesta:
a) ¿Qué situación “real” se está modelizando?
b) ¿Qué contenido matemático sirve para modelizar está situación “real”?
c) El contenido del apartado anterior, ¿con qué notación se representa en la ESO?
d) ¿Es adecuado introducir el contenido del apartado b en primaria? ¿Y la notación
que lo representa en la ESO?
e) ¿Crees que la secuencia de actividades que sigue es apropiada para alumnos de
6º de primaria?
1. La figura de la pantalla del ordenador es un edificio de 7 m de altura que tiene una sombra de
2,9 m. Si sitúas el puntero del ratón en el punto A y lo mueves hacia arriba y hacia abajo,
observarás cómo aumenta o disminuye la altura del edificio. ¿Qué le ocurre a la sombra del
edificio al aumentar su altura? ¿Y si disminuye la altura?
2. La figura anterior nos permite observar la sombra que tienen, a la misma hora, edificios
de alturas diferentes.
a) Completa la siguiente tabla:
Altura (m) Sombra (m)
4
8
12
16
b) Si doblamos la altura de un edificio, ¿qué le pasa a su sombra? ¿Y si la triplicamos? ¿Y
si la cuadriplicamos?
10 Font, V. (1996). Incidencia del micro-mundo Cabri-géomètre en el proceso de enseñanza-aprendizaje
de la proporcionalidad de magnitudes. Un ejemplo de su utilización en el aula. (Comunicación
presentada en el ICME-8, Sevilla).
150
Recursos para el estudio de las matemáticas
d) Divide cada altura por su sombra. ¿Observas alguna relación entre las alturas de los
edificios y sus sombras?
e) Variando la posición del punto A de la pantalla anterior, resuelve el siguiente
problema: “ Juana ha medido, a la misma hora, algunos objetos (árboles, edificios,
monumentos, etc.) y sus sombras, pero no ha tenido tiempo de hacer todas las
mediciones. Completa la tabla de Juana.”
Altura de los objetos (m) Sombras (m)
3,5 ………..
7 2,9
……. 5,8
21 8,7
4. CALCULADORAS
(9) Describir algunos de los beneficios de usar calculadoras en las clases de
matemáticas. ¿Cuáles son algunos de los argumentos que suelen decirse en contra del
uso de calculadoras en la enseñanza de la aritmética?
(10) Después de efectuar las siguientes restas con la calculadora: 9-1, 98-21, 987-321,
9876-4321, 98765-54321, haz una predicción del resultado de las restas 987654-654321
y 9876543-7654321 y da una justificación de esta predicción.
(11) Las calculadoras tienen posibilidades que podríamos calificar como “lúdicas” o
“curiosidades”. Un ejemplo lo tenemos en actividades como la siguiente en las que la
última respuesta se obtiene girando 180º el resultado de la pantalla de la calculadora a la
pregunta anterior:
Un camión que transporta 1725,23 kg de naranjas, ha perdido 16,5 kg por el
camino. ¿Cuántos kg de naranjas tiene aún el camión? ¿Qué es imprescindible
para escribir esta respuesta?
5. PROGRAMAS INFORMÁTICOS
(12) Estudia estas actividades basadas en el uso de una Hoja de Cálculo desde la
perspectiva del maestro: ciclo, objetivo, contenidos, etc. Explica las ventajas de
utilizar la hoja de cálculo en lugar de hacer el ejercicio con lápiz y papel.
1) Aritmética. En la hoja de cálculo que sigue el alumno ha de escoger entre tres
posibilidades. Si escoge la correcta el ordenador contesta Muy Bien. Si la elección no es
la correcta el ordenador contesta que vuelva a intentarlo. Con el botón Otro n.º el
ordenador propone la misma actividad con números diferentes. Las opciones Ejercicio
anterior y siguiente permiten pasar a actividades más fáciles o más difíciles.
151
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
2) Cálculo mental: En la hoja de cálculo que sigue el alumno ha de escoger un número
entre 1 y 100. Si este número coincide con el que ha pensado el ordenador recibe la
siguiente respuesta: Has acertado. Si el número es menor o mayor el ordenador
responde indicándolo. El ordenador también cuenta los intentos. Con el botón Inicio el
ordenador propone la misma actividad con números diferentes.
Comenta esta actividad desde la perspectiva del maestro: ciclo, objetivo, contenidos,
etc. Explica las ventajas e inconvenientes de utilizar la hoja de cálculo en lugar de hacer
este juego sólo con cálculo mental. ¿Cuál es la estrategia que hay que seguir?
3) Confecciona una hoja de cálculo que permita rsolver por tanteo el problema
propuesto en la actividad 10
6. INTERNET
(13) Visita las siguientes páginas web y explora los recursos disponibles para la
enseñanza de las matemáticas en primaria:

http://www.pangea.org/~acte/sebas/Volta%20Espanya/castella.htm

http://matti.usu.edu/nlvm/nav/vlibrary.html

http://illuminations.nctm.org/index2.html

152
Recursos para el estudio de las matemáticas
(14) Busca en Internet páginas que tienen por objetivo el intercambio por Internet de
problemas de matemáticas entre escuelas, el aprendizaje cooperativo, etc.
BIBLIOGRAFÍA
Corbalán, F. y Deulofeu, J. (1996). Juegos manipulativos en la enseñanza de las
matemáticas. UNO, 7, 71-80.
Coriat, M. (2001). Materiales didácticos y recursos. En, E. Castro (Ed.), Didáctica de la
matemática en la Educación Primaria (pp. 61-82). Madrid: Síntesis.
Hernan, F. y Carrillo, E. (1988). Recursos en el aula de matemáticas. Madrid: Síntesis.
Llinares, S. y Sánchez, M. V. (1998). Aprender a enseñar matemáticas: Los videos
como instrumento metodológico en la formación inicial de profesores. Revista de
Enseñanza Universitaria, 13, 29-44.
Cascallana, M.T. (1988). Iniciación a la matemática. Materiales y recursos didácticos.
Madrid: Santillana.
Marín, M., España, A. y Cruz, C. (1994). Telematemáticas. Suma, 14-15, 65-68.
Udina, F. (1989): Aritmética y calculadora. Madrid: Síntesis
153
J. D. Godino, C. Batanero y V. Font
154
Proyecto Edumat-Maestros
Director: Juan D. Godino

http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/

II.
DIDÁCTICA DE LOS SISTEMAS
NUMÉRICOS PARA MAESTROS
Eva Cid
Juan D. Godino
Carmen Batanero
Sistemas numéricos y su didáctica
156
Índice
Índice
CAPÍTULO 1:
NÚMEROS NATURALES. SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Página
1. Orientaciones curriculares
1.1. Diseño Curricular Base del MEC ………………………………………………..
1.2.Principios y Estándares para la Matemática Escolar (NCTM 2000) …
2. Desarrollo cognitivo y progresión en el aprendizaje
2.1. El sentido numérico y su desarrollo …………………………………………….
2.2. El aprendizaje de la sucesión de palabras numéricas …………………….
2.3. El aprendizaje del recuento y del significado del número como
cardinal y ordinal ……………………………………………………………………………
2.4. El aprendizaje del orden numérico ……………………………………………..
2.5. El aprendizaje del sistema escrito de numeración ………………………..
2.6. Conocimientos previos a la enseñanza del valor de posición de las
cifras ……………………………………………………………………………………………..
3. Situaciones y recursos
3.1. Situaciones de recitado de la sucesión numérica ……………………………
3.2. Situaciones de cardinalidad sin recuento ……………………………………..
3.3. Situaciones de recuento: obtención de cardinales y ordinales ………….
3.4. Situaciones de orden numérico ……………………………………………………
3.5. Situaciones de lectura y escritura de números de una cifra …………….
3.6. Situaciones de lectura y escritura de números de varias cifras ………..
3.7. Materiales para el estudio de la numeración ………………………………….
3.8. Recursos en Internet …………………………………………………………………..
4. Taller de didáctica
4.1. Análisis de textos escolares. Diseño de unidades didácticas …………..
4.2. Diseño de actividades ………………………………………………………………..
4.3. Análisis didáctico de tareas escolares ………………………………………….
4.4. Diagnóstico de la comprensión de la numeración decimal ……………..
Bibliografía ……. …………………………………………………………………………………..
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185
CAPÍTULO 2:
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
1. Orientaciones curriculares
1.1.Diseño Curricular Base del MEC ………………………………………………..
1.2. Principios y Estándares para la Matemática Escolar (NCTM 2000) …
2. Desarrollo cognitivo y progresión en el aprendizaje
2.1.Desarrollo de la capacidad de recuento …………………………………………
2.2.Desarrollo de la comprensión de situaciones aditivas ……………………..
3. Situaciones y recursos
3.1. Secuencia didáctica de introducción de la suma y resta de números
naturales ………………………………………………………………………………………….
3. 2.Situaciones aditivas concretas ……………………………………………………..
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191
192
193
196
197
157
Sistemas numéricos y su didáctica
3.3. Situaciones aditivas formales. Aprendizaje de algoritmos ……………….
3.4 Recursos en Internet …………………………………………………………………….
4. Taller de didáctica
4.1. Análisis de textos escolares. Diseño de unidades didácticas ……………
4.2. Diseño de una evaluación ………………………………………………………….
4.3. Análisis de problemas propuestos por niños …………………………………
4.4. Análisis de estrategias aditivas de los alumnos …………………………….
Bibliografía ………………………………………………………………………………………….
198
204
202
202
202
203
204
CAPÍTULO 3:
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
1. Orientaciones curriculares
1.1.Diseño Curricular Base del MEC ……………………………………………………
1.2.Principios y Estándares para la Matemática Escolar (NCTM 2000) ……
2. Desarrollo cognitivo y progresión en el aprendizaje
2.1. Progresión en el estudio de la multiplicación y división …………………..
2.2. Principales dificultades en el aprendizaje ……………………………………….
3. Situaciones y recursos
3. 1. Situaciones multiplicativas concretas ………………………………………….
3.2. Situaciones formales. Aprendizaje de algoritmos ……………………………
3.3 Recursos en Internet …………………………………………………………………….
4. Taller de didáctica
4.1. Análisis de textos escolares. Diseño de unidades didácticas ………………
4.2.Análisis de una prueba de evaluación ………………………………………………
4.3.Análisis de estrategias de cálculo mental /oral ………………………………….
4.4. Evaluación de resolución de problemas ………………………………………….
Bibliografía …………………………………………………………………………………………….
207
208
209
210
212
313
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217
217
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219
CAPÍTULO 4:
FRACCIONES Y NÚMEROS RACIONALES POSITIVOS
1. Orientaciones curriculares
1.1.Diseño Curricular Base del MEC …………………………………………………
1.2. Principios y Estándares para la Matemática Escolar (NCTM 2000) …
2. Desarrollo cognitivo y progresión en el aprendizaje ………………………………..
3. Situaciones y recursos
3.1. Situaciones concretas …………………………………………………………………
3.2. Situaciones formales. Aprendizaje de algoritmos …………………………..
3.3. Modelos gráficos y recursos para el estudio de las fracciones ………..
3.4 Recursos en Internet ……………………………………………………………………
4. Taller de didáctica
4.1. Análisis de textos escolares. Diseño de unidades didácticas ……………
4.2. Análisis de respuestas de estudiantes a pruebas de evaluación ………..
4.3. Análisis de experiencias didácticas ……………………………………………..
Bibliografía ……………………………………………………………………………………………
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224
225
228
230
231
233
234
234
235
237
158
Índice
CAPÍTULO 5:
NÚMEROS Y EXPRESIONES DECIMALES
1.Orientaciones curriculares
1.1. Diseño Curricular Base del MEC ………………………………………………..
1.2. Principios y Estándares para la Matemática Escolar (NCTM 2000) …
2. Desarrollo cognitivo y progresión en el aprendizaje ……………………………….
3. Situaciones y recursos
3.1. Introducción del uso de la coma decimal en el contexto de la medida
de longitudes …………………………………………………………………………………..
3.2. Modelos gráficos y concretos para representar fracciones decimales ..
3.3. Conexión entre fracciones y decimales ………………………………………..
3.3. Ordenación de decimales ……………………………………………………………
3.4. Operaciones aritméticas con decimales ………………………………………..
3.5. Recursos en Internet …………………………………………………………………..
4. Taller de didáctica
4.1. Respuestas de estudiantes a una prueba de evaluación ……………………
4.2. Análisis de una experiencia de enseñanza ……………………………………..
Bibbliografía
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247
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CAPÍTULO 6:
NÚMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS
1. Orientaciones curriculares …………………………………………………………………..
2. Desarrollo cognitivo. Conflictos en el aprendizaje
2.1 dificultades para “dar sentido” a los números positivos y negativos y
sus operaciones ………………………………………………………………………………
2.2 dificultades de manipulación de los signos + y – en las expresiones
algebraicas ……………………………………………………………………………………..
3. Situaciones y recursos
3.1. Situaciones con números naturales que anticipan los números enteros
3.2 Situación introductoria de la estructura aditiva de los números enteros
3.3. Recursos en internet ………………………………………………………………….
4. Taller de didáctica
4.1. Análisis de textos escolares ………………………………………………………..
4.2. Diseño de unidades didácticas …………………………………………………….
Bibliografía …………………………………………………………………………………………..
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159
Sistemas numéricos y su didáctica
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Proyecto Edumat-Maestros
Director: Juan D. Godino

http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/

II.
DIDÁCTICA DE LOS SISTEMAS
NUMÉRICOS PARA MAESTROS
Capítulo 1:
NÚMEROS NATURALES.
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
157
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
158
Números naturales. Sistemas de numeración
1. ORIENTACIONES CURRICULARES
El estudio de los sistemas numéricos, incluyendo su uso en las diversas situaciones de
la vida diaria, ha sido históricamente una parte esencial de la educación matemática desde los
primeros niveles. Esto es así porque todas las matemáticas que se estudian desde preescolar
hasta el bachillerato están cimentadas en los sistemas numéricos (naturales, enteros,
racionales y reales). Los principios que fundamentan la resolución de ecuaciones son los
mismos que las propiedades estructurales de los sistemas numéricos. De igual modo las
medidas de magnitudes no son otra cosa que números y los datos estadísticos son en la
mayoría de los casos información numérica contextualizada. Esto explica que la comprensión
de los números, de las operaciones aritméticas y la adquisición de destrezas de cálculo formen
el núcleo de la enseñanza de las matemáticas en la educación infantil y primaria. Los
estudiantes deberán enriquecer progresivamente su comprensión de los números; esto implica
saber qué son los números, como se representan con objetos, símbolos numéricos o sobre la
recta numérica, cómo se relacionan unos con otros, el tipo de estructura que forman, y cómo
se usan los números y las operaciones para resolver problemas.
1.1. Diseño Curricular Base del MEC
El Decreto del MEC (BOE 26-6-91) por el que se establecen las enseñanzas mínimas
del área de matemáticas en la educación primaria establece las siguientes indicaciones para el
bloque temático de “Números y operaciones”:
Conceptos:
1. Números naturales
2. Sistemas de numeración decimal
Procedimientos
1. Utilización de diferentes estrategias para contar de manera exacta y aproximada.
Actitudes
1. Curiosidad por indagar y explorar las regularidades y relaciones que aparecen en
conjuntos de números.
2. Sensibilidad e interés por las informaciones y mensajes de naturaleza numérica
apreciando la utilidad de los números en la vida cotidiana.
Estas orientaciones curriculares fueron formuladas de manera más explícita en el DCB
(Documento Curricular Base, MEC, 1989). Entre los objetivos generales que hacen referencia
al estudio de los “Números y operaciones” se indica que, al finalizar la Educación Primaria,
como resultado de los aprendizajes realizados en el área de Matemáticas, los alumnos habrán
desarrollado la capacidad de:
1. Identificar en su vida cotidiana situaciones y problemas susceptibles de ser analizados
con la ayuda de códigos y sistemas de numeración, utilizando las propiedades y
características de éstos para lograr una mejor comprensión de los mismos y encontrar
soluciones pertinentes.
2. Utilizar su conocimiento de los principales sistemas de numeración (decimal, romano…)
para interpretar, valorar y producir informaciones y mensajes numéricos sobre fenómenos
conocidos.
En el desarrollo del bloque temático sobre “Números y operaciones” el DCB incluye las
siguientes orientaciones curriculares:
Hechos, conceptos y principios
159
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
1. Números naturales.
• Necesidad y funciones: contar, medir, ordenar, expresar cantidades o particiones,
codificar informaciones, distinguir objetos y elementos, etc.
• Relaciones entre números (mayor que, menor que, igual a, diferente de, mayor o igual
que, menor o igual que, aproximadamente igual) y símbolos para expresarlas.
2. Sistemas de numeración: decimal, romano, monetario, para medir ángulos y tiempo.
• Grafía de los números en los distintos sistemas.
• Base, valor de posición y reglas de formación de los números en los diferentes sistemas.
• Números cardinales y ordinales.
• Relaciones entre sistemas de numeración.
Procedimientos
1. Utilización de diferentes estrategias para contar de manera exacta y aproximada.
2. Interpretación de tablas numéricas y alfanuméricas (de operaciones, horarios, precios,
facturas, etc.) presentes en el entorno habitual.
4. Elaboración y utilización de códigos numéricos y alfanuméricos para representar objetos,
situaciones, acontecimientos y acciones.
Actitudes, valores y normas
1. Curiosidad por indagar y explorar sobre el significado de los códigos numéricos y
alfanuméricos y las regularidades y relaciones que aparecen en conjuntos de números
2. Sensibilidad e interés por las informaciones y mensajes de naturaleza numérica apreciando
la utilidad de los números en la vida cotidiana.
3. Rigor en la utilización precisa de los símbolos numéricos y de las reglas de los sistemas de
numeración, e interés por conocer estrategias de cálculo distintas a las utilizadas
habitualmente.
1.2. Principios y Estándares para la Matemática Escolar (NCTM 2000)
Las orientaciones curriculares del NCTM proponen que la educación matemática, con
relación al bloque temático de “Números y operaciones”, debe desarrollar el “sentido
numérico” en los estudiantes. Los componentes del sentido numérico, que se deben lograr de
manera progresiva desde los niveles de preescolar hasta secundaria, se describen con tres
estándares generales. El primero de ellos es comprender los números, las distintas maneras de
representarlos, las relaciones entre los números y los sistemas numéricos. Sobre este objetivo
propone el logro de las siguientes expectativas para los Grados K-2 (Infantil y primer ciclo de
primaria):
• contar con comprensión y reconocer “cuántos hay” en conjuntos de objetos;
• usar múltiples modelos para desarrollar una comprensión inicial del valor de posición y el
sistema de numeración de base diez;
• desarrollar la comprensión de la posición relativa y magnitud de los números, de los aspectos
cardinal y ordinal y sus conexiones;
• desarrollar un sentido de los números naturales, representarlos y usarlos de manera flexible,
incluyendo la relación, composición y descomposición de los números
• conectar las palabras números y los numerales con las cantidades que representan, usando
diversos modelos físicos y representaciones.
160
Números naturales. Sistemas de numeración
Para el nivel 3-5 se espera que los niños sean capaces de:
• comprender la estructura del valor de posición del sistema de numeración decimal y ser
capaz de representar y comparar números naturales y decimales;
• reconocer representaciones equivalentes para los mismos números y generarlos mediante
composiciones y descomposiciones de otros números;
Ejercicio:
1.Analizar las diferencias y semejanzas en las orientaciones curriculares siguientes respecto del
estudio de los números naturales y la numeración,
– Diseño Curricular Base del MEC
– Las orientaciones curriculares de tu Comunidad Autónoma
– Principios y Estándares 2000 del NCTM.
2. DESARROLLO COGNITIVO Y PROGRESIÓN EN EL APRENDIZAJE
2.1. El sentido numérico y su desarrollo
Desde los niveles de preescolar uno de los objetivos básicos de la educación matemática
será el desarrollo progresivo del “sentido numérico”, entendido como “una buena intuición
sobre los números y sus relaciones”, que debe desarrollarse gradualmente como resultado de
explorar los números, usarlos en una variedad de contextos, y relacionarlos entre sí,
superando el limitado aprendizaje de los algoritmos tradicionales. “El sentido numérico se
concibe como una forma de pensar, por consiguiente no es una “lección” en el currículum de
las matemáticas de Primaria, sino una manera de aproximarse al trabajo con los números en el
aula” (Llinares, 2001, p. 152).
La comprensión y dominio de los números naturales pone en juego muchas ideas,
relaciones y destrezas, por lo que podemos considerarlo como un aprendizaje complejo, que
no se desarrolla de manera simple y automática. Con la expresión ‘sentido numérico’
hacemos referencia al complejo de nociones y relaciones que configuran el ‘sistema de los
números naturales’. Incluye, por tanto, su origen en las actividades humanas de contar y
ordenar colecciones de objetos, los instrumentos materiales inventados para dicha actividad,
las operaciones y relaciones que se establecen entre ellas para la solución de problemas
prácticos, y el propio sistema lógico–deductivo que organiza, justifica y estructura todos sus
elementos.
El dominio intuitivo, flexible y racional de los números que caracteriza la apropiación del
sentido numérico por parte del sujeto se inicia en preescolar, con las actividades de
clasificación y ordenación de colecciones (uso de relaciones “más que”, “menos que”,
“igual”, …), el aprendizaje de la secuencia numérica hasta la decena, y continúa
desarrollándose en los niveles escolares posteriores trabajando con números más grandes,
fracciones, decimales, porcentajes, etc.
2.2. El aprendizaje de la sucesión de palabras numéricas
El número natural surge como respuesta a la pregunta, ¿cuántos hay? o ¿qué lugar ocupa
este elemento dentro de un conjunto ordenado? Se construye, por tanto, alrededor de su
significado como cardinal y ordinal y para ello es necesario contar. Pero esto exige a su vez la
memorización de tramos de la sucesión numérica cada vez más amplios. Además, se necesita
161
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
también estar en condiciones de recitar cualquier tramo de la sucesión numérica para
saber cuáles son los números anterior y posterior a uno dado y para desarrollar técnicas orales
de suma y resta.
La memorización de la sucesión de palabras numéricas puede conseguirse por medio de
situaciones de recitado o de recuento. Pero el recuento empieza siempre desde uno y no
permite consolidar tramos altos de la sucesión. Por ejemplo, para aprender que después del
novecientos noventa y nueve viene el mil no podemos contar desde uno, tendremos que
recitar la sucesión numérica desde un novecientos y pico. Hay que tener en cuenta, además,
que las dificultades mayores se encuentran en los cambios de decena, centena, millar, etc., por
lo que es necesario ejercitarse en tramos de la sucesión que contengan alguno de estos
cambios.
En el dominio del recitado de las palabras numéricas el alumno puede encontrarse en
alguno de los niveles siguientes:
– Nivel cuerda. El alumno es capaz de recitar un trozo de la sucesión numérica por evocación.
El sonido de lo que está diciendo trae encadenados los sonidos siguientes, pero el niño no
separa una palabra de otra. Este conocimiento verbal no puede aplicarse al recuento al no
distinguir donde acaba una palabra y empieza otra.
– Nivel cadena irrompible. El niño sólo es capaz de recitar la sucesión numérica si empieza
por el uno, pero ahora ya diferencia las distintas palabras numéricas. En este nivel ya se
pueden asumir tareas de recuento.
– Nivel cadena rompible. Aquí el alumno es capaz de “romper” la cadena comenzando a
recitar a partir de un número distinto del uno.
– Nivel cadena numerable. El niño es capaz, comenzando desde cualquier número, de contar
un número determinado de palabras, deteniéndose en la que corresponda. Por ejemplo, contar
cinco números a partir del ocho y decir el número final, el trece. Desde este dominio se
afrontan con bastantes garantías la realización de las operaciones básicas del cálculo.
– Nivel cadena bidireccional. Es el máximo dominio al que se puede llegar. Supone las
destrezas del nivel anterior aplicadas al recitado de la sucesión numérica hacia delante o hacia
atrás. Contar bien desde el número a, b números hacia atrás, tardando aproximadamente el
mismo tiempo que hacia delante, es el tipo de tarea que define al alumno que ha alcanzado
este nivel de dominio de la sucesión numérica.
Aunque estos niveles definen una progresión en el aprendizaje del recitado de la sucesión
numérica, hay que entender que no todos los niños pasan por todos esos niveles y también que
un mismo niño puede tener un nivel de dominio de un cierto tramo numérico y otro nivel
distinto para otro tramo numérico. Es decir, un niño puede estar en un nivel de “cadena
numerable” en el tramo del uno al diez y en un nivel de “cadena irrompible” en el tramo del
diez al veinte. El aprendizaje de las palabras numéricas se va haciendo por tramos progresivos
que se suelen consolidar en el siguiente orden: primero las palabras uno, dos y tres, después el
tramo del uno al cinco seguido del tramo del cinco al diez. En fases posteriores los niños van
consolidando los siguientes tramos: del diez al veinte, del veinte al cincuenta, del cincuenta al
cien, del cien al doscientos, del doscientos al quinientos, del quinientos al mil, del mil al diez
mil, del diez mil al cien mil, del cien mil al millón, del millón en adelante.
2.3. El aprendizaje del recuento y del significado del número como cardinal y ordinal
162
Números naturales. Sistemas de numeración
Los distintos estados de conocimiento de los niños sobre el significado del número
pueden resumirse como sigue:
– Percepción temprana de cardinales. Los niños pequeños, entre dos y cuatro años, son
capaces de reconocer el cardinal de conjuntos de uno a tres o cuatro elementos sin necesidad
de contar. El cardinal es percibido globalmente por simple inspección visual del conjunto. En
cambio, cuando se trata de cardinales mayores, los niños ya no saben decirlos correctamente
porque eso exige contar y en esta etapa no tienen asumidos los principios en los que se basa
dicha técnica.
– Percepción prioritaria de ordinales. Esta etapa corresponde a niños con edades entre tres y
cinco años. Ahora los niños ya asumen algunos de los principios que permiten efectuar un
recuento. En concreto, el principio del orden estable (las palabras numéricas deben decirse
siempre en el mismo orden, empezando por el uno y sin omitir ninguna) y el de la
correspondencia uno a uno (cada objeto del conjunto contado debe recibir una palabra
numérica y sólo una)1. La práctica del recuento pone de manifiesto el sentido ordinal del
número por cuanto la palabra numérica que se adjudica a cada objeto es su ordinal. Sin
embargo, en esta fase no se asume el principio de cardinalidad, es decir, los niños no
entienden que el último ordinal sea, al mismo tiempo, el cardinal de todo el conjunto. Para
ellos, la respuesta a la pregunta, ¿cuántos hay?, consiste en la enumeración de todos los
objetos de la colección.
– Percepción prioritaria de cardinales. En esta etapa, los niños, entre cuatro y siete años,
asumen el principio de cardinalidad (la última palabra de un recuento indica, no sólo el
ordinal del último elemento señalado, sino también el cardinal del conjunto) con lo que
pueden responder correctamente a la pregunta ¿cuántos hay? después de haber efectuado un
recuento. Pero al centrar su atención en los cardinales sufren una cierta regresión respecto a
los ordinales y aparecen, por ejemplo, dificultades al obtener un ordinal. Se niegan a detener
el recuento en el elemento en cuestión, ya que tienen muy claro el principio de la
correspondencia uno a uno y pretenden adjudicar palabras numéricas a todos los elementos
del conjunto. También tienen dificultades para reinterpretar un cardinal como ordinal, es
decir, una vez que han dicho que diecisiete es el número de elementos de un cierto conjunto,
les resulta difícil volver a entenderlo como el ordinal del último elemento señalado. Esto les
impide, entre otras cosas, adoptar técnicas de contar a partir de uno de los sumandos para
obtener una suma.
Una buena concepción2 del número como cardinal y ordinal supone asumir la doble condición
de cada palabra de un recuento como ordinal de un elemento y, a la vez, cardinal de los
elementos contados hasta ese momento. Esto permite interpretar las palabras de un recuento
numérico, bien como ordinales, bien como cardinales, en función del problema que haya que
resolver.
En lo que se refiere a la técnica de contar, los errores que se observan pueden clasificarse
en:
1 Esto no quiere decir que los niños en esta etapa no cometan errores en el recuento. De hecho, las
equivocaciones al contar son bastante frecuentes incluso en los adultos. Lo que quiere decir es que son
razonablemente conscientes de los principios a los que nos acabamos de referir y procuran respetarlos al efectuar
los recuentos.
2 Una concepción es el conjunto de informaciones ( conocimientos para la acción y saberes para la interacción
social) que un individuo tiene acerca de una noción matemática.
163
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
– Errores de recitado. Errores ligados a un recitado incorrecto de la sucesión
numérica, consistentes en: saltarse palabras numéricas, decirlas en otro orden, repetirlas,
introducir palabras no numéricas, etc. Pueden deberse a que el niño no tiene asumido el
principio del orden estable o a una memorización incorrecta del tramo numérico que recita.
– Errores de coordinación. Errores ligados a la falta de coordinación entre la emisión de la
palabra y el señalamiento del objeto. Por ejemplo, el niño dice “cuatro” señalando dos objetos
o dice “dos tres” señalando un único objeto. Pueden deberse al desconocimiento del principio
de la correspondencia uno a uno, al hecho de no saber donde empiezan y acaban las distintas
palabras numéricas (nivel cuerda del recitado) o a una falta de coordinación entre la emisión
vocal y el movimiento de la mano.
– Errores de partición. Errores asociados al hecho de “no llevar la cuenta”, es decir, de no
distinguir correctamente lo ya contado de lo que falta por contar. Consisten en volver a contar
un objeto ya contado o dejar objetos sin contar. Se producen por desconocimiento del
principio de la correspondencia uno a uno o por una defectuosa puesta en práctica del mismo,
debida al desconocimiento o mala utilización de las técnicas auxiliares del recuento (técnicas
de diseño de un camino, marcado, separación o realización de una partición)
2.4. El aprendizaje del orden numérico
El orden numérico se construye alrededor de situaciones de comparación: comparación
entre ordinales para decidir quién va antes y comparación entre cardinales para decidir a qué
conjunto le sobran o faltan elementos cuando construimos parejas con un elemento de cada
conjunto. Decimos que cinco es menor que ocho porque si un elemento es el quinto estará
antes o será anterior en el tiempo al octavo (significado del orden entre ordinales). También
decimos que cinco es menor que ocho porque si emparejamos cinco tazas con ocho platos
quedarán platos sin taza (significado del orden entre cardinales). Esta última definición
también lleva implícita la idea de que todos los conjuntos que tienen el mismo cardinal
pueden emparejarse sin que quede ningún elemento sin pareja.
El orden numérico tanto en su sentido ordinal como cardinal es asumido muy pronto por
los niños. En el caso de orden entre ordinales, el éxito a la hora de ordenar dos números va
ligado a la memorización del tramo de la secuencia numérica que los incluye. El niño capaz
de recitar del uno al diez ya puede decir, por ejemplo, que “el seis va antes que el nueve”. Sin
embargo, ese mismo niño puede no saber que quince es menor que diecisiete si no tiene
memorizado el tramo del diez al veinte. La memorización de tramos cada vez más amplios de
la sucesión numérica permite a los niños ampliar las parejas de números susceptibles de ser
ordenadas. Finalmente, la familiarización con las reglas de formación de las palabras
numéricas junto con el conocimiento de la escritura del número, conduce a los niños a asumir
las reglas formales del orden numérico:
a) Un número es menor que otro si tiene menos cifras.
b) Si dos números tienen el mismo número de cifras, será menor aquel que tenga menor la
cifra de orden superior.
c) Si las cifras de orden superior coinciden, se examinan las cifras de orden siguiente hasta
encontrar algún caso en que no coincidan y entonces se aplica la regla b.
164
Números naturales. Sistemas de numeración
En cuanto al sentido cardinal del orden, en un primer momento los niños son capaces de
percibir globalmente si en un conjunto hay más elementos que en otro, siempre que esa
diferencia sea apreciable por simple inspección visual. Sin embargo, el establecimiento del
orden entre los cardinales de dos conjuntos por medio del emparejamiento (construcción de
parejas que contengan un elemento de cada conjunto) o del recuento no es una habilidad
temprana; de hecho, hay niños de seis y siete años que, en esas condiciones, tienen
dificultades para decidir qué conjunto tiene más o menos elementos.
A este respecto es esclarecedor el comportamiento de los niños en la llamada experiencia
de la conservación del número propuesta por Jean Piaget. Consiste en lo siguiente:
– Se le presentan aun niño un número reducido de objetos, por ejemplo, entre seis y nueve
fichas azules puestas en fila. A continuación, el entrevistador le pide al niño que ponga tantas
fichas rojas como fichas azules hay, una ficha roja por cada ficha azul. Una vez que el niño ha
emparejado cada ficha azul con una ficha roja, el entrevistador le pregunta si hay el mismo
número de fichas azules que de fichas rojas. Si el niño dice que sí, el entrevistador modifica la
fila de fichas rojas dejando una mayor distancia entre dos fichas. De esa manera, la fila de
fichas rojas ocupa más espacio que la de fichas azules.
Después de eso, se pregunta al niño si ahora sigue habiendo las mismas fichas azules que
rojas.
En la resolución de esta tarea los niños se comportan de las siguientes maneras:
– Algunos no saben colocar un número de fichas rojas igual al de fichas azules. No conocen la
técnica de emparejamiento ni tampoco se les ocurre contar. Son niños que pueden tener una
percepción global de dónde hay más o menos elementos, pero que no usan la correspondencia
uno a uno para comparar cardinales.
– Otros son capaces de colocar un número de fichas rojas igual al de azules, están seguros de
que los dos cardinales son iguales, pero cuando el entrevistador modifica una de las filas
haciendo que ocupe más espacio dicen que en esa fila hay más fichas. Se trata de niños que
son capaces de usar una técnica de emparejamiento para comparar cardinales de conjuntos,
pero en cuanto visualmente ese emparejamiento desaparece dejan de verlo y vuelven a una
comparación global basada en la percepción visual de que uno de los conjuntos ocupa más
espacio.
– Por último, tenemos a los niños que a pesar de la modificación espacial efectuada por el
entrevistador siguen afirmando que los dos conjuntos de fichas tienen el mismo número
porque “no se ha puesto ni quitado ninguna ficha”. En este caso, los niños no sólo son capaces
de usar la correspondencia uno a uno entre conjuntos para comparar cardinales, sino que
siguen “viéndola”, aunque físicamente haya desaparecido, y no se dejan distraer por
consideraciones de otro orden.
Lo más sorprendente de esta experiencia es que ha puesto de manifiesto que practicamente
todos los niños pequeños son “no conservadores” y que es necesario esperar a que
tengan alrededor de siete años para que acepten mayoritariamente que el número de fichas
sigue siendo el mismo.
Una última consideración a tener en cuenta es que la tarea de ordenar dos números es
muy diferente de la de ordenar tres o más números. De hecho, se ha observado que niños que
son capaces de ordenar tres números de dos en dos no son capaces de ordenarlos a base de
165
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
decir cual es el menor, el mediano y el mayor. En una fase posterior se da también el
caso de que, una vez ordenados ciertos números, el niño es incapaz de introducir en el lugar
adecuado un número que se le ha dado posteriormente.
2.5. El aprendizaje del sistema escrito de numeración
El aprendizaje del sistema escrito de numeración se desarrolla en dos etapas: la de la
lectura y escritura de las cifras (números del O al 9) y la de la lectura y escritura de números
de dos o más cifras, lo que supone asumir las reglas de representación de números propias de
un sistema posicional de base diez.
En lo que se refiere a las cifras, los niños deben aprender a reconocerlas y a
escribirlas siguiendo el sentido de recorrido oportuno. Para las personas diestras los sentidos
de recorrido más adecuados son los siguientes:
Los errores más frecuentes que se observan en el trabajo de los niños son:
– Errores de inversión de la grafía. Algunos niños confunden el 6 y 9; otros escriben ,
en lugar de 2, en lugar de 3, en lugar de 5.
– Errores caligráficos. La mala caligrafía puede llevar a un niño a confundir sus propias cifras
cuando tiene que volver a leerlas. Se puede confundir el 1 con el 2, el 3 con el 5, el 6 o el 9
con el 0, etc.
– Errores de recorrido. Es frecuente que los niños se acostumbren a escribir las cifras
siguiendo recorridos anómalos. Esto contribuye a empeorar la caligrafía y, además, puede
fomentar los errores de inversión ya comentados y la escritura de derecha a izquierda, en vez
de izquierda a derecha, lo que crea problemas cuando hay que escribir números de varias
cifras.
En cuanto al valor de posición de las cifras, diversas experiencias muestran que la
comprensión que tienen los niños de ese convenio es muy limitada, incluso cuando llevan ya
mucho tiempo escribiendo números de varias cifras. A continuación vamos a describir dos de
esas experiencias.
Experiencia de Kamii sobre reconocimiento de la decena
– El entrevistador presenta a un niño dieciséis fichas y le pide que las cuente, las dibuje en un
papel y escriba el número 16. Una vez hecho eso, el entrevistador rodea el 6 y le pide al niño
que señale en el dibujo de las fichas lo que corresponde a ese número. Después rodea el 1 y le
pide que señale en el dibujo la parte que corresponde a ese número.
Este experimento se realizó con niños de entre ocho y once años de edad (por supuesto, todos
ellos escolarizados y sabiendo escribir números de varias cifras) y sus respuestas pueden
clasificarse como sigue:
166
Números naturales. Sistemas de numeración
– Las cifras se interpretan como ordinales o como etiquetas: el 6 corresponde a una ficha y el
1 a otra ficha distinta (22%).
– El 6 representa seis fichas y el 1, una ficha (23%).
– El 6 representa seis fichas y el 1 es una decena, pero, a la hora de indicarlo en el dibujo, se
señala una sola ficha (12%).
– El 6 representa seis fichas y el 1 las diez fichas restantes ( 43%.
Entre los niños de ocho años sólo el 20% relaciona el 1 con las diez fichas.
Experiencia de Ross del agrupamiento en decenas
– El entrevistador presenta al niño 48 alubias y 9 tazas. No le dice al niño cuántas alubias hay
ni le pide que las cuente. Lo que le pide es que ponga diez alubias en cada taza. Una vez
acabada la tarea sobre la mesa quedan 4 tazas llenas y 8 alubias sueltas. Entonces se pregunta
al niño cuántas alubias hay en total.
Las respuestas de los niños (entre ocho y once años) fueron como sigue:
– No saben decir cuántas hay (5%).
– Las vuelven a contar todas de una en una (15%.
– Las cuentan por decenas (“diez, veinte, treinta, cuarenta”) y al final añaden el ocho. Algunos
niños multiplican diciendo “cuatro de diez son cuarenta” o “cuatro por diez son
cuarenta”(80%).
Ningún niño dice directamente “cuarenta y ocho”. Además, entre los niños de ocho años
sólo el 60% cuenta de diez en diez, el otro 40% cuenta de uno en uno, o no cuenta.
Estas experiencias muestran que la noción del valor posicional de las cifras se va
construyendo lentamente y que los niños aprenden a escribir números sin ser enteramente
conscientes del valor que representa cada cifra. De hecho, los niños saben que cuarenta y dos
se escribe con un cuatro y un dos porque los dos números empiezan por la sílaba “cua”. Son
las similitudes de los sonidos las que permiten escribir y leer correctamente números de dos
cifras, más que una correcta interpretación del número en términos de decenas y unidades.
Los errores más frecuentes en la escritura de números de varias cifras son los siguientes:
– Invertir el orden de las cifras. Es propio de la escritura de números de dos cifras y consiste
en intercambiar la cifra de las decenas con la de las unidades.
– Incorporar la potencia de la base. Consiste en escribir los números tal como se hablan, es
decir, explicitando las potencias de la base, como sucede en nuestro sistema oral. Por ejemplo,
tres mil doscientos veintitrés se escribiría como 300020023.
– Suprimir o añadir ceros. En números grandes con pocas cifras significativas es frecuente
que los niños se equivoquen en el número de ceros intermedios que hay que escribir. Por
ejemplo, mil cuatro puede aparecer escrito como 104 o como 10004.
Además, se observan dificultades de lectura y escritura de números muy grandes tanto en
167
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
niños como en adultos debido a que la escuela no suele ejercitar a los alumnos en ello
y, desde el punto de vista social, se trata de un conocimiento poco necesario.
2.6. Conocimientos previos a la enseñanza del valor de posición de las cifras
Para entender que el número treinta y cinco se escribe con un tres y un cinco hay que
“verlo” descompuesto en tres decenas y cinco unidades. Pero eso exige saber que “diez más
diez son veinte, y más diez son treinta”, es decir, hay que saber contar de diez en diez y que
cuando a una decena se le suma otra se obtiene la decena siguiente. Una vez entendido que
tres decenas es lo mismo que treinta unidades, hay que estar familiarizado con el hecho de que
treinta más cinco son treinta y cinco.
En otras palabras, para que un niño pueda darle sentido a los razonamientos que se
organizan alrededor del valor de posición de las cifras tiene que estar familiarizado con
determinadas técnicas orales de suma. Esto implica que las situaciones aditivas que
estudiaremos más adelante deben comenzarse antes de enseñar la escritura de números de dos
cifras.
Los conocimientos orales previos a dicha enseñanza son los siguientes:
– Contar de uno en uno y de diez en diez.
– Ser capaz de interpretar como cardinales u ordinales las palabras numéricas
correspondientes a los números de dos cifras.
– Saber que si se suma una unidad se obtiene el número siguiente.
– Saber que si se suma una decena se obtiene la decena siguiente.
– Sumar oralmente decenas con unidades.
El aprendizaje de estos conocimientos puede conseguirse mediante situaciones de
recitado, de recuento, de orden y aditivas. Pero además, se necesitan ciertos conocimientos de
escritura. Son los siguientes:
– Manejar con bastante soltura el lápiz y el papel.
– Leer y escribir las cifras.
– Saber interpretar como cardinales y ordinales las cifras que aparecen en un mensaje escrito.
La adquisición de la primera de estas condiciones depende de la puesta en marcha de
situaciones de manejo del lápiz y el papel que ayuden a desarrollar la psicomotricidad fina
que la escritura requiere. Estas situaciones no son específicamente matemáticas por lo que no
las hemos descrito. En cuanto a las otras dos condiciones, su aprendizaje se conseguirá por
medio de las situaciones de trazado de cifras y de comunicación descritas en el apartado
anterior.
Ejercicio 2: Diagnóstico de competencias y comprensión sobre cardinación y ordenación
En la tabla siguiente se incluye una relación de tareas de manipulación de objetos en situaciones
aritméticas que se pueden usar para el diagnostico inicial (o la evaluación final) de las competencias y
168
Números naturales. Sistemas de numeración
comprensión de los alumnos de 1er curso de primaria sobre cardinación y ordenación. Utiliza esta
pauta con algún niño de dicho nivel. Compara tus resultados con la información dada en esta sección.
Manipulación de objetos en situaciones aritméticas
a) Contar el número de elementos de un conjunto.
A ver, ¿cuántas fichas tenemos aquí?, cuéntalas.
b) Construir un conjunto con un número dado de elementos
Vamos a coger 15 fichas. Venga, empieza,colócalas aquí.
c) Dados dos conjuntos, decir cuál de ellos tiene más o menos elementos.
Mira, aquí tenemos fichas negras y aquí fichas rojas. ¿Dónde hay más fichas?
d) Construir un conjunto que tenga el mismo número de elementos que otro dado.
Mira, aquí tenemos fichas rojas. Vamos a poner un número igual de fichas azules. ¿Cómo lo
haremos?
e) Decir el ordinal de un elemento.
Vamos a hacer una fila de fichas. Ésta es la primera, ésta la segunda, ¿y ésta?
a) Colocar un elemento de ordinal dado
Mira, en esta fila hay que colocar esta ficha para que sea la cuarta, ¿cómo lo haremos?
g) Añadir elementos a un conjunto ya contado (con el conjunto inicial tapado o sin tapar)
Aquí hemos contado 17 fichas, ¿verdad? Si añadimos estas otras, ¿Cuántas tendremos ahora?
Aquí hemos contado 17 fichas, ¿verdad? Si añadimos estas 3, ¿cuántas tendremos ahora?
h) Quitar elementos a un conjunto ya contado (con el conjunto inicial tapado o sin tapar)
Aquí hemos contado 17 fichas, ¿verdad? Si quitamos éstas, ¿cuántas tendremos ahora?
Aquí hemos contado 17 fichas, ¿verdad? Si quitamos 3, ¿cuántas tendremos ahora?
i) Adivinar el cardinal de un conjunto sabiendo su cardinal cuando se le añaden o suprimen elementos.
Mira, aquí tenemos unas fichas escondidas. No sabemos cuántas hay, pero yo sé que si añadimos
3 más, en total hay ocho. ¿Cuántas fichas hay escondidas?.
j) Modificar el ordinal de un elemento añadiendo o quitando elementos anteriores.
Mira, esta ficha está la quinta. Si ponemos delante estas otras dos, ¿ahora cómo estará?
Mira, esta ficha está la quinta. ¿Cuántas fichas se tienen que ir de la cola para que quede la
tercera?
k) Comparar dos conjuntos y decir cuántos elementos más o menos tiene uno que otro.
Dónde hay más fichas, ¿aquí o aquí?, ¿cuántas más?
l) Comparar dos conjuntos diciendo cuántos elementos hay que añadir a uno de ellos para que se
iguale con el otro.
Aquí tenemos 12 fichas azules y aquí 15 rojas. ¿Cuántas fichas azules tenemos que añadir para
tener tantas como rojas?
m) Construir un conjunto que tenga un número determinado de elementos de más o de menos que otro
ya dado.
Aquí tenemos 23 fichas. Vamos a hacer otro montón que tenga 4 fichas menos que éste.
n) Comparar dos ordinales, diciendo cuántos elementos hay entre los dos.
Si sabemos que esta ficha es la sexta y ésta la novena, ¿cuántas fichas tendremos que poner entre
las dos?
ñ) Hacer torres de 10 elementos a partir de un número dado de elementos.
Hemos contado 25 fichas. ¿Cuántas torres de diez fichas podemos hacer? Vamos a hacerlas.
¿Cuántas fichas sobran?
o) Realizar acciones de compra-venta de objetos diversos
p) Contar objetos de dos en dos, de cinco en cinco, de diez en diez, de cien en cien , de mil en mil.
q) Recorrer la sucesión numérica escrita saltando de dos en dos, de tres en tres, etc., hacia delante y
hacia atrás.
r) Reiterar acciones de añadir o quitar.
Aquí tenemos 3 fichas. Si añadimos otras 3, ¿cuántas tenemos ahora? ¿Y con 3 más?
Si de estas 22 fichas empezamos a quitar 3, y 3, y 3, …, ¿cuántas quedarán al final?
s) Repartir un número dado de objetos entre un número dado de individuos.
169
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
Vamos a repartir estas 20 fichas en cuantro montones iguales. ¿Cuántas fichas hay en cada
montón?
t) Repartir un número dado de objetos entre varios individuos de modo que a cada uno le corresponda
un número dado de objetos.
Vamos a repartir estas 20 fichas en grupos de 5. ¿Cuántos grupos podremos hacer?
u) Dado cierto número de individuos, adjudicar a cada uno de ellos un número dado de objetos.
Vamos a hacer 4 montones de 5 fichas cada uno. ¿Cuánatas fichas necesitaremos?
v) Comprar-vender varios objetos de un mismo precio.
w) Construir conjuntos que tengan dos veces, tres veces, etc. más elementos que otro dado.
x) Construir conjuntos que tengan la mitad, la tercera parte, etc. que otro dado.
y) Formar todas las combinaciones posibles entre varios elementos.
Si tengo tres pantalones y dos camisas, ¿de cuántas maneras distintas me puedo vestir?
z) Medir longitudes, áreas, capacidades, masas con unidades no convencionales.
3. SITUACIONES3 Y RECURSOS
3.1. Situaciones de recitado de la sucesión numérica
Las variables didácticas a manipular a la hora de proponer tareas de recitado y los valores
entre los que varían, son los siguientes:
Tipo de sucesión oral: Cardinal u ordinal.
Números de comienzo y final del recitado: Cualquier número natural.
Sentido del recitado: Hacia delante o hacia atrás.
Número de términos del recitado: Con o sin control del número de términos que se recitan.
Salto: De uno en uno, de dos en dos (por pares e impares), de cinco en cinco (por los
múltiplos de cinco), de diez en diez, de veinticinco en veinticinco (por los múltiplos de
veinticinco), de cincuenta en cincuenta (por los múltiplos de cincuenta), de cien en cien, de
doscientos cincuenta en doscientos cincuenta (por los múltiplos de doscientos cincuenta), de
quinientos en quinientos (por los múltiplos de quinientos), de mil en mil, de diez mil en diez
mil, de cien mil en cien mil, de un millón en un millón, etc.
Ejercicios:
3. Preparar una secuencia de tareas para alumnos de 1er curso en las que se incluyan una muestra de
valores de las variables didácticas identificadas en el estudio del recitado de la sucesión numérica
4. Analizar en un libro de texto de primaria si se incluyen o no, tareas o actividades de recitado de la
sucesión numérica y los valores de las variables didácticas tenidas en cuenta.
3 El término situación lo usamos con dos sentidos diferentes, como tarea o actividad matemática a realizar, y
como situación didáctica. En este último caso, además de la tarea matemática propiamente dicha, se incluyen las
intervenciones del profesor, las interacciones entre alumnos, el tiempo asignado y demás recursos utilizados en
el estudio.
170
Números naturales. Sistemas de numeración
Las situaciones didácticas, globalmente consideradas, quedan determinadas por otras
variables distintas de las correspondientes a las tareas, entre las que destacamos:
Forma de realizar la tarea: Individualmente, colaborando en grupo pequeño homogéneo,
colaborando en grupo pequeño heterogéneo, colaborando en grupo grande, todos a la vez en
grupo pequeño o grande.
Intervención del profesor: El profesor, una vez planteada la tarea, no contesta a ninguna
pregunta, contesta sólo las preguntas que aclaran la consigna dada, hace sugerencias sobre
cómo realizar la tarea, colabora con los niños en la resolución de la tarea, dice a los niños,
bien personalmente o bien a través de otro niño, lo que tienen que hacer.
Tiempo de realización de la tarea: Se da el tiempo necesario para que todos los alumnos,
todos menos unos pocos, la mitad de la clase, sólo unos pocos, realicen la tarea.
3.2. Situaciones de cardinalidad sin recuento
Es importante que los niños se acostumbren a determinadas configuraciones espaciales
(“constelaciones”) que permiten conocer el cardinal de un conjunto sin necesidad de contar.
Por ejemplo, ante una constelación de puntos como la siguiente:
* *
*
* *
los adultos no necesitamos contar para saber que ahí hay cinco puntos, pues estamos
familiarizados con ella a través de los dados, las fichas del dominó y las cartas de la baraja.
Las situaciones de cardinalidad sin recuento fomentan el reconocimiento visual de cardinales,
habilidad necesaria en las tareas iniciales de suma y resta.
Las variables de las situaciones4 de cardinalidad sin recuento son:
Numerosidad de la situación: De uno a veinte.
Sentido de la situación: De reconocimiento (del cardinal del conjunto) o de construcción (de
un conjunto de cardinal dado.
Material utilizado: Dedos de las manos, dados, cartas de la baraja, fichas de dominó, regletas
Cuisenaire, regletas con tapa, ábaco.
Ejercicios:
5. Preparar una secuencia de tareas para alumnos de 1er curso en las que se incluyan una muestra de
valores de las variables didácticas identificadas en el estudio de la cardinalidad sin recuento.
6. Analizar en un libro de texto de primaria si se incluyen o no, tareas o actividades de cardinalidad sin
recuento y los valores de las variables didácticas tenidas en cuenta.
171
4 Situación, en el sentido de tarea o actividad matemática.
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
3.3. Situaciones de recuento: obtención de cardinales y ordinales
En general, la escuela no enseña a contar más allá de los primeros números. Se realizan
actividades de contar para dar sentido a los números hasta el diez, pero a partir de ahí los
números se construyen como combinación de decenas y unidades. Por ejemplo, treinta y
cinco objetos aparecen descompuestos en tres decenas y cinco unidades, con lo que no hace
falta contar más allá de diez para saber cuántos objetos son.
Nosotros entendemos que lo que da sentido al número como cardinal y ordinal es el
recuento y que, por tanto, es necesario contar objetos una y otra vez para establecer el
significado de los distintos números. Además, no basta con dar sentido a los números del uno
al diez, sino que hay que realizar actividades de recuento que pongan a los niños en situación
de manipular cardinales y ordinales de uno a cien y, en algunos casos, de más de cien objetos.
Por otra parte, también es necesario aprender las distintas variantes de la técnica de
recuento. No es lo mismo contar para obtener un cardinal que contar para obtener un ordinal.
En el primer caso hay que contar todos los elementos y no importa el orden en que se cuenten;
en el segundo caso, sólo se cuenta hasta el elemento en cuestión y siguiendo un orden
predeterminado de antemano. Además, la tarea de adjudicar a cada elemento una palabra
numérica, y sólo una, puede exigir distintas técnicas auxiliares, dependiendo de la situación:
seguir un camino, separar los objetos, marcarlos o efectuar particiones. Por último, el tamaño
de la colección a contar o sus especiales características pueden propiciar el uso de recuentos
abreviados: de dos en dos, de cinco en cinco, de diez en diez, etc. o, por ejemplo, contar
grupos de cien y después contar de cien en cien para obtener el total, etc.
Las variables didácticas que intervienen en las situaciones de recuento son las siguientes:
Significado del número resultado del recuento: Cardinal u ordinal.
Numerosidad de la colección: De uno en adelante.
Sentido de la situación: De cálculo (del cardinal de un conjunto o del ordinal de un elemento)
o de construcción (de un conjunto de cardinal dado o de un elemento de ordinal dado.
Tipo de objetos:
– Sucesos.
– Objetos movibles al alcance de la mano.
– Objetos al alcance de la mano, pero no movibles u objetos dibujados
– con configuración geométrica típica
– con configuración que indica un camino
– con configuración indiferenciada.
– Objetos a la vista, pero no al alcance de la mano.
– Objetos evocados.
172
Números naturales. Sistemas de numeración
Salto: De uno en uno, de dos en dos, de cinco en cinco, de diez en diez, de veinticinco en
veinticinco, de cincuenta en cincuenta, de cien en cien, de mil en mil, etc.
Estimación del resultado: Con o sin exigencia previa de estimación del resultado.
Ejercicios:
7. Preparar una secuencia de tareas para alumnos de 1er curso en las que se incluyan una muestra de
valores de las variables didácticas identificadas en el estudio de la obtención de cardinales y ordinales.
8. Analizar en un libro de texto de primaria si se incluyen o no, tareas o actividades obtención de
cardinales y ordinales, y los valores de las variables didácticas correspondientes.
3.4. Situaciones de orden numérico
Las variables didácticas que intervienen en las situaciones de orden numérico son las
siguientes:
Significado del número: Cardinal u ordinal.
Tamaño del número mayor: De uno en adelante.
Tamaño de la diferencia: Grande (diferencia que permite ver de forma ostensible cuál es el
conjunto de cardinal mayor), o pequeña (diferencia que obliga a emparejar o contar para
decidir qué número es mayor.
Número de términos de la comparación: Dos, tres o más.
Grado de formalización de la situación: Contextualizada o formal
Uso de materiales: Con o sin manipulación de materiales.
Tipo de material:
– Objetos movibles al alcance de la mano y físicamente cercanos.
– Objetos movibles al alcance de la mano, pero físicamente separados.
– Objetos al alcance de la mano, pero no movibles u objetos dibujados
– Objetos a la vista, pero no al alcance de la mano.
Tamaño del material: Los dos conjuntos que se comparan están formados por objetos de un
tamaño parecido o muy distintos en tamaño.
Estimación del resultado: Con o sin exigencia previa de estimación del resultado.
Institucionalización de las reglas formales que definen el orden: Con o sin explicitación de
dichas reglas.
173
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
Dentro de las situaciones de orden numérico, son especialmente importantes
aquellas que ponen de manifiesto el hecho de que dos conjuntos con el mismo cardinal
pueden emparejarse sin que sobre ni falte ningún objeto. Una de ellas es la siguiente:
Situación fundamental5 de cardinalidad
Condiciones materiales: El profesor debe situar en un lugar, cierto número de objetos A y en
otro, cierto número de objetos B. Los objetos deben estar lo suficientemente separados para
que el niño que esté cogiendo objetos B no tenga a la vista los objetos A. Además, el número
de objetos A debe ser lo suficientemente grande para que el niño no pueda imaginárselos uno
a uno.
Consigna del profesor dirigida al alumno: “Mira, aquí tenemos objetos A y allí objetos B.
Tienes que ir a donde están los objetos B y traer un objeto B por cada objeto A que tenemos
aquí”.
Actuación del profesor: El profesor no debe permitir que el alumno haga pruebas, trayendo
los objetos en varias veces. Debe exigir que los objetos se traigan en una sola vez y si el niño
se equivoca debe llevarse todos los objetos y empezar de nuevo.
Conocimiento en juego: La resolución correcta de esta situación exige saber que cuando dos
colecciones tienen el mismo cardinal, al emparejarlas ningún objeto se quedará sin pareja. Por
tanto, si se cuenta la colección A para obtener su cardinal y se construye un conjunto de
objetos B con el mismo cardinal, quedará resuelto el problema.
Ejercicios:
9. Preparar una secuencia de tareas para alumnos de 1er curso en las que se incluyan una muestra de
valores de las variables didácticas identificadas en el estudio del orden numérico.
10. Analizar en un libro de texto de primaria si se incluyen o no, tareas o actividades de ordenación
numérica y los valores de las variables didácticas tenidas en cuenta.
3.5. Situaciones de lectura y escritura de números de una cifra
La enseñanza de las cifras exige dos tipos de situaciones: las de trazado de las cifras y las
de comunicación.
Situaciones de trazado de las cifras
Las variables didácticas a considerar serían las siguientes:
Tamaño de la cifra: Del 0 al 9.
5 Se le llama así porque su resolución exige el conocimiento de la propiedad fundamental de los cardinales.
174
Números naturales. Sistemas de numeración
Método de trazado: Sobre cifra ya hecha o trazado libre imitando el modelo.
Instrumento utilizado: Dedos o lápices.
Material utilizado: Cifras recortadas en papel de lija, arena, talco, pintura de dedos, pinturas
varias, papel, etc.
En un primer momento conviene que la tarea se realice individualmente y en presencia
del profesor. Para ello, éste debe presentar al niño una cifra recortada en papel de lija y
pegada en una cartulina o plancha de madera y mostrarle cómo recorrerla con el dedo. A
continuación, el niño debe “hacer la cifra” varias veces, siguiendo el recorrido indicado por el
profesor. De esta manera, y dado que el papel de lija raspa y obliga a los niños a ser
conscientes del trazo que realizan, se van asumiendo los trazados de las distintas cifras.
Posteriormente, se puede pedir al niño que dibuje la cifra por sí mismo con el dedo sobre
arena o con pintura de dedos sobre papel. Más adelante, se le puede decir que la trace con
lápiz y papel.
Hay que tener en cuenta que en las situaciones de trazado de las cifras no se pretende que
el niño identifique la palabra con el símbolo escrito; no son, por tanto, situaciones estrictas de
lectura y escritura de cifras. Se trata de que el niño aprenda la técnica de trazado de las
diferentes cifras, pero se supone que el profesor les dice a los niños de qué cifra se trata y que
cuando los niños la escriben, o bien recorren una cifra ya hecha, o bien la copian teniendo el
modelo delante. Son las situaciones de comunicación las que tienen como objetivo prioritario
el que el niño relacione el símbolo oral con el símbolo escrito y dé a este último un sentido
como cardinal y ordinal.
Situaciones de comunicación escrita de números de una cifra
Las variables didácticas a tener en cuenta serían las siguientes:
Significado del número: Cardinal u ordinal.
Tamaño del número: Del 0 al 9.
Tipo de situación: De petición o de recuerdo.
Tipo de codificación: Lectura (pasar del escrito al oral), escritura (pasar del oral al escrito) o
las dos.
Material utilizado: Todo tipo de objetos que se puedan contar, materiales estructurados6,
papel y lápiz, banda en la que aparezcan escritas las cifras en orden (banda numérica), cajas o
sobres para guardar objetos, etc.
En estas situaciones se pretende que los niños se planteen el problema de comunicar
cantidades por escrito. En las situaciones de petición los niños tienen que pedir por escrito a
otros niños o al profesor, o el profesor a los niños, que construyan un cierto cardinal u ordinal.
En las de recuerdo se les dice que tomen nota escrita de un cierto cardinal u ordinal para
poder recordarlo días después.
6 Se llama así a todos aquellos materiales organizados en torno a determinadas configuraciones. Por ejemplo,
dedos de las manos, dados, cartas de la baraja, fichas de dominó, regletas Cuisenaire, regletas con tapa, piezas
Herbiniere-Lebert, ábaco, dinero ficticio, etc.
175
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
En un primer momento no hay que exigir que los niños usen las cifras. De
hecho, estas situaciones se pueden plantear sin que los niños las conozcan. Las estrategias
iniciales serán las de dibujar los objetos o la de dibujar una colección de muestra con el
mismo cardinal: dedos, palotes, etc. Si se pone a disposición de los niños una banda numérica
con las cifras escritas del 1 al 9 los niños pueden leer y escribir los mensajes cifrados con más
facilidad, pues pueden encontrar la cifra contando.
3.6. Situaciones de lectura y escritura de números de varias cifras
La enseñanza del sistema de numeración escrito se lleva a cabo planteando situaciones de
agrupación y de comunicación.
Situaciones de agrupación de cardinales
En un primer momento, se parte de conjuntos de objetos de cardinal dado y se pide a los
niños que distribuyan los objetos en grupos de diez, o bien, dados varios grupos de diez y un
resto, que den el cardinal del conjunto total. Posteriormente se agrupa por centenas y después
por millares, pero para hacer estas agrupaciones es necesario trabajar con un material
estructurado que permita hacerlas con rapidez, como el ábaco o el dinero ficticio.
Son situaciones que, en un principio, se deben resolver oralmente y en las que la
estimación previa del resultado juega un papel importante. Una vez presentadas varias de
estas situaciones, conviene pedirles a los niños que estimen cuántos grupos de diez van a salir
antes de iniciar ninguna acción. De esta manera, los niños se van familiarizando con el hecho
de que en un treinta y tantos se obtienen tres decenas, en un cincuenta y tantos, cinco, etc.
Cuando este conocimiento empieza a afianzarse es el momento de presentar la escritura de los
números y seguir realizando estas actividades con el apoyo escrito.
Las variables didácticas a considerar son las siguientes:
Tamaño del número: De diez en adelante.
Tamaño de la agrupación: Diez, cien, mil, etc.
Tipo de situación: De obtención del número de grupos (a partir del cardinal) o de obtención
del cardinal ( conocido el número de grupos.
Material utilizado: Todo tipo de objetos que se puedan contar, cubitos encajables, manos,
cartas de la baraja, regletas Cuisenaire, ábaco, dinero ficticio; cajas, sobres, bolsitas para
guardar objetos, etc.
Estimación del resultado: Con o sin exigencia previa de estimación del resultado.
Escritura del cardinal: Con o sin escritura del cardinal.
Situaciones de comunicación escrita de números de más de una cifra
Son situaciones similares a las de comunicación escrita de números de una cifra, la
novedad es que se añade el tema del calendario. Para ello, cada comienzo de mes se colocara
en la clase un cuadro con las casillas vacías correspondientes a los distintos días del mes. Se
apuntarán las efemérides (cumpleaños de los niños, días de fiesta, etc.), contando las casillas
176
Números naturales. Sistemas de numeración
desde el principio hasta llegar a la que interesa. Después, cada día se pondrá una pegatina con
su fecha.
Las variables didácticas a tener en cuenta serían las siguientes:
Significado del número: Cardinal u ordinal.
Tamaño del número: De 10 en adelante.
Tipo de situación: De petición, recuerdo o calendario.
Tipo de codificación: Lectura (pasar del escrito al oral), escritura (pasar del oral al escrito) o
las dos.
Material utilizado: Todo tipo de objetos que se puedan contar, regletas Cuisenaire, ábaco,
dinero ficticio, papel y lápiz, cuadro en el que aparezcan escritos los cien primeros números
en orden (cuadro numérico), cajas o sobres para guardar objetos, etc.
Un apoyo importante para escribir números de dos cifras es la representación de esos
mismos números en el ábaco. Esto permite al profesor corregir con rapidez los errores de
inversión del orden de las cifras. Ante un niño que escribe el treinta y cinco como 53, es
relativamente rápido pedirle que represente el número en el ábaco y decirle que ponga
primero el número de decenas y después el de unidades. En el caso de las centenas se pueden
utilizar varios ábacos o billetes que imitan dinero.
Ejercicios:
11. Preparar una secuencia de tareas para alumnos de 1er curso en las que se incluyan una muestra de
valores de las variables didácticas identificadas en el estudio de la lectura y escritura de números.
12. Analizar en un libro de texto de primaria si se incluyen o no, tareas o actividades de lectura y
escritura de números y los valores de las variables didácticas tenidas en cuenta.
3.7. Materiales para el estudio de la numeración
Las actividades manipulativas con material concreto son esenciales para la comprensión
del valor de posición de las cifras en el sistema de numeración. El uso de materiales
concretos en sus diversas modalidades es una variable de las situaciones que hemos indicado
en las secciones anteriores. Aquí describimos algunos de los materiales más frecuentemente
utilizados.
En la figura 1.1 se muestran algunos ejemplos de materiales mediante los cuales se
expresa el número 123. El interés de usar distintos materiales es para que el niño no asocie el
valor posicional con un modelo particular.
Con el uso de materiales concretos diversos no se trata de que los alumnos abstraigan
algo que tuvieran en común dichos modelos, como si los conceptos a construir tuvieran una
naturaleza empírica. El fin esencial será lograr que la comprensión de las reglas del sistema de
177
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
numeración posicional decimal sea independiente de los modelos físicos utilizables.
Estos modelos pueden ser proporcionales o no proporcionales:
• En los proporcionales de base 10, como los bloques multibase, haces de palillos, etc., el
material que expresa la decena es diez veces mayor en tamaño que el que expresa la
unidad; la representación de la centena es diez veces mayor que la decena, etc. Los
instrumentos de medida también pueden usarse como modelos proporcionales de la
numeración: las bandas o cintas de metros, decímetros y centímetros se pueden usar como
modelos de cualquier número de tres cifras.
• Los modelos no proporcionales, tales como el dinero, el ábaco, etc. no mantienen ninguna
relación de tamaño entre las distintas piezas que representan los números. Por ejemplo,
una moneda de 1 euro no es cien veces mayor en tamaño que la que representa un
céntimo.
178
Números naturales. Sistemas de numeración
179
Modelos proporcionales Modelos no proporcionales
placas barras unidades
Bloques multibase
ábaco
Vainas de guisantes
Dinero
Palillos
Fichas de colores
Figura 1.1: Expresión del número123
Entre los materiales manipulativos más utilizados en el estudio de la numeración y las
operaciones aritméticas están los ábacos, los bloques multibase y los números en color.
Ábacos
Son juegos de varillas insertadas en un bastidor sobre las que se deslizan bolas o fichas
como en un collar. Reproducen físicamente las características de los sistemas de numeración
posicionales ordenados ya que las bolas representan un valor numérico diferente según la
posición de la varilla en están colocadas.
Ábaco chino Ábaco japonés Ábaco ruso
En el ábaco decimal cada bola representa una unidad, pero bolas situadas en varillas
diferentes representan unidades de distintos órdenes; sobre cada varilla se tiene una potencia
de la base. En cada varilla habrá 9 bolas como máximo ya que al añadir otra más se sustituyen
por una bola colocada en la varilla de la izquierda.
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
Ábacos no proporcionales. Antes de utilizar los ábacos no proporcionales se
recomienda usar variantes en los cuales no se usa el convenio del valor de posición, de modo
que, por ejemplo, el número 23 queda expresado con dos hileras de 10 bolas y otra de tres. En
cada hilera, que se coloca horizontalmente, que ponen 10 bolas, 5 de un color y 5 de otro.
Bloques multibase
Los bloques multibase se presentan en cajas, una para cada base de numeración. En cada
caja existen piezas (generalmente de madera o material plástico) de cuatro tipos: cubos,
barras, placas y bloques. Los cubos representan las unidades simples o de primer orden, las
barras las unidades de segundo orden, las placas las de tercero y los bloques las de cuarto
orden.
Forman un sistema de numeración por agrupamiento
múltiple. Cada pieza corresponde a una potencia de la base.
La representación de un número se corresponde con el
tamaño de la cantidad ya que van arrastrando todas las
unidades.Palillos, cordones, o cualquier otro material
cotidiano, enlazados o distribuidos en cajas, haciendo
grupos de diez unidades, reproducen las características de
los bloques.
Bloque multibase de base 10
Números en color
Los números en color, también llamados regletas de
Cuisenaire, son una colección de varillas coloreadas de
longitudes que van desde 1cm (unidades) a 10 cm
(decenas) que permiten reproducir las características de
los sistemas de numeración de agrupamiento simple. Las
varillas tienen forma de prisma cuadrangular de un
centímetro cuadrado de sección y sus longitudes varían
de centímetro en centímetro desde uno hasta diez.
Las regletas que tienen el mismo color tienen
también la misma longitud. Los distintos tamaños
permiten ordenar las regletas, formando escaleras;
uniéndolas por los extremos se pueden obtener distintas
longitudes que representarán números diferentes y las
operaciones aritméticas.
Regletas de Cuisenaire
180
Números naturales. Sistemas de numeración
3.8. Recursos en Internet
Vamos a contar:

http://math.rice.edu/~lanius/counting/spcount.html

Descripción:
Este conjunto de lecciones animadas para niños de preescolar o primer curso de primaria
sobre los números se presenta también en castellano. Incluye orientaciones para los maestros.
Es parte de un conjunto de recursos más amplio para el aula de matemáticas. Los principales
objetivos son:
− Contar un pequeño número de objetos
− Comprender el significado cardinal y ordinal de los números al cuantificar e identificar el
orden de objetos
− Conectar números y palabras con las cantidades que representan
− Desarrollar la comprensión del tamaño relativo de los números y hacer conexiones entre
el cardinal y orden dentro de una secuencia.
− Adquirir diferentes significados para la adición y substracción de números naturales y
relacionar estas dos operaciones.
181
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
Ejercicio 15:
1. Explorar las diferentes opciones del programa.
2. Indicar los niveles y partes del currículo de primaria en que se pueden usar las distintas
opciones.
3. Identificar las variables didácticas de las diversas tareas propuestas en el programa y los
valores particulares implementados de dichas variables. ¿Existe algún tipo de control de
los valores por parte del usuario?
4. Comparar los tipos de actividades que se pueden realizar usando el programa respecto a
las que se hacen habitualmente con papel y lápiz.
– ¿Se pueden hacer actividades que no se puedan realizar sin este recurso?
– ¿Cómo cambian las técnicas de solución?
5. Después que los alumnos han explorado el programa y realizado las actividades, ¿Qué
tipo de explicaciones podría dar el profesor para sistematizar los conocimientos puestos en
juego?
4. TALLER DE DIDÁCTICA
4.1. Análisis de textos escolares. Diseño de unidades didácticas
Consigue una colección de libros de texto de matemáticas de 1er ciclo de primaria
(recomendamos buscar los libros que utilizaste personalmente, o bien los de algún familiar o
amigo).
1. Busca ejemplos y ejercicios relacionados con las ideas de número y numeración.
2. Identifica aspectos del desarrollo del tema en los manuales escolares que consideres
potencialmente conflictivos.
3. Describe los cambios que introducirías en el diseño las lecciones propuestas para los
cursos 1º y 2º de primaria.
4.2. Diseño de actividades7
1. Actividades basadas en configuraciones puntuales
La figura adjunta muestra una colección de tarjetas en
las cuales hay representadas distintas cantidades de
puntos dispuestos según diversos patrones.
Propón una colección de tareas que permitan pensar a
los alumnos sobre los números y sus composiciones.
2. La tabla 100
A continuación se muestra una disposición de los
números del 0 al 99 que se conoce como la “tabla 100”; una variante puede ser comenzar
182
7 Van de Walle (2001)
Números naturales. Sistemas de numeración
desde 1. Plantea actividades útiles para el aprendizaje de la serie numérica, ligadas al
descubrimiento de patrones o regularidades en la disposición de los números.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
4.3. Análisis didáctico de tareas escolares8
Numeración
En una clase de primaria, antes de comenzar el primer período de trabajo sobre estudio de
los números, particularmente de los números de tres cifras, el maestro procede a realizar la
evaluación inicial incluida en el Anexo.
a) ¿Cuál es la función de una evaluación de este tipo y qué consecuencias tiene respecto
a la organización de la clase?
b) Indicar para cada ejercicio qué competencias del alumno se propone verificar el
maestro.
c) Para los alumnos que no han tenido éxito en el ejercicio nº 4, ¿qué material de ayuda
propondrías? (describe el material)
Anexo: Conocimientos sobre numeración
1.¿Cuántos puntos hay marcados en este cuadro?
* * * * * *
* * * * * * *
* * * * * ** * * * * *
* * * * * * * *
* * * * * * * * *
* * * * *
* * * * * * * *
* * * * * * * * *
* * * *
* * * *
183
8 Brousseau y cols (1995)
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
2. Observa y comple:
226 227 228
…. 345 …..
…. 603 …..
…. 230 …..
…. 139 …..
…. 200 …..
…. 99 …..
…. 501 …..
…. …..
3. El maestro dicta los números:
246 – 120 – 500 – 63 – 275 895 – 709 -
314
4. Escribe estos números ordenados de menor a mayor,
326 – 157 – 609 – 98 – 328 – 700 240 – 620
5. Observa los ejemplos y completa:
En 387, la cifra de las decenas es ____
En 246, la cifra de las centenas es ___
En 253, la cifra de las unidades es ___
En 387, la cifra de las decenas es ____
En 246, el número de centenas es ___
En 253, el número de unidades es ___
6. Observa y continúa:
160 – 162 – 164 – – – -
275 – 280 – 285 – – – -
90 – 92 – 94 – – – -
360 – 370 – 380 – – – -
4.4. Diagnóstico de la comprensión de la numeración decimal9
Utilizar las siguientes tareas con una pequeña muestra de alumnos de primer curso para
evaluar su comprensión y competencia en el numeración decimal.
Destrezas de recuento
Actividad 1. Contar hacia adelante, a partir de 77.
Actividad 2. Contar hacia atrás, a partir de 55.
Actividad 3. Contar de diez en diez.
Actividad 4. Contar por decenas, comenzando en 34.
Actividad 5. Contar hacia atrás por decenas, comenzando en 130.
9 Reys et. al. (2001), p. 168.
184
Números naturales. Sistemas de numeración
Actividad 6. Escribir el número 342. Pedir al niño que lea ese número. A continuación que
escriba,
o el número siguiente a 342;
o el número que resulta de añadirle 10 unidades más;
o el número anterior;
o el número que resulta de quitarle 10 unidades.
Correspondencia entre dígitos y cardinales
Actividad 7. Mostrar al niño una colección de 36 fichas (o cualquier otro material). Pedir que
cuente la cantidad de fichas y que escriba el número resultante. Señalar el 6 en el 36 y
preguntar, “¿Qué quiere decir este 6 en relación a la cantidad de piezas que hay? Después
señale el 3 y repetir la pregunta.
Uso de las decenas
Actividad 8. Tomar 47 fichas y hacer que el niño las cuente. A continuación
mostrar al niño 10 tarjetas con casilleros decimales marcados (figura
adjunta). Preguntar: Si queremos poner estas fichas en los espacios de estas tarjetas,
¿cuántas tarjetas podemos llenar?
Usar grupos de 10
Actividad 9. Preparar tarjetas con semillas u otras piezas pegadas en las
tarjetas dispuestas en hileras de 10. Proporcionar al menos 10 tarjetas con
una cantidad grande de semillas. Después de asegurarnos que el niño ha contado varias
tarjetas de semillas y sabe que hay 10 en cada una de ellas, pedir que muestre 34 semillas.
(¿Cuenta las semillas individualmente, o usa las tarjetas con decenas de semillas?). Esta
actividad se puede hacer también con centenas.
BIBLIOGRAFÍA
Brissiaud, R. (1993). El aprendizaje del cálculo. Madrid: Visor.
Brousseau, G., Duval, A. y Vinrich, G. (1995). Thèmes mathématiques pour la préparation
du concours CRPE. Talence: Irem D’Aquitaine.
Castro, Enr, y Castro, E. (2001). Primeros conceptos numéricos. En Enr. Castro (Ed.),
Didáctica de la Matemática en la Educación Primaria (p. 123-150). Madrid: Síntesis.
Castro, E., Rico, L. y Castro, Enr. (1987). Números y operaciones. Madrid: Síntesis.
Gómez, B. (1988). Numeración y cálculo. Madrid: Síntesis.
Ifrah, G. (1985).Las cifras. Historia de una gran invención. Madrid: Alianza Editorial, 1987.
Llinares, S. (2001). El sentido numérico y la representación de los números naturales. En Enr.
Castro (Ed.), Didáctica de la Matemática en la Educación Primaria (p. 151-176).
Madrid: Síntesis.
Puig, L. y Cerdán, F. (1988). Problemas aritméticos. Madrid: Síntesis.
Reys, R. E., Lindquist, M. M., Lambdin, D. V., Smith, N. L. y Suydam, M. N. (2001).
Helping children learn mathematics (Sixth edit.). New York: John Wiley.
Van de Walle, J. A. (2001). Elementary and middle school mathematics. Teaching
developmentally (4ª ed.). New York: Longman.
Varela, A. y cols (2000). Matemáticas (1º y 2º Primaria). Madrid: Anaya.
185
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
186
Proyecto Edumat-Maestros
Director: Juan D. Godino

http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/

II.
DIDÁCTICA DE LOS SISTEMAS
NUMÉRICOS PARA MAESTROS
Capítulo 2:
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
187
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
188
Adición y sustracción
1. ORIENTACIONES CURRICULARES
El dominio de los “hechos numéricos básicos” (las tablas de las operaciones aritméticas)
implica que los niños puedan dar una respuesta rápida sin recurrir a medios no eficientes,
como el recuento. Este aprendizaje, para el caso de la suma y la resta comienza desde el
primer nivel, pero debe continuar en segundo curso y requiere, de parte del maestro:
• Ayudar a los alumnos a desarrollar una sólida comprensión de las operaciones y de las
relaciones entre los números.
• Desarrollar técnicas eficientes de recuerdo de los hechos numéricos.
• Proporcionar práctica suficiente en el uso y selección de dichas técnicas.
El profesor deberá ser capaz de ayudar a los niños a conectar los diversos significados,
interpretaciones y relaciones de las operaciones aritméticas (adición, sustracción), de manera
que puedan usarlas de manera eficiente en los contextos de la vida real. Los problemas
verbales y los modelos gráficos o tangibles (conjuntos de fichas y la recta numérica) son las
dos herramientas básicas que tiene el maestro para ayudar a los niños a desarrollar el
significado de las operaciones. Los problemas verbales proporcionan una oportunidad de
examinar los diversos sentidos de cada operación. Su uso en la clase debe hacerse en un
ambiente de indagación, permitiendo a los niños usar sus propias técnicas y justificar sus
soluciones.
En la actualidad la disponibilidad de calculadoras y ordenadores nos libera de la
realización de cálculos penosos, pero al mismo tiempo lleva a conceder más importancia al
desarrollo del sentido de la pertinencia y racionalidad de los resultados. Por ello la enseñanza
de diversas estrategias de cálculo mental y de estimación figura como un objetivo en los
diversos currículos de matemáticas básicas. El estudio de los algoritmos tradicionales de
cálculos de las operaciones aritméticas, no debe ser un obstáculo para que los alumnos
desarrollen sus propias estrategias. La enseñanza se debe apoyar en las estrategias inventadas
por los propios alumnos por las siguientes razones:
• Favorecen la comprensión del sistema de numeración decimal.
• Se basan en la comprensión de los estudiantes.
• Los alumnos comenten menos errores cuando usan sus propias estrategias.
• Promueven el pensamiento matemático, ya que son un ejemplo del “hacer matemáticas”
1.1. Diseño Curricular Base del MEC
El Decreto del MEC (BOE 26-6-91) por el que se establecen las enseñanzas mínimas
del área de matemáticas en la educación primaria establece las siguientes indicaciones para el
bloque temático de “Números y operaciones”:
Conceptos:
1. Las operaciones de suma, resta y sus algoritmos.
2. Reglas de uso de la calculadora
Procedimientos
1. Explicación oral del proceso seguido en la realización de cálculos y en la resolución
de problemas numéricos u operatorios.
2. Estimación del resultado de un cálculo y valoración de si una determinada respuestas
numérica es o no razonable.
3. Elaboración de estrategias personales de cálculo mental con números sencillos.
4. Utilización de la calculadora de cuatro operaciones y decisión sobre la conveniencia o
no de usarla atendiendo a la complejidad de los cálculos y a la exigencia de exactitud
de los resultados.
Actitudes
189
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
1. Confianza en las propias capacidades y gusto por la elaboración y uso de
estrategias personales de cálculo mental.
2. Gusto por la presentación ordenada y clara de los cálculos y de sus resultados.
Estas orientaciones curriculares se desarrollan en el DCB (Documento Curricular Base,
MEC, 1989), donde se indica que, al finalizar la Educación Primaria, los alumnos habrán
desarrollado la capacidad de:
1. Identificar en su vida cotidiana situaciones y problemas para cuyo tratamiento se
requieren operaciones elementales de cálculo (suma, resta), discriminando la
pertinencia de las mismas y utilizando los algoritmos correspondientes.
2. Utilizar instrumentos de cálculo (calculadora, ábaco, … ) y medida (regla, compás,
etc.) decidiendo, en cada caso, sobre la posible pertinencia y ventajas que implica su
uso y sometiendo los resultados a una revisión sistemática.
3. Elaborar y utilizar estrategias personales de cálculo mental para la resolución de
problemas sencillos a partir de su conocimiento de las propiedades de los sistemas de
numeración y de los algoritmos de las cuatro operaciones básicas (suma, resta).
En el desarrollo del bloque temático sobre “Números y operaciones” el DCB incluye las
siguientes orientaciones curriculares:
Hechos, conceptos y principios
3. Las operaciones de suma, resta.
• Situaciones en las que intervienen estas operaciones: la suma como unión, incremento;
la resta como disminución, comparación, complemento
• La identificación de las operaciones inversas (suma y resta).
• Símbolos de las operaciones
5. Algoritmos de las operaciones.
• Algoritmos para efectuar las operaciones con números naturales.
• Jerarquía de las operaciones y función de los paréntesis.
• Algoritmos para aplicar la suma y resta al cálculo del tiempo y de ángulos.
• Reglas de uso de la calculadora.
Procedimientos
8. Utilización de diferentes estrategias para resolver problemas numéricos y operatorios
(reducir una situación a otra con números más sencillos, aproximación mediante ensayo y
error, considerar un mismo proceso en dos sentidos -hacia adelante y hacia atrásalternativamente,
etc.).
9. Explicación oral del proceso seguido en la realización de cálculos y en las resolución de
problemas numéricos u operatorios.
10. Representación matemática de una situación utilizando sucesivamente diferentes
lenguajes (verbal, gráfico y numérico) y estableciendo correspondencias entre los mismos.
11. Decisión sobre la conveniencia o no de hacer cálculos exactos o aproximados en
determinadas situaciones valorando el grado de error admisible.
12. Estimación del resultado de un cálculo y valoración de si una determinada respuesta
numérica es o no razonable.
13. Automatización de los algoritmos para efectuar las cuatro operaciones con números
naturales.
14. Automatización de los algoritmos para efectuar las operaciones de suma y resta con
números decimales de hasta dos cifras y con fracciones de igual denominador.
15. Elaboración de estrategias personales de cálculo mental
190
Adición y sustracción
• Suma, resta
• Utilización de la composición y descomposición de números, de la asociatividad y de
la conmutatividad para elaborar estrategias de cálculo mental.
16. Identificación de problemas de la vida cotidiana en los que intervienen una o varias
operaciones, distinguiendo la posible pertinencia y aplicabilidad de cada una de ellas.
17. utilización de la calculadora de cuatro operaciones y decisión sobre la conveniencia o no
de usarla atendiendo a la complejidad de los cálculos a realizar y a la exigencia de
exactitud de los resultados.
Actitudes, valores y normas
1. Rigor en la utilización precisa de los símbolos numéricos y de las reglas de los sistemas de
numeración, e interés por conocer estrategias de cálculo distintas a las utilizadas
habitualmente.
2. Tenacidad y perseverancia en la búsqueda de soluciones a un problema.
3. Confianza en las propias capacidades y gusto por la elaboración y uso de estrategias
personales de cálculo mental.
4. Gusto por la presentación ordenada y clara de los cálculos y de sus resultados.
5. Confianza y actitud crítica en el uso de la calculadora.
1.2. Principios y Estándares para la Matemática Escolar (NCTM 2000)
Para los grados K-2 (Infantil y primer ciclo de primaria) el NCTM (2000) propone los
estándares siguientes:
– Comprender los significados de las operaciones y las relaciones entre ellas
• Comprender las diversos significados de la adición y sustracción de números naturales
y las relaciones ente las dos operaciones.
• Comprender los efectos de la adición y susbracción de números naturales.
• Comprender las situaciones que implican multiplicación y división, como son las de
agrupamientos de colecciones de objetos de igual cardinal y reparto equitativo.
– Calcular de manera fluida y hacer estimaciones razonables
• Desarrollar y usar estrategias de cálculo con números naturales, particularmente sobre
la adición y sustracción.
• Dominar las tablas de sumar y restar
• Usar una variedad de métodos y herramientas de cálculo, incluyendo objetos, cálculo
mental, estimación, papel y lápiz y calculadoras.
Ejercicio:
1.Analizar las diferencias y semejanzas en las orientaciones curriculares siguientes respecto del
estudio de los números naturales y la numeración,
– Diseño Curricular Base del MEC
– Las orientaciones curriculares de tu Comunidad Autónoma
– Principios y Estándares 2000 del NCTM.
2. DESARROLLO COGNITIVO Y PROGRESIÓN EN EL APRENDIZAJE
El conocimiento de la suma y resta de números naturales debe organizarse alrededor de
las siguientes facetas o componentes:
• los hechos numéricos básicos (tablas de sumar y restar)
• las técnicas orales de cálculo
191
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
• las técnicas escritas de cálculo
• las propiedades más importantes de dichas operaciones
• las situaciones en las que el uso de dichas operaciones es pertinente.
Por tanto, cualquier propuesta de enseñanza de la suma y la resta debe atender al
desarrollo de estos aspectos del conocimiento. De esta manera, y a costa de almacenar más
información en nuestro cerebro, podemos abreviar los procesos de recuento. Si tenemos que
averiguar el cardinal de una colección de objetos que se compone de partes que ya están
cuantificadas no será necesario efectuar un nuevo recuento, bastará con poner en acción
nuestro conocimiento de los hechos numéricos de la suma, de las técnicas de cálculo
asociadas a esa operación y del hecho de que esa operación es adecuada para resolver esa
situación.
La experiencia de que si una colección se compone de una parte de tres objetos y otra de
cinco objetos, en total habrá ocho objetos, es la que permite decir que “tres más cinco son
ocho” en determinadas culturas, en particular en la nuestra. Del mismo modo, la constatación
continua de que el cardinal de un conjunto de tres elementos al que se le añaden dos es el
mismo que el cardinal de un conjunto de dos elementos al que se le añaden tres, nos lleva a la
propiedad conmutativa de la suma; etc. Posteriormente, el conocimiento de los hechos
numéricos básicos de suma y resta así como de sus propiedades permite construir técnicas de
cálculo formales desligadas de las situaciones que justifican dichos cálculos.
2.1. Desarrollo de las técnicas de recuento abreviado
Los niños van dando significado a la suma y la resta a través del planteamiento y
resolución de las situaciones aditivas. Pero en un primer momento, el desconocimiento de la
tabla de sumar y restar impide a los alumnos resolver estas situaciones mediante sumas o
restas, necesitando recurrir al recuento. El hecho, constatado una y otra vez por medio del
recuento, de que si tenemos tres objetos y añadimos dos más tendremos cinco objetos en total
es lo que permite decir al niño, en una fase posterior y sin necesidad de recuento, que tres más
dos son cinco.
Ahora bien, el paso del recuento al conocimiento de las tablas no es inmediato, sino que es
un proceso paulatino con etapas intermedias que en el caso de la suma, detallamos a
continuación:
• Recuento de todos. El niño representa las dos colecciones de objetos de las que habla la
situación mediante algún tipo de material (dedos, palotes, fichas, objetos diversos), las
junta y lo vuelve a contar todo de nuevo.
• Recuento de todos haciendo énfasis en el primer sumando. El niño recita los números
hasta llegar al primer sumando (sin construir una colección de objetos que represente ese
sumando) y continúa contando la colección de objetos que representa al segundo
sumando.
• Recuento de todos haciendo énfasis en el sumando mayor. Lo mismo que en el caso
anterior, pero eligiendo como primer sumando el sumando mayor .
• Recuento a partir del sumando mayor. El niño construye una colección de objetos que
representa el sumando menor y la cuenta partiendo del sumando mayor .
En el caso de la resta no nos encontramos con una secuencia de estrategias de recuento
que evolucionan en el tiempo, pasándose de unas a otras, sino con estrategias de recuento
diferentes en función de la situación que se propone y que pueden ser simultáneas:
• Recuento de lo que queda. Se utiliza en situaciones de ETE (estado, transformación,
estado) en las que al conjunto inicial se le quitan elementos. Consiste en representar
192
Adición y sustracción
mediante objetos el conjunto inicial, quitar los elementos que indica la transformación y
volver a contar lo que queda.
• Recuento hacia atrás. Se utiliza en las mismas situaciones que el caso anterior y consiste
en contar hacia atrás desde el minuendo tantas veces como indica el sustraendo
(representado mediante una colección de objetos, frecuentemente dedos). Esta técnica se
utiliza poco por la dificultad que supone para los niños contar hacia atrás.
• Recuento de la diferencia. En las situaciones de ECE (estado, comparación, estado) en las
que la incógnita es el término de comparación, se construyen los dos conjuntos, se
emparejan y se cuentan los objetos que quedan sin pareja.
• Recuento desde el sustraendo hasta el minuendo. Se usa en las mismas situaciones que el
caso anterior y consiste en contar desde el sustraendo hasta el minuendo llevando la
cuenta con una colección de objetos (generalmente dedos) de las palabras que se dicen.
Posteriormente, se cuenta la colección de objetos.
Estas estrategias se superan cuando el niño memoriza las tablas o desarrolla técnicas
mentales (cálculo de dobles, complemento a cinco o a diez, sumar en vez de restar, etc.) para
obtenerlas con rapidez.
2.2. Desarrollo de la comprensión de situaciones aditivas
Con respecto a la estructura lógica de la situación
Se observa que las dificultades de los niños a la hora de afrontar una situación aditiva
dependen en gran medida de la estructura lógica de la situación y de la posición de la
incógnita. Una gradación de menor a mayor dificultad podría ser la siguiente:
– EEE (con la incógnita en el estado final o en uno de los parciales) y ETE (con la incógnita
en el estado final o la transformación).
– ECE (con la incógnita en la transformación o en el primer término de la comparación).
– ETE (con la incógnita en el estado inicial y ECE (con la incógnita en el segundo término
de la comparación).
– TTT (cuando las tres transformaciones tienen el mismo sentido).
– TTT (cuando las transformaciones tienen diferente sentido)
– CTC y CCC.
Con respecto al grado de contextualización de la situación
Se observa que los niños entienden mejor las situaciones aditivas cuanto más
contextualizadas están. La clasificación de las situaciones en función de un mayor a menor
grado de comprensión de las mismas y, por consiguiente, de una mayor a menor capacidad de
resolver con éxito, sería la siguiente:
• Situación que se refiere a materiales presentes en el aula y con el niño como actor.
• Situación hipotética contextualizada, con material a disposición del niño para que pueda
efectuar una representación simbólica.
• Situación hipotética contextualizada, sin material a disposición del niño. En una primera
fase el niño recurre a los dedos o al dibujo de palotes para efectuar los recuentos
necesarios. En una segunda fase recurre a técnicas de cálculo orales o escritas.
• Situación formal, es decir, situación en la que se pregunta sin más por el resultado de una
suma o resta sin referirlo a ningún contexto físico o social.
193
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
Los tres primeros tipos de situaciones se engloban en la categoría de situaciones
concretas -situaciones con un mayor o menor grado de contextualización-, en oposición a las
situaciones formales o no contextualizadas.
Con respecto al tamaño de los datos
A los niños les resulta más difícil interpretar correctamente una situación aditiva cuanto
mayor es el tamaño de los números que intervienen en ella. Se han realizado experiencias en
las que se ha pedido a grupos de niños que resuelvan la misma situación, una vez con
números pequeños y otra con números grandes, observándose que el porcentaje de
resoluciones correctas disminuye sensiblemente en el segundo caso.
2.3. Errores en la ejecución de los algoritmos escritos de suma y resta
Los errores más frecuentes que cometen los niños al realizar los algoritmos son los
siguientes:
a) De colocación de los números. Justifican los números a derecha en vez de hacerlo a
izquierda o no hacen coincidir las columnas de las cifras del primer número con las columnas
del segundo.
2 3 2
+ 4 5
6 8 2
b) De orden de obtención de los hechos numéricos básicos. Empiezan a sumar o restar por la
columna de la izquierda y avanzan hacia la derecha. Este error viene favorecido por la
tradición de enseñar primero el algoritmo sin llevadas, dejando la introducción de las llevadas
para una segunda fase.
c) De obtención de los hechos numéricos básicos. Se equivocan en los resultados de la tabla
de sumar o restar.
d) De resta de la cifra menor de la mayor. Restan la cifra menor de la mayor sin fijarse si
corresponde al minuendo o al sustraendo.
5 4 2
– 3 7 8
2 3 6
e) De colocación de un cero. Cuando la cifra del minuendo es menor que la cifra del
sustraendo ponen como resultado el número cero.
5 4 6
– 3 7 3
2 0 3
f) De lugar vacío. Ante un lugar vacío, no completan la operación u olvidan la llevada.
5 8 6 5 4 6
– 5 4 – 5 4
3 2 5 9 2
g) De olvido de la llevada. No incorporan la llevada a la columna siguiente.
194
Adición y sustracción
h) De escritura del resultado completo. Cuando al operar una columna obtienen un número de
dos cifras lo escriben completo en el resultado.
3 6
+ 5 6
8 1 2
Ejercicio 2: Diagnóstico de competencias en la realización de sumas y restas formales orales
En la tabla siguiente se incluye una relación de tareas aditivas que se pueden usar para el diagnóstico
de las competencias de los alumnos de 1er curso de primaria en la realización oral de sumas y restas
formales. Utiliza esta pauta con algún niño de dicho nivel e identifica las tareas que supongan mayor
dificultad.
Cada una de las operaciones siguientes puede plantearse como una suma (3+5= ), una resta (8-5=
), la inversa de una suma (3+ =8), la inversa de una resta (8- =3), una descomposición en suma
(8=3+ ), o una descomposición en resta (5=8- ). Deben resolverse utilizando fichas, el ábaco u otro
material, salvo cuando los niños son capaces de dar el resultado mentalmente y en poco tiempo.
1. Operaciones con términos y resultado menor o igual que cinco (operaciones que se abarcan con una
sola mano)
1+1=2; 1+2=3; 1+3=4; 1+4=5; 2+2=4; 2+3=5.
2. Operaciones con términos y resultado menor o igual que diez (operaciones que se abarcan con las
dos manos)
– De dobles: 1+1=2; 2+2=4; 3+3=6; 4+4=8; 5+5=10.
– De complementos a cinco por defecto o exceso: 1+4=5; 2+3=5; 5+1=6; etc.
– De complemento a diez por defecto: 1+9=10; 2+8=10; 3+7=10; 4+6=10; 5+5=10.
– De operaciones en general: 1+6=7; 1+7=8; 1+8=9; 2+4=6; 2+6=8; 2+7=9; 3+4=7; 3+6=9.
3. Operaciones con términos y resultado menor o igual que 20:
– De dobles: 6+6=12; 7+7=14; 8+8=16; 9+9=18; 10+10=20.
– De complementos a diez por exceso: 10+1=11; 10+2=12; 10+3=13; 10+4=14; etc.
– De complementos a quince por defecto o exceso: 14+1 =15; 13+2=15; 12+3=15, 11+4=15; etc.
– De complementos a 20 por defecto: 19+1=20; 18+2=20; 17+3=20; etc.
– De operaciones en general: 1+11=12; 1+12=13; …; 8+11=19.
4. Operaciones con términos y resultado menor o igual que cien:
– De decenas con unidades: 20+7)27; 60+2=62=; 30-4=26; 50-1=49, etc.
– De decenas con decenas: 30+40=70; 60-50=10; etc.
o Dobles: 10+10=20; 20+20=40; 60-30=30; etc.
o Complementos a 100: 10+90=100; 20+80=100; 30+70=100; etc.
– De decenas y unidades con decenas: 47+20=67; 55-10=45; 40-13=27; etc.
– Restar todas las decenas: 32-30= 2; etc.
– De decenas y unidades con unidades:
– que no sopresan la decena: 45+3=48; 45-3=42; etc.
– que sobrepasan la decena: 45+7=52; 45-7=38; etc.
– De decenas y unidades con decenas y unidades:
– Dobles: 11+11=22; 12+12=24; 25+25=50; etc.
5. Operaciones con términos menores o iguales que cien y resultado mayor que cien:
– De decenas con decenas: 60+70= 130; etc.
– Dobles: 60+60=120; 70+70=140; etc.
– De decenas y unidades con decenas: 77+50=127, etc.
– De decenas y unidades con unidades: 98+6=104; etc.
– De decenas y unidades con decenas y unidades.
6. Operaciones con términos menores o iguales que mil.
195
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
3. SITUACIONES Y RECURSOS
En concordancia con el apartado anterior, haremos una propuesta de enseñanza con dos
secuencias didácticas paralelas: la vía de las situaciones aditivas concretas y la de las
situaciones aditivas formales. La primera es necesaria para establecer el sentido o significado
de las operaciones, que viene asociado a las situaciones que resuelve, y también para justificar
los hechos numéricos básicos y las técnicas de cálculo. La segunda es necesaria para
consolidar la memorización de las tablas y las técnicas orales y escritas.
3.1. Secuencia didáctica de introducción de la suma y resta de números naturales
Para conseguir los objetivos didácticos, tendremos que plantear a los niños diferentes
situaciones aditivas para que, a través de los recuentos, vayan construyendo las operaciones
de suma y resta. Estas situaciones deben variarse recorriendo los problemas de combinación,
cambio y comparación, así como las diferentes posiciones posibles de la incógnita. Si no se
usase esta variedad de problemas, los niños decidirían que la operación que resuelve el
problema es una suma porque aparece la palabra ‘total’ o la palabra ‘más’ o porque en el
enunciado se habla de ‘me dan’, ‘me regalan’, etc.; o una resta porque se pregunta ‘cuánto
queda’, o aparece la palabra ‘menos’, o se habla de ‘quitar’, etc.
Es también necesario plantear sumas y restas formales, es decir, descontextualizadas
(por ejemplo, 5 + 9, 14 – 5, 25 + 2, etc. ), para que los niños adquieran técnicas orales (y
posteriormente, escritas) de suma y resta. Es la posesión de estas técnicas lo que convierte en
interesante la decisión sobre cuál es la operación que resuelve un problema. Decidir si un
problema se resuelve mediante la suma 47 + 10 o la resta 47 – 10 es una cuestión difícil que
exige tomar en consideración diferentes aspectos de la situación. A un niño no le merece la
pena plantearse una cuestión tan compleja si no tiene una técnica que le permita efectuar con
rapidez la operación elegida. En ese caso es más cómodo representarse la situación con algún
tipo de material y hacer directamente los recuentos necesarios.
En el primer caso, el niño tiene que resolver los problemas de manera autónoma,
recurriendo, en un principio, a la representación con materiales y el recuento. La finalidad de
estas tareas es que las estrategias iniciales de recuento evolucionen (al ritmo del niño) y que, a
medida que se consolidan las técnicas de suma y resta, la base experiencial adquirida por el
alumno en la resolución de esas situaciones le permita decidir qué operaciones resuelven el
problema.
En el segundo caso, se trata de efectuar sumas y restas que inicialmente se resolverán por
medio de recuentos. Pero conviene hacerles evolucionar cuanto antes hacia estrategias más
rápidas. Para ello, se debe trabajar con distintos materiales estructurados (dedos de la mano,
regletas Cuisenaire, ábaco, etc.) que permitan obviar los recuentos y proporcionen, por medio
del aprendizaje de distintas configuraciones numéricas, el entramado necesario para establecer
las técnicas orales de suma y resta.
Las dos vías: situaciones aditivas concretas y situaciones aditivas formales, deben
desarrollarse a la vez. Una posible forma de hacerlo sería la siguiente:
• Se comienza trabajando las situaciones concretas de EEE, ETE, y ECE en el tramo
numérico de 0 a 20, con materiales presentes en el aula y con el niño como actor. Al
mismo tiempo los niños deben familiarizarse con los materiales estructurados y trabajar,
mediante situaciones formales, la memorización de las operaciones que caben en una
196
Adición y sustracción
mano, de los dobles de una cifra (5 + 5, 6 + 6, etc.) y de los complementos a 10 (3 + 7, 6 +
4, etc.).
• Se prosiguen las situaciones concretas en el tramo 0 a 50, con casos en los que no haya
posibilidad de recontar los dos términos para forzar la evolución de las técnicas de
recuento y con presentación de situaciones hipotéticas contextualizadas referentes a
números entre 0 y 20. Mientras tanto, a nivel formal, se continúa con la consolidación de
la tabla de sumar y restar y de las operaciones con términos y resultado menor que 20.
• Se introduce el material estructurado en situaciones concretas con términos entre 0 y 100.
Las situaciones hipotéticas contextualizadas con material a disposición del niño se
trabajan entre 0 y 50. Además se trabajarán situaciones hipotéticas contextualizadas sin
material entre 0 y 20, tratando que, en ese caso, los niños empiecen a expresar las
soluciones en términos de sumas o restas. En la vía de operaciones formales se continúa
con las sumas y restas de términos menores o iguales que 100 en forma oral.
• Se introducen tramos cada vez más altos de la sucesión numérica, siguiendo unas pautas
similares a las comentadas en los items anteriores e introduciendo las técnicas escritas de
cálculo.
3.2. Situaciones aditivas concretas
Recomendamos una secuencia de situaciones aditivas concretas, que el alumno debe
resolver por sí mismo. El profesor debe controlar que el niño entiende el enunciado,
pidiéndole que lo explique con sus propias palabras y animándole a que encuentre una
estrategia de resolución. Es decir, se trata, básicamente, de situaciones a-didácticas 1.
Estas situaciones deben plantearse antes de hablar de sumas y de restas sin forzar al niño
a decidir cuál es la operación que resuelve el problema, aun cuando ya domine las técnicas de
sumar o restar. En un primer momento deben elegirse números pequeños, pero más adelante
hay que utilizar números grandes y recurrir a recuentos abreviados y material estructurado.
Aun cuando al principio se permita al niño representar los dos datos de la situación, en
momentos posteriores hay que imposibilitarle el recuento de alguno de los términos para
forzarlo a pasar de las técnicas iniciales de “recuento de todo” y “recuento de lo que queda o
de la diferencia” a estrategias más elaboradas, paso que muchos de los niños realizan
espontáneamente.
Las variables didácticas de las situaciones aditivas concretas son las siguientes:
• Significado de los números: Cardinal, ordinal o medida.
• Tamaño de los términos y resultado de la operación: De 0 a 10, de 10 a 20, de 20 a 50, de
50 a 100, de 100 a 1.000, de 1.000 a 10.000, de 10.000 a 100.000, de 100.000 a 1.000.000,
de 1.000.000 en adelante.
• Estructura lógica de la situación: Situaciones aditivas del tipo EEE, ETE, ECE, TTT ,
CTC o CCC.
• Posición de la incógnita: En el primer término, el término inicial o uno de los términos
parciales; en el término medio de transformación o comparación; en el segundo término,
el término final o el término total.
• Sentido del término medio (sólo en las situaciones ETE, ECE o CTC ): creciente o
decreciente; positivo o negativo.
• Posibilidad de recuento de los términos: Con posibilidad de recuento de los dos términos
o de uno solo.
1 Situación a-didáctica, aquél momento del proceso de enseñanza-aprendizaje en que el alumno está
comprometido con la resolución de una tarea problemática que asume como propia.
197
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
• Grado de contextualización de la situación: Situación que se refiere a materiales
presentes en el aula y con el niño como actor; Situación hipotética contextualizada con
material a disposición del niño para que pueda efectuar una representación simbólica;
Situación hipotética contextualizada sin material a disposición del niño.
• Tipo de material utilizado: Estructurado o no estructurado
• Número de datos: Dos, tres o más.
Ejercicios:
3. Preparar una secuencia de tareas para alumnos de 2º curso en las que se incluyan una muestra de
valores de las variables didácticas para las situaciones aditivas concretas.
4. Analizar en un libro de texto de 2º curso las situaciones aditivas concretas que se incluyan,
identificando los valores de las variables didácticas mencionadas en este apartado.
5. Indicar los valores particulares de las variables didácticas que intervienen en las tareas siguientes.
Clasificar estas tareas según la estructura lógica descrita en la sección 1.2
3.3. Situaciones aditivas formales. Aprendizaje de algoritmos
En estas situaciones se presenta al alumno sumas y restas formales, es decir, ejercicios
del tipo 3 + 2, 12 – 5, etc. En un primer momento se animará al niño a contar para obtener el
resultado, dándole a la suma un sentido de reunión de objetos y a la resta un sentido de
separación, pero rápidamente se pasará a utilizar materiales estructurados (ábacos, bloques,
regletas) para evitar los recuentos y facilitar la memorización de los resultados y la
adquisición de técnicas orales. Para ello, dichos materiales han tenido que ser trabajados
previamente, habiéndose familiarizado el niño con las distintas configuraciones numéricas.
198
Adición y sustracción
Las variables didácticas de las situaciones son las siguientes:
• Tipo de operación: Suma o resta.
• Dirección de la operación:
Directa (por ejemplo, 12 + 5 = ? , 15 – 11 = ?),
Inversa (por ejemplo, ? + 5 = 12, 15 – ? = 9), o
Descomposición (por ejemplo, 12 = 5 + ?, 11 = 15 – ?).
• Tamaño de los términos y del resultado de la operación:
– Operaciones que caben en una mano: 2+3, 5-1, etc.
– Operaciones que caben en las dos manos: 4+4,8-2, etc.
– Operaciones de la tabla de sumar o restar: 8+7, 11-6, etc.
– Operaciones con términos y resultado menor o igual que 20: 13+6, 17-4, etc.
– Operaciones con términos menores que 100 y resultado menor, igual o mayor que 100.
– Operaciones con términos menores que 1000 y resultado menor, igual o mayor que
1000.
– Operaciones con términos mayores que 1000.
• Número de cifras de los términos: Los dos términos de la operación tienen el mismo o
distinto número de cifras.
• Número de cifras significativas concurrentes:
– Términos de cifras significativas no concurrentes: 40+5, 130-8, 200-45, 307+20,
4.000+324, etc.
– Términos con una cifra significativa concurrente: 60+30, 42-6, 343+20, 208-4,
7.000+5.000, etc.
– Términos con dos cifras significativas concurrentes: 82-24, 66+31, 128+32, 435-420,
7.282-11, etc.
– Términos con tres o más cifras significativas concurrentes: 347+482, 526-419, 11.297-
4.762, etc.
• Existencia de llevadas: La operación implica o no llevadas.”
• Técnica de cálculo: Uso de material estructurado, técnica oral, técnica escrita,
calculadora.
• Tipo de material estructurado: Dedos, regletas con tapa, regletas Cuisinaire, ábaco, etc.
Ejercicios:
6. Preparar una secuencia de tareas para alumnos de 2º curso en las que se incluyan una muestra de
valores de las variables didácticas para las situaciones aditivas formales.
7. Analizar en un libro de texto de 2º curso las situaciones aditivas formales que se incluyan,
identificando los valores de las variables didácticas mencionadas en este apartado.
199
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
La figura adjunta muestra ejemplos de tareas para el estudio de las relaciones aditivas
entre números pequeños, apoyadas en el uso de material:
Patrones espaciales
Cinco Seis Siete
(patrón (3 y 3) (6 y 1 más)
aprendido)
Uno más /Dos más Uno menos /Dos menos
5 y 10 como referentes
Cinco y tres más Dos para diez
Parte – Parte – Todo
“Seis y tres son nueve”
200
Adición y sustracción
3.4 Recursos en Internet
Crucigrama de números

http://www1.tpgi.com.au/users/puzzles/page19.html

Descripción
Plantea crucigramas que se resuelven mediante operaciones aritméticas. Hay varios
niveles de dificultad y puede controlarse el tipo de operación, así como los errores cometidos.
Puede ser un recurso para el refuerzo de las tablas de las operaciones y la ejercitación en el
cálculo.
Ejercicio
Ejercicio 8:
1. Explorar las diferentes opciones del programa.
2. Indicar los niveles y partes del currículo de primaria en que se pueden usar las distintas
opciones.
3. Identificar las variables didácticas de las diversas tareas propuestas en el programa y los
valores particulares de dichas variables implementados. ¿Existe algún tipo de control de
los valores por parte del usuario?
4. Comparar los tipos de actividades que se pueden realizar usando el programa respecto a
las que se hacen habitualmente con papel y lápiz. ¿Se pueden hacer actividades que no se
puedan realizar sin este recurso?
5. ¿Cómo cambian las técnicas de solución?
201
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
4. TALLER DE DIDÁCTICA
4.1. Análisis de textos escolares. Diseño de unidades didácticas
Consigue una colección de libros de texto de matemáticas de 1º a 3º curso de primaria
(recomendamos buscar los libros que utilizastes personalmente, o bien los de algún familiar o
amigo).
1. Estudia el desarrollo del tema de “adición y substracción” en dichos niveles.
2. Indica en qué curso se inicia y cuando termina.
3. Identifica aspectos del desarrollo del tema en los manuales escolares que consideres
potencialmente conflictivos.
4. Describe los cambios que introducirías en el diseño las lecciones propuestas para los
cursos 1º y 2º de primaria.
4.2. Diseño de una evaluación
El siguiente problema es un problema aditivo de “estado-comparación-estado”:
“Maria tiene 5 canicas. Juan tiene 6 canicas más que María. ¿Cuántas canicas tiene María?”
Este problema es de la forma a + b = c, y se pide el valor c, es decir el total. La incógnita
es el total. Hay diferentes formas de variar este problema:
• Cambiando la posición de la incógnita;
• Cambiando el término de comparación: ¿Cuántas más?
• Cambiando el valor de los sumandos:
• Cambiando el contexto: combinación de objetos;…
Escribe todas las variantes que puedas de este problema cambiando algunas de las
variables anteriores. Clasifica los problemas según la dificultad para los niños. Plantea dos o
tres de estos problemas a un niño de entre 8 y 10 años. Analiza las estrategias que sigue para
resolverlos. ¿Son diferentes las estrategias dependiendo del problema?
4.3. Análisis de problemas propuestos por niños
a) Se pide a una serie de niños que inventen un problema, cuya solución sea 9+3. Estas son
algunas de las respuestas:
• “Tres obreros de un edificio han colocado 9 ladrillos”;
• Juan tenía 3 Euros y su mamá le dio 9, ¿cuántos tiene ahora?
• Clara tenía 3 huevos y Susana tiene 9 más
¿Son completos los problemas propuestos? ¿Están bien planteados? ¿A qué modelo de
situaciones aditivas corresponde?
b) Se pide a una serie de niños que inventen un problema, cuya solución sea 72-29 Estas son
algunas de las respuestas:
“Un cocodrilo tenía 72 dientes, al comer algo se le cayeron 29, ¿cuántos le quedaron?
“Juan tiene 20 años, el abuelo tiene 72, ¿cuántos años tiene la madre?
“En un tarro hay 72 caramelos, 29 niños acertaron y les dieron caramelos, ¿cuántos
caramelos les dieron a cada uno?”
“Tomás tiene 72 bolas, Daniel tiene 29, ¿cuántas más tiene Tomás?
202
Adición y sustracción
“Se cogen 72 lápices y 29 bolígrafos y se hace la resta”
4.4. Análisis de estrategias aditivas de los alumnos2
Las producciones de los alumnos de primaria propuestas en la página siguiente
corresponden al siguiente enunciado:
“Tengo 45 imanes. Quiero pegar hojas en una pizarra metálica. Tengo dos tipos de
hojas: pequeñas y amarillas, grandes y blancas. Utilizo 4 imanes para las hojas
amarillas y 6 para las blancas. ¿Cuántas hojas puedo pegar?
El maestro, al preparar esta actividad, ha organizado una lista de soluciones que
minimizan el número de imanes no utilizados.
Nº de hojas
amarillas
Nº de hojas
blancas
Nº de imanes
usados
Nº de imanes
sobrantes
0 7 42 3
2 6 44 1
3 5 42 3
5 4 44 1
6 3 42 3
8 2 44 1
9 1 42 3
11 0 44 1
1.Interpreta los diferentes procedimientos realizados por los alumnos incluidos en el Anexo.
Explicita el método de cada alumno y las presentaciones utilizadas. ¿Previó el maestro
las soluciones dadas por los alumnos?
2. ¿Qué conocimientos son movilizados por los alumnos en el curso de esta actividad?
3. ¿Qué conocimientos y destrezas se pretenden con esta actividad?
Respuestas de cuatro alumnos a la tarea de fijación de hojas:
2 Brousseau, Duval y Vinrich (1995, p. 18)
203
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
204
BIBLIOGRAFÍA
Brissiaud, R. (1993). El aprendizaje del cálculo. Madrid: Visor.
Brousseau, G., Duval, A. y Vinrich, G. (1995). Thèmes mathématiques pour la préparation
du concours CRPE. Talence: Irem D’Aquitaine.
Castro, E., Rico, L. y Castro, Enr. (1988). Números y operaciones. Madrid: Síntesis.
Ferrero, L. y cols (1999). Matemáticas (3º a 6ª Primaria). Madrid: Anaya.
Giménez, J. y Girondo, L. (1993). Cálculo en la escuela. Reflexiones y propuestas. Barcelona:
Graó.
Gómez, B. (1988). Numeración y cálculo. Madrid: Síntesis.
Maurin, C. y Johsua, A. (1993). Les structures numériques à l’école primaire. París:
Marketing (Ellipses).
Puig, L. y Cerdán, F. (1988). Problemas aritméticos. Madrid: Síntesis.
Segovia, I. Castro, E. Castro, Enr. y Rico, L. (1989). Estimación en cálculo y medida. Madrid:
Síntesis.
Varela, A. y cols (2000). Matemáticas (1º y 2º Primaria). Madrid: Anaya.
Proyecto Edumat-Maestros
Director: Juan D. Godino

http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/

II.
DIDÁCTICA DE LOS SISTEMAS
NUMÉRICOS PARA MAESTROS
Capítulo 3:
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN ENTERA
205
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
206
Multiplicación y división
1. ORIENTACIONES CURRICULARES
1.1. Diseño Curricular Base del MEC
El Decreto del MEC (BOE 26-6-91) por el que se establecen las enseñanzas mínimas
del área de matemáticas en la educación primaria establece las siguientes indicaciones para el
bloque temático de “Números y operaciones”:
Conceptos:
1. Las operaciones de multiplicación y división y sus algoritmos.
2. Reglas de uso de la calculadora
Procedimientos
1. Explicación oral del proceso seguido en la realización de cálculos y en la resolución
de problemas numéricos u operatorios.
2. Estimación del resultado de un cálculo y valoración de si una determinada respuesta
numérica es o no razonable.
3. Elaboración de estrategias personales de cálculo mental con números sencillos.
4. Utilización de la calculadora de cuatro operaciones y decisión sobre la conveniencia o
no de usarla atendiendo a la complejidad de los cálculos y a la exigencia de exactitud
de los resultados.
Actitudes
1. Confianza en las propias capacidades y gusto por la elaboración y uso de estrategias
personales de cálculo mental.
2. Gusto por la presentación ordenada y clara de los cálculos y de sus resultados.
Estas orientaciones curriculares fueron formuladas de manera más explícita en el DCB
(Documento Curricular Base, MEC, 1989). Al finalizar la Educación Primaria, como
resultado de los aprendizajes realizados en el área de Matemáticas, los alumnos habrán
desarrollado la capacidad de:
1. Identificar en su vida cotidiana situaciones y problemas para cuyo tratamiento se
requieren operaciones elementales de cálculo (multiplicación y división), discriminando la
pertinencia de las mismas y utilizando los algoritmos correspondientes.
2. Elaborar y utilizar estrategias personales de cálculo mental para la resolución de
problemas sencillos a partir de su conocimiento de las propiedades de los sistemas de
numeración y de los algoritmos de las cuatro operaciones básicas (multiplicación y
división).
En el desarrollo del bloque temático sobre “Números y operaciones” el DCB incluye las
siguientes orientaciones curriculares:
Hechos, conceptos y principios
3. Las operaciones de multiplicación y división.
• Situaciones en las que intervienen estas operaciones: la multiplicación como suma
abreviada, proporcionalidad (doble, triple, etc.); la división como reparto, proporcionalidad
(la mitad, la tercera parte, etc.).
• Cuadrados y cubos.
• La identificación de las operaciones inversas (multiplicación y división).
• Símbolos de las operaciones
207
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
4. Correspondencias entre lenguaje verbal, representación gráfica y notación numérica.
5. Algoritmos de las operaciones.
• Jerarquía de las cuatro operaciones y función de los paréntesis.
• Reglas de uso de la calculadora.
Procedimientos
1) Utilización de diferentes estrategias para resolver problemas numéricos y operatorios
(reducir una situación a otra con números más sencillos, aproximación mediante ensayo y
error, considerar un mismo proceso en dos sentidos -hacia adelante y hacia atrásalternativamente,
etc.).
2) Explicación oral del proceso seguido en la realización de cálculos y en las resolución de
problemas numéricos u operatorios.
3) Representación matemática de una situación utilizando sucesivamente diferentes
lenguajes (verbal, gráfico y numérico) y estableciendo correspondencias entre los mismos.
4) Decisión sobre la conveniencia o no de hacer cálculos exactos o aproximados en
determinadas situaciones valorando el grado de error admisible.
5) Estimación del resultado de un cálculo y valoración de si una determinada respuesta
numérica es o no razonable.
6) Automatización de los algoritmos para efectuar las cuatro operaciones con números
naturales.
– Elaboración de estrategias personales de cálculo mental
– Multiplicación y división con números de dos cifras en casos sencillos.
7) Identificación de problemas de la vida cotidiana en los que intervienen una o varias de las
cuatro operaciones, distinguiendo la posible pertinencia y aplicabilidad de cada una de
ellas.
8) utilización de la calculadora de cuatro operaciones y decisión sobre la conveniencia o no
de usarla atendiendo a la complejidad de los cálculos a realizar y a la exigencia de
exactitud de los resultados.
Actitudes, valores y normas
1. Tenacidad y perseverancia en la búsqueda de soluciones a un problema.
2. Confianza en las propias capacidades y gusto por la elaboración y uso de estrategias
personales de cálculo mental.
3. Gusto por la presentación ordenada y clara de los cálculos y de sus resultados.
4. Confianza y actitud crítica en el uso de la calculadora.
1.2. Principios y Estándares para la Matemática Escolar (NCTM 2000)
En relación al aprendizaje de la multiplicación y división, para los grados 3-5, el NCTM
(2000) propone el logro de las siguientes expectativas:
Comprender los significados de las operaciones y cómo se relacionan entre sí
208
Multiplicación y división
• Comprender los diversos significados de la multiplicación y división
• Comprender los efectos de la multiplicación y división de números naturales.
• Identificar y usar las relaciones entre las operaciones para resolver problemas, tales como
la división como operación inversa de la multiplicación.
• Comprender y usar las propiedades de las operaciones, tales como la distributividad de la
multiplicación respecto de la adición.
Calcular de manera fluida y hacer estimaciones razonables
• Dominar las tablas de multiplicar y dividir y usar estas combinaciones básicas para
calcular mentalmente hechos numéricos relacionados, como 30×50.
• Adquirir fluidez en la realización de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de
números naturales.
• Desarrollar y usar estrategias de estimación de resultados de cálculos con números
naturales y juzgar que son razonables.
• Seleccionar métodos y herramientas apropiadas para hacer cálculos con números naturales
incluyendo cálculo mental, estimación, calculadoras, papel y lápiz, según el contexto y
naturaleza de los cálculos y usar el método o herramienta seleccionada.
Ejercicio 1:
Analizar las diferencias y semejanzas en las orientaciones curriculares siguientes respecto del estudio
de la multiplicación y división:
– Diseño Curricular Base del MEC
– Las orientaciones curriculares de tu Comunidad Autónoma
– Principios y Estándares 2000 del NCTM.
2. DESARROLLO COGNITIVO Y PROGRESIÓN EN EL APRENDIZAJE
2.1. Progresión en el estudio de la multiplicación y división
Si bien la adición y la sustracción se comienzan a estudiar simultáneamente con el
concepto de número, la multiplicación y la división son operaciones que requieren un cierto
dominio de los números y de las operaciones de adición y sustracción.
Esto es claro si tenemos en cuenta el significado de estas operaciones. La
multiplicación está ligada a verbos de acción tales como, “juntar tantas veces, repetir tantas
veces, añadir tantas veces, reunir tantas veces, reiterar, etc.” Es conveniente, por tanto, tener
un cierto dominio de la suma que permita un cálculo seguro de los productos. Para no
entorpecer el aprendizaje de la multiplicación con dificultades propias de la suma, es por lo
que se suele dejar uno o dos cursos de diferencia entre el estudio de ambas operaciones.
En un principio, las situaciones problemáticas deben resolverse tanto con la suma
como con la multiplicación, hasta que el alumno observe que con la multiplicación y más con
el uso de las tablas, es más rápido y seguro.
Los dos términos de la multiplicación desempeñan funciones diferentes: uno de ellos
es la cantidad que se repite (multiplicando). El otro factor nos dice las veces que se repite la
209
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
cantidad inicial (el multiplicador); se refiere a un “objeto” (número de veces que se repite la
acción) de naturaleza diferente que el multiplicando.
En cuanto al aprendizaje de las técnicas operatorias habría que comenzar por el
producto de un dígito por un dígito, respetando las fases manipulativas, gráficas (figurativas),
esquemáticas y simbólicas.
En el caso de la división se trata de, “repartir en partes iguales, hacer grupos iguales,
restar reiteradamente, distribuir equitativamente, compartir, fraccionar, trocear, partir, etc.” El
dividendo es la cantidad a repartir, que hace, por tanto, referencia a cantidades de magnitudes
discretas; por el contrario el divisor es el número de partes en que se reparte la cantidad
expresada por el dividendo, siendo por tanto de naturaleza diferente.
Los requisitos básicos para afrontar las técnicas escritas operatorias de la división son los
siguientes:
• Una correcta orientación espacial para las distintas direcciones que supone la técnica de la
caja. Implica, simultáneamente, el manejo de las nociones de derecha, izquierda, antes,
después, arriba, abajo.
• Mecanización comprensiva de la suma, resta y multiplicación.
• Práctica en la descomposición de números en órdenes de unidades (unidades, decenas,
centenas, …)
El aprendizaje del cálculo de la división requerirá también tener en cuenta las fases
manipulativa, gráfica (figurativa) y simbólica, y la siguiente secuenciación:
• Una cifra en el dividendo y una en el divisor.
• Dos cifras en el dividendo y una en el divisor: ab : c, distinguiendo los casos, a>c, y a<c.
Se pueden presentar dificultades cuando exista un cero en el cociente (Por ejemplo, 81: 2)
• Tres o más cifras en el dividendo y dos cifras en el divisor: abc:de. Los casos en que
pueden surgir dificultades son:
– Cuando hay que tomar tres cifras en el dividendo.
– Cuando hay que colocar ceros en el cociente.
2.2. Principales dificultades en el aprendizaje
El aprendizaje de la multiplicación y división no está libre de obstáculos y dificultades.
Indicamos algunas de estas dificultades sobre cuatro aspectos 1:
a) Vocabulario y conceptos
En situaciones de multiplicación los términos “cada”, “a cada uno”, “para cada uno”, etc.
tienen un sentido que, normalmente, no ha sido trabajo por los niños con anterioridad. Otra
dificultad puede ser el empleo de la palabra ‘producto’. En el lenguaje ordinario un producto
comercial es cualquier cosa que se compra, por lo que se debe prestar atención al nuevo
significado que se le atribuye en la clase de matemáticas como resultado del cálculo con
números.
b) Nivel de abstracción
Cuando el niño se enfrenta a la multiplicación lleva un cierto tiempo, normalmente,
practicando con sumas y restas. Pero sumar y restar supone que los números que entran en
esas operaciones funcionan todos dentro del mismo contexto, esto es, hacen referencia a
1 Martínez (1993, p. 141-142)
210
Multiplicación y división
cantidades que tienen el mismo significado en los dos sumandos y en el resultado. En algunas
actividades es posible que se pida al niño que sume, por ejemplo, 3 peras y 2 kiwis para
obtener 5 frutas; en este caso el niño debe entender que tanto las peras como los kiwis son
“objetos” de la clase de las frutas, por lo que este problema planteará más dificultades que si
la adición se refiere sólo a una clase de frutas.
En el caso de la multiplicación, el multiplicando es un número que indica la medida de
una cantidad de magnitud, es decir, es un estado, mientras que el multiplicador nos dice las
veces que se repite la cantidad inicial (es una razón o una comparación). Para calcular el coste
de 3 kg de peras a 2 euros el kilo, multiplicamos 3 x 2 = 6 y decimos que el resultado es 6
euros; 3 es la medida de la cantidad de peso de las peras y 2 el precio (medida del valor
económico) por unidad de peso, es decir, la razón entre el valor económico y el peso.
El resultado también puede ser una cantidad de una naturaleza diferente de los factores
(área o volumen; mientras que los factores son longitudes o longitud y área). Todo esto
supone un nivel de generalidad o abstracción superior y por tanto origen de dificultades en el
proceso de estudio.
En el caso de la división debemos tener en cuenta la existencia de dos sentidos bien
distintos para esa operación:
– según se considere como “resta sucesiva” de una cantidad fija d de otra D y lo que se
debe hallar es el número de veces (q) que se puede restar hasta agotar D (la división como
agrupamiento)
– o bien el sentido de “reparto en partes iguales” de una cantidad D entre un número dado de
“sujetos” d, donde lo que se debe hallar es a cuánto tocan (q) (la división como distribución o
reparto).
c) Dificultades en operaciones
La primera dificultad que suele pasar desapercibida es que una simple multiplicación
como 123 x 12 es, en realidad, un conjunto variado de multiplicaciones que se escalonan y se
combinan de acuerdo con unas reglas específicas. Este proceso queda notablemente
oscurecido en el algoritmo habitual al suprimir pasos intermedios, lo que sin duda es una
fuente de dificultades y errores. Estas dificultades son mayores incluso en el cálculo de la
división donde deben realizarse procesos de tanteo, aparte de aplicar de manera coordinada
las operaciones de multiplicación, adición y sustracción.
d) Solución de problemas
El estudio de la estructura semántica de los problemas multiplicativos y el análisis de los
tipos de cantidades que intervienen como factores muestra la gran complejidad de este campo
conceptual cuyo estudio integral abarca un período bastante dilatado de tiempo.
Según algunos estudios2, parece que a los niños les resulta más fácil identificar la
operación correspondiente a un problema verbal cuando se trata de una división que cuando
se trata de una multiplicación. Por otro lado, parece que resuelven mejor las situaciones
multiplicativas de razón que las de comparación (salvo cuando en estas últimas la incógnita
está en el primer término de la comparación), resultándoles las de combinación más difíciles
de resolver que las otras. Dentro de las situaciones de razón, los problemas de reparto parecen
ser más fáciles que los de agrupamiento.”
Ejercicio 2: Evaluación de destrezas de cálculo
2 Puig y Cerdán (1988, p. 136)
211
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
A continuación incluimos algunos ítems de cálculo, junto con respuestas tipo dada por niños.
Para cada respuesta evalúa los conocimientos que se ponen en juego, así como los posibles errores.
Item 1 Multiplica 8×4
Respuestas:
• 1×4=4, 2×4=8, 3×4=12, recita toda la tabla hasta 8×4=32, son 32
• seis veces cuatro son 24, siete veces cuatro son 28, ocho veces cuatro son 32
• Es lo mismo que sumar cuatro veces 8; son 32
• Creo que son 36
• Cuatro veces cuatro son 16; diez mas son 36 y 6 32; 32
Item 2: Calcula 805×4
Un niño obtiene como resultado 3260, ¿Cómo puedes explicar el error?
Item 3: Calcula las siguientes divisiones:
En los siguientes resultados, ¿Qué parte
del algoritmo no ha entendido el niño?
436 4 85 5 702 3
85 5
11
436 4
19
702 3
20
3. SITUACIONES Y RECURSOS
De acuerdo a los apartados anteriores, haremos una propuesta de enseñanza con dos
secuencias didácticas paralelas: la vía de las situaciones multiplicativas concretas y la de las
situaciones formales. La primera es necesaria para establecer el sentido o significado de las
operaciones, que viene asociado a las situaciones que resuelve, y también para justificar los
hechos numéricos básicos y las técnicas de cálculo. La segunda es necesaria para consolidar la
memorización de las tablas y las técnicas orales y escritas.
3. 1. Situaciones multiplicativas concretas
Recomendamos una secuencia de situaciones multiplicativa concretas que el alumno
debe resolver por sí mismo. El profesor debe controlar que el niño entiende el enunciado,
pidiéndole que lo explique con sus propias palabras y animándole a que encuentre una
estrategia de resolución. Es decir, se trata, básicamente, de situaciones a-didácticas 3.
Se puede animar al niño a representar los datos del problema, usando alguno de los
recursos que describimos en la sección 3.3.
Las variables didácticas de las situaciones multiplicativas concretas son las siguientes:
• Tamaño de los términos y resultado de la operación: De 0 a 50, de 50 a 100, de 100 a
1.000, de 1.000 a 10.000, etc.
• Estructura lógica de la situación: Situaciones de razón, comparación, combinación y
doble comparación.
3 Situación a-didáctica, aquél momento del proceso de enseñanza-aprendizaje en que el alumno está
comprometido con la resolución de una tarea problemática que asume como propia.
212
Multiplicación y división
• Posición de la incógnita: En el primer estado, el segundo o la razón o comparación (en las
situaciones de razón o comparación), o en los estados o comparaciones parciales o en el
estado producto o comparación total (en las situaciones de combinación o doble
comparación).
• Sentido de la comparación: De tantas veces más o de tantas veces menos.
• Grado de contextualización de la situación: Situación que se refiere a materiales presentes
en el aula y con el niño como actor; situación hipotética contextualizada con material a
disposición del niño para que pueda efectuar una representación simbólica; situación
hipotética contextualizada sin material a disposición del niño.
• Tipo de material utilizado: Estructurado o no estructurado, gráfico, manipulativo, etc.
• Número de datos: Dos, tres o más.
Ejercicios:
3. Preparar una secuencia de tareas para alumnos de 3º curso en las que se incluyan una muestra de
valores de las variables didácticas para las situaciones multiplicativas concretas.
4. Analizar en un libro de texto de 3º curso las situaciones multiplicativas concretas que se incluyan,
identificando los valores de las variables didácticas mencionadas en este apartado.
3.2. Situaciones formales. Aprendizaje de algoritmos
En estas situaciones se presenta al alumno multiplicaciones y divisiones formales, es
decir, ejercicios del tipo 12:5, 31×4, etc. En un primer momento se animará al niño a hallar
sus propias estrategias, por ejemplo, sumando o restando, para dar sentido a las operaciones.
Rápidamente se pasará a utilizar materiales estructurados (ábacos, bloques, regletas) para
facilitar la comprensión y adquisición de técnicas orales. Para ello, dichos materiales han
tenido que ser trabajados previamente, habiéndose familiarizado el niño con las distintas
configuraciones numéricas.
Las variables didácticas de las situaciones son las siguientes:
• Tipo de operación: multiplicación o división; en el caso de la división, exacta o no exacta.
• Dirección de la operación:
Directa (por ejemplo, 12 x 5 = ? , 15 : 2 = ?),
Inversa (por ejemplo, ? x 5 = 12, 16 – ? = 8),
Descomposición, 12 = 4 x ?; 5= 15: ?
• Tamaño de los términos y del resultado de la operación:
– Dobles o mitades de números de una cifra.
– Operaciones de la tabla de multiplicar o dividir.
– Operaciones con multiplicandos o dividendos de una cifra significativa y multiplicadores
o divisores de una cifra.
– Dobles o mitades de números de varias cifras significativas.
213
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
– Operaciones con multiplicandos o dividendos de dos o más cifras significativas y
multiplicadores o divisores de una cifra.
– Operaciones con multiplicandos o dividendos de dos o más cifras significativas y
multiplicadores o divisores de dos cifras significativas.
– Operaciones con multiplicandos o dividendos de tres o más cifras significativas y
multiplicadores o divisores de tres o más cifras significativas.
• Existencia de llevadas: La operación implica o no llevadas.
• Técnica de cálculo: Uso de material estructurado; técnica oral, técnica escrita,
calculadora.
• Tipo de material: Regletas Cuisinaire, ábaco, bloques multibase, representaciones
gráficas.
Ejercicios:
5. Preparar una secuencia de tareas para alumnos de 3º curso en las que se incluyan una muestra de
valores de las variables didácticas para las situaciones multiplicativas formales.
6. Analizar en un libro de texto de 3º curso las situaciones multiplicativas formales que se incluyan,
identificando los valores de las variables didácticas mencionadas en este apartado.
Ejercicio 7:
Enuncia problemas que correspondan a cada una de las representaciones gráficas siguientes.
Identificar los valores de las variables que se ponen en juego y clasificar los problemas según el
esquema dado en la sección 1.1 (parte B).
a)
b)
+ + + =
c)
d)
􀃗􀃗􀃗􀃗􀃗􀃗
􀃗􀃗􀃗􀃗􀃗􀃗
􀃗􀃗
􀃗􀃗 􀃗􀃗
􀃗􀃗
􀃗􀃗
􀃗􀃗
214
Multiplicación y división
e)
f)
g)
camisa
pantalón
azul
verde
rojo
215
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
3.3. Recursos en Internet
Representación rectangular de la división entera

http://matti.usu.edu/nlvm/nav/frames_asid_193_g_2_t_1.html

Descripción:
Este recurso permite representar la división entera en un diagrama rectangular mostrando el
dividendo como un rectángulo cuya base y altura son el dividendo y cociente. El resto se
representa como un rectángulo adosado de base unitaria.
Permite probar el conocimiento de las tablas de multiplicar y la comprensión de las nociones
de cociente y resto, planteando divisiones al alumno que él debe resolver.
Ejercicio 7:
1. ¿Cuáles son los conocimientos matemáticos que se suponen conocidos para usar este
programa? ¿Qué conocimientos sobre el programa se deben aprender para usarlo como
recurso didáctico?
2. ¿Cuáles son los nuevos conocimientos matemáticos pretendidos? ¿Cuál es su
naturaleza? (adquisición de una destreza, reconocimiento de una propiedad y su
justificación, etc.)
3. Describir un recurso didáctico alternativo para el estudio de los conocimientos
pretendidos (p.e., uso de la calculadora, papel y lápiz, etc.). Indicar las ventajas
relativas de cada recurso.
4. Diseñar una unidad didáctica para el estudio del contenido pretendido, apoyada en el
uso de este recurso, indicando:
– las consignas que se darán a los alumnos,
– las explicaciones complementarias que se consideren necesarias sobre el uso
del recurso y recuerdo de conocimientos previos,
– uso de recursos complementarios,
– posibles explicaciones finales para sistematizar los conocimientos pretendidos.
216
Multiplicación y división
4. TALLER DE DIDÁCTICA
4.1. Análisis de textos escolares. Diseño de unidades didácticas
Consigue una colección de libros de texto de matemáticas de 2º y 3er ciclo de primaria
(recomendamos buscar los libros que utilizastes personalmente, o bien los de algún familiar o
amigo).
1. Estudia el desarrollo del tema de “multiplicación y división” en dichos niveles.
2. Indica en qué curso se inicia y cuando termina.
3. Identifica aspectos del desarrollo del tema en los manuales escolares que consideres
potencialmente conflictivos.
4. Describe los cambios que introducirías en el diseño de las lecciones propuestas para los
cursos 3º a 6º de primaria.
4.2. Análisis de una prueba de evaluación4
En la tabla siguiente, parte izquierda, hay un ejercicio propuesto al comienzo del tercer
curso de primaria, y a la derecha los porcentajes de los resultados obtenidos:
Efectúa la operación siguiente:
84
x3
—–
Respuestas correctas: 37'4%
Otras respuestas: 52'2%
Ninguna respuesta: 10'4%
a) La tasa de éxito es baja. ¿Es un resultado extraño?
b) Entre las respuestas erróneas están las siguientes:
84
x3
——
2312
84
x3
——
272
84
x3
——
242
84
x3
——
92
• Encuentra, en cada caso, lo que hace el niño
• Basándote en la numeración decimal, ¿cómo ayudarías a un alumno a reconstruir el
algoritmo correcto?
4.3. Análisis de estrategias de cálculo mental /oral
Proponemos a un grupo de niños la siguiente tarea:
¿Cuánto es veinticinco por doce? ¿Cómo obtienes la respuesta sin usar papel y lápiz?
Para cada una de las respuestas siguientes analiza la estrategia seguida:
• "Treinta por doce es trescientos sesenta, cinco por doce sesenta, trescientos sesenta menos
sesenta trescientos"
• "Veinte por doce es doscientos cuarenta, cinco por doce sesenta, doscientos cuarenta más
sesenta trescientos"
4 Brousseau, G., Duval, A. y Vinrich, G. (1995)
217
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
• "Veinticinco por seis es ciento cincuenta, y ciento cincuenta, trescientos"
• "Veinticinco por dos cincuenta, cincuenta por seis, trescientos"
• "Veinticinco por cuatro cien, por tres trescientos"
• "Veinticinco por doce es lo mismo que cincuenta por seis y lo mismo que cien por tres,
trescientos"
4.4. Evaluación de resolución de problemas
Item 4. Daniel tiene 12 caramelos, María tiene 6 veces más caramelos que Daniel. ¿Cuántos
caramelos tiene María5
Este problema fue resuelto correctamente por el 85% de niños de 5º y 6º de primaria en
una muestra de 216 niños.
En este ítem hay diferentes variables:
• La posición de la incógnita: Estado inicial, término de comparación, estado final;
• Término de comparación: tantas veces más, tantas veces menos;
• Tamaño de los números
Escribe otros ítems similares cambiando las variables anteriores. ¿Crees que serán más
difíciles? ¿Por qué?
¿Qué estrategias seguirían los niños en los distintos ítems que has escrito?
Item 5. A continuación reproducimos un ítem sobre problemas multiplicativos de
combinación y las respuestas de varios chicos de 13 años. Para cada una indica los
conocimientos mostrados y errores cometidos
“Dos caminos, por la derecha y por la izquierda”
“Dos caminos hasta el centro y tres mas, cinco
caminos”
“ dos camimos hasta el centro; tres caminos desde
el centro que se pueden combinar con los
anteriores , seis caminos”
Como se ve en el gráfico desde A salen dos
caminos y en el centro de pueden tomar otros tres
A
¿Por cuántos caminos se puede
ir desde A hasta B?
218
5 Castro, E.nr, Resolución de problemas aritméticos de comparación multiplicativa. Memoria de Tercer Ciclo.
Universidad de Granada.
Multiplicación y división
BIBLIOGRAFÍA
Brousseau, G., Duval, A. y Vinrich, G. (1995). Thèmes mathématiques pour la préparation
du concours CRPE. Talence: Irem D’Aquitaine.
Castro, E. (2001). Multiplicación y división. En E. Castro (Ed.). Didáctica de la matemática
en la Educación Primaria (pp. 203-230). Madrid: Síntesis.
Ferrero, L. y cols (1999). Matemáticas (3º a 6ª Primaria). Madrid: Anaya.
Giménez, J. y Girondo, L. (1993). Cálculo en la escuela. Reflexiones y propuestas. Barcelona:
Graó.
Gómez, B. (1988). Numeración y cálculo. Madrid: Síntesis.
Martínez, J. (1991). Numeración y operaciones básicas en la educación primaria. Madrid:
Editorial Escuela Española.
Maza, C. (1991). Multiplicación y división. A través de la resolución de problemas. Madrid:
Visor.
Maurin, C. y Johsua, A. (1993). Les structures numériques à l’école primaire. París:
Marketing (Ellipses).
Puig, L. y Cerdán, F. (1988). Problemas aritméticos. Madrid: Síntesis.
Roa, R. (2001). Algoritmos de cálculo. En E. Castro (Ed.). Didáctica de la matemática en la
Educación Primaria (pp. 231-256). Madrid: Síntesis.
Segovia, I. Castro, E. Castro, Enr. y Rico, L. (1989 ). Estimación en cálculo y medida.
Madrid: Síntesis.
Udina, F. (1989). Aritmética y calculadora. Madrid: Síntesis.
219
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
220
Proyecto Edumat-Maestros
Director: Juan D. Godino

http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/

II.
DIDÁCTICA DE LOS SISTEMAS
NUMÉRICOS PARA MAESTROS
Capítulo 4:
FRACCIONES Y NÚMEROS RACIONALES POSITIVOS
221
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
222
Fracciones y números racionales positivos
1. ORIENTACIONES CURRICULARES
La comprensión del sistema de números racionales pone en juego diversas nociones
relacionadas, como fracciones, razones, decimales, así como una rica y compleja
variedad de situaciones de uso y medios de expresión. Su estudio está condicionado por
la progresiva comprensión de las operaciones aritméticas y de las situaciones de
medición de magnitudes no discretas. Los números racionales son el primer conjunto de
experiencias numéricas de los niños que no están basadas en los algoritmos de recuento
como los números naturales. Hasta este momento el recuento en una forma u otra (hacia
delante o hacia atrás, con saltos o no) se podía usar para resolver todos los problemas
que se presentaban. Ahora con la introducción de los números racionales el algoritmo
del recuento falla (o sea, no hay un número racional siguiente a otro dado; además, las
fracciones se multiplican de manera diferente, etc.). La práctica y el discurso que se
pone en juego con los "números racionales" suponen un salto importante en la manera
de pensar y usar los números que origina dificultades a muchos alumnos.
Las reglas de cálculo con las fracciones se pueden enseñar de manera simple: los
alumnos pueden lograr una cierta destreza en el cálculo del denominador común para
sumar o restar fracciones sencillas. De igual modo es posible que aprenden rápidamente
las técnicas de multiplicar y dividir fracciones. Sin embargo, este enfoque algorítmico y
memorístico tiene dos peligros1: primero, ninguna de estas reglas ayuda a los
estudiantes a pensar sobre el significado de las operaciones o por qué funcionan.
Segundo, el dominio observado a corto plazo se pierde rápidamente. Las reglas de
operación con las fracciones llegan a parecer similares y se confunden. El enfoque de la
enseñanza de las fracciones debe ser el logro del sentido numérico y la resolución de
problemas.
1.1. Diseño Curricular Base del MEC
En el Diseño Curricular Base para la Educación Primaria del MEC se mencionan
los “números fraccionarios y decimales” en el Bloque 1, indicando las
“Correspondencias entre fracciones sencillas y sus equivalentes decimales”. En el
apartado de Procedimientos se especifica:
1. Comparación entre números naturales, decimales (de dos cifras decimales) y
fracciones sencillas mediante ordenación, representación gráfica y transformación
de unos en otros.
2. Interpretación, cálculo y comparación de tantos por cientos
3. Automatización de los algoritmos para efectuar las operaciones de suma y resta con
números decimales de hasta dos cifras y con fracciones de igual denominador.
En las orientaciones didácticas se indica: Los números fraccionarios se
abordarán como partes de un grupo o de magnitudes continuas en diferentes contextos
(reparto y medida). Mediante trabajos manipulativos se comienza con medios, cuartos
…, el décimo se relacionará con el Sistema Métrico Decimal y con los números
decimales. Más detalladamente se incluyen los siguientes contenidos que son
pertinentes para este tema:
Hechos, conceptos y principios
1. Números fraccionarios.
1 (Van de Walle, 2001, p. 228):
223
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero












• Correspondencias entre fracciones sencillas y sus equivalentes decimales.
• El tanto por ciento de una cantidad (%)
Procedimientos
Interpretación, cálculo y comparación de tantos por ciento.
Utilización de diferentes estrategias para resolver problemas numéricos y
operatorios (reducir una situación a otra con números más sencillos, aproximación
mediante ensayo y error, considerar un mismo proceso en dos sentidos -hacia
adelante y hacia atrás- alternativamente, etc.).
Explicación oral del proceso seguido en la realización de cálculos y en las
resolución de problemas numéricos u operatorios.
Representación matemática de una situación utilizando sucesivamente diferentes
lenguajes (verbal, gráfico y numérico) y estableciendo correspondencias entre los
mismos.
Decisión sobre la conveniencia o no de hacer cálculos exactos o aproximados en
determinadas situaciones valorando el grado de error admisible.
Estimación del resultado de un cálculo y valoración de si una determinada respuesta
numérica es o no razonable.
Automatización de los algoritmos para efectuar las operaciones de suma y resta con
fracciones de igual denominador.
Actitudes, valores y normas
Rigor en la utilización precisa de los símbolos numéricos y de las reglas de los
sistemas de numeración, e interés por conocer estrategias de cálculo distintas a las
utilizadas habitualmente.
Tenacidad y perseverancia en la búsqueda de soluciones a un problema.
Confianza en las propias capacidades y gusto por la elaboración y uso de estrategias
personales de cálculo mental.
Gusto por la presentación ordenada y clara de los cálculos y de sus resultados.
Confianza y actitud crítica en el uso de la calculadora.
1.2. Principios y Estándares para la Matemática Escolar (NCTM 2000)
Las nociones de fracción y número racional no son triviales, incluso para los
alumnos de secundaria. Sin embargo, un primer contacto con algunas fracciones
sencillas, como 1/2, 1/4, etc. se puede proponer, y de hecho los libros de texto lo hacen,
para el primer ciclo de primaria. Un desarrollo más completo se inicia en los niveles 3º
y 4º. Concretamente, en los grados 3-5 el NCTM (2000) incluye las siguientes
expectativas relacionadas con el aprendizaje de las fracciones:
– Comprensión de los números, modos de representación, relaciones entre números y
sistemas numéricos
– Comprender las fracciones como partes de un todo unidad, como partes de una
colección, como posiciones en la recta numérica, y como divisiones de números
naturales.
– Usar modelos, puntos de referencia y formas equivalentes para juzgar el tamaño
224
Fracciones y números racionales positivos
de las fracciones.
– Reconocer y generar formas equivalentes de fracciones usadas comúnmente,
decimales y porcentajes.
– Explorar números menores que 0 ampliando la recta numérica y mediante
aplicaciones familiares.
– Describir clases de números según sus características tales como la naturaleza de
sus factores.
– Calcular con fluidez y hacer estimaciones razonables
– Desarrollar y usar estrategias para estimar cálculos con fracciones y decimales
en situaciones relevantes a la experiencia del estudiante.
– Usar modelos visuales, patrones, y formas equivalentes para sumar y restar
fracciones y decimales usados habitualmente.
Ejercicio:
1.Analizar las diferencias y semejanzas en las orientaciones curriculares siguientes respecto del
estudio de los números naturales y la numeración,
– Diseño Curricular Base del MEC
– Las orientaciones curriculares de tu Comunidad Autónoma
– Principios y Estándares 2000 del NCTM.
2. DESARROLLO COGNITIVO Y PROGRESIÓN EN EL APRENDIZAJE
Los niños comprenden progresivamente la noción de fracción, a partir de sus
diferentes significados derivados de los diversos tipos de situaciones de uso, que no son
todos igualmente sencillos de comprender para ellos. En la sección 1.1. de la parte B
hemos presentado una clasificación de tales situaciones. Cada tipo de situación
proporciona significados específicos que deben irse construyendo progresivamente, y
cuyo desarrollo ha sido objeto de diversas investigaciones. Analizaremos el desarrollo
de algunas de estos significados en lo que sigue.
Desarrollo de la fracción como parte de un todo
Parece ser que las primeras ideas de fracción de los niños son de naturaleza
tridimensional e imprecisas.
Ejemplo: Un niño puede decir “este jarro está medio lleno”, o “me he comido
medio pastel”, cuando, en realidad sólo queda una pequeña parte del agua o del
pastel. “Medio” en este contexto es para él algo que no está completo, pero queda
todavía algo.
En los experimentos de Piaget2 se pide a los niños dividir en partes iguales figuras
de papel o arcilla, doblándolas o cortándolas para efectuar un reparto equitativo. A las
siguientes edades realizan los niños diferentes tipos de tareas:
• 4-5 años: Dividir en mitades figuras pequeñas y regulares;
• 6-7 años: Dividir en tercios;
• 7-9: Dividir en sextos por tanteo;
2 Piaget, J., Inhelder, B. y Szeminska, A. (1960). The childs’ conception of geometry. Londres: Routledge
and Kegan.
225
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
• 10 años: Dividir sistemáticamente en sextos, partiendo primero por la mitad y
luego dividiendo el resultado en tres partes iguales.
En algunos casos los niños realizan estas tareas antes de estas edades o son capaces
de comprender la idea de mitad, tercio y sexto aunque físicamente tengan dificultad en
realizar la división de la figura en partes iguales. Hay siete criterios para comprender la
relación parte-todo:
• Considerar que una región entera se puede dividir en partes;
• Darse cuenta que el mismo todo se puede dividir en diferente número de partes
iguales, y podemos elegir el número de partes;
• Las partes de la partición agotan el todo;
• El número de partes puede no ser igual al número de cortes; por ejemplo con dos
cortes podemos hacer cuatro partes de una tarta;
• Todas las partes son iguales;
• Cada parte en sí misma se puede considerar como un “todo”;
• El “todo” se conserva, aún cuando se haya dividido en partes.
Para comprobar si los niños comprenden estas ideas se les puede plantear
actividades como indicar qué fracción se representa en las siguientes regiones
sombreadas:
En esta fracción algunos niños creen que la fracción coloreada es 3/5
En esta fracción algunos niños creen que la fracción coloreada es 7/10.
La fracción como parte en un conjunto discreto de objetos
Algunos experimentos sugieren que para los niños es más
difícil comprender la idea de fracción en un conjunto discreto de
objetos. Por ejemplo, al preguntar a los niños qué fracción
representan las piezas coloreadas dentro del siguiente conjunto,
el 40% de los niños de 10 años contestan que 1/2 en lugar de 1/3,
no considerando el conjunto total como un todo.
Representación de las fracciones como puntos en una recta numérica
El modelo de recta numérica de las fracciones ocasiona dificultades a los niños que
no siempre son capaces de pasar de la representación de áreas a la recta o viceversa3. El
modelo de recta numérica resulta más difícil que los anteriores.
226
3 Novillis, C. F. (1976). An análisis of the fraction concept into a hierarchy of selected subconcepts and
the testing of the hierarchical dependencies. Journal for Research in Mathematics Education, 7, 131-144.
Fracciones y números racionales positivos
En la representación lineal se enfatiza la idea de que una fracción, por ejemplo 4/5
es esencialmente un número, de idéntica naturaleza que los números 0 y 1, pero
comprendido entre ambos. A diferencia de las dos representaciones anteriores no se
incorpora la idea de relación parte-todo.
Una ventaja de la representación lineal es que las fracciones impropias son más
naturales y no tan diferentes de las fracciones propias y también se visualiza la idea de
que las fracciones “extienden” el conjunto de los números naturales y “rellenan los
huecos” dejados por éstos en la recta numérica. De esta forma se enlaza de forma
natural con la idea de medida no entera.
La fracción como división indicada de dos números enteros
Al calcular porcentajes o transformar una fracción en decimales es necesario
dividir dos enteros. Esta situación también se presenta en problemas como el siguiente:
Hay que repartir a partes iguales tres tabletas de chocolate entre 5 niños
Sólo un 40 % de los niños de 12 años responde correctamente a este problema, lo
que sugiere que el resto no han comprendido que cualquier número entero puede
dividirse en cualquier número de partes iguales.
Equivalencia y comparación de fracciones
Hemos desarrollado este aspecto en el tema dedicado a proporcionalidad, así como
en el dedicado a probabilidad. Tanto en la proporcionalidad como en los problemas de
comparación de probabilidades se ponen en juego la comparación de dos fracciones.
Remitimos a estas lecciones, donde se describen las etapas que siguen los niños en la
comprensión del orden y equivalencia de fracciones.
Otras dificultades y errores
Una primera dificultad en el estudio de las fracciones consiste en que los alumnos
atribuyan un significado correcto a la noción de fracción, y por tanto, a cada uno de los
enteros que aparecen en la escritura de una fracción. Se trata de una notación nueva para
los alumnos de este nivel, ya que hasta este momento sólo conocen los números
naturales.
Algunos de los errores más frecuentes que cometen los alumnos tras el estudio del
tema, que se manifiestan incluso en niveles de secundaria, son los siguientes:
Un entero se confunde con su inverso: 1/7 se confunde con 7/1, o bien, 1/7 y 7/1 se
consideran como dos escrituras equivalentes.





Una fracción como ½ se considera menor que la fracción 1/3, argumentando que 2 <
3.
El conocimiento de los naturales puede ser un obstáculo para el dominio de los
números racionales; por ejemplo, algunos niños pueden afirmar que 1/3 < 1/5
explicando que 3 <5.
La mitad de la fracción 1/6 se designa frecuentemente por la fracción 1/3 (que es en
realidad el doble de 1/6), argumentando que la mitad de 6 es 3.
Para multiplicar entre sí dos fracciones, se les reduce a un común denominador,
después se multiplican los numeradores olvidando de multiplicar entre sí los
denominadores. Se trata de una confusión entre las reglas de la adición de fracciones
y las de la multiplicación.
227
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
Remitimos al lector al libro de Llinares y Sánchez (1988, cap. 6) para una
descripción más detallada del tipo de errores más frecuentes en el estudio de las
fracciones por los niños, con explicación de su posible origen y actividades para su
prevención y remediación.
Ejercicio 2:
En la tabla siguiente se incluyen ejemplos de items de evaluación usados en distintas
investigaciones y porcentajes de respuestas correctas. Para cada uno de ellos estudia qué
aspecto de las fracciones se evalúa. Trata de explicar las diferencias en los índices de
dificultad.
Item 14. ¿Está dividido este círculo en dos mitades? ¿Por qué?
El 89% de los niños de 12-13 años dieron una respuesta correcta,
mientas que otros opinaron que sí. Para ellos “dos mitades” era equivalente a
dos trozos.
Item 2. En una caja de 12 huevos hay 5 cascados. ¿Qué fracción de huevos está cascada?
El 70 % de los niños de 12-13 años dan una respuesta correcta..
Item 3. Juan y Andrés reciben su paga semanal. Juan gasta la cuarta parte y Andrés gasta la
mitad de su paga. ¿Es posible que Juan gaste más que Andrés? ¿Por qué?
En este ítem el 41% de los niños de 12 años piensan que es imposible.
Item 45. Supongamos que x/y representa un número. Si se duplican los valores de x e y el
nuevo número es:
a) La mitad de grande que x/y
b) igual a x/y
c) doble que x/y
El 20 por ciento de los niños de 11 años dan una respuesta correcta a este ítem
Item 5. En una clase hay 40 alumnos, 3/5 son niñas. ¿Cuántas niñas hay en la clase?
El 22 % de los niños de 11 años dan la respuesta correcta
3. SITUACIONES Y RECURSOS
De acuerdo a los apartados anteriores, haremos una propuesta de enseñanza con
dos secuencias didácticas paralelas: la vía de las situaciones concretas y la de las
situaciones formales. La primera es necesaria para establecer el sentido o significado de
las fracciones, y también para justificar los hechos numéricos básicos y las técnicas de
cálculo. La segunda es necesaria para consolidar las técnicas de cálculo.
3.1. Situaciones concretas
4 Hart, K. (1980), Secondary School Mathematics Project. Research Monograph. Londres: Chelsea
College.
5 NAEP, 1980
228
Fracciones y números racionales positivos
Las actividades introductorias para facilitar “el primer encuentro” con las
fracciones se deben apoyar en las diversas representaciones: modelos de áreas,
conjuntos discretos, recta numérica, etc.
Por ejemplo, en lo que concierne a la recta numérica, podemos proponer a los niños
que tengan que comunicar a otros la posición exacta de ciertos puntos (correspondientes
a 1/3 y 5/3, por ejemplo) marcados sobre una semirecta graduada, en la cual se han
marcado claramente los números 0, 1 y 2, los cuales indican la unidad de longitud
elegida para graduar la semirecta.
A B
0 1 2
Los niños deberán descubrir en primer lugar la relación entre la posición de estos
puntos y la división de la longitud unidad en partes iguales, y después inventar una
escritura que les permita comunicar estas posiciones a sus compañeros, los cuales sólo
tienen una semirecta graduada con la misma unidad de longitud sobre la que aparecen
marcados el 0, 1, y 2.
En este contexto, la notación de fracción, que podrá ser propuesta por el maestro
durante la corrección de la actividad, surgirá como una respuesta a un problema que
tiene pleno sentido para los niños y los papeles del numerador y del denominador se
distinguirán rápidamente, ya que cada uno proporciona una información necesaria para
el posicionamiento correcto del punto.
Esta misma situación se puede también explotar para que los niños “descubran”
que las fracciones 1/3 y 2/6, por ejemplo, son dos codificaciones diferentes de la
posición de un mismo punto y, por tanto, existen numerosas fracciones equivalentes a
una fracción dada. A partir de esto, la investigación de las reglas de simplificación de
las fracciones se puede iniciar con fracciones simples.
Este tipo de introducción, además del interés que presenta para dar sentido a la
noción y la notación de las fracciones, permite también no limitarse a las fracciones
inferiores a la unidad, como ocurre habitualmente con el contexto del reparto de las
tartas que suele usarse con frecuencia.
Esta presentación no es suficiente para dar todo su sentido a las fracciones. Se debe
acompañar con otras situaciones en las que esta herramienta se use no solamente como
fracción de longitud, sino también como fracción de área o de tiempo, y en general con
situaciones en las que se pongan en juego los diversos contexto de uso de las fracciones.
Recomendamos una secuencia de situaciones concretas, que el alumno debe
resolver por sí mismo. El profesor debe controlar que el niño entiende el enunciado,
pidiéndole que lo explique con sus propias palabras y animándole a que encuentre una
estrategia de resolución. Es decir, se trata, básicamente, de situaciones a-didácticas 6.
Se puede animar al niño representar los datos del problema, usando alguno de los
recursos que describimos en la sección 3.3.
Las variables didácticas de las situaciones de introducción de las fracciones son las
siguientes:
229
6 Situación a-didáctica, aquel momento del proceso de enseñanza-aprendizaje en que el alumno está
comprometido con la resolución de una tarea problemática que asume como propia.
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
• Significado de las fracciones: parte- todo, comparación parte- parte, división de
dos números, comparación de dos medidas, punto en la recta numérica, etc.
• Tipos de fracciones: igual- distinto denominador, menores mayores que la unidad,
enteras o no enteras, denominadores múltiplos unos de otros o no, etc.
• Grado de contextualización de la situación: Situación que se refiere a materiales
presentes en el aula y con el niño como actor. Situación hipotética contextualizada
con material a disposición del niño para que pueda efectuar una representación
simbólica. Situación hipotética contextualizada sin material a disposición del niño.
• Tipo de material utilizado: Estructurado o no estructurado.
• Posición de la incógnita en las operaciones: En el primer término, el término inicial
o uno de los términos parciales.
• Número de datos: Dos, tres o más.
Ejercicios:
2. Preparar una secuencia de tareas para alumnos de 5º curso en las que se incluyan una muestra
de valores de las variables didácticas identificadas en el estudio de las situaciones concretas de
uso de las fracciones.
3. Analizar en un libro de texto de 5º de primaria si se incluyen o no situaciones concretas en el
estudio de las fracciones y los valores de las variables didácticas tenidas en cuenta.
3.2. Situaciones formales. Aprendizaje de algoritmos
En estas situaciones se presenta al alumno operaciones formales con las fracciones,
es decir, ejercicios del tipo: 5/7+4/5, etc. En un primer momento se animará al niño a
hallar sus propias estrategias, para dar sentido a las operaciones.
Rápidamente se pasará a utilizar diversas representaciones (áreas, conjuntos, recta
numérica, diagramas en árbol) para facilitar la comprensión y adquisición de técnicas de
cálculo. Las variables didácticas de las situaciones son las siguientes:
• Tipo de operación: suma, resta, multiplicación y división.
• Dirección de la operación:
Directa (por ejemplo, 2 / 5 x 1/4 = ?
Inversa (por ejemplo, ? x 2/ 5 = 1/10
• Tipos de fracciones, tamaño de los términos y del resultado de la operación:
1. Suma y resta de fracciones de igual denominador;
2. Suma y resta de fracciones, denominadores múltiplos uno de otro;
3. Suma y resta de fracciones con denominadores no múltiplos, fácilmente
descomponibles en factores;
4. Suma y resta de fracciones cualesquiera;
5. Multiplicar /dividir una fracción por un entero;
230
Fracciones y números racionales positivos
6. Multiplicar /dividir dos fracciones;
7. Operaciones combinadas
• Técnica de cálculo: Uso de material o representaciones gráficas, técnica escrita.
• Tipo de material o representaciones usadas; conjuntos de objetos, modelos de
áreas, recta numérica, etc.
Ejercicios:
4. Preparar una secuencia de tareas para alumnos de 6º curso en las que se incluyan una muestra
de valores de las variables didácticas identificadas en el estudio de las situaciones formales de
uso de las fracciones.
5. Analizar en un libro de texto de 6º de primaria si se incluyen o no situaciones formales en el
estudio de las fracciones y los valores de las variables didácticas tenidas en cuenta.
3.3. Modelos gráficos para el estudio de las fracciones
A lo largo del tema hemos mencionado algunas representaciones gráficas mediante
las cuales se expresan situaciones de uso de las fracciones. El uso de estas
representaciones es una opción del profesor, por lo que se trata de una variable didáctica
de las situaciones concretas en el estudio de las fracciones.
Modelos de áreas
Una figura, principalmente rectangular o circular se divide en partes iguales,
sombreando la parte correspondiente a la fracción representada.
¿Qué fracción expresa la relación entre el área de la superficie
sombreada y la superficie del rectángulo mayor?
¿Cuánto mide el área sombreada si usamos como unidad de medida el
rectángulo mayor?
Este tipo de situaciones de medida o comparación de áreas (con figuras
rectangulares o circulares) se pueden utilizar como modelos de otras situaciones de
contextos no geométricos. Por ejemplo,
"Tenemos que repartir 120 euros entre 12 personas. ¿Qué fracción del total
corresponde a 8 personas? ¿Cuántos euros corresponden a estas 8 personas?"
Esta situación se puede representar "visualmente" con el gráfico o modelo de áreas
anterior interpretando que el rectángulo mayor "representa las 12 personas (el todo o
unidad), y la parte sombreada a las 8 personas.
Representación mediante conjuntos
231
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
Cuando el conjunto que se quiere dividir es discreto y el número de objetos es
múltiplo de las partes, una representación de los objetos puede visualizar el problema de
reparto.
􀃗􀃗􀃗 􀃗􀃗􀃗
􀃗􀃗􀃗 􀃗􀃗􀃗 􀃗􀃗􀃗
􀃗􀃗􀃗 􀃗􀃗􀃗 􀃗􀃗􀃗
Modelos lineales
Al igual que en el caso de los números naturales, podemos visualizar las fracciones
a lo largo de una recta. Tomamos en ella una cierta longitud como unidad a repartir, y a
partir de ella representamos la fracción.
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
0 1/4 1/2 3/4 1 5/4 3/2 7/4 2
232
Fracciones y números racionales positivos
3.4 Recursos en Internet
Modelos de fracciones y expresión de números racionales:

http://illuminations.nctm.org/tools/FractionPie/ver2.html

Descripción
Permite explorar varios modelos para representar fracciones con numeradores y
denominadores ajustables. Un mismo número racional se usa para expresar una parte de
un todo en los casos en que el todo viene dado mediante un círculo, un rectángulo y un
conjunto discreto de fichas circulares. Se comparan simultáneamente tres notaciones:
fracción, decimal y porcentaje.
Los valores de los numerador y denominador se agrupan en tres versiones:
Versión 1: El rango del numerador está limitado a valores de 0 a 20, y el denominador
toma valores fijados en 1, 2, 4, 5, 8, 10 y 20.
Versión 2: El rango del numerador y el denominador varia entre 0 y 20
Versión 3: El rango del numerador y el denominador varia entre 0 y 100.
Tanto el numerador como el denominador se indican en la recta numérica y se
cambian desplazando cursores.
233
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
Ejercicio 6:
1. Explorar las tres versiones del programa, representando fracciones mayores y
menores que la unidad y comparando las tres representaciones gráficas del todo
y las partes.
2. Escribir una ficha de trabajo para los alumnos de 6º curso de primaria
proponiendo una secuencia de tareas de expresión y representación de fracciones
equivalentes mayor es y menores que la unidad.
3. Identificar las características ergonómicas (eficacia, rapidez, posibilidades de
comparación, etc.) del uso del programa en relación al contexto tradicional de
uso de papel, lápiz y calculadora.
4. La expresión decimal de los racionales no decimales no se puede realizar
correctamente con este programa. ¿Por qué? ¿Qué tareas y recursos puede
utilizar el profesor para que el uso del programa no genere un obstáculo
didáctico en relación a la notación decimal y porcentual?
5. ¿Crees que la representación independiente del numerador y el denominador en
la recta numérica puede ser un obstáculo didáctico para la representación en la
recta de los números racionales¿ ¿Cómo se puede evitar?
4. TALLER DE DIDÁCTICA
4.1. Análisis de textos escolares. Diseño de unidades didácticas
Consigue una colección de libros de texto de matemáticas de 3er ciclo de primaria y
1er ciclo de secundaria (recomendamos buscar los libros que utilizastes personalmente,
o bien los de algún familiar o amigo).
Estudia el desarrollo del tema de “fracciones y números racionales” en dichos
niveles.




Indica en qué curso se inicia y cuando termina.
Busca algún tipo de problema o tarea que consideres no está representado en la
muestra de problemas que hemos seleccionado en la situación introductoria inicial.
Identifica aspectos del desarrollo del tema que consideres potencialmente
conflictivos para los alumnos de dichos niveles.
4.2. Análisis de respuestas de estudiantes a pruebas de evaluación
En los siguientes ejemplos analiza las tareas presentadas y las respuestas de los
niños, indicando los errores subyacentes y la forma en que podría ayudar la maestra a
superarlos.
1. Una maestra pide a sus alumnos que ordenen de menor a mayor las fracciones 1/4 y
1/6.
El 20% de los niños dicen que ¼ < 1/6 por que 3<5.
¿Qué explicación puede tener esta respuesta de los niños?. ¿Qué podría hacer la maestra
para que los alumnos comprenden la ordenación de fracciones?
234
Fracciones y números racionales positivos
2. En las siguientes tareas que piden hallar el todo, conocida una parte, que se expresa
mediante una fracción del todo. Explica por qué esta actividad es difícil y qué puede
hacer el maestro para ayudar a los alumnos.
“Si esta región es los 3/5 de una región encuentra la región unidad”
“Si esta colección de bolas o o o o o
o o o o
son los 3/5 de un total de bolas encuentra el total de bolas”.
3. Un maestro pone este problema a sus alumnos:
“De los 25 alumnos de la clase 3/5 son niñas. ¿Cuántos niños hay?”
Un alumno responde así:25 –3/5 =125/5 – 3/5 = 122/2 niños
Explica cómo ayudarías a este alumno para que comprenda el enunciado y la
manera de resolverlo.
4. Indicamos a continuación la respuesta de un estudiante al siguiente problema:
“De la superficie total de España (504.000 km2, aproximados), los dos tercios son de
paisaje llano. ¿Cuántos kilómetros cuadrados representa esta fracción?.
Respuesta de un alumno:
504000 ______ 3/3
x ______ 2/3
x = (504.000x 2/3 )/(3/3) = 336.000 km2
¿Cómo explicarías la solución de este problema sin usar “la regla de tres”?
4.3. Análisis de experiencias didácticas
A. El espesor de una hoja de papel
Analiza la siguiente experiencia de estudio de las fracciones y racionales diseñada y
experimentada por G. Brousseau7. Se trata de una secuencia de estudio que permite a los
niños “reinventar” los números racionales bajo la dirección del profesor. Al finalizar:
• Enumera los conocimientos y habilidades previas que consideras necesarias para la
realización de estas actividades
• ¿Cuál es el objetivo que se persigue en cada una de las secuencias en que se ha
dividido la situación didáctica?
• Describe los conocimientos matemáticos que se ponen en juego a lo largo del
proceso de estudio.
• Confronta las respuestas dadas a estas cuestiones con el análisis que se hace en
Centeno (1988, pags. 124-125).
Tarea: Se pide a los alumnos medir el espesor de hojas de papel de diferente grosor
con un calibrador; como las hojas son muy finas, se propondrá que las midan no de una
en una, sino un paquete con un número determinado de tales hojas.
235
7 siguiendo el resumen elaborado por Centeno (1988).
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
Como resultado obtienen dos números: el número de hojas que tiene el paquete y
la medida en milímetros del espesor del paquete. Estos pares de números se pueden
comparar, sumar, restar, multiplicar por un número natural, y también dividir.
Material necesario:
– Unas 2000 hojas de papel del mismo tamaño (medio folio, por ejemplo), del mismo
color, pero de 5 grosores (papel de calco, folios normales, cartulinas, etc.). Se
distribuyen en 10 cajas, dos de cada grosor, que contienen cada una alrededor de
200 hojas.
– Calibradores que permitan medir espesores con una precisión del milímetro (dos por
cada grupo de cinco alumnos).
– Un biombo o una cortina que permita dividir la clase en dos. Se puede prescindir de
esto si el local es bastante grande como para separar a los alumnos en dos grupos de
forma que puedan ver los niños de un grupo lo que hacen los del otro grupo.
Organización de la clase
La situación se desarrolla a través de ocho actividades, que se realizan a lo largo de
nueve secuencias de 60 a 70 minutos. El esquema de organización es similar para cada
una de las secuencias. Hay acciones individuales, en grupos pequeños, puestas en
común entre grupos pequeños, puestas en común de toda la clase, y tiempos destinados
a hacer la síntesis de lo adquirido.
1. Primera secuencia S1: El objetivo es medir el “espesor de una hoja de papel”
Se divide el aula en dos partes con un biombo. En cada parte se colocan cinco cajas
conteniendo cada una 200 hojas de papel.
Situados los niños en una de las partes del aula, el maestro los distribuye en grupos
de 4 ó 5.
El maestro dice: “Mirad las hojas que he preparado en las cajas A, B, C, D, E. En
cada caja todas las hojas tienen el mismo espesor y cada caja tiene hojas de espesor
distinto. ¿Podéis apreciar las diferencias de unos espesores a otros?
Se hacen circular entre los alumnos algunas hojas de forma que todos los niños
puedan tocarlas y compararlas
– ¿Cómo podemos distinguir unas hojas de otras?
Algunos niños responden que por el peso.
– Debéis inventar otra manera de designar y reconocer cada uno de estos tipos de
papel, de forma que los podamos distinguir sólo por el espesor.
Los niños intentan al principio medir el espesor de una hoja, pero pronto se dan
cuenta de que no es posible.
Después empiezan a medir paquetes de hojas, las cuentan y ya tienen un código que
puede servir para designar los espesores. Dan, por ejemplo, 70 hojas 3 mm; 50 hojas 3
mm; etc.
Cuando en todos los grupos se ha encontrado este sistema de designación de hojas
se pasa a un “juego de comunicación”. Cada grupo se subdivide en dos: uno de
emisores y el otro de lectores.
Para probar el código elaborado, todos los emisores se colocan en una de las dos
partes del aula y los lectores en el lado opuesto. Los emisores eligen una de las cajas y
escriben mensajes que envían a los niños con los que han elaborado antes el código. Los
236
Fracciones y números racionales positivos
lectores deben reconocer la hoja de que se trate y para asegurarse de que el código ha
funcionado deben comunicar después con los emisores.
El maestro pasa los mensajes de unos a otros, recibe las respuestas y verifica con
todo el equipo si se ha acertado o no. Para escribir los mensajes ha preparado
previamente unas tarjetas en las que los niños deben escribir el número de su equipo, los
mensajes enviados (numerados: juego 1, juego número 2, etc. ) y si han sido acertados o
no.
Cuando todos los equipos han hecho varios juegos, y todos los niños han sido
emisores y receptores más de una vez, se pasa a una tercera fase, que consistirá en una
puesta en común de todos los equipos.
El desarrollo de las siguientes secuencias es el siguiente:
S2: Comparar los espesores (pares de números) y hallar pares equivalentes.
S3: Determinar clases de equivalencia de pares de números, observando que un mismo
espesor se puede representar por muchos pares, que son por tanto equivalente.
S4: Hallar el espesor de una hoja gruesa formada por dos hojas pegadas (esto lleva a dar
significado a la multiplicación de espesores –fracciones- por un número natural).
S5: Generalizar los procedimientos descubiertos calculando sumas de espesores.
S6: La diferencia de dos espesores permitirá a los niños dar significado a la diferencia de
fracciones.
S7: Dar significado al producto de espesores por un número natural, hallando el espesor
de un cartón grueso formado por varias hojas del mismo grosor (producto de un
racional por un natural).
S8: Evaluar el espesor de un cartón comparándolo con un milímetro (se trata de saber si
una fracción es mayor, menor o igual a un milímetro).
S9: Conocido el espesor de un cartón formado por un número de hojas de igual espesor
hallar el espesor de una hoja. Esta actividad dará significado a la división de un
racional por un entero.
B. Reproducción de un segmento con una unidad no convencional
Se pide a los futuros profesores leer la sección 8.5.2. del libro de Centeno (1988)
donde se describe otra situación didáctica específica para dar sentido al uso de las
fracciones en el contexto de medidas lineales y realizar un análisis semejante al anterior.
BIBLIOGRAFÍA
Castro, Enc. y Torralbo, M. (2001). Fracciones en el currículo de la educación primaria.
Enr. Castro (Ed.), Didáctica de la Matemática en la Educación Primaria (p.285-
314). Madrid: Síntesis.
Centeno, J. (1988). Números decimales. ¿Por qué? ¿Para qué?. Madrid: Síntesis.
Ferrero, L. y cols (1999). Matemáticas (5º y 6ª Primaria). Madrid: Anaya.
Llinares, S. y Sánchez, M. V. (1988). Fracciones. Madrid: Síntesis
Krause, E. (1991). Mathematics for elementary teachers (2nd ed.).Toronto: D.C.Heath.
Maurin, C. y Johsua, A. (1993). Les outils numériques à l’école primaire et au collègue,
Vol 1. París: Editions Marketing (Ellipses).
Post, Th. R. (Ed.) (1988). Teaching mathematics in grades K-8. Boston: Allyn and
Bacon.
237
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
238
Proyecto Edumat-Maestros
Director: Juan D. Godino

http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/

II.
DIDÁCTICA DE LOS SISTEMAS
NUMÉRICOS PARA MAESTROS
Capítulo 5:
NÚMEROS Y EXPRESIONES DECIMALES
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
240
Números y expresiones decimales
1. ORIENTACIONES CURRICULARES
Los números decimales se han convertido en los últimos años en protagonistas de
todos los cálculos -hasta el punto de que en la práctica desplazan completamente a las
fracciones – debido a la disponibilidad creciente del uso de calculadoras y de
ordenadores que hacen las operaciones con ellos (Centeno, 1988, p. 17).
Los símbolos 3.75 y 3
4
3 representan la misma cantidad, aunque tengan un aspecto
tan diferente. Esta apariencia hace que para los niños, el mundo de las fracciones y el de
los decimales sean muy distintos. Incluso las personas adultas tienden a pensar en las
fracciones como conjuntos o regiones (tres cuartos de algo, por ejemplo), mientras que
consideran los decimales más como números. La realidad es que las fracciones y los
decimales son dos formas diferentes para representar las mismas ideas, o si se prefiere
para describir y manipular el mismo tipo de situaciones.
Uno de los fines principales de la enseñanza de las fracciones y decimales será que
los estudiantes vean ambos sistemas notacionales como modos de representar los
mismos conceptos, aunque ciertamente con ventajas distintas según las situaciones. Por
ejemplo, en muchos contextos, es más fácil pensar sobre 3/4 que en 75 centésimas o
0.75. Inversamente, el sistema decimal hace más fácil la expresión de números que
están próximos a 3/4, como 0.73, o 0.78. El uso del sistema decimal es claramente
ventajoso en dispositivos digitales, como calculadoras, ordenadores y mediciones
electrónicas1.
1.1. Diseño Curricular Base del MEC
En el Decreto del MEC (BOE 26-6-91) se mencionan los números decimales en los
siguientes términos en el apartado de conceptos:
• Números fraccionarios y decimales
Estas orientaciones curriculares fueron formuladas de manera más explícita en el
DCB (Documento Curricular Base, MEC, 1989). Entre los objetivos generales que
hacen referencia al estudio de los "Números y operaciones" se incluyen las siguientes
indicaciones.
Hechos conceptos y principios:
• Correspondencias entre fracciones sencillas y sus equivalentes decimales.
En el apartado de procedimientos:
2. Comparación entre números naturales, decimales (de dos cifras decimales) y
fracciones sencillas mediante ordenación, representación gráfica y transformación de
unos en otros.
15. Automatización de los algoritmos para efectuar las operaciones de suma y resta con
números decimales de hasta dos cifras y con fracciones de igual denominador.
1.2. Principios y Estándares para la Matemática Escolar (NCTM 2000)2
1 Van de Walle (2001), p. 243.
2 National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principles and Standard for School Mathematics.
Reston: Va: NCTM.
241
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
En los Estándares Curriculares y de Evaluación del NCTM (1989) las orientaciones
curriculares son algo más explícitas. Concretamente se dice que en los niveles P-4
(Infantil a 4º curso de Primaria), los niños empiezan a encontrarse con decimales en
multitud de situaciones -con calculadoras y medidas métricas, en tablas de datos, y en
actividades cotidianas como el uso de un cronómetro digital. Por tanto, el currículo tiene
que hacer énfasis en el desarrollo de conceptos decimales.
Continúan diciendo que el enfoque de los decimales ha de ser parecido al trabajo
con fracciones, es decir, hacer hincapié de forma clara y continua en modelos y en
lenguaje oral y más tarde conectar este trabajo con los símbolos. Esto es necesario si se
quiere que los decimales tengan sentido para los estudiantes y que éstos hagan de ellos
un uso intuitivo. Al explorar la idea de décimas y centésimas partes con modelos puede
incluirse un trabajo previo con decimales equivalentes, recuento de sucesiones,
comparación y ordenación de decimales, y suma y resta.
La enseñanza y el aprendizaje de los decimales ha de incluir experiencias
informales que establezcan la relación entre fracciones y decimales para que los
estudiantes comiencen a establecer una conexión entre los dos sistemas. Por ejemplo, si
los estudiantes reconocen que 1/2 es la misma cantidad que 0'5, pueden usar esta
relación para determinar que 0'4 y 0'45 son un poco menos que 1/2 y que 0'6 y 0'57 son
un poco más que 1/2. Las actividades de este tipo ayudan al niño a dotar de significado
a los números decimales.
En los Principios y Estándares 2000 (NCTM, 2000) aparecen los decimales en los
siguientes términos:
Grados 3-5:
• comprender la estructura posicional del sistema de numeración decimal y ser capaz
de representar y comparar números naturales y decimales;
• reconocer y generar formas equivalentes de fracciones, decimales y porcentajes
usados comúnmente.
Ejercicio:
1. Analizar las diferencias y semejanzas en las orientaciones curriculares siguientes respecto del
estudio de los números decimales,
– Diseño Curricular Base del MEC
– Las orientaciones curriculares de tu país o Comunidad Autónoma
– Principios y Estándares 2000 del NCTM.
2. DESARROLLO COGNITIVO Y PROGRESIÓN EN EL APRENDIZAJE
Los números decimales empiezan a utilizarse en 4º nivel de primaria generalmente
en un contexto de medida. Por ejemplo, la expresión decimal 1'25 m es una manera
sencilla y cómoda de decir que al medir el largo de una mesa se ha necesitado un metro,
2 decímetros y 5 centímetros. La multiplicación de un número natural por un decimal,
como 4 x 0'37, se asocia con la suma reiterada: 0'37 + 0'37 + 0'37 + 0'37.
En cursos superiores se encontrarán con problemas que llevan a multiplicar, por
ejemplo números como 0'37 x 0'37, sin que estos números se interpreten como
medidas. Los momentos más delicados del proceso de enseñanza – aprendizaje son
242
Números y expresiones decimales
aquellos en los que las propiedades tanto de los números como de las operaciones con
los números naturales no pueden extenderse a los números decimales3.
La comprensión de la relación entre las fracciones y su escritura decimal es similar
a la comprensión de la relación entre diferentes sistemas de numeración, por ejemplo
entre el sistema de numeración romana y el posicional decimal. El niño debe
comprender que en ambos casos el número representado es el mismo y lo que cambia es
la forma de representarlo.
En principio, para los niños será más fácil comprender la idea de fracción, a través
de sus diferentes representaciones, como la relación parte-todo que su expresión
decimal. Pero a la larga esta comprensión tendrá una gran ventaja en los algoritmos y
resolución de problemas.
Para iniciar con éxito el estudio de la representación decimal de las fracciones es
necesario que el niño tenga soltura y comprensión en los convenios del sistema decimal
de representación de los enteros y comprenda el principio del valor de posición.
Asimismo debe comprender los diversos significados subyacentes a la fracción decimal,
por ejemplo “dos décimas”, que estudiamos en la lección anterior para poder dotar de
significado a la parte decimal del número.
Dado que la representación decimal de un número se basa en la noción de fracción
(décimas, centésimas, milésimas), la comprensión de la equivalencia tiene la misma
importancia al estudiar decimales que al estudiar fracciones. Por ejemplo, hay niños que
tienen dificultad en encontrar equivalentes 2 décimas a 20 centésimas, es decir, 0'2 a
0'20. Algunos niños consideran que 0'20 es mayor.
Conflictos en el aprendizaje de los números decimales
La escritura decimal de los números ha producido confusiones entre lo que es un
número decimal y lo que no es un número decimal, identificando más al número
decimal por su escritura decimal que por sus propiedades intrínsecas, lo que ha
originado cierta ambigüedad entre la escritura decimal y el número decimal, de tal
manera que decimal está asociado a números con comas en contraposición al número
entero o número sin comas; esta acepción del término decimal es origen de diferentes
errores4.
Los errores más frecuentes, observados de manera persistente, tras el estudio del
tema por los alumnos de primaria y primer ciclo de secundaria son clasificados y
descritos por Centeno (1988) en cuatro apartados. Indicamos algunos ítems usados en
evaluaciones con ejemplos de respuestas erróneas.
Errores relacionados con la lectura y escritura de los números: valor de posición
Item 1. ¿Cuál de los números siguientes es 37 milésimas? 0’037; 0’37; 37; 37000.
En algunas investigaciones el 88% de los niños de nueve años y el 40% de los de
trece responden 37000. Parece que una buena parte de los alumnos de estas
edades interpreta centésimas como enteros, y piensan que para que haya
milésimas tiene que haber tres ceros.
Item2. Se pide a los alumnos que cuenten por centésimas.
Es fácil obtener la respuesta siguiente: 14’08; 14’09; 15.
3 Centeno (1988), p. 151.
4 Socas (2001).
243
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
Item 3. Seis décimas se escribe 0’6 como decimal. ¿Cómo escribes tres centésimas?.
Algunas respuestas erróneas obtenidas son: 0’300; 3’00; 3’0; 3’100; 00’3; 0’3.
Puesto que la base de la escritura de números decimales es el sistema de
numeración decimal, no se puede esperar que los niños comprendan la escritura
de los decimales menores que la unidad mientras no esté bien comprendido el
dominio del sistema de numeración decimal para la escritura de los números
enteros.
Errores relacionados con el cero
Algunos alumnos ignoran el cero e interpretan 0’036 como 36, perdiendo la
estructura global del número y tratándolo sólo como un número entero. 1’27 se
considera distinto de 1’270.
Errores en la interpretación de decimales como fracciones
Item 4. Escribe una fracción para completar la igualdad 6’28= 6×1+2x ___ + 8×1/100
El porcentaje de niños que realizan correctamente este ejercicio no llega a veces al
10 % de los niños de 13 años.
Errores relacionados con las operaciones
A continuación mostramos respuestas de niños a algunas tareas. Identifica y explica
los errores cometidos.
1) 0’7 + 0’4 + 0’2 = 0’130; 17’3 + 21’8 = 38’11
2) Hacer el número 437’56 diez veces mayor. Respuesta: 437’560
3) 3’15 x 10 = 30’150
4) 3’15 x 10 = 3’150
5) 2’3 x 2’3 = 4’9
6) 4 x 2’3 = 8’12
7) 2’12 : 2 = 1’6
Una parte importante de los alumnos piensa que al multiplicar dos números siempre
se obtiene otro número mayor que los dados, y que al dividir se obtiene uno menor.
3. SITUACIONES Y RECURSOS
3.1. Introducción del uso de la coma decimal en el contexto de la medida de
longitudes
El estudio de la medida de longitudes puede ser una buena oportunidad para
introducir el uso de la coma decimal, como convenio de expresión de la medida de un
objeto realizada, por ejemplo, con varias unidades como decímetros, centímetros y
milímetros (medida compleja).
En el transcurso de una situación de medida de bandas de longitudes dadas,
usando, bien la regla graduada, o bandas de 1dm y 1cm, los alumnos pueden obtener
resultados como: 2dm y 5cm.
¿Cómo podemos expresar este resultado usando como única unidad el dm?
Después de animar a los niños a proponer sus propias soluciones se puede introducir
el convenio del uso de la coma: 2 dm 5 cm = 2' 5 dm
244
Números y expresiones decimales
Como ejercicio complementario podemos pedir que los niños expresen con
decimales medidas tales como:
25 cm 6 mm: unidad elegida: el cm →
unidad elegida: el dm →
unidad elegida: el m →
La misma actividad con: 14 m 4 cm.
Los niños estarán contentos de haber aprendido a escribir los "números con coma".
Muchos recuerdan los precios que han visto en los almacenes y piden otros ejercicios.
Es evidente que los niños no dominan todavía el empleo de la coma. Es necesario un
gran número de actividades en campos diferentes (precios, pesos, capacidades, etc) para
lograr ese dominio5.
3.2. Modelos gráficos y concretos para representar fracciones decimales6
La figura 1 muestra un dispositivo que permite representar, mediante un modelo
de áreas, décimas y centésimas. Cada disco está dividido en diez partes iguales
mediante diámetros; cada una de las partes corresponde a una décima. A su vez cada
sector circular de una décima está dividido mediante 10 marcas igualmente espaciadas
en los bordes, quedando representadas las centésimas. Cada disco se corta a lo largo de
un radio; esto permite encajar dos de tales discos, como se muestra en la figura, con lo
cual se puede mostrar cualquier cantidad de centésimas. En el ejemplo, la región
sombreada, intersección de dos discos, representa 25 centésimas (25/100 = 0’25)
Figura 1: Discos de décimas y centésimas
La representación más común de las fracciones decimales, y por tanto, para las
décimas y centésimas, es una cuadrícula de 10 x 10, como se muestra en la figura 2 a).
Los cuadrados se pueden reproducir en cartulina o papel para que los alumnos puedan
rayar la fracción deseada. El decimal 2’13 quedará representado con dos cuadrados
completos (2 unidades enteras) y sombreando 13 cuadrados pequeños. Una variante de
este material es el representado en la Fig. 2 b), en la cual la unidad será representada por
el cuadrado de 10 x 10, la décima por la banda de 10 cuadraditos y la centésima por
cada cuadradito. En la figura se representa, por tanto, el decimal 1’36.
245
5 Nadine Brousseau (1992).
6 Van de Walle (2001).
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
a) b)
Figura 2: Cuadrículas de 10 x 10
Los bloques multibase, de base 10, con bloques, placas, varillas y cubos
pequeños permiten representar hasta las milésimas, si consideramos que el bloque
mayor es la unidad.
Modelos lineales
Una buena representación material de las fracciones decimales es el metro de
varillas plegables, con divisiones en los decímetros, centímetros y milímetros.
3.3. Conexión entre fracciones y decimales7
Para comprender la relación entre los dos sistemas de representación, fraccional
y decimal, los alumnos deberán realizar actividades de traducción entre ambos.
En la figura 3 se muestra la fracción decimal 35/100 mediante el modelo lineal y
de áreas, en el formato circular y cuadrangular. Las tres bandas que representan las
décimas y los cinco cuadraditos se han dispuesto en una tabla con columnas
diferenciadas para las unidades, décimas y centésimas (casillero o franja de valor de
posición).
Esta actividad comienza con una fracción decimal y se traduce a expresión
decimal; también se debe proceder de manera inversa: Comenzar con una expresión
decimal y traducirla a expresión fraccional, usando tanto el lenguaje escrito, oral y
distintos modelos gráficos.
Fig. 3: Traducción entre expresiones fraccionales y decimales
246
7 Van de Walle (2001).
Números y expresiones decimales
3.3. Ordenación de decimales
La ordenación de decimales resulta difícil para los alumnos de primaria debido a
las diferencias importantes entre el orden de los números racionales y los naturales. Por
ejemplo, si pedimos que identifiquen el número mayor entre los siguientes: 0'36, 0'058,
0'375 y 0'4 , a alumnos de 12-13 años podemos encontrar que alrededor de la mitad de
los alumnos dan respuestas erróneas. El error más frecuente suele ser elegir el número
con mayor número de dígitos, siguiendo el criterio que se aplica con los números
naturales.
Los siguientes tipos de situaciones pueden facilitar la discusión en clase sobre el
tamaño relativo de los números decimales8.
Situación 1:
Presentar dos números decimales. Pedir a los alumnos que digan cuál es el mayor y que
expliquen su elección con ayuda de modelos gráficos o concretos (metro, tablero de 10 x 1)
Situación 2:
Escribir un número con cuatro dígitos decimales, por ejemplo, 3'0917.
– ¿Qué número está más próximo, el 3 o el 4?
– ¿Qué número está más próximo el 3'0 o 3'1?
Repetir las preguntas con las centésimas y las milésimas.
En cada respuesta, pedir que los alumnos justifiquen sus respuestas, ayudándose si lo creen
necesario con modelos gráficos o concretos.
Un modelo de recta numérica grande sin numerar, pegada en la pizarra, puede ayudar en la
validación de las respuestas.
Situación 3:
Preparar una lista de cuatro o cinco números decimales que los alumnos tengan dificultades
en ordenar, de manera que estén entre dos números naturales consecutivos. Pedir que los
ordenen de menor a mayor. A continuación pedir que los representen sobre la recta numérica
con cien subdivisiones, como la mostrada en la figura anterior.
Como variante, pedir que sombreen cada decimal en una cuadrícula 10×10 usando estimaciones
para las milésimas y diezmilésimas.
3.4. Operaciones aritméticas con decimales
El papel de la estimación
Se considera importante que los alumnos aprendan a realizar estimaciones del
resultado de los cálculos con decimales antes de realizarlos aplicando las técnicas de
papel y lápiz. Para muchos cálculos con decimales se puede encontrar estimaciones
razonables simplemente redondeando los números hasta los enteros más próximos o a
fracciones decimales sencillas. En casi todos los casos, un objetivo plausible puede ser
8 Van de Walle (2001).
247
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
que los alumnos consigan encontrar de manera exacta la parte entera del resultado. Por
supuesto que se deben proponer tareas de estimación con números relativamente
sencillos.
Adición y sustracción de decimales
Se debe procurar seleccionar situaciones-problemas en las que tenga interés y
sentido práctico la realización de las operaciones con cifras decimales. Por ejemplo,
Problema 1: Tenemos que colocar un rodapié en una habitación rectangular. Las
dimensiones de la habitación son 3'90 m de largo y 2'65 m de ancho. ¿Cuántos metros
de rodapié debemos comprar?
Problema 2: Dos amigos A y B cronometran el tiempo que tardan en correr un
kilómetro. A dice que tarda 74'5 segundos. B es más preciso, y dice que tarda 81'34
segundos. ¿Cuántos segundos tarda B más que A?
Problema 3: Un carpintero debe hacer un soporte para un canalón de un tejado que tiene
2'9 m de largo. Dispone de cinco planchas de madera y debe elegir las que le convienen
porque no quiere subirlas todas al tejado. Las planchas miden, respectivamente,
1 m 1'57 m 1'1 m 1'33 m 0'3 m
¿Qué planchas debería subir al tejado?
Se pedirá a los alumnos hacer previamente estimaciones de los resultados y
después que apliquen sus propias técnicas de cálculos con papel y lápiz. Los alumnos
decidirán qué método es mejor y por qué, llegando a la conclusión de que el método
mejor es el que permita dar el resultado correcto lo más pronto posible. En general, el
mejor método será operar como si fueran enteros, pero teniendo en cuenta la colocación
de las unidades cuyo lugar se señala con la coma.
Multiplicación y división de decimales
Cualquiera de las situaciones de adición puede modificarse para que conduzca a
una situación que da sentido a la multiplicación de un decimal por un entero. Por
ejemplo9, en el caso de las planchas de madera se puede suponer que el carpintero tiene
tres tipos de planchas: 5 planchas de 0'58 m; 3 planchas de 1'44; 1 plancha de 0'95 m.
Debe conseguir las sumas: 3'85; 2'32; 5'27; 6'37. El cálculo del área de rectángulos
cuyos lados tienen medidas decimales es un tipo de situación que permiten atribuir
significado al producto de dos decimales.
Las situaciones que permiten dar significado a la multiplicación se pueden
utilizar también para atribuir significado a la división. Dividir se puede presentar
siempre como encontrar el término desconocido de una multiplicación. Por ejemplo,
dividir 6'4 entre 0'4 consiste en encontrar un número d (que en este caso es 16) tal que
6'4 = 0'4 x d.
En el contexto de cálculo de áreas de rectángulos, si fijamos un área y
conocemos uno de los lados, la determinación del otro lado conduce a la división.
9 Centeno (1988, p. 197).
248
Números y expresiones decimales
En otras situaciones la división aparecerá como el resultado de una aplicación
recíproca entre magnitudes. Por ejemplo10, si 1 kg de naranjas produce 2/3 de litros de
zumo, ¿cuántas naranjas producirán 6 litros de zumo?.
El aprendizaje de los algoritmos de papel y lápiz de la multiplicación y división
de números decimales, dada la disponibilidad de calculadora, puede ser una pérdida de
tiempo. Usando la calculadora los alumnos pueden descubrir para la multiplicación y
división de números decimales la siguiente regla heurística:
"Ignorar las comas decimales, y hacer el cálculo como si los números fueran
enteros. Finalmente, colocar la coma decimal usando la estimación previa del
resultado".
Remitimos al lector al capítulo 11 del libro de Centeno (1988) en el que se
describe una amplia y cuidada selección de situaciones y recursos para la enseñanza de
los decimales en primaria y primer ciclo de secundaria.
10 Centeno, 1988, p. 205.
249
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
3.5. Recursos en Internet
Multiplicación por números mayores y menores que la unidad

http://standards.nctm.org/document/eexamples/chap6/6.1/index.htm#applet

Descripción
Se calcula la multiplicación del número 3 por un número decimal mayor o menor que la unidad.
Los resultados se interpretan como el área de un rectángulo de base 3 y altura el multiplicador
(y). Los valores de y se introducen de manera analógica desplazando verticalmente el punto
correspondiente. El área del rectángulo de base 3 y altura unitaria se compara con el área de los
sucesivos rectángulos de altura y.
Ejercicio 2:
1. ¿Cuáles son los conocimientos matemáticos que se suponen conocidos para usar este
programa? ¿Qué conocimientos sobre el programa se deben aprender para usarlo como
recurso didáctico?
2. ¿Cuáles son los nuevos conocimientos matemáticos pretendidos? ¿Cuál es su
naturaleza? (adquisición de una destreza, reconocimiento de una propiedad y su
justificación, etc.)
3. Describir un recurso didáctico alternativo para el estudio de los conocimientos
pretendidos (p.e., uso de la calculadora, papel y lápiz, etc.). Indicar las ventajas
relativas de cada recurso.
4. Diseñar una unidad didáctica para el estudio del contenido pretendido, apoyada en el
uso de este recurso, indicando:
– las consignas que se darán a los alumnos,
– las explicaciones complementarias que se consideren necesarias sobre el uso del
recurso y recuerdo de conocimientos previos,
– uso de recursos complementarios,
– posibles explicaciones finales para sistematizar los conocimientos pretendidos.
250
Números y expresiones decimales
4. TALLER DE DIDÁCTICA
4.1. Respuestas de estudiantes a una prueba de evaluación
Las siguientes ocho cuestiones corresponden a una prueba realizada por una
maestra para evaluar el conocimiento de sus alumnos acerca de los decimales. Resuelve
las cuestiones de la prueba y responde a las diversas preguntas que se plantean sobre las
respuestas de los alumnos.
Cuestión 1: Dar el número entero que sigue inmediatamente después del 54. Dar el número
entero que sigue inmediatamente a 23'5. Dar el número decimal que sigue inmediatamente a
a32'13.
Respuestas: Nicolás ha respondido: 55 24 32'14; Ruz ha respondido: 55 24 32'131;
Florencio ha respondido: 53 23 32'12
1. Analiza los eventuales errores de estos niños.
Cuestión 2: Ordenar los números siguientes de menor a mayor:
23'4 23'37 23'127 17'15671 23'036 2'3401
Respuestas: En la tabla adjunta se dan las ordenadas hechas por seis niños. Analizar la lógica
interna de estas ordenaciones:
María 23'4 23'37 23'036 23'127 2'3401 17'15671
Cristóbal 23'4 23'37 23'127 23'036 17'15671 2'3401
Manuel 2'3401 17'15671 23'036 23'127 23'37 23'4
Sebastián 2'3401 1715671 23'4 23'37 23'036 23'127
Julia 2'3401 17'15671 23'4 23'036 23'37 23'127
Tomás 2'3401 17'15671 23'036 23'4 23'37 23'127
2 ¿Qué finalidad puede tener el tratar de buscar "la lógica interna" de estas
ordenaciones? ¿Qué puede hacer la maestra si no la encuentra?
Cuestión 3: Señalar la expresión que piensas que es falsa:
Entre 12'7 y 12'9: no hay ningún decimal -hay un decimal -hay varios decimales.
Entre 14'6 y 14'7: no hay ningún decimal -hay un decimal – hay varios decimales.
Respuestas: Joaquín piensa que hay un decimal entre 12'7 y 12'9, y ninguno entre 14'6 y 14'7.
Pero Benito no está de acuerdo.
3. Trata de precisar la causa del error del niño que está equivocado.
Cuestión 4: Efectúa las siguientes operaciones: 3'7 + 5'8; 3'7 x 5'8
Respuesta: Alicia encuentra como solucion 8'15 y 15'56 para estas operaciones.
4. ¿Se puede relacionar su error con alguno otro de los encontrados anteriormente?
Cuestión 5: Efectúa la siguiente operación: 13'56 x 10
Respuesta: Vicente encuentra 13'560; Jerónimo encuentra 13'56.
5. ¿De dónde puede provenir sus errores?
251
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
Cuestión 6: ¿Es 23 un número decimal?
Respuesta: Cecilia es la única que piensa que sí.
6. ¿Qué harías en tu clase?
Cuestión 7: ¿Son decimales los números 1'234578 y 17'35353535… (35 repetido
indefinidamente)
Respuestas: A David le gustaría encontrar la fracción que es igual a 17'353535… Dígale cuál
es. José pienss que un número cuya escritura comporta una infinidad de cifras detrás de la
coma no es un número decimal.
7 ¿Qué piensa de ésto? Muéstrale un ejemplo simple.¿Es el número 5'7899999 ….. (una
infinidad de 9) un decimal? Justifícalo.
Cuestión 8: ¿Son decimales las fracciones: 1/4, 3/20, 7/8, 13/6, 243/6?
8 ¿Cómo se conoce que una fracción irreducible es decimal (sin hacer la división)? ¿En
qué clase piensa que se ha propuesto este test? ¿Con qué finalidad? ¿Cómo debe
explotar los resultados de este test la maestra?
4.2. Análisis de una experiencia de enseñanza
La observación sistemática y el análisis didáctico de experiencias de enseñanza es
una actividad importante en la preparación de futuros maestros. A continuación
incluímos la transcripción de una sesión de matemáticas en una escuela de primaria
sobre la enseñanza de la suma de decimales11. Lee el texo y responde a las preguntas
siguientes:
1. En la transcripcion se indica la hora y el tiempo que transcurre. ¿Puedes identificar
de algún modo los diferentes momentos de la clase?
2. ¿Es importante la organización de la clase en grupos de dos alumnos?
3. El maestro emplea la palabra “situación” y no la palabra “problema” o “ejercicio”.
¿Hay alguna razón para ello?
4. Anuncia que no va a escribir el texto en la pizarra sino solamente “los números que
serán útiles”. Pero de hecho también escribe las palabras “banco”, “planchas”
…¿Hay una diferencia de sentido entre “dos coma nueve metros” y “dos metros
nueve”?
5. ¿Cuál es el papel que juegan las cuestiones planteadas por los alumnos después de la
lectura del enunciado? ¿Son todas de la misma importancia?
6. La observación de un alumno anunciando que había encontrado el resultado, ¿es
ignorada por el maestro? ¿Y por los otros alumnos?
7. ¿Cómo pueden saber los alumnos si sus hipótesis de trabajo son adecuadas?
8. ¿Cuál es la tarea de los alumnos?¿Encontrar las planchas que el carpintero debe
emplear? ¿Explicar el método utilizado? ¿Qué es un “método” para un alumno?
11 Este ejemplo de análisis didáctico de una experiencia de enseñanza ha sido seleccionado del
excelente libro de Briand y Chevallier (1995).
252
Números y expresiones decimales
9. ¿Cómo comprender la frase de Julien “No, no vale treinta y seis, es demasiado
grande …”?
10. ¿Qué habría escrito Élise después de 1,33 +0, si hubiera terminado su cálculo?
¿Cómo explicar su observación “Esto es falso”?
11. ¿Se pueden explicar los errores cometidos por Julien y Élise?
12. ¿Por qué ha elegido Cédric los dos números más grandes?
13. ¿Qué significa la observación de Cédric “hay que poner las comas en frente”?
14. ¿Qué pensar de la pregunta “Si la coma representa el metro, ¿qué representa las
otras cifras?” ¿y de las explicaciones que siguen?
15. ¿Han comprendido los alumnos (en particular Julien y Élise) el método utilizado por
Cédric?
16. ¿Cómo interviene aquí el hermano de Cédric?
17. ¿Es válida la hipótesis del maestro (que los alumnos van a utilizar sus
conocimientos sobre las fracciones decimales)?
18. ¿Qué se puede pensar del contexto (y modo de presentación) del problema?
19. ¿Por qué se da el enunciado oralmente?
Transcripción de una sesión de matemáticas
La transcripción describe una sesión de 20 minutos en una clase de primaria así
como las interacciones entre dos alumnos (Julien y Élise) durante dicha sesión.
9 h 30
Preparación de los alumnos
EL MAESTRO: Vais a trabajar en parejas. Voy a presentar una pequeña situación sobre la cual
vais a trabajar, la debeis encontrar sobre la hoja. Os presento el texto, no lo voy a escribir en
la pizarra. Escribo sólo los nombres que os van a ser útiles.
Un aficionado al bricolage quiere fabricar un banco con planchas de madera de dos coma
nueve metros de largo.
Escribe en la pizarra: un banco de 2,9 m de largo.
Un banco de dos coma nueve metros de largo. ¿Sabe todo el mundo cómo se construye un
banco?
LOS ALUMNOS: ¡No!
EL MAESTRO: Se cogen planchas y se ponen extremo con extremo. Para construir este banco,
dispone de cinco tablas en un cobertizo pero no quiere ir a buscar y acarrear las tablas que no
utilizará. Va a elegir las que convienen mejor para construir el banco. Os voy a dar las
longitudes de las cinco planchas.
Escribe: 5 planchas: 1m; 1,57 m; 1,1 m; 1,33 m; 0,3 m.
Vuestro trabajo será ayudar a este señor a encontrar las planchas que, puestas una a
continuación de la otra dan la longitud de dos coma nueve metros.
Escribe en la pizarra: 2,9 m.
UN ALUMNO: Pero, ¿se pueden tomar varias?
EL MAESTRO: ¿Piensas que se puede tomar sólo una? No, seguro, se pueden tomar varias. Por
tanto, tenéis que encontrar cuáles son esas planchas y cuántas son necesarias.
OTRO ALUMNO: Pero, ¿hay varias de cada clase o una sola?
EL MAESTRO: Hay una sola plancha de cada longitud. Sólo hay cinco planchas.
253
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
El maestro señala las medidas escritas en la pizarra.
OTRO ALUMNO: ¿Se pueden cortar?
EL MAESTRO: No, no se pueden cortar. Utiliza las planchas tal y como están.
9 h 37
EL MISMO ALUMNO: ¡He encontrado el resultado!
EL MAESTRO: Bien, pero… Tenéis que trabajar por grupos, es necesario que cada grupo sea
capaz de explicar cómo lo ha hecho. Ese es sobre todo vuestro trabajo. De acuerdo tú puedes
… si ya lo has encontrado, tanto mejor, pero debes ser capaz de explicarlo solo, mejor en
grupo, uno de cada grupo debe ser capaz de explicar el método que ha utilizado para
encontrarlo, trabajad en parejas.
9 h 38
El maestro supone que los niños van a utilizar espontáneamente sus conocimientos sobre las
fracciones decimales:
100
7
10
1,57 = 1+ 5 +
100
3
10
1,33 = 1+ 3 +
por tanto, ,57 1,33 (1 ) (1 ) 100
3
10
3
10
7
10
1 + = + 5 + + + +
1,57 1,33 (1 1) ( ) ( ) 100
3
100
7
10
3
10
+ = + + 5 + + +
100
10
10
1,57 +1,33 = 2 + 8 +
10
1,57 +1,33 = 2 + 9
1,57+1,33 =2,9
Entre
ellos
ÉLISE: Vamos a probar un metro … no, esto no va bien … probemos con un metro y
cero tres …
Julian escribe en su cuaderno: 1 m + 0,3 = 1,3
ÉLISE: No, esto no vale porque si tienes un metro más … esto suma un metro tres …
Élise escribe: 1,3 + 1,1 = 2,4
JULIAN: Luego dos metro cuatro …
ÉLISE: Para conseguir dos metros nueve … espera … si se toma un metro treita y tres
mas un metro … no, dos metros treinta y tres … esto va bien.
9 h 43
EL MAESTRO: Hay varios métodos. Podeis encontrar varios métodos y ver si dan el mismo
resultado por ejemplo.
9 h 44
Entre
ellos
ÉLISE: Vamos a probar con un metro treinta y tres, no quiero decir uno coma treinta y
tres, uno coma treinta y tres metros, eso vale ..
JULIAN: Menos …
ÉLISE: ¡No se puede cortar!
JULIEN:¡Ah, si!
254
Números y expresiones decimales
ÉLISE: Más … ¿Qué es lo que podría ayudar?
JULIEN: Cero tres.
ÉLISE: Vamos a probar, porque después …
Escribe: 1,33 + 0,
JULIEN: Esto va a sumar treinta y tres, ¡eh!. Treinta y seis. No, no es treinta y seis, es
demasiado grande porque … ¡Ah no, un metro treinta y seis!
ÉLISE: Si esto suma un metro treinta y seis, es demasidado … (tacha)
JULIEN: Es necesario llegar a dos metros nuevo …
ÉLISE: ¡Ah! Esto … Espera, espera un metro cincuenta y siete, un metro
JULIEN: Un metro cincuenta y siete más …
ÉLISE: Cero tres, esto hace un metro sesenta … ¡no!
Escribe: 1,57 +0,3 = 1,60
JULIEN: ¿Cuánto has encontrado?
ÉLISE: No, esto es falso, no, no, no, esto es falso, es falso, no se puede … un metro
cincuenta y siete más cero tres esto hace un metro sesenta …
JULIEN: Un metro cincuenta y siete más cero tres .. si tu haces ..
ÉLISE: No, no … uno coma cincuenta y siete más cero coma tres igual a uno coma
sesenta ….
9 h 45
EL MAESTRO: Vamos, ¿quien es capaz? ¡Dejad los bolígrafos!
JULIEN: ¡No hemos encontrado nada!
EL MAESTRO Ya se ha acabado la búsqueda y se van a escuchar las soluciones propuestas.
¿Qué tal? ¿Richard? ¿Se ha encontrado? ¿Paul-Éric? ¿Quién ha encontrado algo y quiere
venir a explicarlo? Bien, ¿qué grupo comienza?¿Cedric? Vamos, ven a la pizarra, nos vas a
explicar lo que has hecho, valiente, para todo el mundo.
Da una tiza a Cédric.
CÉDRIC: Bueno, yo no lo he encontrado al principio y enseguido, me he dicho que tomando los
dos números más grandes, podría encontrar un resultado. Un metro cincuenta y siete y un
metro treinta y tres, esto da dos metros noventa.
EL MAESTRO: ¿Cómo lo haces, un metro cincuenta y siete y un metro treinta y tres? ¿Es
decir?
CÉDRIC: He hecho una suma.
EL MAESTRO: ¡Ah!, muestranos cómo has hecho la suma.
Cédric escribe sin comentario:
255
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
1,57
+1,33
____
2,90
EL MAESTRO: ¡Espera!
CÉDRIC: ¡Puedo quitar este cero y esto es dos metros nueve!
Tapa con la mano el 0:
ÉLISE: ¡Ah, sí! ¡Está bien!
EL MAESTRO: Bueno, ¿puedes explicar a los demás porqué has hecho una operación como
esa? ¿Por qué has sumado este 7 con este 3? ¿este 5 con este 3? ¿este 1 con este 1?
Muestra las cifras en la pizarra.
CÉDRIC: Aquí, había una coma. Hay que poner las comas enfrente.
Muestra 1,57 en la operación planteada.
EL MAESTRO: ¡Ah! ¡Hay que poner! ¿Quién te ha dicho que hay que poner –¡chitón¡ – ¿es que
se ha dicho eso en clase? ¡No! Chitón …
CÉDRIC: La coma representa el metro.
Entre
ellos
ÉLISE: ¡Sí, eso es!
JULIEN: ¿Quién lo ha dicho?
ÉLISE: ¡Sí!
EL MAESTRO: ¡Ah! Tú piensas que la coma, aquí, representa el metro por tanto, ¿qué es lo
que has dicho a continuaicón? Si la coma representa el metro, ¿qué representan las otras
cifras?
Entre
ellos
JULIEN: ¡Los decímetros!
ÉLISE: Los centrímeros!
JULIEN: ¡De-cí-metros¡
ÉLISE: ¡De acuerdo!
CÉDRIC: Cinco los decímetros.
EL MAESTRO: Si, y …
CÉDRIC: Siete centímetros.
EL MAESTRO: Si y debajo …
CÉDRIC: Un metro, tres decímetros, ¡uh¡, tres decámetros, deci …
EL MAESTRO: ¡Decímetros¡
CÉDRIC: Y tres centímetros.
EL MAESTRO. Y despues, ¿tú has sumado? ¿Qué has hecho después?
CÉDRIC: ¡He sumado¡
EL MAESTRO: Los …
CÉDRIC: Un metro cincuenta y siete y un metro treinta y tres, esto me ha dado dos metros
noventa.
256
Números y expresiones decimales
EL MAESTRO: Bueno, ¿ha entendido todo el mundo el método usado por Cédric?
ÉLISE y JULIEN: ¡Sí, sí!
LOS ALUMNOS: Sí …
EL MAESTRO: Paul-Éric nos dice que esto es lo más fácil. No forzosamente. Dime, Cédric,
quién te lo ha enseñado. ¿Lo sabías de antes o por el contrario lo has encontrado enseguida?
CÉDRIC: Ha sido mi hermano quien me lo había enseñado.
EL MAESTRO: ¿Quiénes son los que ya saben hacer esto?
Se levantan una docena de dedos.
¿Quién no lo sabe? ¿Quién no ha hecho esto nunca con las comas? Nunca se ha hecho una suma
con comas en clase? … ¿Quién no lo ha hecho nunca antes?
Algunos dedos no se levantan, los niños se miran.
9h 50 (fin de la observación)
BIBLIOGRAFÍA
Briand, J. y Chevalier, M-C. (1995). Les enjeux didactiques dans l’enseignement des
mathématiques. Paris: Hatier.
Brousseau, N. et al. (1992). La mesure en cours moyen, ère année; compte rendu
d'activites. Irem de Bordeaux. [La medida en el ciclo medio, 1er año; informe de
actividades. Traducción de J. Díaz Godino]
Brousseau, G., Duval, A. y Vinrich, G. (1995). Thèmes mathématiques pour la
préparation du concours CRPE. Talence: IREM d' Aquitaine.
Castro, E. (2001). Números decimales. En, E. Castro (Ed.), Didáctica de la Matemática
en la Educación Primaria (p.315-343). Madrid: Síntesis.
Centeno, J. (1988). Números decimales. ¿Por qué? ¿Para qué?. Madrid: Síntesis.
Ferrero, L. y cols (1999). Matemáticas (5º y 6ª Primaria). Madrid: Anaya.
Maurin, C. y Johsua, A. (1993). Les outils numériques à l’école primaire et au collègue,
Vol 1. Paris: Editions Marketing (Ellipses).
Socas, M. (2001). Problemas didácticos entre el objeto matemático y su representación
semiótica. Estudio con números decimales. En Formación del Profesorado e
Investigación en Educación Matemática III (pp. 297-318). Universidad de la
Laguna.
Van de Walle, J. A. (2001). Elementary and middle school mathematics. Teaching
developmentally. New York: Longman.
257
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
258
Proyecto Edumat-Maestros
Director: Juan D. Godino

http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/

II.
DIDÁCTICA DE LOS SISTEMAS
NUMÉRICOS PARA MAESTROS
Capítulo 6:
NÚMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
260
Números positivos y negativos
1. ORIENTACIONES CURRICULARES
El Diseño Curricular Base del MEC para el área de Matemáticas en Primaria hace
referencia a los números con signo en el bloque temático sobre Números y operaciones,
aunque sólo en el apartado de Hechos, conceptos y principios. Concretamente, los
números enteros figuran como una clase de números, junto con los naturales y
racionales (que designa como fraccionarios y decimales). También se mencionan
explícitamente los números positivos y negativos dentro del punto dedicado a sistemas
de numeración.
Hechos, conceptos y principios
1. Números naturales, enteros, fraccionarios y decimales.
(…)
2. Sistemas de numeración: decimal, romano, monetario, para medir ángulos,
para medir el tiempo.
(…)
• Números positivos y negativos. Números cardinales y ordinales.
En el Real Decreto por el que se establece el currículo de Educación Primaria del
MEC se suprime la referencia a los números enteros, pero se continúa haciendo
mención de los números positivos y negativos en el bloque de Números y operaciones.
Por otro lado, los Principios y Estándares 2000 del NCTM incluyen en el bloque de
Números y operaciones, para los grados 3 a 5 el siguiente objetivo (expectativa):
"explorar números menores que 0 extendiendo la recta numérica mediante aplicaciones
familiares".
Para los grados 6 a 8 se amplia con la siguiente mención: "desarrollar el significado
de los enteros y representar y comparar cantidades con ellos". Los enteros quedan
incorporados en estos niveles como una nueva clase de números que deben dominarse
progresivamente, tanto en la comprensión del significado de las operaciones como el
cálculo con ellos.
Aparte de estas referencias curriculares que, en cierta medida, son una justificación
para incluir su estudio en el programa de formación de maestros, podemos aducir la
importancia social y cultural de los contextos de usos de los números positivos y
negativos, pues se utilizan cada vez con más frecuencia en situaciones cotidianas, lo que
fuerza a los niños a familiarizarse con algunos de sus aspectos.
Ejercicio
1.Analizar las diferencias y semejanzas en las orientaciones curriculares siguientes respecto del
estudio de los números naturales y la numeración,
– Diseño Curricular Base del MEC
– Las orientaciones curriculares de tu Comunidad Autónoma
– Principios y Estándares 2000 del NCTM.
2. DESARROLLO COGNITIVO. CONFLICTOS EN EL APRENDIZAJE
2.1 Dificultades para “dar sentido” a los números positivos y negativos y sus
operaciones
261
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
Las dificultades de los alumnos para comprender y manipular correctamente los
números positivos y negativos son, en cierta medida, un reflejo de las que
históricamente tuvo la comunidad matemática para aceptarlos como números. Asumir
los números con signo exige romper la visión tradicional de los números como nociones
que expresan el resultado de la medida de una cantidad de magnitud absoluta. En ese
contexto, el cero indica la ausencia de cantidad de magnitud, por lo que no puede haber
números menores que cero; la suma se asocia con acciones de añadir o reunir, por lo
que el resultado tiene que ser mayor o, a lo sumo, igual que los sumandos; la resta se
asocia con acciones de separar o quitar, por lo que el resultado tiene que ser menor o, a
lo sumo, igual que el minuendo; si en una resta el minuendo es menor que el sustraendo,
la operación es imposible porque no se puede quitar más de lo que se tiene; si dos
fracciones tienen el mismo denominador, es menor la que tiene menor numerador
porque éste indica las partes alícuotas de la unidad que se toman, etc. Todas estas
afirmaciones son consustanciales al concepto de número y tienen una influencia
decisiva en su construcción.
Sin embargo, aceptar la existencia de los números con signo supone asumir que los
números y sus operaciones ya no tienen, en general, las propiedades antedichas. Hay
que entender que los números no siempre expresan medidas de cantidades de
magnitudes absolutas, que existen números menores que cero (-3<0), que cero no
siempre indica ausencia de cantidad de magnitud, que sumar no siempre significa
aumentar ((+3)+(-2)=+1), que restar no siempre significa disminuir ((+3)-(-2)=+5), que
a un número se le puede restar otro número mayor (6-8=-2), que en fracciones del
mismo denominador no siempre es menor la que tiene menor numerador (5/-2-3 porque “una deuda de 7 euros es mayor
que una de 3 euros” o porque “a 7 grados bajo cero hace más frío que a 3 grados bajo
cero” o porque “si recorremos la recta numérica desde el cero, primero nos encontramos
el punto –3 y después el punto –7”; o deciden que (+7)-(-2) = +7 porque “si tengo 7
euros y me perdonan una deuda de 2 euros, sigo teniendo 7 euros”; o consideran que
(-6)-(-2) = 4 porque “la diferencia entre 6 grados bajo cero y 2 grados bajo cero es de 4
grados”; o no pueden entender que (-3)(-4) sea igual a +12 porque “si se multiplica una
1 En realidad, este proceso se inicia con la introducción de los números racionales, pues multiplicar por
un número menor que la unidad supone disminuir el multiplicando, y dividir por él, aumentar el
dividendo, lo cual es impensable en el ámbito de los números naturales. De ahí, los errores habituales de
los niños cuando, por ejemplo, dicen que 0,3·0,2 es 0,6 (en vez de decir 0,06) o que 6:0,2 es 3 ó 0,3 (en
vez de 30).
262
Números positivos y negativos
deuda por otra deuda, no puede dar un haber”; o, ante la pregunta de si pueden encontrar
un número que sumado a 8 dé 3, responden que eso no es posible porque “si tengo 8
objetos y añado algunos más, no me pueden quedar 3”; etc.
2.2 Dificultades de manipulación de los signos + y – en las expresiones algebraicas
Otro orden de dificultades aparece en la manipulación de los signos + y – en las
expresiones algebraicas, tanto numéricas como literales. Ya no son dificultades ligadas
al “sentido” o la “significación” de los números con signo, sino a las reglas formales de
escritura y cálculo. Y también aquí se observa una relación directa entre las prácticas
habituales de enseñanza y los errores de los alumnos. Una de ellas es la interpretación
que hacen muchos libros de texto de los signos + y – como signos operativos binarios, lo
que fuerza a seguir interpretando las expresiones algebraicas numéricas en términos de
sumas y restas entre números sin signo, con lo que todas las ventajas que supone el
cálculo con números con signo se pierden.
Por ejemplo, si en la expresión 7+5-8-3-4+2 consideramos los signos como signos
operativos binarios, nos encontramos con una sucesión de sumas y restas que afectan a
números naturales. En estas condiciones, los alumnos tienden a operar de izquierda a
derecha, a medida que leen, lo que en este caso daría lugar a un cálculo correcto, o a
asociar los números de dos en dos, dando por supuesto que la propiedad asociativa se
cumple también para la resta. En este segundo caso se producen errores del tipo 7+5-8-
3-4+2 = (7+5)-(8-3)-(4+2) = 12-5-6 = 1.
Si en vez de esto, interpretamos que los signos de la expresión 7+5-8-3-4+2 son
predicativos, estaremos ante una suma entre números con signo lo que nos permite
asociarlos y conmutarlos como nos parezca oportuno. El intento de la escuela de reducir
los cálculos con números enteros a cálculos con números naturales desvirtúa las
condiciones de necesidad que están en la génesis de estos números. Precisamente, lo
cómodo, lo que permite un cálculo ágil, es transformar las sumas y restas de naturales
en sumas de enteros y no al revés.
Para evitar que los alumnos asocien de manera inconveniente los términos de una
expresión algebraica numérica en la que solo intervienen sumas o restas, sin renunciar a
convertir las sumas de números con signo en sumas y restas de números sin signo,
muchos profesores imponen la norma de que se deben sumar, por un lado, todos los
números precedidos del signo + y, por otro, todos los precedidos del signo -, para
terminar efectuando la operación pertinente entre los dos términos resultantes. Esta
regla garantiza la corrección del resultado, pero estereotipa enormemente los cálculos y
no permite simplificaciones. Por ejemplo, en la expresión 177+53-84-53+4+80-2 sumar
negativos con negativos y positivos con positivos supone hacer varias operaciones
innecesarias.
También conduce a errores la tendencia de los alumnos a interpretar como signo
predicativo lo que, en ocasiones, debe entenderse como signo operativo unario. De ahí
que, ante una expresión como -x, digan que representa un número negativo, en vez de
decir que representa el opuesto de x (y que -x será negativo si x es positivo y positivo si
x es negativo).
Por último, queda por reseñar un fenómeno que afecta también a las reglas
formales de cálculo. La regla de los signos para la multiplicación y división es de fácil
recuerdo mientras que las reglas formales de suma y resta de números con signo tienen
un enunciado más complejo. Esto da lugar a que algunos niños terminen aplicando la
regla de los signos al caso de sumas y restas y decidan, por ejemplo, que (+7)-(-2) = -5
porque “siete menos dos es cinco y más por menos es menos”.
263
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
3. SITUACIONES Y RECURSOS
A la hora de plantearnos la introducción de los números positivos y negativos,
tenemos que tener en cuenta que donde verdaderamente se estudian es en la Educación
Secundaria, mientras que en la Educación Primaria apenas hay alguna referencia a estos
números. En esta etapa, se trata sobre todo de desarrollar aquellas actividades
aritméticas con números naturales o fraccionarios que posteriormente puedan facilitar la
introducción de los números con signo. Comentaremos también alguna actividad
introductoria de la suma de dichos números.
3.1. Situaciones con números naturales que anticipan los números enteros
Son situaciones aditivas que se resuelven perfectamente en el ámbito de los
números naturales pero que, al intervenir en ellas transformaciones, movimientos o
comparaciones, exigen el añadido de ciertas especificaciones (de aumento o
disminución en las transformaciones, de más o de menos en las comparaciones o de
derecha o izquierda en los movimientos) cuyo tratamiento anticipa la estructura aditiva
de los números enteros.
Situación 1: Adivina el número2
Un alumno anota en secreto un número inferior o igual al número total de alumnos
de la clase. A continuación, cada uno de los demás compañeros, propone un número con
la intención de adivinarlo. Una vez descubierto el número, cada alumno indicará si
acertó o no, y en caso negativo si se pasó o no llegó y en cuanto.
Situación 2: Alturas3
1. Anotar las estaturas de todos los compañeros. Tomar la altura del más alto como el
origen y situar todas las otras ordenadamente en una recta graduada.
2. En el lugar correspondiente a la estatura de cada compañero escribir la diferencia de
estatura respecto al más alto
3. Repetir lo mismo tomando como origen:
a) La estatura del más bajo.
b) La del que se encuentra en la mitad
c) La de cualquier compañero que no se encuentre en ninguno de los tres casos
anteriores.
Situación 3: Juego de dados4
Por parejas se utilizan dos dados de colores diferentes y un papel donde se dibuja la
semirrecta natural. Partiendo de un punto suficientemente elevado, cada jugador tira los
dos dados por turno, resta los dos números y avanza o retrocede, dependiendo del color
del número mayor, tantos lugares como indica el resultado. Llega un momento en que
pueden aparecer resultados que “se salen” de la semirrecta, lo que se aprovecha para
discutir la necesidad de ampliación, dar nombres a los puntos por debajo de cero (por
ejemplo, añadiendo al número una i para indicar que está a la izquierda del cero) y
seguir jugando con ellos. Gana el jugador que consigue sobrepasar un cierto número
2 González y cols (1990, p. 177)
3 Colectivo Periódica Pura (1982, p. 43)
4 Gonzalez y cols (1990, p. 281)
264
Números positivos y negativos
fijado de antemano.
Situación 4: Los chinos5
Juego para dos jugadores. Se utiliza como material seis fichas bicolores (por
ejemplo, amarilla y roja).
Desarrollo:
El orden de juego es alternante. Es necesario decidir quién comienza.
Cada jugador toma dos o tres fichas a la vista del contrario (dejando las otras sobre
la mesa). En secreto las pone sobre la palma, de la cara amarilla o de la roja.
Cada uno hace una apuesta sobre el total. Se destapan las dos cantidades y se hace
la “suma” neutralizando todos los pares bicolores.
Si alguno de los jugadores ha acertado el total, gana un punto.
Gana el juego el que después del tiempo fijado ha reunido más puntos.
Se pueden plantear las siguientes preguntas:
a) Si un jugador coge dos fichas, ¿cuáles son las posibles jugadas?
b) ¿Y si coge tres fichas?
c) ¿Cuáles son los posibles resultados globales si los jugadores cogen dos fichas
cada uno?
d) ¿Y si cogen tres fichas cada uno?
e) ¿Y si uno coge tres y el otro dos?
f) ¿Hay alguna estrategia que facilite o asegure la victoria?
Situación 5: Simetría en Z
Dos canguros juguetones saltan sobre la abscisa jugando a “imitar al rey”, pero al
contrario:
Parten de lugares simétricos y cada movimiento que un canguro hace hacia un lado, el
otro lo hace hacia el lado contrario. Dos niños, con tizas de dos colores, pueden jugar en
la pizarra.
1. Juega con un compañero: Colocad las puntas de vuestros lápices en dos puntos
simétricos. El que comienza hace un salto y el otro jugador hace el salto
contrario; a continuación el segundo jugador comienza de nuevo y el primero es
el que responde.
2. Dibuja la jugada “simétrica” de esta figura (poniendo números a las posiciones y
a los saltos):
3. Observa el gráfico y completa la tabla adjunta:
265
5 Periódica Pura (1982, p. 141)
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
Punto inicial Desplazamiento Punto final
A =
B=
C=
D=
Ejercicio
2. Para cada una de las situaciones descritas en esta sección:
a) Formula los objetivos que se pretenden con las situaciones
b) Enumerar y describir los conocimientos que se ponen en juego
c) Identificar las variables didácticas
d) Enunciar variantes posibles de las situaciones cambiando los valores de las variables didácticas
e) Identificar posibles técnicas de solución de los alumnos y dificultades previsibles
f) Indicar las posibles explicaciones (institucionalización) que el profesor podría dar como síntesis
final de la actividad realizada.
g) Identificar las limitaciones de las situaciones cuando se proponen como modelos de la estructura
algebraica de los números enteros.
3.2 Situación introductoria de la estructura aditiva de los números enteros
Dado que la justificación de los números enteros viene dada por el cálculo
algebraico, las situaciones introductorias deben ser situaciones aritméticas que exijan
una resolución de tipo algebraico. Pero no entendemos por tal una resolución en
términos de ecuaciones, pues ésta es compleja de desarrollar si no se manejan los
números con signo; lo que proponemos es cambiar el objetivo de la resolución de
problemas: ya no se trataría de buscar el número que soluciona el problema, sino la
fórmula que lo soluciona6. Y para que esa actividad de búsqueda de fórmulas tenga
sentido, es necesario que alguna de las cantidades que intervienen en el problema sea
una variable a fijar en un momento posterior. Por ejemplo, el enunciado:
En un tren viajan cierto número de personas. En la primera estación suben 13
viajeros y bajan 25, en la segunda estación suben 15 y bajan 43 y en la tercera
estación suben 32 y bajan 17. Encuentra una fórmula que nos diga cuántos
viajeros quedan en el tren después de abandonar la tercera estación.
exige nombrar el número de viajeros iniciales, v, y el número de viajeros finales, w,
para establecer la fórmula w = v+13-25+15-43+32-17. La simplificación de esta
fórmula en w = v-25 obliga a razonar en términos de sumandos y sustraendos y
familiariza a los alumnos con la idea de manipular números precedidos de un signo + ó
-. Tanto la búsqueda de fórmulas de resolución de problemas aritméticos como la
transformación de esas fórmulas en expresiones más simples exige la consideración de
las operaciones, no ya entre números, sino entre sumandos y sustraendos, lo que, en la
práctica, significa poner de manifiesto la estructura aditiva de los números enteros.
6 Los alumnos de tercer ciclo de Primaria están familiarizados con la noción de ‘fórmula’ desde el
momento que conocen las fórmulas de las áreas de las figuras geométricas. Se trataría de generalizar esa
idea y hablar de la “fórmula de resolución” de determinados problemas.
266
Números positivos y negativos
3.3. Recursos en Internet
Modelos de sumas y rectas en la recta numérica

http://matti.usu.edu/nlvm/nav/frames_asid_107_g_1_t_1.html

Descripción:
Este recurso permite expresar las operaciones de suma y resta, tanto usando el
lenguaje matemático, como mediante desplazamientos en la recta numérica.
Permite la manipulación y visualización individualizada de las operaciones.
Hay diferentes niveles de dificultad. Se usan números positivos y negativos.
Ejercicio 3:
1. Explorar las diferentes opciones del programa.
2. Indicar los niveles y partes del currículo de primaria en que se pueden usar las distintas
opciones.
3. Identificar las variables didácticas de las diversas tareas propuestas en el programa y los
valores particulares de dichas variables implementados. ¿Existe algún tipo de control de los
valores por parte del usuario?
4. Comparar los tipos de actividades que se pueden realizar usando el programa respecto a las
que se hacen habitualmente con papel y lápiz. ¿Se pueden hacer actividades que no se
puedan realizar sin este recurso?
5. ¿Cómo cambian las técnicas de solución?
6. Después que los alumnos han explorado el programa y realizado las actividades, ¿Qué tipo
de explicaciones podría dar el profesor para sistematizar los conocimientos puestos en
juego?
267
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
4. TALLER DE DIDÁCTICA
4.1. Análisis de textos escolares
1. En un libro de primaria encontramos la siguiente actividad:
Observa la recta entera y calcula.



(+3) + (-2) = … • (-2) + (-4) = …
(+8) + (-5) = … • (-4) + (-3) = …
(+7) + (-8) = … • (-5) + (-4) = …
a) Enuncia seis situaciones referidas a contextos cotidianos (temperaturas, niveles de
altitudes, etc.) cuya resolución implique la realización de los cálculos pedidos.
b) En el libro de texto encontramos la siguiente regla:
“Para sumar a un número entero un número entero positivo, se avanza a la derecha, en
la recta entera, a partir del primer número tantas unidades como indica el segundo”.
¿Qué tipo de experiencias pueden ayudar a que los niños “reinventen” por sí mismos
esta regla?
2. En un libro de primaria encontramos la siguiente actividad:
1. Observa y escribe las coordenadas de cada punto.
2. Representa en la cuadrícula anterior los siguientes puntos.
J → (+4, +1)
K → (+1, -3)
L → (-1, +3)
M → (+3, -2)
N → (+5, +3)
Ñ → (-4, -1)
→ (-4, +3)
P → (-5, -3)








a) ¿Crees que la información sobre el orden de escritura de los componentes del par de
números que representan cada punto es suficiente para realizar la actividad? Completa
el enunciado de las reglas de representación cartesiana de puntos del plano.
b) Inventa un juego que permita contextualizar la tarea pedida (por ejemplo, referido a
la búsqueda de un tesoro).
4.2. Diseño de unidades didácticas
268
Números positivos y negativos
Consigue una colección de libros de texto de matemáticas de 3er ciclo de primaria
(recomendamos buscar los libros que utilizastes personalmente, o bien los de algún
familiar o amigo).
• Estudia el desarrollo del tema de “Números enteros” en dichos niveles.




Indica en qué curso se inicia y cuando termina.
Busca algún tipo de problema o tarea que consideres no está representado en la
muestra de problemas que hemos seleccionado en la parte A: Contextualización
profesional de este capítulo.
Identifica aspectos del desarrollo del tema que consideres potencialmente
conflictivos para los alumnos de dichos niveles.
Describe los cambios que introducirías en el diseño de las lecciones propuestas para
los cursos 5º y 6º de primaria.
Bibliografía
Cid, E. (2002). Los modelos concretos en la enseñanza de los números negativos. Actas
de las X Jornadas para el Aprendizaje y Enseñanza de las Matemáticas (JAEM),
ICE de la Universidad de Zaragoza. También puede encontrarse en Internet:

http://www.unizar.es/galdeano/preprints/pre01.html

Colectivo Periódica Pura (1982). Didáctica de los números enteros. Madrid: Nuestra
Cultural.
Ferrero, L. y cols (1999). Matemáticas (3º a 6ª Primaria). Madrid: Anaya.
González, J. L. (2001). Relatividad aditiva y números enteros. En Enr. Castro (Ed.),
Didáctica de la Matemática en la Educación Primaria (pp. 257-283). Madrid:
Síntesis.
González, J. L. y cols (1990). Números enteros. Madrid: Síntesis.
Rodríguez, M., Siles, I. y González, J. (1999). Matemáticas 6º. Madrid: Santillana.
269
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
270
Proyecto Edumat-Maestros
Director: Juan D. Godino

http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/

III.
PROPORCIONALIDAD Y SU DIDÁCTICA
PARA MAESTROS
Juan D. Godino
Carmen Batanero
J. D. Godino y C. Batanero
Página Índice
1. Orientaciones curriculares
1.1. Diseño curricular base del MEC …………………………………………………..
1.2. Principios y Estándares para las matemáticas escolares (NCTM 2000)
2. Desarrollo cognitivo y progresión en el aprendizaje ………………………………..
2.1. Desarrollo del razonamiento proporcional
3. Situaciones y recursos
3.1. Selección de razones equivalentes ………………………………………………..
3.2. Progresiones crecientes y decrecientes de cantidades ……………………..
3.3. Actividades de construcción y medición ……………………………………….
3.4. Recursos en Internet …………………………………………………………………..
4. Conflictos en el aprendizaje. Instrumentos de evaluación
4.1. Razones y proporciones ………………………………………………………………
4.2. Porcentajes ………………………………………………………………………………..
4.3. Items de evaluación ……………………………………………………………………
5. Taller de didáctica
5.1. Análisis de textos escolares. Diseño de unidades escolares ……………..
5.2. Análisis de una evaluación escolar ……………………………………………….
Bibliografía
273
273
274
277
278
279
281
282
283
283
284
285
286
272
Proporcionalidad
1. ORIENTACIONES CURRICULARES
1.1. Diseño Curricular Base del MEC
La proporcionalidad se contempla en diferentes bloques temáticos, en la forma
siguiente:
En el bloque 1 (Números y operaciones) se indica que “El tanto por ciento se pretende
abordar solamente de forma intuitiva.”
• Entre los hechos, conceptos y principios sobre los números naturales, enteros,
fraccionales y decimales se menciona: El tanto por ciento de una cantidad (%).
• A propósito de la multiplicación y división se hace referencia explícita a la
proporcionalidad: “la multiplicación como suma abreviada, proporcionalidad
(doble, triple, etc.); la división como reparto, proporcionalidad (la mitad, la tercera
parte, etc.).”
También entre los procedimientos de este bloque se incluyen los siguientes relacionados
con el tema:
• (7) Interpretación, cálculo y comparación de tantos por ciento.
• (8) Formulación y comprobación de conjeturas sobre la regla que sigue una serie o
clasificación de números y construcción de series y clasificaciones de acuerdo con
una regla establecida.
• (16). Elaboración de estrategias personales de cálculo mental
• Porcentajes sencillos
En el bloque 3 (Orientación y representación en el espacio), encontramos:
• En el apartado de Hechos, conceptos y principios, se concede un lugar destacado a
la representación elemental del espacio mediante:
− Planos, mapas, maquetas.
− Escalas: doble, mitad, triple, tercio, etc.
− Escalas gráficas
• Entre los Procedimientos,
• (5). Lectura, interpretación y construcción a escala de planos y maquetas.
• (6). Lectura, interpretación y reproducción a escala de mapas.
1.2. Principios y Estándares para la Matemática Escolar (NCTM 2000)
En los grados 3-5 se menciona el tema en la forma siguiente:
• Comprensión numérica: reconocer y generar formas equivalentes de formas
comunes en que se representan las fracciones, decimales y porcentajes.
• Los estudiantes deben comprender el significado de un porcentaje como parte de un
total y usar porcentajes comunes como 10 o 50 por ciento. Al estudiar las
fracciones decimales y porcentajes conjuntamente pueden aprender a pasar de una a
otra forma equivalente.
Asimismo, en conexión con la estadística se sugiere que los alumnos representen
datos en gráficos de líneas y barras, en cuya construcción aparece implícitamente la
proporcionalidad.
273
J. D. Godino y C. Batanero
En los grados 6-8 se menciona:
• Trabajar con flexibilidad con fracciones decimales y porcentajes para resolver
problemas.
• Comprender porcentajes mayores que 100 y menores que 1
• Comprender y usar razones y proporciones para representar relaciones cuantitativas
2. DESARROLLO COGNITIVO Y PROGRESIÓN EN EL APRENDIZAJE
El razonamiento proporcional se considera como uno de los componentes
importante del pensamiento formal adquirido en la adolescencia. Las nociones de
comparación y covariación están en la base subyacente al razonamiento proporcional,
siendo a su vez los soportes conceptuales de la razón y la proporción. El desarrollo
deficiente de estas estructuras conceptuales en los primeros niveles de la adolescencia
obstaculiza la comprensión y el pensamiento cuantitativo en una variedad de disciplina
que van desde el álgebra, la geometría y algunos aspectos de la biología, la física y la
química.
Diversas investigaciones han mostrado, sin embargo, que la adquisición de las
destrezas de razonamiento proporcional es insatisfactoria en la población en general.
Estas destrezas se desarrollan mas lentamente de lo que se había supuesto; incluso hay
evidencias de que una gran parte de las personas nunca las adquieren en absoluto. Estas
cuestiones no se enseñan bien en las escuelas, que con frecuencia sólo estimulan la
manipulación de símbolos y fórmulas carentes de significado1.
2.1. Desarrollo del razonamiento proporcional
El esquema de proporción es considerado por Piaget como un componentes básico del
razonamiento formal, que será necesario, entre otros, para adquirir conceptos como el de
probabilidad y correlación. Sin embargo, esto no quiere decir que los niños no tengan una
percepción progresiva de las proporciones. El desarrollo de esta idea, también sigue las
etapas típicas de la teoría de Piaget, quien estudió cómo los niños la usan cuando tienen
que estimar la probabilidad de un suceso.
1 Hoffer (1988), o.c.
274
Proporcionalidad
Una tarea típica es la siguiente:
Tarea 1. En la caja A se han metido 2 fichas azules y 1 ficha roja. En la caja B se han metido 3 fichas azules
y 1 ficha roja. (Mira el dibujo)
Con los ojos vendados tienes que sacar una ficha roja
para ganar un premio (primero movemos bien la caja para
que las fichas se mezclen). ¿Cuál caja elegirías para hacer
la extracción? Señala la respuesta correcta:
A B
(A) La caja A da mayores posibilidades de obtener una ficha
roja
(B) La caja B da mayores posibilidades de obtener una ficha
roja
(C) Las dos cajas dan la misma posiblidad
(D) No lo se
La comparación de probabilidades implica una comparación de fracciones, pero se
añade la dificultad de que también se requieren las ideas de azar, casos favorables y
posibles. Los autores que han trabajado el tema sugieren que una tarea de comparación de
probabilidades es siempre más difícil que otra tarea de comparación de fracciones en un
contexto determinista.
Un ejemplo típico de tarea proporcional en contexto determinista es la siguiente:
Tarea 2. Mi madre ha preparado dos jarras de limonada. En la jarra A ha mezclado dos vasos de agua y un
vaso de zumo de limón. En la jarra B ha mezclado tres vasos de agua y uno de zumo de limón. ¿En cual de las
dos jarras el sabor a limón es más intenso?
Ejercicios:
1. ¿Crees que puedes variar la dificultad de la tarea 1 para los niños, cambiando el número de bolas
rojas y azules en cada caja? Pon un ejemplo de forma que la tarea sea más sencilla. Pon otro
ejemplo de modo que la tarea sea más difícil.
2. ¿En qué se parecen las tareas 1 y 2? ¿En qué se diferencian? ¿Puedes cambiar el número de
vasos de agua y limón en las jarras para que la tarea resulte más fácil o más difícil a los niños?
¿Qué tipos de razonamientos seguirán los niños para resolver la tarea?
En estas tareas hay cuatro datos, dos pares de datos para cada una de las jarras o cajas
que queremos comparar:
a = número de vasos de limón en la Jarra A en la tarea 2 (o número de casos favorables en
la urna A en la tarea 1).
b = número de vasos de agua en la Jarra A en la tarea 2 (o número de casos desfavorables
en la urna A en la tarea 1).
c = número de vasos de limón en la Jarra B en la tarea 2 (o número de casos favorables en
la urna B en la tarea 1).
d = número de vasos de agua en la Jarra B en la tarea 2 (o número de casos desfavorables
en la urna B en la tarea 1).
275
J. D. Godino y C. Batanero
La dificultad de estas tareas dependen de los valores relativos de estos cuatro datos. En
la tabla 1 describimos algunas etapas que pasan los niños para resolver tareas como la 1 y 2
hasta llegar a alcanzar el razonamiento proporcional del adulto (tarea 2)2
Etapa Nombre Edad media
(años,meses)
Ejemplo
(a, b) vs (c, d)
Capacidad
requerida Estrategia /razonamiento
0 Simbólica 2, 0 (1,0) vs (0, 3) Distinguir el agua
del zumo de limón
Buscar la jarra que sólo tiene zumo
IA Intuitiva
Inferior
3; 6 (1, 4)vs (2, 4) Comparar el primer
elemento del par
Las dos jarras tienen igual cantidad de agua.
Una tiene más zumo de limón
Luego tiene el sabor más intenso
IB Intuitiva
media
6; 4 (1, 2) vs(1, 4) Compara el
segundo término
del par
Las dos jarras tienen igual cantidad de limón.
Una tiene más agua
Luego tiene el sabor menos intenso
IC Intuitiva
superior
7; 0 (5,2) vs (3,4) Observa la relación
de orden inversa
entre los términos
de los dos pares
En la jarra A hay más zumo que agua
En la jarra B hay más agua que zumo
Luego A tiene el sabor más intenso
IIA concreta
inferior
8;1 (1,1) vs (3,3) igualdad de
términos en cada
par
En la jarra A hay igual de agua que zumo
En la jarra B también hay igual de agua que
zumo
Luego el sabor es igual
IIB Concreta
superior
10; 5 (4, 2) vs (6,3) La misma
proporción entre los
términos de ambos
pares
En la jarra A hay doble cantidad de agua que
zumo
En la jarra B hay doble cantidad de agua que
zumo
Luego el sabor es igual
IIIA Formal
inferior
12; 2 (2,1) vs (4, 3) En alguno de los
pares los términos
son múltiplos
En la jarra A hay doble cantidad de agua que
zumo
En la jarra B hay menos del doble de agua que
zumo
Luego el sabor de A es más fuerte
IIIB Formal
superior
15; 10 (3, 5)vs (5,8) Comparar
fracciones con
distinto
denominador
En la jarra A, de 8 vasos de líquido 3 son de
limón
En la jarra B, de 13 vasos de líquido 5
son de limón
3/8 =39/104
5/13=40/104
Luego en B el sabor es más intenso porque de
las mismas partes totales (104) hay una más
de limón.
3. SITUACIONES Y RECURSOS
Los resultados de diversas investigaciones proporcionan orientaciones sobre
cómo ayudar a los niños en el desarrollo del razonamiento proporcional. Algunas de
estas orientaciones son las siguientes3:
1. Proporcionar una amplia variedad de tareas sobre razones y proporciones en
diversos contextos que pongan en juego relaciones multiplicativas entre distintas
magnitudes.
2 Noelting (1980).
3 Van de Walle (2001).
276
Proporcionalidad
2. Estimular la discusión y experimentación en la comparación y predicción de
razones. Procurar que los niños distingan las situaciones de comparación
multiplicativa (proporcionalidad) de las no multiplicativas, proporcionando
ejemplos y discutiendo las diferencias entre ellas.
3. Ayudar a los niños a relacionar el razonamiento proporcional con otros procesos
matemáticos. El concepto de fracción unitaria es muy similar al de tasa unitaria. El
uso de tasas unitarias para comparar razones y resolver proporciones es una de las
técnicas más apropiadas.
4. Reconocer que los métodos mecánicos de manipulación de símbolos, como los
esquemas del tipo de “regla de tres” para resolver problemas de proporcionalidad
no son apropiados para desarrollar el razonamiento proporcional y no se deberían
introducir hasta que los alumnos tengan un cierto dominio de otros métodos
intuitivos y con un fundamento matemático consistente.
En las siguientes secciones describimos algunos tipos de actividades y recursos
para el estudio de la proporcionalidad en primaria.
3.1. Selección de razones equivalentes
En este tipo de actividades se presenta una razón entre cantidades de objetos o
medidas y los alumnos deben seleccionar una razón equivalente entre otras dadas. El
centro de atención será el apoyo intuitivo de por qué los pares seleccionados tienen la
misma razón. En estas actividades es de gran utilidad incluir pares de razones que no
sean proporcionales pero que tengan una diferencia común. Por ejemplo, 5/8 y 9/12 no
son razones equivalentes, pero la diferencia entre los numeradores y los denominadores
es la misma. La situación fuerza a los alumnos a pensar en términos multiplicativos y no
aditivos.
Actividad 1:
Preparar fichas en las que se muestren objetos diferentes en diversas cantidades, como se
muestra en la figuras (cajas y camiones). ¿Hay algunas fichas en que la razón entre las cajas y
los camiones sea la misma? Dada una ficha, los alumnos deben seleccionar otra ficha que tenga
la misma razón entre el número de objetos.
Esta tarea lleva a los alumnos a realizar
una comparación numérica multiplicativa
y no visual, e introduce la noción de razón
como tasa (comparación de cantidades de
magnitudes diferentes). Una tasa unitaria
corresponde al caso en que una ficha tiene
un solo objeto de una clase (por ejemplo, 1
camión y tres cajas).
Objetos emparejados con monedas o
billetes sería una manera de introducir el
precio como una razón.
En el contexto de probabilidad se pueden
presentar diferentes cajas con fichas de dos
colores y analizar cuáles dan la misma
probabilidad de obtener una bola de
determinado color.
277
J. D. Godino y C. Batanero
3.2. Progresiones crecientes y decrecientes de cantidades
Un tipo de actividad que se puede proponer a los alumnos para introducir las
series proporcionales puede ser la continuación de series de cantidades que se
corresponden según un factor de escala y que se refieren a situaciones familiares.
Dinero:
1 duro → 5 pts 1 euro → 166’384 pts
2 duros → 10 pts 2 euros →
3 duros → 15 pts 3 euros →
… …
10 duros → ___ pts 20 euros → ___ pts
Tiempo:
1 hora → 60 minutos 1 minuto → 60 segundos
…. …
Longitud:
1 pulgada → 2’54 centímetros 1 metro → 100 centímetros
… …
Unidades comunes:
1 persona → 10 dedos 1 coche → 4 ruedas
… …
Esta actividad se debe proponer también de manera que en lugar de multiplicar por un
factor constante la operación consista en dividir:
600 céntimos → 6 euros
300 céntimos → ___ euros

6 refrescos → 180 céntimos
3 refrescos → ___ céntimos
___ refrescos → 60 céntimos

Estas actividades se pueden proponer desde los primeros niveles.
Actividad 2: ¿Qué hay en la bolsa?
Esta actividad pone en juego nociones informales sobre probabilidad considerada como
una razón. Poner fichas de dos colores en una bolsa. Por ejemplo, 4 rojas y 8 azules. Explicar a
los alumnos que hay fichas de colores diferentes dentro de la bolsa, pero no decir el número de
fichas ni el número de colores. Sacudir la bolsa y hacer que un alumno saque una ficha, registre
el color y volver a ponerla dentro de la bolsa. Después de 10 o 15 extracciones, preguntar
cuántas fichas de cada color piensan que puede haber en la bolsa y anotar el número que digan.
Después de algunos ensayos más, preguntar cuál es el menor número posible de fichas que
piensan puede haber en la bolsa.
A continuación se puede dar a los alumnos uno de los siguientes datos: el número total de fichas
que hay en la bolsa o el número de fichas de uno de los colores. Ver si con esta información
pueden predecir cuántas fichas de cada color hay en la bolsa. “¿Qué ocurriría si hubiera más
278
Proporcionalidad
fichas? ¿Qué otros números de cada color podría haber en la bolsa?
La discusión es útil aunque los niños no acierten la razón correcta de fichas de cada color. Se
puede continuar extrayendo fichas para ver que la razón se mantiene, aunque no de manera
exacta.
La experiencia se puede variar cambiando la razón entre el numero de fichas de cada color, o
incluso añadir fichas de otro color. Después de ver el contenido de la bolsa, discutir qué otros
números de fichas de cada color produciría el mismo resultado. Los grupos de alumnos pueden
explorar la extracción de fichas en bolsas con razones iguales de colores pero con números de
fichas diferentes y comparar los resultados.
3.3. Actividades de construcción y medición
En estas actividades se hacen mediciones para construir modelos físicos o
visuales de razones equivalentes con el fin de proporcionar ejemplos tangibles de
proporciones y observar relaciones numéricas.
Actividad 3: Unidades diferentes, razones iguales
Cortar tiras de cartulina de la misma longitud y dar una tira a cada uno de los grupos de alumnos
formados en la clase. Cada grupo tiene que medir la tira usando una unidad diferente. Como
posibles unidades se pueden utilizar regletas de Cuisenaire, unidades estándares como el
centímetro o el decímetro, o bien otras tiras de cartulina. Interesará que la longitud seleccionada
para la tira a medir sea un múltiplo de las unidades de medida para evitar problemas con la
precisión de las mediciones.
Cuando cada grupo haya medido su tira, preguntar por la medida obtenida por uno de los grupos
y mostrar la unidad que han usado. A continuación, muestre la unidad usada por otro grupo, y
hacer que la clase la compare con la primera unidad. Ver si la clase puede estimar la medida
obtenida por el segundo grupo. La razón de las unidades de medida deberá ser la inversa de las
medidas hechas con esas unidades. Por ejemplo, si las dos unidades están en la razón 2 a 3, las
respectivas medidas estarán en la razón de 3 a 2. Repetir el proceso con otras unidades.
Finalmente, presentar una unidad que ningún grupo haya usado y ver si la clase puede predecir
la medida que se obtiene con esa nueva unidad.
Actividad 4: Construcciones con palillos4
Se proporciona a los alumnos unos 60 palillos y una hoja de papel milimetrado. Se les pide que
construyan traiángulos y cuadrados cuyo lado esté formado por 1, 2, 3… palillos, completando la
tabla que reproducimos a continuación:
Lado Perímetro Lado Perímetro
279
J. D. Godino y C. Batanero
Se pide a los alumnos dibujar, sobre unos mismos ejes de coordenadas una gráfica que
relaciones el lado con el perímetro para el cuadrado y el triángulo equilátero.
Se pide adivinar, sin tener que calcularlo el perímetro de un triángulo y cuadrado si el lado está
formado por 15 palillos, utilizando la gráfica.
Actividad 5: Dibujos a escala
Sobre papel cuadriculado pedir a los alumnos que dibujen una figura sencilla sobre las líneas de
la cuadrícula. Pedir que dibujen una figura
de igual forma pero de mayor o menor
tamaño. Después de repetir la actividad
haciendo figuras de distintas dimensiones
pero igual forma comparar las razones de
las longitudes de los distintos lados.
Los lados que se correspondan en dos
figuras deberán conservar la misma razón.
De igual modo la razón entre dos lados de
una misma figura deberá ser la misma que
la razón entre los dos lados
correspondiente en la figura transformada.
Esta actividad relaciona la idea geométrica
de semejanza con el concepto numérico de
razón.
Actividad 6: Razones entre longitudes, áreas y
volúmenes
Esta actividad es una versión tridimensional de la
anterior. Usando piezas cúbicas encajables construir un
“edificio” simple como se muestra en la figura adjunta.
Construir un edificio con la misma forma pero de mayor
tamaño y comparar las medidas de los lados, las áreas y
los volúmenes.
Observar que los volúmenes y las áreas no varían
proporcionalmente con los lados de los cuerpos.
Si dos figuras son semejantes cualquier par de
dimensiones lineales que se midan están en la misma
razón, por ejemplo 1 a k. Pero las áreas que se
corresponden estarán en la razón de 1 a k2, mientras que
los volúmenes estarán en la razón de 1 a k3.
Las actividades descritas hasta este momento proporcionan a los alumnos un
concepto intuitivo de razón y proporción, por lo que serán de ayuda en el desarrollo del
razonamiento proporcional. Una utilidad práctica de este tipo de razonamiento se refiere
al cálculo de valores desconocidos de alguno de los cuatro términos que intervienen en
una proporción. El conocimiento de una razón se puede usar para hallar el valor de otra.
Las comparaciones de precios, el uso de escalas en los mapas, la solución de problemas
280
Proporcionalidad
de porcentajes son algunos ejemplos de situaciones prácticas en las que se precisa
resolver proporciones. Los alumnos deberán aprender a plantear estos problemas de
manera simbólica y a resolverlos, aunque esto se hará en los niveles de educación
secundaria.
3.4 Recursos en Internet
1. Todo sobre las razones: http://math.rice.edu/~lanius/proportions/index.html
Este servidor presenta
actividades para los alumnos de
5º y 6º mediante las cuales se
puede construir de una manera
constructiva la idea de razón y
comparar razones. Se
recomienda el trabajo de los
alumnos por parejas en un
ordenador conectado a la red.
Contiene también una prueba de
evaluación que indica el número
de aciertos y algunos problemas.
Los ejercicios se corrigen en red
pudiendo el profesor obtener un
registro escrito. Es parte de un
laboratorio general de
matemáticas escolares, que
incluye actividades para los
otros temas de primaria.
281
J. D. Godino y C. Batanero
2. Manipulativos visuales: porcentajes

http://matti.usu.edu/nlvm/nav/frames_asid_160_g_1_t_1.html

El programa pide dos datos como entrada de los tres que intervienen en un porcentaje:
una cantidad total n, una parte a de ese total y un porcentaje p. Gráficamente se
representa la fracción correspondiente. Los cursores de la derecha permiten de una
manera dinámica cambiar uno de los datos y ver el resultado en el gráfico y
numéricamente.
4. CONFLICTOS EN EL APRENDIZAJE. INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN
4.1. Razones y proporciones
Diversas investigaciones han
puesto de manifiesto que los
estudiantes basan su
razonamiento intuitivo sobre las
razones y proporciones en
técnicas aditivas y de recuento
en lugar de razonar en términos
multiplicativos, lo que indica
una deficiencia importante. Por ejemplo, cuando se les pide encontrar la longitud del
lado L, los alumnos dicen con frecuencia que es 9 en lugar de 15. Los alumnos tienden a
sumar una cantidad en lugar de multiplicar por un factor de escala.
L
5
2 6
Para resolver el problema de las mezclas (comparar en qué jarra el sabor del zumo de
limón es más intenso, descrito en la sección 2), la estrategia aditiva consistiría es
comparar la diferencia entre vasos de agua y zumo de limón en cada jarra. También
hacemos notar que algunas estrategias propias de una etapa sirven para resolver con
éxito los problemas más sencillos, que presentamos en la Tabla 1, pero no son válidos
en el caso general.
282
Proporcionalidad
4.2. Porcentajes
La comprensión de los porcentajes se considera con frecuencia como fácil de
lograr pero hay datos experimentales abundantes de lo contrario. El uso incorrecto de
los porcentajes es frecuente no sólo entre los estudiantes de secundaria sino incluso
también en los adultos. Se encuentran errores flagrantes, lo que sugiere que con
frecuencia las ideas básicas pueden no estar claras. Por ejemplo, en algunas
investigaciones se ha encontrado que alrededor de la tercera parte de los estudiantes de
17 años respondieron erróneamente la siguiente cuestión:
“Si el 5% de los alumnos han faltado hoy a clase, ¿5 de cuántos han faltado?”
Un error en esta idea fundamental sobre los porcentajes sugiere que no sabían que 100
es la base de comparación de los porcentajes.
En otra investigación, alrededor de la mitad de los alumnos de 6º curso de primaria
respondieron erróneamente la pregunta: “¿Cuál es el 100% de 48?”
Es fácil encontrar en los medios de comunicación anuncios que revelan errores,
confusiones y distorsiones sobre el uso de los porcentajes. Indicamos dos ejemplos5:
1. “Precios rebajados el 100%”.
Si este anuncio fuera correcto, los artículos serían gratis. Probablemente, los precios se
redujeron el 50%. Si un producto que costaba originalmente 400 E. se vendía a 200 E.,
el anuncio calculó el 100% sobre el precio de venta, cuando debería haberlo hecho
sobre el precio original.
2. “De todos los doctores consultados, el 75% recomendó nuestro producto”.
Este tipo de afirmación podría ser un anuncio de alguna compañia. Si el anuncio dijera
que “3 de cada 4 doctores que hemos entrevistado recomienda nuestro producto”, la
reacción del consumidor podría ser diferente. Los porcentajes se pueden usar con
frecuencia para disfrazar los números implicados. Los porcentajes permiten hacer
comparaciones de manera fácil debido al uso común de la base 100, pero pueden llevar
a suponer que se ha usado una muestra mayor de la que efectivamente se ha usado.
4.3. Items de evaluación
A continuación incluimos información sobre algunos ítems usados en investigaciones
sobre razonamiento proporcional y sus porcentajes de éxito a diferentes edades. Indicar
cuál es la solución correcta y algunas soluciones incorrectas para cada uno de ellos.
Item16. Encuentra el término que falta para que las dos fracciones sean equivalentes
Porcentaje des respuestas correctas
Fracción 12 años 13 años
1/3= 2/? 72 77
4/12= 1/? 56 52
2/7 = ¿/4 57 63
Item 27. Supongamos que x/y representa un número. Si se duplican los valores de x e y
el nuevo número es:
283
J. D. Godino y C. Batanero
• la mitad de grande que x/y
• igual a x/y
• doble de grande que x/y
(15% de respuestas correctas a los 9 años; 18% de respuestas correctas a los 11 años).
Item 38. Una clase de matemáticas tiene 13 niños y 16 niñas. Cada nombre se escribe
en un trozo de papel. Todos los trozos se ponen en un sombrero y el profesor saca uno
sin mirar. Señala la frase correcta:
Porcentajes de respuestas
11 años 12 años 13 años
Es más probable que el nombre sea de un niño 7.7 3.4 2.7
Es más probable que el nombre sea de una niña 63.7 75.9 68.5
Es igual de probable que sea de un niño que de una niñ 26.4 20.7 28.8
Item 4. Si 2 /25 = n/500 , entonces n =
A) 10 ; B) 20; C) 30; D) 40; E) 50
Item 5. Si se sube el precio de una lata de guisantes de 50 a 60 pesetas, ¿Cuál es el
porcentaje de aumento en el precio?
A) 83.3% ; B) 20%; C) 18.2%; D) 16.7%; E) 10%
Item 6. La profesora pregunta por qué 4/5 es mayor que 2/3. ¿Cuál de los siguientes
niños razonó correctamente?
A) María dijo “porque 4 es mayor que 2”
B) Juan dijo; “ porque 5 es mayor que 3”
C) Sonia dijo. “porque 4/5 está más cerca de 1 que 2/3”
D) Jaime dijo: “porque 4 + 5 es más que 2 + 3.”
5. TALLER DE DIDÁCTICA
5.1. Análisis de textos escolares. Diseño de unidades didácticas
Consigue una colección de libros de texto de matemáticas de 2º y 3er ciclo de
primaria (recomendamos buscar los libros que utilizastes personalmente, o bien los de
algún familiar o amigo).
1. Estudia el desarrollo del tema de “razones, proporciones y porcentajes” en dichos
niveles.
2. Indica en qué curso se inicia y cuando termina.
3. Identifica aspectos del desarrollo del tema en los manuales escolares que consideres
potencialmente conflictivos.
4. Describe los cambios que introducirías en el diseño las lecciones propuestas para los
cursos 5º y 6º de primaria.
284
Proporcionalidad
5.2. Análisis de una evaluación escolar
En el anexo 1 (a continuación) se dan tres ejercicios (A, B, y C) propuestos por
un maestro en una evaluación final. En el anexo 2 se dan las respuestas de seis alumnos
al ejercicio C. Responde a las siguientes cuestiones referidas a los ejercicios de esta
evaluación y las respuestas dadas por los alumnos.
Cuestión 1: ¿Qué nociones matemáticas se utilizan se utilizan en los tres ejercicios?.
Para cada uno de ellos, indica las magnitudes que se ponen en correspondencia y
expresa simbólicamente la función que relaciona a estas magnitudes.
Cuestión 2: Resuelve de tres maneras diferentes el ejercicio B. Indica las propiedades de
la noción que utilizas en cada caso.
Cuestión 3: Analiza las variables didácticas puestas en juego en estos tres ejercicios y
deduce un orden de dificultad para los alumnos del primer ciclo de ESO.
Cuestión 4: Estos ejercicios están planteados en un contexto numérico. Inventa otros
dos ejercicios de matemáticas para el primer ciclo de ESO que pongan en juego
la misma noción matemática en otros contextos.
Anexo 1:
Ejercicio A: Un panadero utiliza la siguiente tabla para obtener el precio de venta de los
panes:
Número de panes 5 10 15
Precio a pagar 15 30 45
a) ¿Cuál es el precio de venta de 15 panes; b) Utiliza la tabla para calcular el precio de
venta de 25 panes.
Ejercicio B: Un tren circula siempre a la misma velocidad. Tarda 6 minutos en recorre 9
kilómetros y 10 minutos para recorrer 15 kilómetros. a) ¿Cuál es la distancia recorrida
en 16 minutos?; b) ¿Cuál es la distancia recorrida en 30 minutos?
Ejercicio C: Para hacer un mouse de chocolate para 9 personas se necesitan 6 huevos.
Para 15 personas se precisan 10 huevos. a) ¿Cuántos huevos se necesitan para hacer el
pastel para 24 personas?; b) ¿Y para 30 personas?.
Anexo 2: Soluciones de 6 alumnos al ejercicio C:
A1: a) Se necesitan 24 huevos para 24 personas; b)Se necesitan 30 huevos para 30
personas.
A2: a) 24 +3 = 27 huevos; b) 30 + 5 = 35 huevos.
A3: a) Número de huevos para 1 persona: 9:6 = 1’5.
Número de huevos para 24 personas 24 x 1’5 = 36’0
b) Número de huevos para 30 personas: 30 x 1’5 = 45’0.
A4: a) Son necesarios 19 huevos; b) Son necesarios 25 huevos.
A5: a) Se necesitan 21 huevos; b) Se necesitan 27 huevos
285
J. D. Godino y C. Batanero
286
A6: a) Son necesarios: 15 + 9 = 24
10 + 6 = 16 huevos
b) Para 30 personas, 15 x 3 = 45 huevos.
Bibliografía
Dickson, L., Brown, M. y Gibson, O. (1991). El aprendizaje de las matemáticas.
Madrid: MEC y Labor.
Fernandez, F. (2001). Proporcionalidad entre magnitudes. En E. Castro (Ed.), Didáctica
de la matemática en la educación primaria (pp. 533-558). Madrid: Síntesis.
Fiol, M. L. y Fortuny, J. M. (1990). Proporcionalidad directa. La forma y el número.
Madrid: Síntesis.
Hoffer, A. R. Ratios and proportional thinking. En Th. R. Post (Ed.), Teaching
mathematics in grades K-8. Boston: Allyn and Bacon.
Maurin, C. y Johsua, A. (1993). Les outils numériques à l’école primaire et au collègue,
Vol 2. París: Editions Marketing (Ellipses).
Noelting, G. (1980). The development of proportional reasoning and the ratio concept.
Part II. Problem structure at succesive stages: Problem solving strategies and the
mechanism of adaptive restructuring. Educational Studies in Mathematics, 11 (3),
331-363.
Reys, R. E. y cols (2001). Helping children learn mathematics. New York: John Wiley
Van de Walle, J. A. (2001).Elementary and middle school mathematics. New York:
Longman.
Proyecto Edumat-Maestros
Director: Juan D. Godino

http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/

IV.
Didáctica de la Geometría
para Maestros
Juan D. Godino
Francisco Ruiz
287
Geometría y su didáctica para maestros
288
Índice
Índice
Capítulo 1:
FIGURAS GEOMÉTRICAS
1. Orientaciones curriculares ………………………………………………………………………………
2. Desarrollo cognitivo y progresión en el aprendizaje
2.1. Las investigaciones de Piaget sobre el desarrollo de conceptos geométricos .
2.2. El modelo de los niveles de van Hiele …………………………………………………….
3. Situaciones y recursos didácticos
3.1. Juegos de psicomotricidad ……………………………………………………………………
3.2. Descripción y clasificación de objetos ……………………………………………………
3.3. Construcción y exploración de polígonos ……………………………………………….
3.4. Construcción y exploración de sólidos …………………………………………………..
3.5. Geometría dinámica (Logo y Cabrí) ………………………………………………………
4. Conflictos en el aprendizaje. Instrumentos de evaluación ……………………………………
5. Taller de didáctica: análisis de situaciones escolares ………………………………………….
BIBLIOGRAFÍA …………………………………………………………………………………………….
Página
293
296
297
301
301
303
309
310
310
315
320
Capítulo 2:
TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS. SIMETRÍA Y SEMEJANZA
1. Orientaciones curriculares ………………………………………………………………………………
2. Desarrollo cognitivo y progresión en el aprendizaje …………………………………………..
3. Situaciones y recursos didácticos
3.1. Juegos de psicomotricidad …………………………………………………………………….
3.2. Simetría axial ………………………………………………………………………………………
3.3. Simetría rotacional ………………………………………………………………………………
3.4. Simetría de figuras tridimensionales ………………………………………………………
3.5. Figuras semejantes ……………………………………………………………………………….
4. Conflictos en el aprendizaje. Instrumentos de evaluación ……………………………………
5. Taller de didáctica ………………………………………………………………………………………….
BIBLIOGRAFÍA …………………………………………………………………………………….
325
325
328
329
331
331
332
333
336
340
289
Geometría y su didáctica para maestros
290
Capítulo 3:
ORIENTACIÓN ESPACIAL. SISTEMAS DE REFERENCIA
1. Orientaciones curriculares ………………………………………………………………………………
2. Desarrollo cognitivo y progresión en el aprendizaje
2.1. El desarrollo de sistemas de referencia ………………………………………………….
2.2. La variable tamaño del espacio ……………………………………………………………..
3. Situaciones y recursos
3.1. Búsqueda de un objeto escondido en clase ………………………………………………
3.2. Búsqueda de un objeto escondido dentro del espacio escolar …………………….
3.3. Localización de objetos en el microespacio …………………………………………….
3.4. Localización relativa de lugares conocidos en la ciudad …………………………..
3.5. Construcción de una brújula y de un plano de la escuela …………………………..
4. Taller de didáctica
4.1. Análisis de experiencias de enseñanza ……………………………………………………
4.2. Análisis de textos y diseño de unidades didácticas …………………………………..
BIBLIOGRAFÍA ………………………………………………………………………………………………..
343
345
346
348
348
349
349
349
351
352
353
Proyecto Edumat-Maestros
Director: Juan D. Godino

http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/

IV.
Didáctica de la Geometría
para Maestros
Capítulo 1:
FIGURAS GEOMÉTRICAS
J. D. Godino y F. Ruiz
292
Figuras geométricas
1. ORIENTACIONES CURRICULARES
1.1. Diseño Curricular Base del MEC
El Diseño Curricular Base para la Educación Primaria propuesto por el MEC para el
área de Matemáticas incluye entre los diez objetivos generales de la educación matemática
para este nivel uno que hace mención expresa a la geometría:
9. Identificar formas geométricas en su entorno inmediato, utilizando el conocimiento de sus
elementos, propiedades y relaciones entre las mismas para incrementar su comprensión de
dicho entorno y desarrollar nuevas posibilidades de acción en el mismo.
El desarrollo de los diez objetivos se organiza en cinco bloques de contenido, entre los
cuales dos se refieren a contenidos de geometría. En cada uno de ellos se especifican un
listado de “conceptos, hechos y principios”, “procedimientos” y “actitudes, valores y normas”.
En el bloque 4 se abordan los contenidos relacionados con las formas planas y espaciales.
Se encuentra especialmente relacionado con los bloques de “Medida: información cuantitativa
sobre los objetos y el tiempo” y de “Organización y representación en el espacio”. Se pretende
reconocer e identificar cuerpos y formas geométricas sencillas desde perspectivas diferentes,
establecer relaciones entre ellos y sus elementos, representar formas y construir cuerpos, y por
último, llegar a su descripción completa. Se dará gran importancia a la adquisición de los
contenidos actitudinales como medio de exploración y acceso a los contenidos conceptuales.
Hechos, conceptos y principios
1. Formas planas.
• Las figuras y sus elementos (polígonos y circunferencia).
• Relaciones entre los elementos de una figura y de las figuras entre si.
• Regularidades y simetrías.
• Suma de los ángulos de un triángulo.
2. Formas espaciales.
• Los cuerpos geométricos y sus elementos: vértices, aristas y caras.
• Cubo, esfera, prismas, pirámides, conos y cilindros.
• Relación entre los elementos del cubo.
• Regularidades y simetrías.
Procedimientos
1. Descripción de la forma de objetos familiares utilizando adecuadamente el vocabulario
geométrico básico.
2. Construcción de figuras geométricas planas (polígonos y circunferencias) a partir de datos
previamente establecidos.
3. Construcción de cuerpos geométricos.
4. Comparación y clasificación de figuras planas y cuerpos geométricos utilizando diversos
criterios.
5. Formación de figuras planas y cuerpos geométricos a partir de otras por composición y
descomposición.
6. Búsqueda de elementos de regularidad y simetría en figuras y cuerpos geométricos.
7. Trazado de una figura simétrica de otra respecto d eun elemento dado (puntos y ejes de
simetría)
8. Utilización de los instrumentos de dibujo (regla,compás, escuadra, cartabón, círculo
graduado) para la construcción y exploración de formas geométricas.
293
J. D. Godino y F. Ruiz
Actitudes, valores y normas
1. Curiosidad e interés por identificar formas y relaciones geométricas en los objetos del
entorno.
2. Interés y perseverancia en la búsqueda de soluciones a situaciones problemáticas
relacionadas con la organización y utilización del espacio.
3. Gusto por la precisión en la descripción y representación de formas geométricas.
4. Disposición favorable para la utilización de los instrumentos convencionales de dibujo y
para la búsqueda de instrumentos alternativos.
1.2. Principios y Estándares 2000 del NCTM
Los Principios y Estándares 2000 proponen que los programas de enseñanza de
matemáticas desde la educación infantil hasta el bachillerato deben capacitar a todos los
alumnos para,
• analizar las características y propiedades de los objetos de dos y tres dimensiones y
desarrollar argumentos sobre las relaciones geométricas;
• especificar posiciones de los objetos en el espacio y describir relaciones espaciales usando
la geometría de coordenadas y otros sistemas de representación;
• aplicar transformaciones geométricas y usar la simetría para analizar situaciones
matemáticas;
• usar la visualización, el razonamiento espacial y la modelización geométrica para resolver
problemas (NCTM 2000, p. 41).
En el cuadro siguiente resumimos la concreción de estos objetivos generales a los niveles
de educación infantil y primaria (K-5 en la terminología de EE.UU.). La formulación de
estándares para el grado 6º está ligado a los grados 7º y 8º en esta propuesta curricular.
Objetivos
generales
Infantil a 2º curso 3º a 5º curso
Analizar
características y
propiedades de las
formas
geométricas bi y
tridimensionales y
desarrollar
argumentos
matemáticos sobre
las relaciones
geométricas.
– reconocer, nombrar,
construir, dibujar, comparar
y clasificar formas bi y
tridimensionales;
– describir atributos y partes
de las formas bi y
tridimensionales
– investigar y predecir los
resultados de agrupar y
separar formas bi y
tridimensionales.
– identificar, comparar, y analizar atributos
de las formas bi y tridimensionales y
desarrollar el vocabulario para describir los
atributos;
– clasificar formas bi y tridim. Según sus
propiedades y formular definiciones de
clases de formas tales como triángulos y
pirámides;
– investigar, describir y razonar sobre los
resultados de subdividir, combinar y
transformar formas;
– explorar la congruencia y semejanza de
figuras;
– formular y probar conjeturas sobre
propiedades y relaciones geométricas y
desarrollar argumentos lógicos para
justificar conclusiones.
Especificar
posiciones y
describir
relaciones
– describir, nombrar e
interpretar las posiciones
relativas en el espacio y
aplicar ideas sobre posición
– describir posiciones y movimientos
usando el lenguaje común y el vocabulario
geométrico;
– construir y usar sistemas de coordenadas
294
Figuras geométricas
espaciales usando
la geometría de
coordenadas y
otros sistemas de
representación.
relativa;
– describir, nombrar e
interpretar la dirección y
distancia en el movimiento
espacial y aplicar ideas
sobre dirección y distancia;
– encontrar y nombrar
posiciones con relaciones
simples, como “cerca de” y
en sistemas de coordenadas
tales como en los mapas.
para especificar posiciones y describir
trayectorias;
– encontrar la distancia entre puntos en las
direcciones horizontal y vertical del sistema
de coordenadas.
Aplicar
transformaciones
y usar la simetría
para analizar
situaciones
matemáticas.
– reconocer y aplicar
traslaciones, giros y
simetrías;
– reconocer y crear formas
que tengan simetría.
– predecir y describir los resultados de
deslizar, voltear y girar formas
bidimensionales;
– describir un movimiento o una serie de
movimientos que muestren que dos formas
son congruentes;
– identificar y describir las simetrías en
formas y figuras bi y tridimensionales.
Usar la
visualización, el
razonamiento
espacial y la
modelización
geométrica para
resolver
problemas.
– crear imágenes mentales
de las formas geométricas
usando memoria espacial y
visualización espacial;
– reconocer y representar
formas en diferentes
perspectivas;
– relacionar las ideas
geométricas con las ideas
sobre números y medidas;
– reconocer formas y
estructuras en el entorno y
especificar su localización.
– construir y dibujar objetos geométricos;
– crear y describir imágenes mentales,
patrones y trayectorias;
– identificar y construir objetos
tridimensionales a partir de sus
representaciones bidimensionales;
– identificar y dibujar una representación
bidimensional de un objeto tridim.;
– usar modelos geométricos para resolver
problemas en otras áreas de las
matemáticas, tales como números y medida;
– reconocer ideas geométricas y relaciones y
aplicarlas a otras disciplinas y a problemas
que surgen en la clase o en la vida diaria.
Ejercicio 1:
Analizar las diferencias y semejanzas de las orientaciones curriculares propuestas para el
estudio de las figuras geométricas en:
– Diseño Curricular Base (MEC)
– Orientaciones curriculares de tu Comunidad Autónoma
– Principios y Estándares 2000 del NCTM
295
J. D. Godino y F. Ruiz
2. DESARROLLO COGNITIVO Y PROGRESIÓN EN EL APRENDIZAJE
2.1. Las investigaciones de Piaget sobre el desarrollo de conceptos geométricos1
Las primeras interacciones del niño pequeño con su entorno, previas al desarrollo del
lenguaje, se basan casi totalmente en experiencias espaciales, muy en particular a través de los
sentidos de la vista y el tacto. Más tarde se desarrolla el lenguaje y adquiere significado en el
seno y en el contexto del entorno físico.
Piaget, como resultado de sus numerosos experimentos propuso una teoría del desarrollo
de los conceptos espaciales en el niño. Distingue entre percepción, que define como el
“conocimiento de objetos resultante del contacto directo con ellos”, y representación (o
imagen mental), que “comporta la evocación de objetos en ausencia de ellos”. Las
capacidades de percepción del niño se desarrollan hasta la edad de dos años (estadio
‘sensoriomotor’), mientras que la capacidad de reconstrucción de imágenes espaciales
comienza hacia la edad de dos años, y en la mayoría de los casos es perfeccionada desde los
siete años en adelante en el niño medio (el período de ‘operaciones concretas’). Mientras que
los tests de “percepción” pueden fundarse en la capacidad de discriminación entre diferentes
objetos presentados visualmente, los tests de “representación” (imaginería mental) de que se
vale Piaget se fundan en la capacidad para identificar formas al tacto y en la capacidad para
reproducir formas mediante palillos o dibujos.
En cada uno de estos estadios de desarrollo, Piaget distingue, además, una progresiva
diferenciación de propiedades geométricas, partiendo de aquellas propiedades que él llama
topológicas, o sea, propiedades globales independientes de la forma o el tamaño, como son
las siguientes:
– cercanía (“proximidad”); por ejemplo, dibujar un hombre con los ojos juntos, aun cuando
éstos puedan haber sido situados por debajo de la boca;
– separación; por ejemplo, no traslapar la cabeza y el cuerpo;
– ordenación; por ejemplo, dibujar la nariz entre los ojos y la boca;
– cerramiento, como dibujar los ojos dentro de la boca;
– continuidad, como hacer que los brazos formen un continuo con el tronco y no con la
cabeza.
El segundo grupo de propiedades que según Piaget distinguen los niños son las que
denomina propiedades proyectivas, que suponen la capacidad del niño para predecir qué
aspecto presentará un objeto al ser visto desde diversos ángulos. Por ejemplo, los niños
pequeños pueden querer dibujar una cara de perfil y seguir, sin embargo, poniendo dos ojos
en ella; o pueden no ser capaces de darse cuenta de que al mirar un lápiz desde un extremo se
verá un círculo. La “rectitud” es una propiedad proyectiva, dado que las líneas rectas siguen
mostrando aspecto rectilíneo cualquiera que sea el punto de vista desde el que se las observe.
El tercer grupo de propiedades geométricas son las euclídeas, esto es, las relativas a
tamaños, distancias y direcciones, que conducen por lo tanto a la medición de longitudes,
ángulos, áreas, etc. Se pueden distinguir, por ejemplo, un trapecio y un rectángulo basándose
en los ángulos y en las longitudes de los lados. (Desde el punto de vista proyectivo, ambas
figuras son equivalentes, ya que el tablero de una mesa rectangular ofrece aspecto de trapecio
visto desde ciertos ángulos). Los niños pueden en este estadio reproducir la posición exacta de
un punto en una página, o una figura geométrica, y decidir qué líneas y ángulos han de medir
para ello2.
1 Dickson et al. (1991, p. 22-23).
2 Remitimos al lector al libro citado de Dickson et al. (1991, p. 25-26) para conocer algunas críticas y revisiones
de la teoría de Piaget sobre el desarrollo del pensamiento espacial de los niños.
296
Figuras geométricas
2.2. El modelo de los niveles de van Hiele
En la didáctica de la geometría ha tenido una fuerte influencia el trabajo desarrollado
por Pierre van Hiele y Dina van Diele-Geldof para comprender y orientar el desarrollo del
pensamiento geométrico de los estudiantes. El modelo teórico conocido como de “los niveles
de van Hiele” comenzó a proponerse en 1959 y ha sido objeto de abundantes
experimentaciones e investigaciones que han llevado a introducir diversas matizaciones, pero
que aún continúa siendo útil para organizar el currículo de geometría en la educación primaria
y secundaria.
En este modelo se proponen cinco niveles jerárquicos para describir la comprensión y el
dominio de las nociones y habilidades espaciales. Cada uno de los cinco niveles describe
procesos de pensamiento que se ponen en juego ante tareas y situaciones geométricas. A
continuación describimos brevemente las características de los cinco niveles y los tipos de
actividades que pueden desarrollarse en cada uno de ellos3.
Nivel 0: Visualización:
Los objetos de pensamiento en el nivel 0 son formas y se conciben según su apariencia
Los alumnos reconocen las figuras y las nombran basándose en las caracteristicas
visuales globales que tienen. Los alumnos que razonan según este nivel son capaces de hacer
mediciones e incluso de hablar sobre propiedades de las formas, pero no piensan
explícitamente sobre estas propiedades. Lo que define una forma es su apariencia. Un
cuadrado es un cuadrado “porque se parece a un cuadrado”. Debido a que la apariencia es el
factor dominante en este nivel, esta apariencia puede llevar a atribuir propiedades
impertinentes a las formas. Por ejemplo, un cuadrado que se ha girado 45º respecto de la
vertical puede que no se considere un cuadrado por un sujeto de este nivel. “Pongo estas
formas juntas porque tienen el mismo aspecto”, sería una respuesta típica.
Los productos del pensamiento del nivel 0 son clases o agrupaciones de formas que
parecen ser “similares”.
Nivel 1: Análisis
Los objetos de pensamiento en el nivel 1 son clases de formas, en lugar de formas
individuales.
Los estudiantes que razonan según este nivel son capaces de considerar todas las formas
incluidas en una clase en lugar de una forma singular. En lugar de hablar sobre este
rectángulo, es posible hablar sobre todos los rectánculos. Al centrarse en una clase de formas,
los alumnos son capaces de pensar sobre lo que hace que un rectángulo sea un rectángulo
(cuatro lados, lados opuestos paralelos, lados opuestos de la misma longitud, cuatro ángulos
rectos, diagonales congruentes, etc.). Las características irrelevantes (como el tamaño o la
orientación) pasan a un segundo plano. Los estudiantes comienzan a darse cuenta de que una
colección de formas pertenecen a la misma clase debido a sus propiedades. Si una forma
pertenece a la clase de los cubos, tiene las propiedades correspondientes a esa clase. “Todos
los cubos tienen seis caras congruentes, y cada una de estas caras es un cuadrado”. Estas
propiedades estaban como implícitas en el nivel 0. Los sujetos del nivel 1 pueden ser capaces
de listar todas las propiedades de los cuadrados, rectángulos, y paralelogramos, pero no ver
las relaciones de incluión entre estas clases, que todos los cuadrados son rectángulos y todos
los rectángulos son paralelogramos. Cuando se les pide que definan una forma, es probable
que listen todas las propiedades que conozcan.
Los productos del pensamiento del nivel 1 son las propiedades de las formas.
3 Van de Walle, J. A. (2001). Elementary and middle school mathematics. Teaching developmentally (4ª
edición). New York: Longman.
297
J. D. Godino y F. Ruiz
Nivel 2: Deducción informal
Los objetos del pensamiento del nivel 2 son las propiedades de las formas
A medida que los estudiantes comienzan a ser capaces de pensar sobre propiedades de
los objetos geométricos sin las restricciones de un objeto particular, son capaces de desarrollar
relaciones entre estas propiedades. “Si los cuatros ángulos son rectos, la figura es un
rectángulo. Si es un cuadrado, todos los ángulos son rectos. Si es un cuadrado, entonces debe
ser un rectángulo”. Con una mayor capacidad de usar el razonamiento “si – entonces”, las
figuras se pueden clasificar usando sólo un mínimo de características. Por ejemplo, cuatro
lados congruentes y al menos un ángulo recto puede ser suficiente para definir un cuadrado.
Los rectángulos son paralelogramos con un ángulo recto. Las observaciones van más allá de
las propias propiedades y comienzan a centrarse en argumentos lógicos sobre las propiedades.
Los estudiantes del nivel 2 serán capaces de seguir y apreciar un argumento deductivo
informal sobre las formas y sus propiedades. “Las demostraciones” pueden ser más de tipo
intuitivo que rigurosamente deductivas. Sin embargo, se entiende que un argumento lógico
tiene características que obligan a aceptar la conclusión. La comprensión de la estructura
axiomática de un sistema deductivo formal no llega a alcanzarse.
Los productos de pensamiento del nivel 2 son relaciones entre propiedades de los
objetos geométricos.
Nivel 3: Deducción
Los objetos de pensamiento en el nivel 3 son relaciones entre propiedades de los objetos
geométricos.
En este nivel los estudiantes son capaces de examinar algo más que las propiedades de
las formas. Su pensamiento anterior ha producido conjeturas sobre relaciones entre
propiedades. ¿Son correctas estas conjeturas? ¿Son verdaderas? A medida que tiene lugar este
análisis de los argumentos informales, la estructura de un sistema completo de axiomas,
definiciones, teoremas, corolarios, y postulados comienza a desarrollarse y puede ser
considerada como el medio necesario para establecer la verdad geométrica. Los sujetos de
este nivel comienzan a apreciar la necesidad de construir un sistema lógico que repose sobre
un conjunto mínimo de supuestos y a partir del cual se deriven todas las proposiciones. Estos
estudiantes son capaces de trabajar con enunciados abstractos sobre propiedades geométricas
y llegar a conclusiones basadas más sobre la lógica que sobre la intuición. Este es el nivel
requerido en los cursos de geometría de bachillerato. Un estudiante operando en este nivel 3
puede observar claramente que las diagonales de un rectángulo se cortan en su punto medio,
de la misma manera que lo puede hacer un estudiante situado en un nivel inferior. Sin
embargo, en el nivel 3, se aprecia la necesidad de probar esta proposición a partir de una serie
de argumentos deductivos. El estudiante del nivel 2 puede seguir el argumento, pero no
reconoce la necesidad de hacer la demostración deductiva.
Los productos del pensamiento del nivel 3 son sistemas axiomáticos deductivos para la
geometría.
Nivel 4: Rigor
Los objetos de pensamiento del nivel 4 son sistemas axiomáticos para la geometría.
En el nivel máximo de la jerarquia de pensamiento geométrico propuesto por van Hiele,
el objeto de atención son los propios sistemas axiomáticos, no las deducciones dentro de un
sistema. Se aprecian las distinciones y relaciones entre los diferentes sistemas axiomáticos.
Este es el nivel requerido en los cursos universitarios especializados en los que se estudia la
geometría como una rama de las matemáticas.
298
Figuras geométricas
Los productos de pensamiento del nivel 4 son comparaciones y contrastes entre
diferentes sistemas axiomáticos de geometría.
Características de los niveles
La principal característica de este modelo de pensamiento geométrico es que en cada nivel
(excepto en el 4º) se deben crear unos objetos (ideas) de manera que las relaciones entre estos
objetos se convierten en los objetos del siguiente nivel. Hay por tanto un progresivo ascenso
en la abstracción y complejidad de los conocimientos que se ponen en juego. Además de este
rasgo el modelo postula las siguientes características:
1. Los niveles son secuenciales. Para lograr un cierto nivel superior al 0 los alumnos deben
superar los niveles previos. Esto implica que el sujeto ha experimentado el pensamiento
geométrico apropiado para ese nivel y ha creado en la propia mente los tipos de objetos o
relaciones que son el foco de atención del pensamiento del nivel siguiente.
2. Los niveles no son dependientes de la edad en el sentido de los estadios de desarrollo de
Piaget. Un alumno de tercero de primaria puede estar en el nivel 0 al igual que uno de
bachillerato. Algunos estudiantes y adultos pueden permanecer siempre en el nivel 0, y un
número importante de personas adultas no alcanzan nunca el nivel 2. Sin embargo, la edad
está relacionada con la cantidad y tipo de experiencias geométricas que tenemos. Por tanto, es
razonable aceptar que todos los niños de preescolar a 2º curso de primaria estén en el nivel 0,
así como que la mayoría de los niños de 3º y 4º.
3. La experiencia geométrica es el principal factor que influye en la progresión de niveles. Las
actividades que permiten a los niños explorar, hablar sobre las experiencias, e interactuar con
el contenido del siguiente nivel, además de incrementar sus experiencias con el nivel en que
se encuentran, proporcionan la mejor oportunidad de avanzar hacia el siguiente nivel.
4. Cuando la instrucción o el lenguaje usado está a un nivel superior al que tiene el estudiante,
habrá un fallo en la comunicación. Los estudiantes a los que se pide enfrentarse con objetos
de pensamiento que no han construido en el nivel anterior puede sean forzados a un
aprendizaje memorístico y alcanzar sólo temporalmente un éxito superficial. Un estudiante
puede, por ejemplo, memorizar que todos los cuadrados son rectángulos sin haber construido
esa relación, o bien puede memorizar una demostración geométrica pero fallar en crear los
pasos exigidos o comprender la razón de ser del proceso.
Características de las actividades del Nivel 0
• Actividades de clasificación, identificación y descripción de formas variadas.
• Uso de gran cantidad de modelos físicos que se pueden manipular por los niños.
• Ejemplos de una variedad de formas diferentes con objeto de que las características
irrelevantes no se perciban como importantes. (Esto evitará que, por ejemplo, muchos
alumnos piensen que sólo los triángulos equiláteros son realmente triángulos, o que un
cuadrado girado 45º deja de ser un cuadrado)
299
J. D. Godino y F. Ruiz
• Proporcionar oportunidades para que los alumnos construyan, dibujen, compongan o
descompongan formas diversas.
Características de las actividades del Nivel 1
• Comenzar a centrar la atención más sobre las propiedades de las figuras que en la simple
identificación. Definir, medir, observar y cambiar las propiedades con el uso de modelos
concretos.
• Resolver problemas en los que las propiedades de las formas sean aspectos importantes a
tener en cuenta.
• Seguir utilizando modelos concretos, como en las actividades del nivel 0, pero usando
modelos que permitan la exploración de diversas propiedades de las figuras.
• Clasificar figuras usando las propiedades de las formas como también sus nombres. Por
ejemplo, encontrar propiedades de los triángulos que hagan que unos sean similares y
otros diferentes.
Características de las actividades del Nivel 2 (primer ciclo de educación secundaria)
• Continuar usando propiedades de los modelos, pero con la atención puesta en la definición
de propiedades. Hacer listas de propiedades y discutir qué propiedades son necesarias y
cuáles son condiciones suficientes para una forma o concepto específico.
• Comenzar a usar un lenguaje de naturaleza deductiva aunque informal: todos, algunos,
ninguno, si entonces, qué ocurre si, etc.
• Investigar la validez de la inversión de ciertas relaciones. Por ejemplo, el enunciado
inverso de “Si una figura es un cuadrado debe tener cuatro ángulos rectos” sería, “Si tiene
cuatro ángulos rectos, entonces debe ser un cuadrado”.
• Usar modelos y dibujos como herramientas con las que pensar, y comenzar a buscar
generalizaciones y contraejemplos.
• Estimular la formulación y demostración de algunas hipótesis.
La mayor parte de los contenidos curriculares propuestos para los niveles de educación
infantil y primaria se pueden adaptar a cualquiera de los tres primeros niveles, a excepción de
conceptos abstractos tales como punto, recta, semirecta y plano como elementos básicos de
las figuras geométricas. Estas ideas abstractas no son apropiadas incluso para el nivel 2.
El nivel 2 de razonamiento es más propio de los alumnos del primer ciclo de educación
secundaria (12 a 14 años). Aquí los alumnos comienzan a usar razonamientos deductivos
informales. Esto quiere decir que pueden seguir y usar argumentaciones lógicas, aunque
pueden tener dificultades para construir una demostración por sí mismos. El uso de modelos
físicos de los cuerpos y dibujos geométricos es todavía importante por diferentes razones. En
el nivel 1, las exploraciones de los alumnos les llevan a realizar conclusiones inductivas sobre
las formas. Estos estudiantes quedan satisfechos de que una afirmación es verdadera porque
se cumple en los casos que comprueban. En el nivel 2, los alumnos pueden usar un dibujo
para ayudarse en el seguimiento de una argumentación deductiva dada por el profesor.
También pueden usar modelos para comprobar conjeturas o encontrar contraejemplos. Los
modelos se convierten más en una herramienta para el pensamiento y la verificación que para
la exploración.
300
Figuras geométricas
3. SITUACIONES Y RECURSOS DIDÁCTICOS
Las actividades que describimos en esta sección son algunos ejemplos que pueden usarse
para el trabajo en las aulas de primaria y corresponden a los dos primeros niveles de van
Hiele. Las actividades características del nivel 2 son más propias de atención en el primer
ciclo de educación secundaria (alumnos de 12 a 14 años).
3.1. Juegos de psicomotricidad
Las situaciones de juegos de psicomotricidad parecen muy recomendables para iniciar el
estudio de distintos aspectos de la geometría. En el libro de A. Martínez y F. Juan (1989)
encontramos abundantes ejemplos de este tipo de situaciones, así como los fundamentos
metodológicos en los que basan su propuesta curricular. A título de ejemplo, describimos, a
continuación una situación de este tipo, que pretende familiarizar a los alumnos de infantil y
primer ciclo de primaria con diferentes tipo de líneas y regiones planas. Se supone que los
niños tienen posibilidad de moverse con libertad por una sala de dimensiones adecuadas.
Actividad 1: Líneas, regiones y psicomotricidad
– Nos movemos libremente por el espacio, al ritmo de una música.
– Nos movemos en grupos.
– Nos movemos en grupos de acuerdo con las líneas que se dibujan en la pizarra:
– Se reparten cuerdas de colores, una por niño. Jugamos con las acuerdas, con el movimiento de las
cuerdas.
– Jugamos en grupos. Procuramos que no choquen las cuerdas. Procuramos que choquen.
– Formamos, con las cuerdas, una línea cerrada en el suelo, delimitando un territorio. Nos metemos
dentro.
– Formamos, con otras cuerdas, o pintando con tiza en el suelo, líneas entre territorios, que serán
caminos. Ponemos un camino entre cada dos territorios. Ponemos un aro en cada cruce de caminos.
Cuando suene la música nos moveremos dentro de nuestro territorio o, si nos apetece, vamos por algún
camino hasta otro territorio a bailar en él, con el grupo que allí está, si nos dejan. Cuando pasemos por
un cruce daremos una palmada.
Remitimos al lector al libro citado de Martínez y Juan (1991, p. 63-66) para encontrar
una rica colección de actividades complementarias de exploración de las nociones
geométricas fundamentales en la clase de matemáticas.
3.2. Descripción y clasificación de objetos
En las primeras actividades se debe partir del propio vocabulario que usan los niños para
describir las formas geométricas, introduciendo nuevas palabras a medida que sea apropiado.
301
J. D. Godino y F. Ruiz
La realización de actividades como las siguientes puede ser ocasión de introducir los nombres
usuales de los cuerpos geométricos.
Uno de los primeros tipos de actividades más importantes que se pueden proponer a los
niños es ofrecerles la oportunidad de encontrar semejanzas y diferencias entre una gran
variedad de formas. Muchos niños se centrarán en características no estándares como
“puntiagudo” o “curvado”, o “se parece a una casa”. Otros observarán cosas que realmente no
son parte de las formas: “señala hacia arriba”, o “está cerca del borde la mesa”.
Actividad 2: Clasificación de formas (nivel 0)
Preparar una amplia variedad de formas recortadas en cartulina, como se muestra en la figura
(o cualquiera otras). Pedir a los alumnos que seleccionen una forma al azar y después
encuentren otras formas que sean parecidas a la primera en algún aspecto. Si se pide formar
un subconjunto de figuras cada vez se evita el problema de intentar poner cada forma en una
categoría. Los estudiantes deben describir qué rasgo tienen las formas para considerarlas
similares, bien oralmente o por escrito. Pedir finalmente que dibujen una nueva forma que se
ajuste a la categoría y explicar por qué es de esa clase.
Si el conjunto de formas tiene cinco o seis ejemplos de una forma cuyo nombre es
conocido (rectángulo o rombo), es probable que algunos estudiantes las clasifiquen según ese
nombre. Pero se les puede pedir que encuentren otras formas que sean “parecidas” a la forma
seleccionada. De esta manera, el concepto de esa clase particular de figuras se forma sin
ninguna definición expresa. A continuación puede poner una etiqueta al concepto o
proporcionar el nombre propio de la forma. Los nombres de las formas deberían siempre
darse después de que el concepto de la forma se ha desarrollado.
La clasificación de formas se debe hacer también con formas tridimensionales, usando
colecciones de objetos de madera, plástico, u objetos reales como botes, cajas, balones, etc.
Las actividades que corresponden al nivel 1 de razonamiento de van Hiele se centran más
en las propiedades de las formas e incluyen algún análisis de dichas propiedades. Por ejemplo,
en el nivel 0, los triángulos pueden haberse clasificado como “grandes” y “pequeños”,
“puntiagudo” o “no puntiagudo”, o “con esquinas cuadradas” y “sin esquinas cuadradas”. En
el nivel 1, el mismo conjunto de triángulos se puede clasificar según el tamaño relativo de los
ángulos o la longitud relativa de los lados.
La mayor parte de las actividades sugeridas para el nivel 0 se pueden extender fácilmente
al nivel 1 cambiando las variables de la tarea.
302
Figuras geométricas
Actividad 3 (nivel 1)
Clasificar las formas por nombres de propiedades y no por nombres de las formas. Cuando se
combinan dos o más propiedades, clasificar por una propiedad cada vez. “Encontrar todas las formas
que tienen lados opuestos paralelos” (Una vez separadas) “Ahora encontrar las que también tienen un
ángulo recto” (Ese grupo debería incluir los cuadrados y los rectángulos que no sean cuadrados).
Después de obtenido este grupo de formas, discutir cuál es el nombre de esta clase de figuras. Intentar
clasificar las formas por la misma combinación de propiedades pero en un orden diferente.
Usar cuerdas o redondeles para separar los conjuntos de formas. Poner dos lazos en el
suelo. Hacer que los alumnos pongan dentro de uno de los lazos todas las formas que tengan
cuatro lados congruentes y todos los que tengan un ángulo recto en el otro lazo. ¿Dónde
colocar los cuadros? Los alumnos se darán cuentan que los dos lazos deben tener una parte
común y colocar los cuadrados en la intersección.
Actividad 4: Definición misteriosa (nivel 1)
Todas estas figuras tienen algo en común:
Ninguna de éstas otras la tienen:
¿Cuál de las siguientes figuras tienen esa propiedad?
El nombre de una propiedad no es necesario para que sea comprendida. Requiere una
observación cuidadosa de las propiedades para descubrir qué tienen en común las formas.
3.3. Construcción y exploración de polígonos
Interesa que los propios niños construyan y dibujen formas. En una primera fase harán
formas de manera libre para pasar después a construir otras que cumplan algunas condiciones.
Esto promoverá la reflexión sobre las propiedades implicadas y estimulará el paso al nivel 1
de razonamiento sin necesidad de presionar a los niños de manera forzada. Los materiales
para realizar estas construcciones pueden ser variados, bien del entorno escolar o bien
comerciales (plastilina, cartulina, bloques encajables, trangram, geoplanos, etc.)
3.2.1. Uso del geoplano en el estudio de los polígonos
303
J. D. Godino y F. Ruiz
Incluimos en esta sección la descripción del uso del geoplano, bien en su versión
manipulativa o virtual (mediante un programa de ordenador), para el estudio de las figuras
geométricas planas, en particular el triángulo y los polígonos. Seguiremos la descripción que
se hace en la sección de Recursos para la enseñanza de los Principios y Estándares 2000 del
NCTM donde es posible utilizar un “geoplano virtual” de una manera interactiva. El geoplano
interactivo virtual está disponible en la siguiente dirección web: http://standards.nctm.org/
En el ejemplo se describen actividades usando el geoplano interactivo para ayudar a
los estudiantes a identificar figuras geométricas simples, describir sus propiedades, y
desarrollar el sentido espacial. La primera parte titulada “Construyendo triángulos” centra la
atención sobre el concepto de triángulo, ayudando a los estudiantes a comprender el uso de la
palabra ‘triángulo’ en matemáticas y la noción de congruencia en geometría. En la segunda
parte, “Construyendo polígonos”, los estudiantes construyen y comparan una variedad de
polígonos, describiendo las propiedades características de las formas que crean.
Actividad 5
Construye tantos triángulos como sea posible, de formas y tamaños diferentes, usando para
cada uno de ellos una sola goma (o banda) sobre el geoplano. Explica a tu compañero en qué
se diferencian estos triángulos y en qué se parecen.
Geoplano interactivo
Hablando sobre triángulos en la clase
A los estudiantes les interesa trabajar con los geoplanos, tanto si son virtuales como
concretos. Como ocurre con cualquier material manipulativo, los estudianes necesitan un
cierto tiempo para explorar el material antes de realizar tareas específicas.
304
Figuras geométricas
La mayor parte de los alumnos de los niveles de preescolar a 2º curso de primaria
conocen la palabra ‘triángulo’ y tienen una idea de lo que significa. Sin
embargo, la descripción que hacen del triángulo puede que no corresponda
con la convencional. Para estimular a los niños a centrarse en las
propiedades del triángulo, los maestros pueden pedir que hagan triángulos
diferentes en el geoplano y después seleccionar uno para mostrar a la clase.
Los niños pueden comparar los triángulos que han hecho en sus geoplanos
y discutir si cada forma es o no un triángulo. Algunos niños pueden pensar
que un triángulo con un vértice orientado hacia la base del geoplano no es
realmente un triángulo. El maestro puede provocar a los niños para que
justifiquen su manera de pensar, incitando a los niños que estén más retraidos a que entren en
la discusión con comentarios tales como, “¿Dices que Marco sigue siendo Marco aunque esté
haciendo el pino, o sea, que esto sigue siendo un triángulo? Otros alumnos pueden hacer
figuras con cuatro lados que consideran como triángulos por su forma puntiaguda.
El maestro puede concluir la explicación diciendo que los matemáticos se han puesto de
acuerdo en considerar como triángulos cualquier figura cerrada por tres segmentos. Usando
esta definición el profesor puede pedir a los alumnos que comprueben otra vez las formas que
han construido y deciden cuáles son triángulos. Esto da otra oportunidad para que los alumnos
revisen sus primeras elecciones.
Los alumnos de estos primeros niveles pueden comprobar la congruencia de figuras en el
plano moviendo una figura para que cubra exactamente a otra figura. Las figuras hechas en el
geoplano se pueden describir con un sistema de coordenadas simples; por tanto dos figuras
sobre el geoplano son congruentes si sus construcciones se pueden describir de la misma
manera. Si se hacen figuras con dos geoplanos diferentes, uno de los geoplanos se puede
mover de manera que eventualmente las construcciones se puedan ver de la misma manera
(quizás mediante el volteo de la base por el lado opuesto, o una rotación de 90º). Los alumnos
pueden copiar sus triángulos sobre un papel reticulado y después recortarlos de manera que
puedan decidir si coinciden o no.
Experiencias de los alumnos con los geoplanos virtuales interactivos
El geoplano virtual permite a los estudiantes sombrear sus figuras y hacer una variedad
mayor de triángulos que los permitidos con una geoplano tradicional de una matriz de 5×5
clavos. El maestro puede evaluar la comprensión de los alumnos de las propiedades del
triángulo preguntándoles que expliquen cómo saben que todas las formas representadas son
triángulos.
Ejercicio 2:
a) ¿Cuáles son algunas de las estrategias que puedes usar para ayudar a los alumnos a centrarse
sobre las propiedades de los triángulos cuando construyen figuras de cuatro lados y las
consideran como triángulos?
b) ¿Qué experiencias, conocimientos y vocabulario deberían tener los alumnos con el fin de que
sean capaces de identificar y definir los triángulos?
c) ¿Cuáles son algunas de las actividades que los estudiantes de estas edades pueden realizar en
las que se use la congruencia de figuras?
Actividad 6
Construye las siguientes figuras en el geoplano:
• Tantos cuadrados de distinto tamaño como sea posible
• Tantos hexágonos diferentes de distinto tamaño como sea posible
• El polígono con el menor número de lados que puedas hacer
305
J. D. Godino y F. Ruiz
• El polígono con el mayor número de lados que puedas hacer
• Polígonos con un número de lados entre el menor y el mayor posible.
Estudio de los polígonos en la clase
Por medio de discusiones informales en la clase en pequeños grupos, los maestros
ayudan a los alumnos a aprender el vocabulario geométrico así como a aprender las
propiedades de los diferentes polígonos. Algunas propiedades de las figuras serán más fáciles
de identificar que otras cuando los alumnos tratan de crear una figura sobre el geoplano. Por
ejemplo, los polígonos se forman con segmentos, lo que se modeliza mediante una goma o
banda que conecta dos nodos, y los polígonos son figuras cerradas. Los alumnos pueden
aprender los nombres de figuras específicas que construyen cuando hablan sobre los
hexágonos que tienen seis lados y los cuadriláteros que tienen cuatro lados.
Los alumnos pueden construir su polígono favorito en el geoplano y describirlo a la
clase. El maestro puede preguntar si dos figuras son congruentes y cómo pueden justificar los
alumnos sus afirmaciones. Los alumnos pueden clasificar los polígonos y describir porqué se
agrupan de una cierta manera .
El trabajo con el geoplano virtual hace que la exploración sea más fácil a los alumnos
que tienen dificultades en el manejo de las gomas. Debido a que los alumnos tiene un área de
trabajo más grande pueden hacer una variedad mayor de polígonos. Hay oportunidad de crear
múltiples figuras cóncavas y convexas y verlas simultáneamente. El poder rellenar las figuras
con colores ayuda a los alumnos más pequeños a observar el número de lados, y puesto que
las figuras abiertas no se pueden sombrear, esto ayuda a comprender que los polígonos son
figuras cerradas. Como ocurre con los geoplanos concretos, las lineas formadas por las bandas
son rectas no curvadas.
Ejercicio 3:
¿De qué otra manera puedes ayudar a los alumnos a aprender las propiedades de los polígonos
distinta del uso de los geoplanos?
¿Qué experiencias, conocimientos y vocabulario deberían tener los estudiantes con el fin de desarrollar
la comprensión de las propiedades de los cuadriláteros?
Actividad 7: Desafío de propiedades (nivel 1-2)
Esta actividad se puede hacer casi con cualquier material que permita dibujar o construir formas
fácilmente. Listar propiedades o relaciones y hacer que los alumnos construyan tantas formas como
sea posible que tengan esas propiedades o muestren esas relaciones. Comparar las formas hechas por
los diferentes grupos. Estos son algunos ejemplos:
– Hacer una figura de cuatro lados con dos lados paralelos de la misma longitud pero no paralelos.
– Hacer varias figuras de seis lados. Hacer alguna con uno, dos y tres pares de lados paralelos y alguna
sin ningún lado paralelo.
– Hacer figuras que tengan esquinas rectangulares. ¿Se puede lograr que tengan tres lados? ¿Y con
cuatro, cinco, seis, siete u ocho lados?
– Hacer cinco triángulos diferentes. ¿En qué se diferencia? (Igual para figuras con cuatro, cinco y seis
lados)
– Hacer triángulos con dos lados iguales (congruentes)
– Hacer figuras de cuatro lados con tres lados congruentes
– Intentar hacer figuras de cinco lados con cuatro lados que sean iguales
– Hacer cuadriláteros que tengan todos los lados iguales (o con dos pares de lados iguales)
– Hacer una figura con uno o más ejes de simetría, o con simetría rotacional.
306
Figuras geométricas
A estos desafíos de propiedades se pueden incorporar también otras nociones como
perpendicular, medidas de ángulos, área, perímetro, semejanza, concavidad y convexidad,
simetría, etc. También se puede pedir que los propios alumnos se planteen otros problemas del
mismo tipo que pongan en juego otras propiedades.
3.2.2. Actividades con el Tangram
La descripción de las figuras geométricas planas y la visualización de su aspecto
cuando se les aplican transformaciones, como pueden ser rotaciones o simetrías, o bien se
componen unas con otras, son aspectos importantes del aprendizaje de la geometría en los
primeros niveles educativos. En esta sección describimos el uso de un material didáctico que
se conoce como tangram que sirve de soporte material (o virtual) para el diseño de
experiencias de enseñanza de gran interés. Se trata de un conjunto de siete piezas (un
rompecabezas) que permite plantear una gran variedad de problemas y experiencias
geométricas. Usaremos el ejemplo electrónico elaborado por el NCTM como parte del
documento “Principios y Estándares 2000 para las matemáticas escolares” donde nos ofrecen
la posibilidad de trabajar con un “tangram virtual”.
En una primera parte los estudiantes pueden elegir una figura y usar las siete piezas
para rellenar el contorno. En la segunda parte, “desafíos con el tangram”, se propone que los
estudiantes usen las piezas del tangram para formar polígonos dados.
Actividad 8
Elige una figura y usa las siete piezas para rellenar el contorno.
Observaciones:
Las experiencias previas de los alumnos con puzzles proporciona una base para
realizar esta actividad. Ya que hay puzzles similares disponibles hechos de plástico o de
cartulina, los alumnos pueden pasar de las experiencias con material concreto al entorno del
ordenador. Después que los alumnos han tenido tiempo de trabajar con los contornos, el
profesor puede plantear cuestiones como las siguientes, para provocar la reflexión sobre
soluciones diferentes, o para que reflexionen sobre las estrategias que usan para resolver las
tareas.
• ¿Puedes rellenar el contorno de otra manera?
307
J. D. Godino y F. Ruiz
• ¿Cuántas formas diferentes hay de rellenar esta figura?
• ¿Qué haces cuando no puedes imaginar una solución?
• Se pueden sustituir algunas piezas del tangram por otras?
¿Qué aprende los alumnos?
Aunque completar estos puzzles u otros similares, bien con material manipulativo o con
el ordenador, puede ayudar a los estudiantes a generalizar sus experiencias, el entorno del
ordenador es probable que les estimule a pensar sobre cómo necesitan manipular las piezas en
lugar de hacerlo principalmente por ensayo y error. El trabajo con un compañero en el
ordenador también estimula a los estudiantes a ser más precisos en el uso del vocabulario
sobre el espacio. El maestro puede enriquecer el vocabulario de los estudiantes en sus
conversaciones con otros estudiantes comentando las acciones que realizan, diciendo por
ejemplo, “Veo que estás girando el paralelogramo”, o bien “¿Qué diferencia produciría si se
volteara la pieza?
Ejercicio 4:
a) ¿Cómo pueden los profesores proporcionar tiempo para que todos los alumnos interactúen con los
tangram virtuales?
b) ¿Qué tipo de discusiones sobre el trabajo de los alumnos con las piezas del tangram puede
planificar el maestro que pudieran enriquecer la comprensión de los estudiantes sobre las formas y el
movimiento en el espacio?
Desafíos con el tangram
Actividad 9:
a) ¿Es posible completar todas las tareas que se describen a continuación? Intenta resolver
estos desafíos con el tangram virtural:
• Construye un cuadrado usando sólo una pieza del tangram
• Ídem usando dos, tres, cuatro, cinco, seis y las siete piezas del tangram.
b) ¿Cuáles de las siguientes figuras puedes hacer usando las siete piezas del trangram?
• Un trapezoide
• Un rectángulo que no sea un cuadrado
• Un paralelogramo que no sea un cuadrado
• Un triángulo
El trabajo en la clase
Muchos estudiantes encontrarán estas tareas muy interesantes pero difíciles. Los alumnos
están aprendiendo sobre las posiciones de las figuras en el espacio, así como nuevo
vocabulario y las propiedades de las figuras. El tangram virtual puede ayudar a que los
estudiantes sean más conscientes de las propiedades de las figuras y de los procesos que usan
al manipular las formas ya que deben planificar los movimientos que necesitan realizar. Los
profesores pueden animar a los estudiantes a planificar sus acciones si tienen que trabajar con
un compañero y hablar entre ellos de las acciones que tienen que realizar. Por ejemplo, los
estudiantes tienen que imaginar explícitamente cómo colocar las piezas del tangram, unas
respecto de otras, en las actividades en las que no hay un contorno que rellenar. Las
308
Figuras geométricas
herramientas incorporadas en el tangram virtual que permiten realizar giros y simetrías son
también un buen recurso para que los estudiantes vean los movimientos geométricos.
Estos desafíos con el tangram se pueden hacer más fáciles dando contornos a los
alumnos para que los usen en sus pupitres, de manera que puedan experimentar con el ajuste
de las siete piezas del tangram en los contornos propuestos.
Evaluación mediante observaciones y conversaciones
Las actividades descritas con el tangram pueden servir como vehículos para evaluar el
pensamiento de los estudiantes. Al observar y hablar con los estudiantes, el profesor puede
tener en cuenta cuestiones como las siguientes:
– ¿Tienen facilidad los estudiantes para manipular las formas?
– ¿Qué vocabulario usan los estudiantes cuando hablan unos con otros?
– ¿Reconocen los estudiantes la congruencia y las relaciones entre combinaciones de formas?
– ¿Utilizan los estudiantes lo que han aprendido en tareas previas de resolución de problemas?
Ejercicio 5
a) ¿Cómo podría facilitar el aprendizaje de los niños con necesidades especiales el trabajo con
manipulativos basados en el ordenador?
b)¿Qué actividades adicionales podrían diseñar los profesores para centrar la atención de los
estudiantes en las relaciones entre las piezas del tangram?
3.4. Construcción y exploración de sólidos
La construcción de formas tridimensionales presenta un poco de más dificultad que las
formas bidimensionales pero posiblemente sea una actividad más importante. Construir un
modelo de una forma tridimensional es una manera informal de lograr la comprensión de la
forma de una manera intuitiva en términos de sus partes componentes.
Actividad 10: Desarrollo de sólidos (nivel 0)
Hacer que los alumnos dibujen desarrollos de diversos sólidos. Sobre papel cuadriculado con una
retícula de 1cm de lado se pueden trazar líneas paralelas y ángulos sin tener que hacer mediciones.
Conos circulares se pueden hacer fácilmente recortando un sector de un círculo. Experimentar con
círculos de tamaños diferentes y diferentes sectores. El valor principal de la construcción de sólidos a
partir de sus desarrollos está en la identificaicón de la forma de las caras y dónde se deben conectar las
caras.
309
J. D. Godino y F. Ruiz
Los sólidos se pueden también construir usando otras piezas más simples como pueden ser
cubos de madera o de plástico.
Actividad 11: Cajas de bloques
¿Cuántos sólidos rectangulares (ortoedros) diferentes se pueden construir usando 12 cubos para cada
uno de ellos? (Un sólido rectangular tiene seis caras, y cada cara es un rectángulo). Probar con otro
número de cubos. ¿Cuándo son congruentes (exactamente los mismos) dos sólidos rectangulares?
¿Cómo tendrías que girar un sólido para ponerlo en la misma orientación que otro que tiene la misma
forma?
Actividad 12: Generación de sólidos (nivel 1)
1. Dar a los alumnos una figura recortada en cartulina. La tarea consiste en describir, dibujar o
construir con plastilina (u otro material) todos los sólidos que se puedan generar a partir de esa forma.
La figura se puede girar o trasladar de cualquier manera. ¿Se pueden generar algunas figuras de más
de una manera?
2. Dar a los alumnos un modelo de un sólido, o describirlo oralmente. Los alumnos tienen que dibujar
y recortar una o más formas que generen dicho sólido y describir como se haría la generación.
¿Qué sólidos no se pueden generar de esta manera? ¿Qué se puede decir sobre un sólido que se ha
generado mediante deslizamientos? ¿Cómo se pueden generar los cilindros? ¿Y los primas? ¿Qué
tipos de conos se pueden generar y cómo?
3.5. Geometría dinámica (Logo y Cabrí)
Si se dispone en la escuela de un aula con ordenadores es posible utilizar programas
comerciales disponibles para el estudio de la geometría. Entre estos programas podemos citar
el Cabri y el módulo de la “geometría de la tortuga” del lenguaje de programación Logo
(Godino y Batanero, 1985).
4. CONFLICTOS EN EL APRENDIZAJE. INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN
Incluimos en esta sección una colección de items usados en diversas investigaciones para
evaluar los conocimientos geométricos de los niños, indicando algunas de las respuestas
erróneas encontradas, o los índices de dificultades.
1. La recta a es paralela a b, y la b es paralela a c. ¿Es cierto que a será paralela a c?
a
b
c
Respuesta:
310
Figuras geométricas
“No, porque b está en medio”
2. ¿Cuáles de las siguientes figuras son ángulos rectos?
83% 93% 63% 60% 63% 56%
Respuestas1 :
Los porcentajes indicados corresponden a las respuestas dadas por niños de 10 años
afirmando que tales figuras son ángulos rectos. Vemos cómo cambian los porcentajes de éxito
según la orientación de la figura y el tamaño de los segmentos trazados como lados.
3. ¿Cuáles de los siguientes segmentos son paralelos?
73% 71% 43% 38% 32%
Respuestas1:
Los porcentajes indicados corresponden a las respuestas dadas por niños de 10 años
afirmando que tales rectas son paralelas. Vemos cómo cambian los porcentajes de éxito según
la orientación de la figura y el tamaño de los segmentos trazados.
4. ¿Cuál de las siguientes figuras es un triángulo?
A
B
C
Respuesta:
“C no es un triángulo, porque se ha caido”
5. Señala entre las siguientes figuras, 1) La que sean un cuadrado; 2) La que sean un
triángulo.
a) b) c) d)
311
J. D. Godino y F. Ruiz
Repuestas4 :
Edad Porcentaje que reconoció que
c) es un cuadrado
5 años
6 “
7 “
54
56
50
Porcentaje que reconoción que
b) es un triángulo
5 años
6 “
7 “
8 “
9 “
10 “
38
47
24
65
50
67
6. Marca con una X debajo de aquellas figuras que creas que son rectángulos
Respuestas5:
En una muestra de 423 alumnos de 6º curso el 53% dieron una respuesta errónea a este ítem.
7. Marca con una X debajo de aquellas figuras que creas que son rectángulos
Respuestas5:
Porcentaje de respuestas incorrectas del 55%.
8. Marca con una X debajo de aquellas figuras que creas que son rombos
312
4 Dickson, Brown y Gibson (1991), p. 40.
5 Contreras (1994)
Figuras geométricas
Respuestas5:
Porcentanje de respuestas incorrectas del 44%.
9. Marca con una X debajo de aquellas figuras que creas que son paralelogramos:
Repuestas5:
Porcentaje de respuestas incorrectas del 80%.
10. Marca con una X debajo de aquellas figuras que creas que son trapecios:
Respuestas5:
Porcentaje de respuestas incorrectas del 86%.
11.
En el trapecio ABCD dos de sus ángulos son rectos y un tercer ángulo mide 54°. ¿Cuánto
mide el ángulo desconocido?
36° A
27° B
45° C
126° D*
Esta pregunta tuvo un 46% de aciertos en la evaluación de la Educación Primaria
realizada en 1995 por el INCE (Instituto Nacional de Calidad y Evaluación) a alumnos de 12
años. (http://www.ince.mec.es/prim/index.htm ).
313
J. D. Godino y F. Ruiz
12. Visualizar cómo será una figura en tres dimensiones girada ha resultado sencillo. El 68%
de alumnos de 13 años (en la evaluación TIMSS, España6) respondieron correctamente a la
siguiente pregunta:
6 http://www.ince.mec.es/pub/pubintn.htm#ref01
314
Figuras geométricas
5. TALLER DE DIDÁCTICA: ANÁLISIS DE SITUACIONES ESCOLARES
5.1. Respuestas de estudiantes a pruebas de evaluación 7
Un maestro propone a sus alumnos las dos preguntas siguientes en una prueba de evaluación.
Pregunta 1:
Escribe una descripción que permita a cualquier persona reproducir exactamente esta figura
sin haberla visto antes:
Pregunta 2:
Imagina que has faltado a la última clase de matemáticas. Tu compañera Carolina te describe
por teléfono una figura geométrica: “Traza con lápiz un círculo de 4 cm de radio. Dibuja con
lápiz 2 diámetros perpendiculares. Los extremos de estos diámetros son 4 puntos del círculo.
Traza con tinta los segmentos que unen los puntos y que no pasan por el centro del círculo”.
a) Dibuja la figura; b) ¿Cómo se llama la figura trazada con tinta?
Cuestiones para el futuro maestro:
Pregunta 1:
1. Responde a la pregunta
2. ¿Cómo pueden interpretar los alumnos la palabra “exactamente” utilizada en la pregunta?
3. El maestro espera que los alumnos utilicen en sus descripciones al menos dos términos del
vocabulario geométrico. ¿Cuáles son esos términos según tu opinión?
4. ¿Sobre qué puntos se centrará vuestra evaluación de la respuesta de un alumno que no utilice
ninguno de estos términos?
5. Caracterizar las competencias requeridas para realizar correctamente este test.
Pregunta 2:
1. Responde a la pregunta
2. ¿Cuáles son los elementos de apreciación del maestro para la parte a) ¿Qué piensas si el
maestro utiliza un calco para la corrección?
3. Para la parte b) se puede prever que algunos alumnos respondan “rombo”. ¿Por qué? ¿Cómo
reaccionarías a estas respuestas?
4. Comparar las competencias requeridas para realizar correctamente este pregunta con las de la
pregunta 1.
5.2. Análisis de actividades escolares 7
5.2.1. Construcción de un rectángulo
Un maestro propone a sus alumnos de 6º curso la actividad descrita en el documento adjunto,
en la que se pide dibujar distintos rectángulos.
1. Para cada uno de los seis ejercicios, describir un procedimiento de resolución en el cual un
alumno podría pensar. Indicar para cada procedimiento las ideas geométricas sobre las
cuales se apoya y los instrumentos utilizados.
315
7 Brousseau, G., Duval, A. y Vinrich, G. (1995). Thèmes mathématiques pour la préparation du concours CRPE.
Talence: IREM d’ Aquitaine.
J. D. Godino y F. Ruiz
2. ¿Cuáles son las variables didácticas que intervienen en los diferentes ejercicios? ¿En qué
sentido orientan la actividad de los alumnos?
3. El maestro considera este documento como un instrumento de evaluación. ¿Cómo puede
explotar esta prueba si no es considerada como una evaluación final (de tipo sumativo)?
1) Reproduce el rectánculo colocando un
vértice en A
4) Termina de dibujar un rectánculo
ABCD con centro en O
2) Reproduce el rectánculo colocando un
vértice en A
5) Construye un rectángulo de vértice A y
centro O
3) Construye un rectángulo con vértice en
A
A
X
6) Construye un rectángulo de centro O
O
X
5.2.2. Construcciones geométricas
El ejercicio adjunto tiene por consigna: “Reproduce la casa; ya se ha comenzado a dibujar un
trazo”. Responde a las siguientes cuestiones:
1. ¿En qué ciclo de la primaria situarías este ejercicio? Justifica la respuesta.
316
Figuras geométricas
2. ¿Cuáles son los conocimientos y destrezas necesarias para realizar con éxito este
ejercicio?
3. Si tuvieras que utilizar este ejercicio con tus alumnos,
a) ¿Qué medios de control pondrías al alcance de los niños?
b) ¿Qué clase de ayuda darías a los niños con dificultades?
c) ¿Cómo utilizarías las producciones de los niños, o sea, qué destacarías en el momento
de la síntesis de la secuencia?
4. ¿Qué ampliaciones podrías proponer a este ejercicio?
5. La casa se dibuja sobre papel blanco (no cuadriculado). La consigna del ejercicio es:
“Reproduce la casa con la ayuda de un compás, una regla no graduada y una escuadra”.
a) Realiza el ejercicio. Indicar las principales etapas de su construcción.
b) ¿Qué conocimientos y destrezas son necesarias para poder realizar este ejercicio?
c) ¿En qué ciclo de la escuela situarías este ejercicio? Justifica la respuesta.
5.2.3. Multiplicidad de patrones de un sólido
Para lograr que los niños tomen conciencia de la multiplicidad de patrones (desarrollos)
que pueden permitir la construcción de un sólido se les puede proponer el siguiente problema:
Se elige como sólido la pirámide regular de base cuadrada, es decir formada por un cuadrado
y cuatro triángulos equiláteros, y se pide realizar el mayor número posible de patrones. A
título de ejemplo, las figuras 1 y 2 representan dos patrones de dicha pirámide:
1. Representar mediante un esquema a mano alzada otros tres patrones de la pirámide de
base cuadrada.
2. Describir cómo organizar esta situación de investigación en una clase de primaria.
Sugerimos tener en cuenta la siguiente secuencia:
a) Presentar el desarrollo general, indicando las diferentes fases y sus características.
317
J. D. Godino y F. Ruiz
b) Para cada fase indicar la organización de la clase, el material puesto a disposición
de los alumnos (en particular el que permita dibujar rápidamente las figuras) así
como las consignas dadas.
c) Explicitar los conocimientos utilizados en esta actividad que deberán ser objeto de
institucionalización.
3. Explica si consideras que la actividad desarrollada reune las características de una
“situación-problema”.
5.2.4. Caracterización de un patrón
1. Analizar el ejercicio propuesto en el documento 1 adjunto.
a) Explicar apoyándote en ejemplos por qué se puede resolver el ejercicio sin tener
una comprensión de lo que es un patrón.
b) Tratar de comprender las estrategias que podría utilizar a priori un niño para
responder a esta cuestión.
2. Analizar el ejercicio propuesto en el documento nº 2
a) ¿Cuáles son los dibujos que no son patrones?
b) ¿Qué consignas suplementarias se pueden proponer para verificar que los niños
son capaces de poder justificar la obtención, o no, de la caja, a partir de las figuras
propuestas, sin hacer el recorte de la figura.
3. Balance comparativo de los objetivos de los dos ejercicios.
Para cada uno de los dos ejercicios, entre las propiedades de un sólido que permiten
caracterizarlo, indicar:
a) aquellas que basta identificar para responder a la consigna,
b) la que es imposible confrontar para las dos representaciones dadas (perspectiva y
patrón).
c) aquellas propiedades que, aunque aparezcan en las dos representaciones, no son
utilizadas en la resolución del ejercicio.
DOCUMENTO 1
Se han representado 4 poliedros y 5 patrones de poliedros. Relacionar mediante
una flecha cada poliedro con el patrón correspondiente.
318
Figuras geométricas
DOCUMENTO 2
Se quiere construir una caja como la que se representa a continuación:
Aquí debajo se muestran figuras recortables algunas de las cuales permiten
construir la caja propuesta. Señala las que efectivamente permiten hacer la
construcción.
5.3. Análisis de materiales didácticos
La cuadrícula como instrumento geométrico8
1. El papel cuadriculado se considera como un “instrumento” en geometría. ¿Por qué?
¿Cuáles son los restantes instrumentos en el estudio de la geometría?
2. ¿En qué se diferencia la geometría sobre ‘papel blanco’ respecto de la geometría en papel
cuadriculado?
3. Estos son dos ejercicios de un libro de primaria:
a) Observa esta figura y reprodúcela sobre papel cuadriculado:
8 Brousseau, G., Duval, A. y Vinrich, G. (1995). Thèmes mathématiques pour la préparation du concours CRPE.
Talence: IREM d’ Aquitaine.
319
J. D. Godino y F. Ruiz
b) Oserva esta figura y reprodúcela sobre papel blanco:
¿Qué competencias (conocimientos y destrezas) debe poseer el niño para resolver cada uno de
estos dos ejercicios?
¿Por qué se ha utilizado papel blanco o cuadriculado en cada caso?
5.4. Análisis de textos escolares. Diseño de unidades didácticas
Consigue una colección de libros de texto de matemáticas de 2º y 3er ciclo de primaria
(recomendamos buscar los libros que utilizastes personalmente, o bien los de algún familiar o
amigo).
– Estudia el desarrollo del tema de “Figuras geométricas” en dichos niveles.
– Indica en qué curso se inicia y cuando termina.
– Busca algún tipo de problema o tarea que consideres no está representado en la muestra de
problemas que hemos seleccionado como actividad introductoria del estudio de este tema.
– Identifica aspectos del desarrollo del tema en los manuales escolares que consideres
potencialmente conflictivos.
– Describe los cambios que introducirías en el diseño las lecciones propuestas para los
cursos de primaria.
Bibliografía
Alsina, C., Burgués y Fortuny, J. M. (1987). Invitación a la didáctica de la geometría.
Madrid: Síntesis.
Alsina, C., Burgués y Fortuny, J. M. (1987). Materiales para construir la geometría. Madrid:
Síntesis.
Brousseau, G., Duval, A. y Vinrich, G. (1995). Thèmes mathématiques pour la préparation
du concours CRPE. Talence: IREM d’ Aquitaine.
Cañizares, M. J. (2001) Elementos geométricos y formas espaciales. En, Enr. Castro (Ed.),
Didáctica de la matemática en la educación primaria (pp. 401-426). Madrid: Síntesis
320
Figuras geométricas
Dickson, L., Brown, M. y Gibson, O. (1991). El aprendizaje de las matemáticas. Madrid:
MEC y Ed. Labor.
Godino, J. D. y Batanero, C. (1985). Microordenadores en la escuela. Madrid: Rama.
Guillén, G. (1991). Poliedros. Madrid: Síntesis.
Long, C. T. y DeTemple, D. W. (1996). Mathematical reasoning for elementary teachers.
New York: Harper Collins.
Martínez, A. M. y Juan, F. R. (Coord.) (1989). Una metodología activa y lúdica para la
enseñanza de la geometría. Madrid: Síntesis.
Serrano, L. (2001). Elementos geométricos y formas planas. En, Enr. Castro (Ed.), Didáctica
de la matemática en la educación primaria (pp. 379-400). Madrid: Síntesis
Van de Walle, J. A. (2001). Elementary and middle school mathematics. Teaching
developmentally (4ª edición). New York: Longman.
321
J. D. Godino y F. Ruiz
322
Proyecto Edumat-Maestros
Director: Juan D. Godino

http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/

IV.
Didáctica de la Geometría
para Maestros
Capítulo 2:
TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS.
SIMETRÍA Y SEMEJANZA
J. D. Godino y F. Ruiz
324
Transformaciones geométricas
1. ORIENTACIONES CURRICULARES
Las orientaciones curriculares del MEC (DCB) para la educación primaria incluyen
en el bloque 4, “Las formas en el espacio”, dentro del apartado de “procedimientos”, las
siguientes indicaciones:
6. Búsqueda de elementos de regularidad y simetría en figuras y cuerpos geométricos.
7. Trazado de una figura plana simétrica de otra respecto de un elemento dado (puntos y
ejes de simetría).
Los Principios y Estándares 2000 del NCTM proponen que los programas de
enseñanza de matemáticas para los niveles de educación infantil y primaria incluyan el
logro del objetivo general: “Aplicar transformaciones y usar la simetría para analizar
situaciones matemáticas”. Este objetivo se concreta para los niveles de infantil a 2º
curso:
– reconocer y aplicar traslaciones, giros y simetrías;
– reconocer y crear formas que tengan simetría.
Para los niveles 3º a 5º se amplian de la siguiente manera:
– predecir y describir los resultados de deslizar, voltear y girar formas
bidimensionales;
– describir un movimiento o una serie de movimientos que muestren que dos
formas son congruentes;
– identificar y describir las simetrías en formas y figuras bidimensionales o planas y
tridimensionales.
Ejercicio:
Analizar las diferencias y semejanzas de las orientaciones curriculares propuestas para el
estudio de las transformaciones geométricas, la simetría y la semejanza en:
– Diseño Curricular Base (MEC)
– Orientaciones curriculares de tu Comunidad Autónoma
– Principios y Estándares 2000 del NCTM
2. DESARROLLO COGNITIVO Y PROGRESIÓN EN EL APRENDIZAJE
De acuerdo con Dickson, Brown y Gibson (1991), el estudio de las
transformaciones de las figuras geométricas ha ido progresivamente primando sobre la
presentación formal de la geometría basada en teoremas y demostraciones deductivas.
Al parecer, su principal valor reside, para la mayoría de los niños, en el estudio de
ciertas transformaciones por el valor intrínseco de éstas, no tanto porque contribuyan a
proporcionar una imagen unificada de las matemáticas. El estudio de las
transformaciones se puede basar en acciones fáciles de realizar (por medio de plegados
y giros), por lo que pueden servir para generar descubrimientos relativos a las
transformaciones y para comprobar las predicciones e inferencias de los niños. También
contribuye a resaltar aspectos más tradicionales de la geometría, como la congruencia y
la semejanza.
La comprensión por los niños de distintas edades de las traslaciones, giros y
simetrías ha sido evaluada en distintas investigaciones. Thomas1 propuso el siguiente
test clásico de conservación de la longitud de segmentos a un grupo de 30 niños, 10 de
cada una de las edades 6, 9, y 12 años:
1 Citado por Disckon et al. (1991, p. 65)
325
J. D. Godino y F. Ruiz
Se presentan dos varillas de la misma longitud:
Seguidamente se desplaza una de las varillas:
se pregunta al niño si son de la misma longitud, o si una es más larga o más corta que la otra.
Los resultados de Thomas para esta experiencia indicaron que a la edad de 6 años, 8 de
cada 10 niños no tienen sentido de conservación de la longitud ante la traslación, a la
edad de 9 años son 7 de cada 10 y a la de 12 todos los niños comprendían la invariancia
de los segmentos.
Esta misma autora propuso a los niños tareas relativas a la transformación de un
triángulo al aplicarle traslaciones, giros y simetrías. Los niños tenían que comparar la
longitud de un lado del triángulo antes y después de cada movimiento, diciendo si era
“más corto”, “más largo” o “igual” que antes. Casi todos los alumnos de Thomas
consideraron que la longitud permanecía invariante en las rotaciones y en las simetrías,
pero en el caso de la traslación, los niños con un sentido insuficiente de la conservación
opinaron que las longitudes de los lados de la figura geométrica cambiaban.
Otra serie de tareas usadas por Thomas estaban dirigidas a descubrir si los niños
comprendían que un punto particular del lado de un triángulo conservaría la misma
posición sobre ese mismo lado al seguir cierta transformación de la figura.
Practicamente todos los alumnos de 12 años sitúan el punto en la posición correcta, pero
los de 6 y 9 años tienen importantes dificultades. Cuando se le da al triángulo un giro de
90º en sentido horario, el 60% de los niños de 6 años y el 50% de los de 9 años fallan.
Para las preguntas sobre el efecto de la simetría los resultados se indican en la tabla
adjunta:
326
Transformaciones geométricas
Otro investigador que ha estudiado el desarrollo de la comprensión de los
movimientos por niños de edades entre ocho, nueve y diez años ha sido Kidder2.
Propuso a los niños el test clásico de conservación de longitudes, proporcionándoles
definiciones operativas de las traslaciones, simetrías y giros. En las pruebas se utilizaron
listores de unos 10 centímetros de longitud y flechas hechas con alambres para indicar
los diversos movimientos. El listón se situaba frente al niño, junto con la flecha de
alambre. Se le superponía al listón original otro idéntico, y se le mostrata al niño la
transformación deseada realizándola sobre el listón de encima, dejando fijo el original.
Cada movimiento se repetía varias veces y a continuación lo hacía el niño por sí solo.
La figura adjunta muestra los movimientos enseñados.
327
2 Citado por Dickson et. al. (1991).
J. D. Godino y F. Ruiz
Los niños que tuvieron éxito en la ejecución de estas transformaciones pasaron a
integrar el grupo de 20 de cada edad, los cuales prosiguieron con la segunda fase del
estudio, realizando el test sobre las transformaciones. Se trataba de ver si reconocían la
invariancia de la longitud del listón tras la aplicación de los movimientos. Con dicho fin
se utilizaba un listón objeto, un movimiento indicado (similar a los mostrados en la
figura) y otros cinco listones, de los cuales solamente uno tenía la misma longitud que
el listón objeto. Se le pedía al niño que utilizase uno de los listones para que mostrase
qué aspecto tendría una vez efectuado el movimiento indicado. Se le dijo a cada niño
que podía medir si lo deseaba, con el fin de que supiera claramente que le estaba
permitido comparar los listones. Se animó a cada uno de los niños a que explicase sus
accciones.
Los resultados indicaron (sorprendentemente, en vista de lo asegurado por Piaget)
que solamente un 31% reconocieron la conservación de longitud en el sentido clásico
durante la etapa inicial de la investigación; concretamente tuvieron éxito el 40% de los
niños de ocho años, 55% de los niños de 9 años y 60% de los de 10. Sin embargo,
cuando se aplicó el test de las transformaciones, solamente el 23% de los niños con
sentido de conservación clásico eligieron coherentemente el listón imagen de longitud
correcta correspondiente a la traslación. Entre las conclusiones de Kidder está que la
conservación de longitud en sentido clásico piagetiano no es suficiente para garantizar
tal conservación en operaciones mentales más complejas.
Remitimos al lector al libro citado de Dickon et. al. (1991) para un estudio más
completo de este apartado sobre desarrollo de la comprensión de las propiedades de las
transformaciones geométricas por los niños.
3. SITUACIONES Y RECURSOS DIDÁCTICOS
Algunas propiedades de las formas geométricas merecen una atención especial,
como son las que corresponden a la simetría y la semejanza. Las actividades que se
pueden proponer para investigar este tipo de propiedades geométricas pueden requerir
diversos niveles de desarrollo del pensamiento geométrico por parte de los estudiantes,
aunque en la mayor parte de estas actividades se pone en juego el nivel 1 o superior. Los
alumnos que estén en el nivel 0 pueden ser capaces, no obstante, de trabajar con ellas
aunque puede que no apliquen estas propiedades a clases completas de formas
geométricas. Los alumnos que estén en el comienzo del nivel 2 pueden ser puestos en
situación de ver cómo se relacionan las propiedades o qué condiciones dan lugar a
propiedades particulares.
3.1. Juegos de psicomotricidad
Las situaciones de juego de psicomotricidad parecen muy recomendables para
iniciar el estudio de distintos aspectos de la geometría, y de manera especial en el caso
de los movimientos. En el libro de A. Martínez y F. Juan (1989) encontramos
abundantes ejemplos de este tipo de situaciones, así como los fundamentos
metodológicos en los que basan su propuesta curricular. Describimos, a continuación
dos situaciones de este tipo, una para familiarizar a los alumnos de segundo ciclo de
primaria sobre los giros y otra sobre las simetrías. En ambos casos se supone que los
niños tienen posibilidad de moverse con libertad por una sala de dimensiones adecuadas
en la que hay colocado al menos un espejo grande.
328
Transformaciones geométricas
Actividad 1: Psicomotricidad y apreciación del giro
– Nos movemos libremente por el espacio
– Nos movemos dando vueltas sobre nosotros mismos, girando (hay que cambiar el
sentido de giro para evitar mareos). Seguir girando pero en el suelo.
– Nos ponemos por parejas y buscamos diferentes formas de girar juntos. Buscamos
giros que impliquen un desplazamiento y giros sin desplazamiento
– Nos movemos por grupos y buscamos distintas formas de girar juntos. Buscamos giros
con desplazamientos y giros sin desplazamientos.
– Nos juntamos todos y buscamos distintas formas de girar juntos, con desplazamiento o
sin desplazamiento.
– Buscamos objetos de la clase que puedan girar y jugamos con ellos, con su giro.
– Buscamos objetos de la clase que puedan girar y donde quepamos dentro nosotros,
para girar con ellos (se procurará que haya neumáticos viejos, cestas de mimbre, cajas
cilíndricas, etc.)
Actividad 2: Psicomotricidad y simetrías
– Nos movemos libremente por el espacio al ritmo de una música.
– Nos colocamos delante de un espejo grande (que habrá en clase), nos seguimos
moviendo por el espacio y nos vemos en el espejo. Nos alejamos y acercamos al espejo,
movemos una mano y la otra, etc.
– Por parejas jugamos a los juegos de imitación. Uno se pone delante y se mueve como
quiere. El otro se pone detrás e imita su movimiento. Después se intercambian las
posiciones.
– Seguimos por parejas jugando a los juegos de imitación, pero ahora al “juego de los
espejos”. Al igual que antes, uno imita el movimiento de otro, pero ambos se ponen
frente a frente, de manera que el que imita hace las veces de imagen reflejada por un
espejo.
– Se reparten varillas de madera. Seguimos jugando al espejo, pero ahora intervienen
también los palos.
– Nos ponemos por grupos. Unos hacen de figura y los otros de figura imagen. Hacemos
las figuras con nuestros cuerpos y con los palos.
– Continuando con el ejercicio anterior, la figura original se hace con los palos en el
suelo. Se coloca una cuerda en el suelo (haciendo las veces de espejo), separando la
figura original de su “imagen reflejada”.
– Análogo al anterior, pero por parejas y con palos pequeños.
Remitimos al lector al libro citado de Martínez y Juan (1991, p. 102-103) para
encontrar una rica colección de actividades complementarias de exploración de las
transformaciones geométricas en la clase de matemáticas.
3.2. Simetría axial
Es importante que los niños vean la simetría en los objetos que les rodean; es
conveniente poner en el tablón de clase dibujos o fotografías de objetos que tengan
simetrías, y que los niños dibujen o construyan formas simétricas. Una manera sencilla
de hacerlo puede ser doblando una hoja de papel y haciendo diversos recortes de los
329
J. D. Godino y F. Ruiz
bordes: al desdoblar la hoja se obtendrán figuras con eje de simetría por el doblez
inicial.
Actividad 3:
Dibujar los ejes de simetría de cada una de estas figuras. Trazar las figuras sobre una
hoja y comprobar mediante doblado las respuestas.
Incluimos a continuación algunos tipos de actividades y materiales que se pueden
proponer para el estudio de las propiedades de simetría de las figuras.
Actividad 4: Simetría usando la cuadrícula de puntos
Sobre un geoplano, o usando papel cuadridulado, trazar una recta. Trazar una figura a
uno de los lados de dicha recta y que alguno de sus lados toque a la recta. Dibujar la
imagen simétrica de la figura tomando como eje de simetría la recta trazada. Comprobar
el resultado con un espejo situado sobre el eje. Comprobar también el resultado
doblando el papel por el eje de simetría
Un dispositivo útil para el estudio de las simetrías y las
transformaciones es una pieza de metacrilato transparente
de color rojo conocida como “mira”, de forma rectangular
y con unas dimensiones que suelen estar alrededor de los 9
330
Transformaciones geométricas
x 15 cm2. Uno de los bordes de 15 cm. está biselado, de modo que presente una línea de
contacto con el papel, sobre el que posteriormente se apoyará, lo más fina posible.
Dicha pieza rectangular se mantiene completamente vertical sobre el plano del papel
mediante dos piezas laterales, que pueden ser del mismo material o de madera. Al
colocar la mira sobre un eje de simetría de una figura se reflejará sobre el metracrilato,
de manera visible, la otra mitad simétrica de la figura.
Actividad 5 (movimientos sobre la huella):
Recortar en cartulina una forma poligonal, por ejemplo un rombo, como se muestra en
la figura adjunta. Identificar los vértices con letras por ambas caras, de manera que se
ponga la misma letra en cada vértice en las dos caras en que se puede mostrar. Sobre
una hoja de papel trazar el contorno de la figura; obtenemos lo que podemos denominar
la “huella” de la figura sobre la hoja. ¿De cuántas manera diferentes se puede mover la
pieza de tal manera que tras el movimiento vuelva a coincidir con la huella? Se supone
que en los movimientos la pieza puede levantarse del plano.
Los alumnos pueden descubrir que para una forma plana hay tantas líneas de simetría
como maneras diferentes se pueda mover la figura de manera que vuelva a coincidir con
su “huella”.
3.3. Simetría rotacional
Una de las introducciones más sencillas de la simetría rotacional es usando las
huellas de figuras trazadas como se ha hecho en la actividad anterior. Si una figura se
ajusta a su huella de más de una manera sin que se levante del plano (sin voltearla) tiene
simetría rotacional. El número de maneras diferentes en que una figura se puede hacer
coincidir consigo misma es el orden de la simetría rotacional. Un cuadrado tiene
simetría rotacional de orden cuatro y un paralelogramo con los lados y ángulos
desiguales tiene una simetria de orden 2, pero ningún eje de simetría.
Actividad 6: Construcción de formas girables
Usar teselas, geoplanos, o papel cuadriculado para dibujar una forma que tenga simetría
rotacional de un orden dado. Excepto para los polígonos regulares esta actividad puede
suponer un cierto desafío. Para probar el resultado, trazar la huella de la forma sobre un
papel y recortarla en cartulina. Rotar la figura buscando los casos en que coincida con la
huella.
331
J. D. Godino y F. Ruiz
3.4. Simetría de figuras tridimensionales
Actividad 7: Simetría plana en construcciones de cuerpos
Usando cubos encajables hacer construcciones que tengan un plano de simetría. Si el
plano de simetría pasa entre los cubos, separar el cuerpo en las dos partes simétricas.
Tratar de hacer construcciones con dos o más planos de simetría.
3.5. Figuras semejantes
Tanto en dos como en tres dimensiones dos figuras pueden tener la misma forma
pero dimensiones diferentes. En el nivel 0 de razonamiento el concepto de “semejanza”
es estrictamente visual y posiblemente no será preciso. En el nivel 1, los alumnos
pueden comenzar a hacer medidas de ángulos, longitudes de lados, calcular áreas y
volúmenes (de los sólidos) que sean semejantes. De esta manera se pueden encontrar
relaciones entre formas semejantes. Por ejemplo, los alumnos pueden encontrar que
todos los ángulos que se corresponden deben ser congruentes, pero que otras medidas
varían de manera proporcional. Si un lado de una figura semejante a otra es de triple
tamaño que el correspondiente en la figura pequeña, esa misma relación habrá entre
todas las restantes dimensiones. Si la razón entre las longitudes correspondientes es de 1
a n, la razón entre las áreas será de 1 a n2, y la razón entre los volúmenes será de 1 a n3.
Como vemos el estudio de la semejanza de figuras está estrechamente relacionado
con el estudio del razonamiento proporcional.
Una primera definición de figuras semejantes que se puede dar a los alumnos es
que son figuras que “tienen el mismo aspecto” pero tamaños diferentes. Para ayudarles a
comprender este concepto se pueden dibujar tres rectángulos en la pizarra. Hacer que
dos sean semejantes, por ejemplo, con lados de razón 1 a 2. El tercer rectángulo deberá
ser muy diferente, con lados en razón de 1 a 10, por ejemplo. ¿Qué rectángulos se
parecen más? Al principio la noción de semejanza se desarrollará de manera intuitiva;
después se podrá dar una definición más precisa: Dos figuras son semejantes si todos
los ángulos son congruentes y las longitudes de los lados correspondientes son
proporcionales. La siguiente actividad se puede hacer antes de proporcionar este tipo de
definición.
332
Transformaciones geométricas
Actividad 8: Construir una figura semejante
Dibujar o construir al menos tres figuras semejantes a una forma dada (rectángulos,
triángulos o círculos, o cualquier polígono; en tres dimensiones pueden ser prismas
rectangulares o cilindros circulares). Después de hacer las figuras, los alumnos medirán
al menos tres longitudes en cada figura. También pueden calcular las áreas y los
volúmenes. Poner todas las medidas en una tabla para hacer las comparaciones entre las
mismas. Sugerir algunas comparaciones mediante razones.
Rectángulos semejantes
Comparar las razones de las longitudes de
los lados y las razones entre las áreas.
Ejemplo: Razones entre el pequeño y el
grande
Longitud: 2 a 6 ( 1 a 3)
Área: 12 a 108 (1 a 9)
18
12 6
4
6 2
4. CONFLICTOS EN EL APRENDIZAJE. INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN
Se han realizado diversas investigaciones para estudiar la comprensión por los
niños de diferentes edades de las propiedades de las figuras que son invariantes ante las
transformaciones geometrías (traslaciones, giros y simetrías) y la construcción de las
figuras transformadas. Incluimos a continuación algunos items, índices de dificultad y
algunos tipos de errores observados.
Traslaciones
La traslación es la isometría más sencilla y, por lo tanto, plantea menos dificultades
que las simetrías y los giros3. Las dificultades suelen surgir en los siguientes aspectos:
– La comprensión del concepto de vector libre como vector asociado a una traslación.
Los estudiantes tienen la tendencia a pensar que una traslación consiste en llevar la
figura hasta el extremo de la flecha dibujada indicativa de la traslación.
– La realización de traslaciones cuando la figura tiene forma poligonal (especialmente si
es rectangular) y el vector de la traslación es paralelo a uno de sus lados. Es muy
frecuente el error consistente en
dibujar el vector empezando en un
extremo del lado inicial y terminando
en el otro extremo del lado imagen:
Conservación de la longitud de segmentos ante las traslaciones
Un test clásico de conservación de la longitud fue usado por Piaget. Se vale de dos
varillas de la misma longitud; seguidamente se desplaza una de las varillas y se hacen
preguntas al niño: ¿Son de la misma longitud? ¿Es una más larga o más corta que la
otra?
333
3 Jaime y Gutiérrez (1996, p. 68)
J. D. Godino y F. Ruiz
La mayoría de los estudios de este tipo han llevado a la conclusión de que los niños
afirman que los segmentos tienen la misma longitud por término medio entre los seis y
los ocho años de edad; reconocen que a pesar del desplazamiento, las longitudes de las
varillas permanecen iguales. En estadios anteriores, no se llega a distinguir plenamente
la longitud de la varilla de la posición de los extremos.
Simetrías
Jaime y Gutiérrez (1996) clasifican los errores de los alumnos sobre las simetrías en
dos grupos:
1) Errores cuyo origen está en el concepto de simetría, ya que surgen cuando los
estudiantes no aplican correctamente las dos propiedades que relacionan una figura y su
imagen:
– Falta de equidistancia al eje de cada punto y su imagen, como se
muestra en la figura (a), donde la imagen correcta aparece punteada:
– Falta de perpendicularidad respecto del eje del segmento que une
un punto y su imagen (b):
– Combinaciones de los dos errores anteriores. En todos los casos,
los estudiantes olvidan alguna de las dos características de las
simetrías, o ambas.
2) Errores cuyo origen está en una interpretación reducida o deformada de la simetría,
que surgen cuando los estudiantes utilizan concepciones erróneas
de tipo visual:
– Dibujo de la imagen paralela a la figura original aunque ésta no
sea paralela al eje (c):
– Desplazamiento horizontal o vertical de la figura aunque el eje
de simetría esté inclinado (d):
334
Transformaciones geométricas
– Combinaciones de los dos errores anteriores, y dibujo de la
imagen sobre la prolongación de la figura dada en alguna dirección
específica (e).
Los índices de dificultad de las tareas dependen en gran medida de los valores
particulares de algunas variables. Por ejemplo, la construcción de la imagen de una
figura por una simetría resulta bastante más difícil si el eje no es vertical. Alrededor del
80% de los niños de 11 años dibujan la figura simétrica cuando el eje es vertical. Sin
embargo, sólo el 14% tuvieron éxito cuando el eje era oblícuo 4:
Espejo
Espejo
A título de ejemplo incluimos, a continuación, una de las preguntas incluidas en la
evaluación internacional conocida como TIMSS5, aplicada en España, sobre
reconocimiento de ejes de simetría. El 47% de los alumnos de 13 años (7º de EGB)
respondieron correctamente:
335
4 Dickon, Brown y Gibson (1991, p. 75).
5 http://www.ince.mec.es/pub/
J. D. Godino y F. Ruiz
Giros
Para comprender y usar correctamente el concepto de rotación de una figura, es
necesario que los estudiantes apliquen bien las siguientes cinco características de esta
transformación geométrica: reconocimiento global, ángulo de giro, equidistancia al
centro, ángulo entre un punto y su imagen, y congruencia de las figuras6. En la siguiente
figura se muestran cuatro errores típicos al aplicar un giro de 90º a la figura A sobre el
punto marcado:
En la parte (a) destaca el fallo del ángulo de giro, en la (b) la falta de equidistancia al
centro, en la (c) la perpendicularidad entre el objeto y su imagen, y en la (d) la falta de
congruencia de las figuras.
5. TALLER DE DIDÁCTICA
5.1. Análisis de textos escolares. Diseño de unidades didácticas
Consigue una colección de libros de texto de matemáticas de 2º y 3er ciclo de
primaria (recomendamos buscar los libros que utilizastes personalmente, o bien los de
algún familiar o amigo).
– Estudia el desarrollo del tema de “Transformaciones geométricas. Simetría” en
dichos niveles.
– Indica en qué curso se inicia y cuando termina.
– Busca algún tipo de problema o tarea que consideres que no está representado en la
muestra de problemas que hemos seleccionado como actividad introductoria del
estudio de este tema.
– Identifica aspectos del desarrollo del tema en los manuales escolares que consideres
potencialmente conflictivos.
– Describe los cambios que introducirías en el diseño de las lecciones propuestas para
los cursos 4º, 5º y 6º de primaria.
5.2. Análisis y construcción de situaciones introductorias
La figura incluida a continuación corresponde a una situación introductoria del estudio
de la simetría en un libro de 4º de primaria7.
a) ¿Piensas que los niños necesitan algunos conocimientos previos para entender la
tarea?
b) ¿Qué respuestas esperan los autores por parte de los niños?
c) Indica algún recurso que podrían usar los niños para explorar la situación.
6 Jaime y Gutiérrez (1996, p. 67).
7 Ferrero, L. et. al. (1997). Matemáticas, 4º curso Primaria. Madrid: Anaya.
336
Transformaciones geométricas
d) Diseña situaciones introductorias (que motiven y contextualicen) el estudio de las
traslaciones y rotaciones)
La mariposa o la fachada del edificio son figuras que tienen eje de simetría.
Las dos manos o el cisne y su imagen en el agua son figuras simétricas respecto a un eje.
Observa y contesta:
1. ¿Qué ocurre si doblas cada una de estas ilustraciones por la línea de puntos?
2. ¿Podrías hacer coincidir una mano sobre la otra sin darle la vuelta?
3. ¿Qué parecidos y qué diferencias encuentras entre el cisne y su imagen en el agua?
5.3. Visualización de transformaciones geométricas mediante programas
interactivos
El NCTM proporciona en su página web (http://standars.nctm.org) un programa
interactivo que puede ser útil para comprender las transformaciones geométricas, la
congruencia, semejanza y simetría de las figuras.
Se compone de cuatro partes:
1. Visualización de transformaciones: Se puede elegir una transformación y aplicarla a
una figura para observar la imagen resultante
2. Identificación de transformaciones desconocidas: Dadas una figura y su transformada
se debe identificar la transformación aplicada.
3. Composición de simetrías: Se puede ver el resultado de aplicar un secuencia de
simetrías de distintos ejes.
4. Composición de transformaciones: Aborda la composición de traslaciones, giros y
simetrías.
Tarea 1: Visualización de movimientos
El fin de esta tarea es explorar los efectos de aplicar varias transformaciones a una
figura. Se debe tratar de predecir el resultado de aplicar cada transformación.
337
J. D. Godino y F. Ruiz
El programa permite girar la figura inicial (roja), así como el eje, y ver la figura
transformada. Se puede elegir entre la simetría, la traslación o el giro.
¿Cuál es la relación entre la longitud de los lados y la medida de los ángulos de la
figura inicial y la transfomada?.
Los profesores pueden preguntar a los estudiantes que describan la relación entre
los ejes de simetría, los centros de rotación y las posiciones de preimágenes y las
imágenes
Tarea 2: Identificación de transformaciones desconocidas
En esta tarea se debe determinar la transformación que se ha aplicado a una
figura comparándola con su imagen, teniendo en cuenta las propiedades de las
transformaciones. También se pueden formular y probar conjeturas haciendo uso de las
opciones disponibles.
Con este software de geometría dinámica, los estudiantes pueden identificar una
transformación desconocida de varias maneras: comparando la orientación de las
figuras, analizando la correspondencia entre la imagen y el original o de algunos puntos
sobre ellas, o también encontrando los puntos invariantes. Se pueden comprobar
conjeturas construyendo la imagen de la figura original bajo la transformación que
identifican.
338
Transformaciones geométricas
Tarea 3: Composición de simetrías
Se trata de explorar la composición de simetrías con ejes que se cortan
perpendicularmente o no y determinar qué transformación, si existe, puede producir el
mismo resultado. Las figuras se pueden cambiar de posición y orientación arrastrando
los vértices, viendo a continuación el efecto que se produce en las figuras
transformadas.
Tarea 4: Composición de transformaciones
Consiste en aplicar sucesivamente tres transformaciones a la figura elegida. Al
arrastrar los vértices de la figura inicial se puede ver de manera dinámica el resultado
final. El profesor puede pedir a los alumnos que hagan conjeturas sobre qué
tránsformación única, si existe, puede producir el mismo resultado que la composición.
Reflexión:
– ¿Qué propiedades de las figuras pueden observar los estudiantes usando este programa
interactivo?
– Qué aspectos de la comprensión de las transformaciones geométricas por los alumnos,
y de la congruencia de las figuras, se pueden ver afectados por el uso del programa.
339
J. D. Godino y F. Ruiz
340
– ¿Cuáles pueden ser las estrategias que pueden seguir los alumnos para hacer las
tareas?
– ¿Cómo puede el profesor evaluar la comprensión de las transformaciones geométricas
por los alumnos?
Bibliografía
Alsina, C., Pérez, R. y Ruiz, C. (1988). Simetría dinámica. Madrid: Síntesis.
Carrillo, J. y Contreras, L. C. (2001). Transformaciones geométricas. En, Enr. Castro
(Ed.), Didáctica de la matemática en la educación primaria (pp. 427-448). Madrid:
Síntesis.
Dickson, L., Brown, M. y Gibson, O. (1991). El aprendizaje de las matemáticas.
Madrid: MEC y Ed. Labor.
Long, C. T. y DeTemple, D. W. (1996). Mathematical reasoning for elementary
teachers. New York: Harper Collins.
Jaime, A. y Gutiérez, A. (1996). El grupo de las isometrías del plano. Madrid: Síntesis.
Martínez, A. M. y Juan, F. R. (Coord.) (1989). Una metodología activa y lúdica para la
enseñanza de la geometría. Madrid: Síntesis.
Van de Walle, J. A. (2001). Elementary and middle school mathematics. Teaching
developmentally. New York: Longman.
Proyecto Edumat-Maestros
Director: Juan D. Godino

http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/

IV.
Didáctica de la Geometría
para Maestros
Capítulo 3:
ORIENTACIÓN ESPACIAL.
SISTEMAS DE REFERENCIA
J. D. Godino y F. Ruiz
342
Orientación espacial. Sistemas de referencia
1. ORIENTACIONES CURRICULARES
El Diseño Curricular Base del MEC no hace mención a las experiencias y
conocimientos sobre localización espacial y los sistemas de referencia. Contrasta esta
situación con las orientaciones de la Comunidad Autónoma de Andalucía, las cuales
hacen mención también a las experiencias y nociones topológicas elementales.
Resumimos a continuación estas orientaciones curriculares.
Conocimiento y representación espacial
Entre los aprendizajes más significativos que deben integrar el conocimiento del
medio en el que el alumno está inmerso, sin duda ocupan un lugar de excepción los
conocimientos sobre el espacio.
La realidad que nos rodea comprende objetos con forma y dimensiones
diferenciadas, entre los que se establecen determinadas relaciones que configuran
aspectos importantes de la vida cotidiana.
Al propio tiempo, las propiedades geométricas de los objetos y lugares, las
afinidades y diferencias entre ellas, las transformaciones a las que pueden ser sometidas
y la sistematización, conceptualización y representación de todo ello, constituyen un
campo de conocimientos idóneo, que puede contribuir al desarrollo intelectual de los
alumnos de esta etapa.
Al desarrollar los contenidos relacionados con el conocimiento, orientación y
representación espacial el alumno progresará, en función de sus vivencias y nivel de
competencias cognitivas, desde las percepciones intuitivas del espacio, hasta la
progresiva construcción de nociones topológicas, proyectivas y euclidianas, que le
facilitarán su adaptación y utilización del espacio.
Percepción, conocimiento y generalización de nociones topológicas básicas y
aplicación de las mismas al conocimiento del medio.
Durante toda la etapa se propondrán situaciones en las que intervengan nociones
como proximidad, separación, orden, cerramiento, continuidad… Se comenzará por
vivenciarlas mediante juegos y actividades donde los alumnos hayan de situarse,
aproximarse, desplazarse, etc. Posteriormente lo harán con objetos y elementos reales,
estableciendo relaciones espaciales como cerca, lejos, dentro, fuera, sobre, debajo,
delante, etc.
Seguidamente se tratará, en situaciones contextualizadas, la relativización de estos
conceptos, invitándoles a la secuenciación, clasificación y representación de las
relaciones en orden a un referente establecido. Se trabajará la representación oral y
gráfica de las acciones realizadas, mediante signos y códigos elaborados por los propios
alumnos. Ello facilitará la representación mental de estas nociones.
A lo largo del proceso se potenciará la búsqueda de regularidades y la estimación
de propiedades en estas relaciones: transitividad, conservación, reflexividad, etc.
proponiendo a los alumnos la reflexión acerca de la importancia de las mismas en la
situación y estructuración de los elementos en el espacio.
343
J. D. Godino y F. Ruiz
Coordinación de las diversas perspectivas desde las que se puede contemplar una
realidad espacial.
El descubrimiento de la noción de óptica relativa, o capacidad para concebir la
situación y posición de los objetos en el espacio, si los imaginamos desde varios puntos
de referencia, constituye un importante contenido.
Mediante observaciones dirigidas, acciones sobre objetos reales y manipulación de
material apropiado en situaciones de aprendizaje diseñadas al efecto, se acercarán los
alumnos a las distintas nociones proyectivas: perspectiva, rectitud, distancia,
paralelismo, ángulo, simetría, etc.
Se tratará de que los alumnos y alumnas actúen interesados por la resolución de
problemas espaciales y manifestando curiosidad ante sus descubrimientos. El profesor
les ayudará en la formulación de hipótesis y conjeturas en relación con las situaciones
propuestas.
Desarrollo de los sistemas de referencia. Localización de objetos en el espacio
La orientación, ubicación y movimiento de objetos en el espacio implica la
existencia de determinados elementos de referencia en función de los cuales puede
localizarse la dirección y posición de estos.
Durante la etapa primaria se desarrollará progresivamente en los alumnos la
utilización de la horizontalidad y verticalidad como ejes de referencia. Ello dará lugar a
nociones como derecha, izquierda, arriba, abajo, etc. y a la coordinación de las mismas.
Se concederá especial importancia a la representación y lectura de puntos en los
sistemas de coordenadas cartesianas, así como a la elaboración e interpretación de
croquis de itinerarios. En relación con el conocimiento del mundo físico, se trabajará,
graduando la dificultad, la construcción de planos y maquetas, cuyo análisis puede ser
fuente de conocimientos geométricos. Posteriormente se abordarán la lectura,
interpretación y reproducción a escala, de mapas elementales.
Los Principios y Estándares 2000 del NCTM
En estas orientaciones curriculares se incluye un objetivo general sobre
especificación de posiciones, descripción de relaciones espaciales usando sistemas de
representación. Su detalle y desglose entre los ciclos Infantil a 2º curso y de 3º a 5º
curso es el siguiente:
Infantil a 2º curso 3º a 5º curso
– describir, nombrar e interpretar las
posiciones relativas en el espacio y
aplicar ideas sobre posición relativa;
– describir, nombrar e interpretar la
dirección y distancia en el movimiento
espacial y aplicar ideas sobre dirección y
distancia;
– encontrar y nombrar posiciones con
– describir posiciones y movimientos
usando el lenguaje común y el
vocabulario geométrico;
– construir y usar sistemas de
coordenadas para especificar posiciones
y describir trayectorias;
– encontrar la distancia entre puntos en
las direcciones horizontal y vertical del
344
Orientación espacial. Sistemas de referencia
relaciones simples, como “cerca de” y en
sistemas de coordenadas tales como en
los mapas.
sistema de coordenadas.
2. DESARROLLO COGNITIVO Y PROGRESIÓN EN EL APRENDIZAJE
Las primeras nociones de posición relativa que aprenden los niños pequeños son
las de encima, debajo, detrás, delante, entre. Más tarde pueden usar rejillas
rectangulares para localizar objetos y medir la distancia entre puntos según direcciones
horizontales y verticales. Las experiencias con el sistema de coordenadas rectangulares
serán útiles a medida que resuelven una variedad de problemas de geometría y álgebra.
En los niveles superiores de primaria y en secundaria el sistema de coordenadas puede
ser útil para explorar y descubrir propiedades de las figuras. Encontrar distancias entre
puntos del plano usando escalas en mapas es importante en estos niveles.
En los primeros niveles de primaria los alumnos pueden trabajar con
interpretaciones de las operaciones aditivas sobre la recta numérica. En niveles
posteriores la recta numérica se puede usar para representar los distintos tipos de
números. En el segundo ciclo de primaria las rejillas rectangulares y las tablas de doble
entrada pueden ayudar a los alumnos a comprender la multiplicación.
2.1. El desarrollo de sistemas de referencia
El movimiento en el espacio supone servirse de puntos de referencia merced a los
cuales localizar la dirección y la posición. Las investigaciones indican que un factor
importante en el desarrollo de la apreciación espacial es la capacidad para utilizar
alguna suerte de sistema de referencia. “Piaget e Inhelder consideran que la
conceptualización de “marco de referencia” reviste carácter fundamental para que el
individuo posea la facultad de habérselas con la orientación, la ubicación y el
movimiento de objetos; constituye, por consiguiente, el punto culminante de todo el
desarrollo psicológico del espacio euclideo” (Dietz y Barnett, 1978; citado por Dickson
y Brown,1991, p. 56).
La esencia de un sistema de referencia es la relación de las partes móviles con
algún aspecto invariable y estacionario del espacio; por ejemplo, una superficie
horizontal, los ejes de una gráfica, la noción de dirección norte. Tales son los puntos de
referencia que proporcional el armazón sobre el cual estudiar el movimiento de,
pongamos por caso, bloques de construcción, un triángulo o un barco.
Según Piaget e Inhelder, el desarrollo de sistemas de referencia se funda en la
capacidad natural de utilizar el que ellos describen como marco de referencia natural, a
saber, el correspondiente a la horizontal y la vertical.
Un elemento importante para servirse satisfactoriamente de los sistemas de
referencia es la conciencia de la dirección. Greenes sostiene que, de ordinario, las
relaciones espaciales se exploran inicialmente a lo largo del eje vertical, o sea, mirando
arriba y abajo. Arriba/abajo, alto/bajo, encima/debajo, etc, son nociones todas ellas de
muy distinto significado; por ejemplo, lo que se ve al mirar al techo es muy distinto y
diferenciable de lo que se ve al mirar al suelo. Se desarrollan después las relaciones de
orientación horizontal, las cuales, en cambio no se encuentran tan tajantemente
diferenciadas. Aunque al mantener la cabeza en una dirección particular lo que se ve
está al frente y lo que no se ve se encuentra a espaldas nuestras, si nos volvemos, lo que
345
J. D. Godino y F. Ruiz
antes estaba delante se encuentra ahora detrás de nosotros, y análogamente, lo que
estuvo a la izquierda se encuentra ahora a la derecha. La noción de orientación
horizontal tarda más en desarrollarse que la orientación vertical, porque la relativa
facilidad del movimiento del propio cuerpo sobre un plano horizontal confunde la
orientación.
Piaget y colaboradores sostienen que la capacidad para utilizar coordenadas se
desarrolla juntamente con la de utilizar ejes de referencia horizontal y vertical. Estos
investigadores presentaron a los niños dos hojas congruentes de papel. En una de ellas
se había señalado un punto. Se le pedía al niño que marcase un punto en la segunda
hoja, semitransparente, de modo que si ésta fuera colocada directamente sobre la
primera, la provista del punto, los puntos de una y otra coincidieran exactamente.
Los resultados en esta tarea mostraron que en el nivel más elemental de desarrollo,
el niño se apoyaba por completo en una estimación visual que posteriormente conducía
a una estimación burda mediante reglas y palitos. Es en una
siguiente fase en la que el niño capta la necesidad de medir, pero
sigue operando todavía con una única medida, tal como la
distancia desde el punto a un vértice cercano.
Más tarde se percata de la necesidad de dos medidas. Tal procedimiento presupone
muchísimos tanteos, en los que es frecuente que el niño utilice solamente una medida y
efectúe una estimación de la segunda. Por fin, hacia los nueve años de edad (según
Piaget) se coordinan ambas mediciones, utilizando los lados de la hora como ejes de
referencia.
Ejercicio
1. En una colección de libros de texto de primaria identificar los niveles en los cuales se
incluyen actividades de,
• orientación espacial
• localización de puntos en el plano
2.2. La variable tamaño del espacio
Una de las variables que se debe tener en cuenta en el proceso de adquisición del
dominio de las relaciones con el espacio es la dimensión física del ámbito con el que el
sujeto entra en relación. Las investigaciones psicológicas muestran que el niño va
estructurando sectores más amplios del espacio a medida que incrementa la magnitud de
sus propios desplazamientos. Brousseau distingue tres valores de la variable “tamaño
del espacio” con el que interactúa el sujeto. Estos valores implican modos diferentes de
relaciones con los objetos incluidos en ese sector del espacio y, en consecuencia
modelos conceptuales diferentes para orientar la acción del sujeto. Esta variable interesa
segmentarla en tres valores: microespacio, mesoespacio y macroespacio, cuyas
características describimos a continuación1.
1 Gálvez, G. (1985) El aprendizaje de la orientación en el espacio urbano.Una proposición para la
enseñanza de la geometría en la escuela. Tesis Doctoral. Centro de Investigación del IPN. México. (p.
49).
346
Orientación espacial. Sistemas de referencia
El microespacio
Corresponde a un sector del espacio próximo al sujeto y que contiene objetos
accesibles tanto a la visión, como a la manipulación. En este sector el sujeto puede
mover el objeto o bien moverse a sí mismo prácticamente en cualquier dirección. El
juego de desplazamientos de sujeto y objeto, permite reestablecer cualquier perspectiva,
mediante inversiones o compensaciones de las transformaciones anteriores. Puesto que
todas las posiciones relativas entre sujeto y objeto son igualmente posibles y fáciles de
obtener la percepción del objeto puede ser caracterizada como exhaustiva. Por otra
parte, el sujeto obtiene una información abundante e inmediata de los resultados de las
acciones que ejerce sobre el objeto. El sujeto controla plenamente sus relaciones
espaciales con el objeto, debido a la abundancia de recursos de transformación con que
cuenta.
En el microespacio el dominio de las relaciones con el objeto se adquiere a través
de un proceso largo y difícil, pero bastante temprano (según los trabajos de Piaget). Este
proceso se realiza “espontáneamente”, en el sentido de que no requiere de intervención
intencional (institucional) para producirse, aunque sí oportunidades para ejercitar las
manipulaciones de que el sujeto va siendo capaz. Posteriormente, el trabajo escolar
impone cierta reestructuración del microespacio al introducir dos direcciones
ortogonales para orientar el papel (y otros materiales) sobre el pupitre.
El mesoespacio
Es una parte del espacio accesible a una visión global, obtenida a partir de
percepciones sucesivas, pero con desfases temporales mínimos. Contiene objetos fijos,
no manipulables. Como un ejemplo de mesoespacio, podemos citar el espacio que
contiene a un edificio, que puede ser recorrido por el sujeto tanto interior como
exteriormente.
En este sector del espacio, puesto que los objetos permanecen fijos, funcionan
como puntos de referencia para el sujeto (en nuestro ejemplo, los muebles, puertas,
pareces), mientras que el sujeto sí puede desplazarse, pero con restricciones, derivadas
de dos condiciones:
1. La posición erecta del sujeto, que genera una experiencia diferencial respecto a
las direcciones horizontal y vertical. Estas constituyen las direcciones básicas
para la organización del mesoespacio.
2. La necesidad de acomodar los desplazamientos en función de la localización de
los objetos. Resultan de aquí trayectso obligados, como los determinados por
corredores o escaleras, que implican la diferenciación de espacios vacíos y
llenos.
Podemos decir que el mesoespacio es el espacio de los desplazamientos del sujeto.
La experiencia está aquí restringida a los puntos de vista obtenibles a través de los
desplazamientos posibles del sujeto, manteniendo su postura erecta. Esto no significa
que sea imposible para el sujeto adoptar otras perspectivas, sino que, en la medida en
que éstas no son usuales, no contribuyen significativamente a la estructura del
mesoespacio.
Para organizar sus desplazamientos dentro del mesoespacio el sujeto necesita
orientarlo, atribuyéndole tres dimensiones respecto a un sistema de referencia fijo.
También le ha atribuido extensión, con lo que las distancias entre objetos pasan a tomar
una relevancia de la que carecen el microespacio. Los ángulos son muy importantes,
347
J. D. Godino y F. Ruiz
puesto que están a la base de cambios de perspectiva muy económicos, que
corresponden a giros del sujeto mientras conserva su posición (giros que incluso puede
efectuar moviendo solamente su cabeza)
El macroespacio
Corresponde a un sector del espacio cuya dimensión es tal que sólo puede
abarcarse a través de una sucesión de visiones locales, separadas entre sí por
desplazamientos del sujeto sobre la superficie terrestre. En el macroespacio es imposible
obtener una visión global simultánea del sector del espacio con el que se interactúa, a
menos que el sujeto se eleve en el aire, experiencia a la que raras veces se recurre para
estructurar el espacio terreste a nivel de experiencia cotidiana.
Al igual que en el mesoespacio, en el macroespacio los objetos permanecen fijos,
es el sujeto el que se desplaza. Para orientar sus desplazamientos debe construir una
representación global del macroespacio, ligando sus visiones parciales para recuperar la
continuidad del espacio recorrido. La conceptualización es imprescindible para la
construcción de una imagen de conjunto, inaccesible a la percepción directa.
Podemos distinguir tres tipos de macroespacio: el urbano, el rural y el marítimo. En
el macroespacio urbano y rural, existen múltiples objetos que pueden ser utilizados por
el sujeto como puntos de referencia para estructurar su representación. La posibilidad de
utilizarlos dependerá tanto de las características específicas del sector considerado como
de la experiencia previa del sujeto. Aunque, en general, el macroespacio urbano suele
ser más pródigo en objetos que pueden funcionar como signos para la diferenciación
precisa de sus partes (por ejemplo, la información escrita contenida en nombres de
calles y comercios, en letreros de propaganda, etc.). A diferencia de lo que ocurre en los
otros dos, en el macroespacio marítimo, particularmente en la navegación en alta mar,
no es posible recurrir a una sucesión de encuentros con determinados objetos para
replicar un trayecto.
3. SITUACIONES Y RECURSOS
3.1. Situación 12: Búsqueda de un objeto escondido en clase
Nivel: Ciclo inicial; trabajo en el mesoespacio.
Descripción:
Mientras un alumno sale del salón otro esconde un objeto en una banca y marca
dicha banca sobre un plano del aula que el maestro ha hecho en la pizarra (Variante 1) o
reproducido en una hoja de papel (Variante 2). Entra el alumno que estaba fuera y
viendo el plano, tiene que dirigirse a la banca donde, de acuerdo a su interpretación del
plano, se encuentra el objeto escondido. Los demás le comunican si acertó o no. En la
Variante 2 cada alumno tiene una copia del plano del salón y debe ir registrando sobre
cada banca usada como escondite, el nombre del niño al que le correspondió buscar en
esa ocasión.
3.2. Situación 23: Búsqueda de un objeto escondido dentro del espacio escolar.
Niveles: 1er Ciclo de primaria
2 Galvez (1985, p. 65)
3 Galvez (1985, p. 74)
348
Orientación espacial. Sistemas de referencia
Descripción:
Dos alumnos esconden un objeto (una moneda) en algún lugar de la escuela,
elegido por ellos. Un tercer alumno los observa y traza un dibujo que servirá para guiar
a un cuarto alumno en la búsqueda del objeto escondido. Si este último encuentra la
moneda, puede quedársela. Si la búsqueda se convierte en una exploración al azar el
experimentador da por terminada la jugada; declarando que la comunicación ha
fracasado. La actividad se repite, intercambiando las funciones, y luego con otros cuatro
alumnos.
3.3. Situación 34: Localización de objetos en el microespacio
Nivel: 2º Ciclo
Descripción:
En el fondo de una caja de cartón (de aproximadamente 60 cm x 50cm x 5cm) se
pone un trozo de papel (de unos 15 cm2), a la vista de los niños. Se tapa la caja con una
tela y se les pide que estimen la localización del papel clavando un alfiler sobre la tela
para atraparlo. Se levanta la tela para ver si acertaron.
Variante 1: Juego individual. Si el niño acierta se dobla el papel a la mitad, hasta que
yerra. Gana quien logre atinarle al papel más pequeño.
Variante 2: Un niño esconde un papel (del tamaño al que llegaron, en promedio, en la
Variante 1) y le explica a otro niño, verbalmente (sin señalar) su localización bajo la
tela. El segundo niño clava el alfiler y luego verifican si atinó.
Variante 3: Un niño esconde un papel (pequeño) y le explica a otro niño, mediante un
dibujo, su localización bajo la tela. El segundo niño trata de llegar hasta el papel a través
de la tela, clavando su alfiler.
3.4. Situación 45: Localización relativa de lugares conocidos en la ciudad
Nivel: 2º o 3º Ciclo de primaria
Descripción
La actividad se inicia pidiendo a los alumnos que nombren lugares interesantes de
la ciudad, donde llevarían a un amigo que no la conociera. Se seleccionan algunos de
los lugares propuestos. Se reparte a cada alumno una hoja en blanco y un conjunto de
papelitos con los nombres de los lugares seleccionados para que los distribuyan sobre el
papel, basándose en su conocimiento de las posiciones relativas de estos lugares en la
ciudad (imagínate cómo se vería desde un avión). Una vez distribuidos, los pegan sobre
la hoja y marcan el orden en el que organizarían un recorrido para visitarlos todos.
3.5. Situación 5: Construcción de una brújula y de un plano de la escuela
Nivel: 2º o 3º Ciclo de primaria
Descripción:
4 Galvez (1985, p. 81)
5 Galvez (1985, p. 85)
349
J. D. Godino y F. Ruiz
Consigue una aguja, un imán pequeño, un recipiente con agua, pegamento y un
pedazo de corcho o de madera.
• Frota la aguja en el imán varias veces.



Pega la aguja en el corcho.
Coloca el corcho en el recipiente con agua.
Gira el recipiente y observa que la aguja se mueve y apunta siempre al mismo
lugar. Ese lugar es el norte.
1) Usa la brújula para encontrar la orientación de la escuela.
¿Qué parte de tu clase da hacia el norte?
¿Hacia dónde queda la salida de la escuela?
¿Qué hay hacia el sur?
2) Trabajando en equipo dibujar un plano de la escuela y los lugares que están cerca de
ella. Fíjense en los puntos cardinales usando la brújula que hicieron. No olviden ponerle
el cuadro de acotaciones y la Rosa de los Vientos.
Ejercicio de análisis didáctico:
Para cada una de las situaciones descritas:
a) Formula los objetivos que se pretenden con las situaciones
b) Enumerar y describir los conocimientos que se ponen en juego
c) Identificar las variables didácticas
d) Enunciar variantes posibles de las situaciones cambiando los valores de las
variables didácticas
e) Identificar posibles técnicas de solución de los alumnos y dificultades
previsibles
f) Indicar las posibles explicaciones (institucionalización) que el profesor podría
dar como síntesis final de la actividad realizada.
350
Orientación espacial. Sistemas de referencia
4. TALLER DE DIDÁCTICA
4.1. Análisis de experiencias de enseñanza
Las siguientes situaciones, conocidas como “El cartero” y “Viajes y geógrafos”,
han sido experimentadas por el equipo de investigación del profesor G. Brousseau en la
escuela Jule Michelet. Para cada una de las situaciones:
a) Formula los objetivos que se pretenden con las situaciones
b) Enumerar y describir los conocimientos que se ponen en juego
c) Identificar las variables didácticas
d) Enunciar variantes posibles de las situaciones cambiando los valores de las
variables didácticas
e) Identificar posibles técnicas de solución de los alumnos y dificultades
previsibles
f) Indicar las posibles explicaciones (institucionalización) que el profesor podría
dar como síntesis final de la actividad realizada.
El Cartero
Niveles: 2º o 3º Ciclo
Material:
Se prepara sobre una cartulina una
representación en planta de un espacio urbano: calles
y lugares como edificios o parques, localizados en los
cruces de dos o más calles. La cartulina se cubre con
una tela que tiene una perforación de
aproximadamente 2.5 cm de diámetro y que, al
recorrerse, permite observar todo el espacio dibujado,
a través de visiones locales. Cada grupo de 4 niños
trabaja con uno de estos dispositivos.
Descripción:
Mientras algunos equipos de 4 niños practican juegos destinados a consolidad sus
nociones de aritmética a otros se les entrega un diagrama (como el de la figura adjunta)
cubierto con una tela perforada y un juego de tres tarjetas. No se imparten instrucciones
orales.
La tarjeta 1 propone una actividad de exploración del diagrama: recorrerlo (a través del
agujero) hasta que ya no encuentren lugares nuevos.
La tarjeta 2 indica que uno de los jugadores será el Jefe de Correos y ordenará a los
demás, por turnos, llevar cartas a diversos lugares; se discutirá la adecuación del
recorrido seguido.
La tarjeta 3 sugiere pedir trayectos más complejos y da dos ejemplos: ir de A a B, sin
pasar por C o dejar cartas en A, B, y C.
351
J. D. Godino y F. Ruiz
Variante 1: Juego de los mensajes
Se entrega a cada equipo un diagrama, una tela perforada, una tarjeta de
instrucciones general y 12 tarjetas de instrucciones específicas, del tipo: “Estás en la
fuente; tienes que ir al Banco y después al Supermercado”, etc. La tarjeta con
instrucciones generales es la siguiente:
Ustedes con un equipo de mensajeros que van a trabajar en una ciudad. Bajo la
tela está el dibujo de esta ciudad que sólo puede verse por el agujero. Pueden
deslizar la tela, de manera que el agujero nos deje ver adónde llegan las calles.
En las tarjetas está escrito lo que tienen que hacer los mensajes. Los mensajeros
pueden trabajar solos o por parejas, como quieran.
El juego consiste en realizar la mayor cantidad posible de las tareas que están
escritas en las tarjetas.
Antes de empezar a jugar el equipo puede explorar la ciudad, a través del
agujero, hasta que cada niño piense que ya la conoce bien y que puede hacer el
trabajo de mensajero.
Variante 2: Viajeros y geógrafos
Se presenta uno de los mismos diagramas utilizados en las dos situaciones
anteriores, cubierto con la tela perforada. Se propone explorar el diagrama, desplazando
la tela y luego, hacer un plano del diagrama oculto, que será utilizado por los
“geógrafos” para anticipar el destino de los “viajeros”. Una vez hecho el plano, el
equipo se divide en dos parejas: una de geógrafos y la otra de viajeros. Los geógrafos se
instalan con el plano en un rincón distante y pueden hacer preguntas, que serán
respondidas por los viajeros, para determinar si su plano corresponde o no al diagrama.
A continuación se inicia el juego. De común acuerdo, ambas parejas eligen un lugar de
partida y lo localizan en el diagrama y en el plano, respectivamente. Los viajeros
enuncian una dirección y de avance y los geógrafos, viendo su plano, anticipan a qué
lugar van a llegar los viajeros. Entonces los viajeros avanzan y verifican dónde llegan.
Se registra si la predicción de los geógrafos fue acertada o no. Después de un rato,
geógrafos y viajeros intercambian roles. Finalmente, se organiza un debate para
determinar su sistema común de designación de direcciones y para discutir si el mapa
era o no una representación correcta del diagrama.
4.2. Análisis de textos y diseño de unidades didácticas
Consigue una colección de libros de texto de matemáticas de 2º y 3er ciclo de
primaria (recomendamos buscar los libros que utilizaste personalmente, o bien los de
algún familiar o amigo).
1. Busca ejemplos y ejercicios relacionados con la orientación espacial y sistemas de
referencia.
2. Identifica aspectos del desarrollo del tema en los manuales escolares que consideres
potencialmente conflictivos.
3. Describe los cambios que introducirías en el diseño de las lecciones propuestas para
los distintos cursos de primaria.
352
Orientación espacial. Sistemas de referencia
BIBLIOGRAFÍA
Aides Pédagogiques pour le Cycle Moyen. (1983), Elem-Math VII. Publication de
l’A.P.M.E.P., nº 49.
Fiol, M. L. y Fortuny, J. M. (1990). Proporcionalidad directa. La forma y el número.
Madrid: Síntesis.
353
J. D. Godino y F. Ruiz
354
Proyecto Edumat-Maestros
Director: Juan D. Godino

http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/

V.
Didáctica de la Medida de Magnitudes
para Maestros
Juan D. Godino
Carmen Batanero
Rafael Roa
355
Medida y su didáctica para maestros
356
Índice
Índice
Capítulo 1: MAGNITUDES Y MEDIDA
1.Orientaciones curriculares
1.1. Diseño Curricular Base ……………………………………………………………….
1.2. Principios y Estándares 2000 …………………………………… …………………
2. Desarrollo cognitivo y progresión en el aprendizaje
2.1. Principio de conservación. Conservación de la longitud ………………….
2.2. Facetas y etapas en el estudio de la medición en la escuela ……………..
3. Situaciones y recursos
3.1. Actividades de percepción y comparación …………………………………….
3.2. Actividades de estimación …………………………………………………………..
3.3. Actividades de medición …………………………………………………………….
3.4. Recursos en Internet …………………………………………………………………..
4. Conflictos en el aprendizaje. Instrumentos de evaluación ………………………..
5. Taller de didáctica
5.1. Análisis de textos escolares. Diseño de unidades didácticas …………….
5.2. Análisis de experiencias de enseñanza de la medida de longitudes …..
Bibliografía ……………………………………………………………………………………………
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Capítulo 2: MAGNITUDES GEOMÉTRICAS
1.Orientaciones curriculares
1.1.Diseño Curricular Base del MEC ………………………………………………….
1.2. Principios y Estándares 2000 del NCTM ……………………………………..
2.Desarrollo cognitivo y progresión en el aprendizaje
2.1. Conservación del área ………………………………………………………………..
2.2. Conservación del volumen ………………………………………………………….
3.Situaciones y recursos
3.1. Amplitud angular y su medida directa ………………………………………….
3.2. El área y su medida directa …………………………………………………………
3.3. Fórmulas para las áreas de polígonos ……………………………………………
3.4. Longitud de la circunferencia ………………………………………………………
3.5. El volumen y su medida directa ……………………………………………………
3.6. Medida indirecta del volumen ……………………………………………………..
3.7. Recursos en Internet …………………………………………………………………..
4. Conflictos en el aprendizaje. Instrumentos de evaluación ………………………..
5. Taller de didáctica
5.1. Análisis de textos escolares. Diseño de unidades didácticas …………….
5.2. Respuestas de estudiantes a pruebas de evaluación …………………………
5.3. Análisis de experiencias didácticas: Áreas y perímetros ………………….
Bibliografía ……………………………………………………………………………………………
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Medida y su didáctica para maestros
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Proyecto Edumat-Maestros
Director: Juan D. Godino

http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/

V.
Didáctica de la Medida de Magnitudes
para Maestros
Capítulo 1:
MAGNITUDES Y MEDIDA
359
J. D. Godino, C. Batanero y R. Roa
360
Magnitudes y medida
1. ORIENTACIONES CURRICULARES
El estudio de las magnitudes y su medida es importante en el currículo de matemáticas
desde los niveles de educación infantil hasta secundaria debido a su aplicabilidad y uso
extendido en una gran cantidad de actividades de la vida diaria. El estudio de la medición
también ofrece oportunidad de aprender y aplicar otros contenidos matemáticos, como
operaciones aritméticas, ideas geométricas, conceptos estadísticos y la noción de función.
Permite establecer conexiones entre diversas partes de las matemáticas y entre las matemáticas
y otras áreas diferentes, como el área de sociedad, ciencias, arte y educación física.
La medida de magnitudes pone en juego un conjunto de destrezas prácticas y un lenguaje
(o si se prefiere, una serie de nociones) cuyo dominio y comprensión no es fácil para los niños
de primaria. En la educación primaria su estudio se extiende desde el primer curso hasta el
último, incluyéndose incluso algunas actividades en los niveles de infantil (percepción de
cualidades de objetos, comparación, clasificación, seriación). Es un tema que guarda, además,
una estrecha relación con la construcción de los sistemas numéricos y con las formas y figuras
geométricas (longitud, superficie, volumen de figuras y cuerpos geométricos), tanto en las
técnicas de medida directa (contar el número de unidades) como indirecta (determinación del
“tamaño” de las colecciones, o las dimensiones de los cuerpos y figuras mediante operaciones
aritméticas y algebraicas.
1.1. Diseño Curricular Base del MEC
En el bloque 2, dedicado a la medida el DCB considera que la medida es una vía de acceso
para el desarrollo de los conceptos numéricos, así como el nexo entre los distintos bloques de
Matemáticas.
El tratamiento cíclico permite ir profundizando desde las unidades naturales a las relaciones
entre las unidades del Sistema Métrico Decimal.
Los contenidos procedimentales y actitudinales favorecen la adquisición de los diversos
contenidos que aparecen en hechos y conceptos.
Hechos, conceptos y principios
1. Necesidad y funciones de la medición.
• Reconocimiento e identificación de magnitudes.
• Comparación de magnitudes.
• Unidad de referencia. Unidades corporales.
2. El perímetro, el área y el volumen de las figuras como expresiones cuantitativas de su
tamaño.
3. Las unidades de medida del Sistema Métrico Decimal.
• Longitud.
• Superficie.
• Capacidad.
• Masa.
4. Las unidades de medida de uso local.
5. Las unidades de medida para la medición del tiempo.
6. La unidad de medida para la medición de ángulos: el grado.
Procedimientos
1. Mediciones con unidades convencionales y no convencionales.
361
J. D. Godino, C. Batanero y R. Roa
• Utilización de instrumentos de medida.
• Utilización de distintas estrategias para medir.
2. Construcción de instrumentos sencillos para efectuar mediciones directas de longitudes,
superficies y capacidades.
3. Elaboración y utilización de estrategias personales para llevar a cabo mediciones de
perímetros, áreas y volúmenes de cuerpos geométricos, de manera exacta y aproximada.
4. Elaboración y utilización de estrategias personales para llevar a cabo estimaciones de
medidas en situaciones naturales.
5. Toma de decisiones sobre las unidades de medida más adecuadas en cada caso atendiendo al
objetivo de la medición.
6. Transformación, comparación y equivalencias de las unidades de medida utilizando los
algoritmos de cálculo correspondientes.
7. Utilización de los algoritmos para calcular áreas de rectángulos y triángulos.
8. Explicación oral del proceso seguido y de la estrategia utilizada en la medición.
Actitudes, valores y normas
1. Valoración de la importancia de las mediciones y estimaciones en la vida cotidiana.
2. Interés por utilizar con cuidado diferentes instrumentos de medida y emplear unidades
adecuadas.
3. Gusto por la precisión apropiada en la realización de mediciones.
4. Curiosidad e interés por descubrir la medida de algunos objetos y tiempos familiares.
5. Valoración del Sistema Métrico Decimal como sistema de medida aceptado
internacionalmente.
6. Tendencia a expresar los resultados numéricos de las mediciones manifestando las unidades
de medida utilizadas.
1.2. Principios y Estándares para la Matemática Escolar (NCTM 2000)1
Los objetivos específicos que los Estándares 2000 proponen para el estudio de la medición
en los niveles de infantil a 2º son los siguientes:
Comprender los atributos medibles de los objetos y las unidades, sistemas y procesos de
medición:
• reconociendo los atributos de longitud, volumen, peso, área y tiempo;
• comprendiendo cómo medir usando unidades no estándar y estándar;
• seleccionando la herramienta y unidad apropiada para medir el atributo que se desea medir.
Aplicar técnicas apropiadas y herramientas para realizar mediciones, realizando las siguientes
actividades:




medir usando colecciones de objetos de igual tamaño, como clips puestos correlativamente;
medir un objeto usando como unidad otro de menor tamaño, como la longitud de una
habitación usando un metro;
usar instrumentos de medir,
desarrollar referentes comunes de medida para hacer comparaciones y estimaciones.
Estos mismos objetivos se desarrollan en los niveles 3 a 5 en la forma siguiente:
1 National Council of Teachers of Mathematicas (2002). Principles and Standards for School Mathematics.
Reston, Va: NCTM.
362
Magnitudes y medida
Comprender los atributos medibles de los objetos y las unidades, sistemas y procesos de
medición:
– comprender atributos de longitud, área, peso, volumen y amplitud angular y seleccionar el
tipo apropiado de unidad para medirlos;
– comprender la necesidad de medir con unidades estándares y familiarizarse con el sistema
métrico.
– hacer conversiones entre unidades, como pasar centímetros a metros;
– comprender que las mediciones son aproximadas y cómo afecta a la precisión el cambio de
unidades;
– explorar lo que sucede a las medidas de una figura bidimensional como el perímetro y el
área cuando se cambia la forma de algún modo.
Aplicar técnicas apropiadas y herramientas para realizar mediciones:
– desarrollar estrategias de estimación de perímetros, áreas y volúmenes de formas
irregulares;
– seleccionar y aplicar las unidades estándares y los instrumentos de medida de longitud,
área, volumen, peso, tiempo, temperatura y amplitud angular;
– seleccionar y usar patrones de comparación para estimar medidas;
– desarrollar, comprender y usar fórmulas para encontrar el área de rectángulos, triángulos y
paralelogramos;
– desarrollar estrategias para determinar áreas superficiales y volúmenes de sólidos
rectangulares.
Ejercicio:
1.Analizar las diferencias y semejanzas de las orientaciones curriculares propuestas para el estudio de la
medida en,
– Diseño Curricular Base del MEC
– Las orientaciones curriculares de tu Comunidad Autónoma
– Principios y Estándares 2000 del NCTM.
2. DESARROLLO COGNITIVO Y PROGRESIÓN EN EL APRENDIZAJE
2.1. Principio de conservación. Conservación de la longitud
Se refiere a la capacidad que tienen algunas características de los cuerpos, de no cambiar
aunque se les manipule y se produzcan cambios de situación en los mismos, que
perceptivamente puede llevar a engaño.
Se dice que un niño ha adquirido la capacidad de conservación si no se deja llevar por su
percepción. Esta propiedad referida, por ejemplo al número, hace que un cambio en la
disposición de unas canicas puestas en fila pueda llevar al niño a pensar que el número de ellas
ha cambiado si se las dispone con una separación mayor. El no cometer errores de este tipo,
signo de que el niño ha adquirido la capacidad de conservación referido a una determinada
propiedad, está relacionado con el principio de reversibilidad, es decir, el conocimiento de que
muchos cambios son reversibles y que, mediante la acción adecuada, se puede volver a la
situación inicial.
La adquisición del principio de conservación se puede facilitar planificando y realizando en
clase tareas adecuadas que deben llevar al niño a:
• Diferenciar acciones reversibles y no reversibles sobre objetos.


Reconocer qué propiedades cambian y cuales no cuando se realizan determinadas acciones
sobre los objetos.
Diseñar sencillos experimentos referidos a propiedades concretas sobre objetos concretos.
363
J. D. Godino, C. Batanero y R. Roa
A continuación describimos las etapas que se distinguen en el desarrollo de este principio
en las magnitudes geométricas; estas etapas son orientativas y en ningún momento pueden
considerarse compartimentos estancos, aislados unos de otros, y con una rigidez cronológica.
Además, la diversidad se va a manifestar en cada niño y su desarrollo va a estar determinado,
entre otros factores, por la cantidad de estímulos recibidos a lo largo de su vida, tanto en su
casa como en la escuela, es decir, por la cantidad de experiencias y la adecuación de las
mismas.
Conservación de la longitud
Hay que distinguir, siguiendo la terminología de Piaget, varias etapas en lo que se refiere a
la adquisición del principio de conservación de la longitud por parte del niño:



e que
digan cual de ellos es el de mayor longitud.
En un primer estadio la longitud de una línea (ya sea recta, curva o poligonal) va a
depender solo de los extremos.
En un segundo estadio dos segmentos que en un principio reconoce de la misma longitud,
dejan de tenerla al desplazar uno de ellos pues el niño se fija solo en el punto final de cada
segmento y no en los puntos iniciales; según el punto o puntos en que el niño fije su
atención le llevará a resultados diversos que, incluso, van a depender de la longitud de los
segmentos utilizados.
En el tercer estadio es cuando el niño percibe como iguales longitudes que realmente lo
son, independientemente de consideraciones ajenas, y es entonces, alrededor de los 7 años,
cuando adquiere el principio de conservación de la longitud.
Otro aspecto de la longitud, normalmente asociada con las dimensiones de los objetos, es la
distancia, entendida como espacio vacío entre objetos. A edades tempranas el niño suele pensar
que la distancia entre dos objetos cambia si se interpone un tercer objeto entre ellos y es la
percepción correcta de las distancias uno de los aspectos que le llevarán a la adquisición del
principio de conservación de la longitud y hará que el niño esté en condiciones de abordar el
estudio de la medida de longitudes y su aplicación posterior al cálculo de perímetros.
364
Actividades:
1. Se presentan al niño dos varillas de la misma longitud y
diferente grosor y se le pide que diga cuál de ellas es más larga.
2. Se presentan al niño dos varillas que él admite que son
iguales y a continuación, a la vista del niño, se desplaza una de
ellas y se le pide que diga cuál de ellas es
ahora más larga.
3. Se le presentan al niño dos segmentos
paralelos de distinta longitud pero cuyos extremos finales llegan al mismo sitio y se les pid
Magnitudes y medida
4. Sobre un papel cuadriculado se le presentan al niño dos segmentos de igual longitud pero uno
de ellos está desplazado, por ejemplo, dos cuadraditos
respecto del otro y se le pide al niño que diga cual es el
de mayor longitud.
Otras actividades podrían ser con cuerdas que se trocean o a las que se les hacen nudos y,
referidos a distancias, se podría pensar en considerar objetos interpuestos, intercambio entre los
objetos (simetría) y distancias por etapas (transitividad).
Experiencias como las que acabamos de describir van a permitir al maestro obtener
información acerca del desarrollo psicológico de sus alumnos y, por otra parte, realizadas
convenientemente, ayudarán a los niños en dicho desarrollo.
2.2. Facetas y etapas en el estudio de la medición en la escuela2
¿Cómo aprende un chico a medir? Si analizamos el proceso, encontramos que se trata de una
mezcla de importantes destrezas sensoriales y perceptivas con aspectos de geometría y
aritmética. También implica al área afectiva y proporciona al niño la oportunidad de alcanzar
un sentido de realización, así como apreciar la utilidad básica de nuestro sistema de medición.
El proceso procede secuencialmente desde la percepción a la comparación y después a la
aplicación de un estándar de medida (o referente) y sigue las siguientes etapas que describimos
a continuación.
2.2.1. Papel de percepción en la medición
La medición comienza con la percepción de lo que debe ser medido. Explicar las marcas de
un termómetro a un niño sin desarrollar primero alguna sensación y percepción de lo que mide
no es sino otra manera de leer escalas. La altura de un niño, por ejemplo, da significado a la
longitud, mientras que el peso no.
Como adultos, se da por supuesto que los niños perciben como lo hacemos nosotros. La
mayoría de los niños tienen alguna experiencia que les permite desarrollar la percepción del
mundo que les rodea. Sin embargo, esto se deja frecuentemente al azar y raramente se
desarrolla de un modo sistemático. El profesor debería estar dispuesto para exponer a los niños
a muchos estímulos y muchas propiedades de los objetos que eventualmente deben medir. Estas
actividades son un comienzo fundamental para adquirir destreza en la medición.
Ejercicio
2. Citar otros ejemplos de percepción de cualidades de objetos.
2.2.2. Papel de la comparación
La percepción es el comienzo de la medición, y la comparación sigue a la percepción.
Habiendo percibido alguna propiedad de algún objeto, nosotros, de un modo natural, lo
comparamos con otros objetos que tienen la misma propiedad – si una vasija contiene una cierta
cantidad de líquido, ¿tendrá esta otra una capacidad diferente? Cuando ponemos nuestra mano
en una vasija de agua y la sacamos, experimentamos un cambio de sensación motivada por la
evaporación del líquido. ¿Qué tenemos para comparar esta experiencia? ¿No sentimos lo mismo
cuando nos bañamos? ¿Es la misma sensación que cuando abrimos el frigorífico o nos
2 En este apartado y el siguiente incluimos un resumen del artículo de Inskeep, publicado en el “Yearbook de
1976” del N.C.T.M. que presenta una síntesis apropiada sobre las facetas a tener en cuenta en la enseñanza de la
medición en la enseñanza básica.
365
J. D. Godino, C. Batanero y R. Roa
aproximamos a un conducto de aire acondicionado?
La comparación de sensaciones es bastante natural. La comparación de objetos que pueden
colocarse próximos es también una consecuencia natural de las percepciones. Al medir su
altura, algunos niños pueden desear compararla con la de otros niños de la clase. Podemos, en
este caso, indicar a los niños que se tiendan sobre grandes hojas de papel y dibujar los
contornos de sus cuerpos, de tal modo que se puedan comparar. Esta actividad se hace sin
ninguna habilidad numérica previa. La comparación de atributos de objetos conduce de un
modo bastante lógico a la necesidad de un estándar que podamos aplicar sucesivamente.
Podemos ahora ver la medida como la búsqueda de un estándar o referente.
Ejercicio:
3. Citar otros ejemplos de comparación de percepciones.
2.2.3. Búsqueda de un referente
La comparación de dos cosas es adecuada cuando deseamos hacer enunciados de
equivalencia o no equivalencia “Tu eres más alta que yo”, “Yo soy más alto que mi hermana
pequeña”. Esto sirve bien para comparaciones iniciales. Pueden incluso servir para
comparaciones lógicas con terceras partes. “Si yo peso más que mi hermano y él pesa más que
mi primo pequeño, entonces yo peso más que mi primo”. Sin embargo, esta aproximación a la
comparación pronto resulta bastante inefectiva. Realmente necesitamos algún estándar de
medida, un referente que pueda ser usado sucesivamente y al que podamos acudir en cualquier
momento. El referente inicial que usemos no tiene que ser un referente estándar o que sea usado
en todo el mundo. Por ejemplo, las partes del cuerpo son referentes fácilmente disponibles para
medir longitudes.
Los referentes no estándares son útiles para comparación, pero deseamos llevar a nuestros
niños más allá de lo obvio y enseñarles los referentes que pueden ser usados con más de una
persona – nuestros estándares de medida.
Los estándares de medida tienen como mínimo dos funciones importantes. Primero,
permiten a una persona comunicar una medida a otra de un modo abreviado y directo. Segundo,
permiten medidas precisas y consistentes en diferentes áreas geográficas. Cuando nos
trasladamos de un país a otro, podemos estar seguros de que las medidas que son estándares en
nuestro país son estándares en otro también. Una extensión lógica de esta idea será adoptar
estándares de medida utilizables para comunicar los mismos mensajes en todas las partes del
mundo. Esto conduce naturalmente al Sistema Internacional de Unidades (SI), que ahora
cumple esta función prácticamente en todo el mundo.
Ejercicio:
4. Citar otros ejemplos de búsqueda de referentes para la comparación de percepciones de cualidades de
objetos.
2.2.4. La medición como un sistema
Con el SI, tenemos un sistema de unidades estándares relacionadas y que han sustituido por
eso ampliamente a los estándares locales arbitrarios. Han sido precisos varios cientos de años
para que el sistema encuentre amplia aceptación en el mundo, pero al final se ha conseguido.
En este punto de nuestra discusión, hemos tomado el proceso de medición en varios estadios
– percepción. comparación, la necesidad de un referente, y finalmente, la necesidad de un
sistema que organice y sistematice los referentes estándares. El mismo proceso puede ser
aplicado a la experiencia educativa de los niños. Sugiere una secuencia de actividades a
realizar. Los niños son conducidos desde una primera experiencia perceptual al punto en el que
relacionan estas experiencias a otras propiedades y las conectan de un modo sistemático. En
366
Magnitudes y medida
este punto final podemos decir que un niño ha aprendido a medir.
Hasta ahora hemos olvidado ciertas aspectos no secuenciales de la medición – los del
dominio afectivo y los relacionados con la propia acción de medir. El componente afectivo de
la medición y el acto de medir son dos principios que debemos considerar.
Ejercicio:
5. Inventar un sistema de unidades alternativo al actual para la magnitud peso.
2.2.5. La medición como una actividad afectiva
Nuestro trabajo con los niños en la medición producirá dos resultados:
(1) los niños apreciarán el papel que la medición juega en sus vidas y en la sociedad, y
(2) los niños disfrutarán siendo capaces de medir por sí mismos.
La importancia de la medición en nuestra vida personal y en la sociedad es a menudo dada
por supuesta. El científico conoce su importancia, y el ingeniero no puede prescindir de ella;
pero el ciudadano medio a veces falla en apreciar el papel de la medida. Los niños deben
aprender el papel importante que la medición juega en el progreso científico-tecnológico.
Relacionar los programas de matemáticas con los estudios de ciencias y sociales ayuda en este
desarrollo. Introducir algunas de las destrezas de medición en el arte y educación física es
también útil. Pero los niños necesitan ver la medida como una parte importante de sus propias
vidas. Necesitan ver que es importante medir con precisión un tablero para la construcción de
una casa de madera. Necesitan la habilidad para leer un reloj si no quieren perderse su
programa favorito de televisión. Los niños deben ser conscientes de las consecuencias de una
medición chapucera o inefectiva en las actividades de construcción.
Otra característica afectiva del proceso de medición y más difícil de evaluar, es la
satisfacción que un niño puede sentir de haber hecho un buen trabajo de medición. Los niños
deben ser enseñados a medir de tal modo que desarrollen la confianza en sí mismos. Enseñar a
los niños que ninguna medida continua es exacta debe ser logrado dándoles una experiencia
adecuada en la lectura de instrumentos y escalas. Ser capaz de leer un nuevo tipo de escala es
un logro satisfactorio.
Ejercicios:
6. Describir situaciones en las que la medición implique acción y otras en las que sólo sea una actividad
mental.
7. Relacionar cantidades de magnitud a medir con la unidad más adecuada.
8 Proponer una actividad en la que el niño deba elegir la unidad de medida y el instrumento más
adecuado.
9. Describir una secuencia de aprendizaje, según los principios que se acaban de ver, para estudiar la
medida de una magnitud particular.
10. ¿Qué es una medida bien hecha? Citar ejemplos referidos a distintas magnitudes.
11. Citar los instrumentos de medida, para las distintas magnitudes, que todo ciudadano debe conocer.
12. Diseñar una actividad en la que se especifique:
Qué cosa medir.
Qué unidad utilizar, y
Qué procedimiento seguir.
3. SITUACIONES Y RECURSOS
El esquema de trabajo en el aula debe ser similar para todas las magnitudes:
– Comparar y ordenar.
– Hacer estimaciones sobre la cantidad antes de medir.
367
J. D. Godino, C. Batanero y R. Roa
– Elegir el instrumento más adecuado para realizar la medición.
– Considerar la unidad más adecuada a la magnitud que hay que medir, eligiendo entre los
múltiplos y divisores que forman el sistema de medidas.
– Realizar la medición, es decir, comprobar cuántas veces está comprendida la unidad en la
magnitud que medimos.
– Comparar la medición con la estimación realizada y valorar el error cometido.
Se propone, por tanto, un esquema de trabajo que requiere una organización de clase lo más
cercana posible a un taller: sólo se puede aprender a medir midiendo y discutiendo las
estrategias utilizadas, y ello pasa por la actividad y no solamente con lápiz y papel.
3.1. Actividades de percepción y comparación
La enseñanza de la medición debe apoyarse en las ideas intuitivas de los alumnos y en sus
experiencias informales de medición para ayudarles a comprender los atributos que se miden y
lo que significa medir. El estudio de la medida en la escuela elemental requiere el uso de
materiales concretos para que los niños comprendan los rasgos de los objetos que se miden y
dominen los instrumentos correspondientes. Los profesores en formación deben, por tanto,
familiarizarse con estos materiales e instrumentos.
Un atributo medible es una característica de un objeto que se puede cuantificar. Los
segmentos de recta tienen longitud, las regiones planas tienen área, los objetos físicos tienen
masa. A medida que los alumnos progresan en el currículo desde preescolar a secundaria, el
conjunto de atributos que pueden medir se amplia. El primer paso en el estudio de la medida
será reconocer que los objetos tienen atributos que son medibles. Los niños de preescolar y
primer ciclo de primaria comienzan comparando y ordenando objetos usando un lenguaje
sencillo como más largo y más corto. La longitud debe ser el centro de atención en el primer
ciclo, aunque también se puede iniciar el peso y el tiempo. A partir del tercer ciclo se comienza
el estudio del área, el perímetro, volumen, temperatura y amplitud angular. En estos niveles
aprenden que las medidas se pueden calcular usando fórmulas y no siempre se necesita
obtenerlas de manera directa usando instrumentos de medida.
Los alumnos pueden explorar cómo cambian algunas medidas de los objetos al someterlos a
ciertas trasformaciones. Por ejemplo, cortando en piezas una figura y reagrupándolas de distinta
manera puede cambiar el perímetro, pero no el área.
Siguiendo el artículo citado de Inskeep (1976) incluimos a continuación actividades y
recursos para el estudio de las magnitudes básicas en los distintos niveles de educación
primaria: longitud, peso, tiempo, temperatura y capacidad. Las magnitudes amplitud angular,
área y volúmen serán tratadas en el siguiente capítulo. Estas actividades deben ser la base para:
• una introducción a una medición socialmente útil y
• el desarrollo de una medición sofisticada en la ciencia y otros temas en los niveles de
secundaria y post-secundaria.
Una restricción es que no todos los chicos están preparados para cierto tipo de actividades de
medición. La investigación de Piaget y de sus intérpretes ha apoyado la idea de que hay
estadios en la vida de los niños en los que son incapaces de comprender de un modo efectivo el
proceso de medición. Puesto que cada niño se desarrolla según un patrón individual (esto se
aplica tanto a los conceptos piagetianos como a otros aspectos de la individualidad) no es sólo
prudente sino esencial que el profesor adapte el programa a sus propios alumnos y use su
propio juicio acerca de cuándo comenzar una actividad.
Ejercicios
368
Magnitudes y medida
13. ¿A qué edad se puede abordar el estudio de cada una de las magnitudes?
14. Señalar actividades relacionadas con el principio de conservación de las distintas magnitudes
Actividad 1: Percepción y comparación de longitudes
Percepción de la longitud
1. Aproveche aquellas ocasiones en que los niños son medidos para su registro personal. Cuando la
enfermera mide a los niños, haga que la clase discuta lo que se está midiendo. Los métodos utilizados
para encontrar la medida pueden ser discutidos también. La clase puede incluso desear construir un
dispositivo propio de medida. Pregunte a los niños sobre cómo pueden encontrar la altura de cada uno.
Incluso si un niño no puede leer escalas o comparar números, participar en la actividad le ayudará para
clarificar lo que significa la altura.
2. Pregunte a los niños si saben quien vive más lejos de la escuela, y cómo pueden determinarlo.
Desarrollar la idea de distancia preguntando a los niños que digan cómo pueden encontrar quien vive
mas lejos. Si es posible, use un paseo por el campo para desarrollar el concepto de distancia. Utilice
visitas a los almacenes próximos, casas o puntos de interés como base para la discusión.
Comparación de longitudes
La mayoría de los adultos comparan la longitud de un objeto con otro, determinando si el número
asociado con su medida es mayor a menor que el número correspondiente del otro objeto. En nuestros
ejemplos de comparación de longitudes insistimos en las actividades táctiles y visuales y no las hacemos
depender sólo de la habilidad para leer y ordenar correctamente números.
3. “¿Por qué las plantas de judías han crecido la mayor cantidad en la semana pasada? Esta pregunta
puede servir de base para extenderse con la medida y la comparación.
4. Dibujar los perfiles de los niños y colocarlos en la pizarra en un mural. A continuación, hacer
comparaciones: “¿Quién es el más alto? ¿El más bajo? “.
Actividad 2: Percepción y comparación de pesos
Percepción del peso
La percepción del peso corre paralela con la de la longitud puesto que ambas nociones son
fácilmente asociadas con los seres vivos. El peso de los objetos puede ser sentido directamente.
Sosteniendo dos objetos y comparando sus sensaciones tenemos una experiencia sensorial directa.
Indicamos algunas actividades para desarrollar la percepción del peso.
1. Proporcione un número de objetos que varíen en volumen y peso y pida a los niños que los sostengan.
Tome dos objetos y pídales que adivinen cuál es más pesado. Repita con varios niños, cada vez
pregunte a la clase que adivine cuál es más pesado. Sostener cosas entre las manos da a los chicos
experiencia sobre el efecto de peso que la gravedad produce en la masa de los objetos.
Comparación de pesos
Como en la comparación de longitudes no queremos que los niños sean obstaculizados por una
dependencia de los instrumentos de medida o por una interpretación del orden de los números. El peso
se “siente” mejor por medio de los músculos. Cuando un niño soporta un objeto, puede comprender
(percibir) si es pesado. Las siguientes actividades ilustran esta idea,
1. Consiga piedras u otros objetos de pesos variados. Pedir al niño que los ponga en orden desde el más
pesado al más ligero, de acuerdo con lo que siente o experimenta al manipularlos. Esta actividad puede
369
J. D. Godino, C. Batanero y R. Roa
realizarse individualmente o en equipo.
2. Pedir a los niños que sostengan sus animales favoritos. ¿Qué animal es más pesado? Hacer una lista
de los animales mostrando cuál es el más pesado y el más ligero y anotándolo en la pizarra. Alguna
discusión podría acompañar a este ejercicio y varios niños podrían sostener a los animales.
Actividad 3: Percepción, comparación y medición del tiempos
Percepción del tiempo
Los niños no comprenden el tiempo y su paso hasta que alcanzan los niveles superiores de la escuela
elemental. Incluso entonces, muchos niños tienen una débil comprensión del paso del tiempo y casi
ninguna concepción del tiempo histórico. La percepción del tiempo como un atributo medible progresa
a lo largo de los años escolares. Indicamos algunas actividades para ayudar en el desarrollo de esta
percepción.
1. Use cualquier oportunidad para desarrollar la idea de los descriptores del tiempo: la clase comienza
por la mañana; la comida separa la mañana de la tarde; los chicos vuelven a casa por la tarde. Usar el
lenguaje temporal será una parte continua de la educación elemental.
2. Incluso aunque los niños no puedan ser capaces de leer o decir la hora, indíqueles las diferencias en la
posición de las manecillas de un reloj. Haga dibujar la posición de las manecillas del reloj a una cierta
hora, seguido de otro dibujo una hora después. Si esto es difícil de planificar en la clase, coloque una
esfera de reloj sobre la pizarra y pida a un niño que ponga las manecillas como indica el reloj de clase.
El dibujo de varios relojes con horas diferentes ayudará a los niños a visualizar el cambio que el paso
del tiempo hace sobre la esfera del reloj.
3. Haga un registro de los días, meses, fechas y otros sucesos del calendario. Los nacimientos y
ocasiones especiales ayudan a elevar el interés por leer las fechas, días y meses. Haga observar el
cambio de año cuando los niños vuelven a la escuela después de las vacaciones de Navidad. Aunque
estas actividades no contribuyan necesaria ni directamente a la percepción del tiempo por el niño, les
prepara para el vocabulario que usarán para expresarlo. El paso del tiempo puede ser observado en los
niveles superiores en términos de días, semanas y meses.
4. Medir el crecimiento de un animal doméstico y asociarlo con el tiempo. Hacer simples gráficos del
peso y altura del animal y relacionarlo a los días y fechas de cada medida. Esto ayuda a relacionar el
cambio en las características físicas del animal con el cambio del tiempo. Haga que los niños predigan
el peso una semana posterior para adquirir experiencia adicional en la observación de los intervalos de
tiempo. Posteriormente podrán comparar su predicción con el valor medido.
Comparación de tiempo
1. Dar a los niños una sensación del paso del tiempo relacionándolo con el calendario, leyendo en él y
observando los sucesos naturales diarios. ¿Ha brillado hoy el sol? ¿Qué fecha es hoy? Usar estas
cuestiones diariamente y señalarlas en el calendario. ¿Cuántos dias ha brillado el sol en esta semana?
Estas y otras cuestiones pueden servir para estimular discusiones normales sobre la duración del dia y de
la semana. Extienda la idea para desarrollar conceptos comparativos del mes, estaciones y año. Los
niños de los niveles superiores necesitan estas comparaciones; los niños más jóvenes pueden iniciarse
en ellas.
2. ¿Cuánto dura un segundo? ¿Un minuto? ¿Una hora? ¿Cuáles son los intervalos de tiempo de mayor
duración? Estas cuestiones se pueden responder con simples experimentos o por observaciones. Un
péndulo cuyo período tenga aproximadamente un segundo. El pulso de una persona, de 60 a 80
pulsaciones en un minuto. Medir el pulso de los niños, o dejar que individualmente se tomen el propio.
Después comparar la duración de las pulsaciones de los niños con las obtenidas inmediatamente después
370
Magnitudes y medida
del recreo. Preguntar a los niños quién tiene 60, esto mide aproximadamente 1 minuto. Hacerles ver
que son 60 golpes. Ayudados por un metrónomo, para controlar el ritmo, contar 60 golpes. Hacerles
ver que esto mide aproximadamente un minuto. Comparar el péndulo con el pulso para dar al niño una
idea de que más o menos 60 pulsaciones equivalen a un minuto.
Actividad 4: Percepción, comparación y medición de temperaturas
Percepción de la temperatura. Comparación
Los niños están expuestos a variaciones de temperatura desde sus primeras experiencias y
sensaciones. Pueden asociar el calor con una estación o con un lugar, tal como el horno de cocina.
Algunos niños se adaptan tan bien a los cambios de temperatura que parecen no notar las diferencias.
Todos los niños deben tener algún concepto de temperatura como medida del calor. Indicamos algunas
actividades diseñadas para desarrollar la percepción de la temperatura.
1. Coloque dos recipientes de agua, uno con suficiente hielo dentro para hacerlo más frío que el otro.
Pida a un niño que meta una mano en el agua fría y la otra en la caliente. Pregunte qué siente y cómo lo
describe. Use palabras “más frío”, “más caliente” y frases como “la temperatura es más alta en esta
vasija”. Similarmente, haga que los niños pongan sus manos en una salida de aire caliente o frío y que
comparen sus sensaciones de ese aire con el aire del resto de la habitación. Compartir y discutir tales
experiencias puede conducir a una idea ajustada de la temperatura,
2. Deje a los niños experimentar con pequeños trozos de metal negro y rugoso y otros de metal
reflejante colocándolos al sol, ¿cuál se pone más caliente? ¿Cuál se calienta más deprisa?
3.2. Actividades de estimación
Estimar una cantidad es el proceso de obtener una medida sin la ayuda de instrumentos,
es decir, consiste en realizar juicios subjetivos sobre la medida de los objetos. También
podemos decir que es la “medida” realizada “a ojo” de una cualidad de un objeto3. Los procesos
de estimación son muy frecuentes y útiles en las actividades que realizamos habitualmente.
Este es un motivo para desarrollar esta destreza en la escuela; además, las actividades de
estimación de medidas se deben considerar como uno de los componentes del proceso de
medir, ayudando a los alumnos a entender los distintos aspectos que se ponen en juego.
Actividad 6. Estimación con objetos presentes o ausentes
a)
– Estimar el largo de la clase en metros, estando el metro presente y el alumno en clase.
– Estimar la altura de la puerta del pasillo del colegio en metros, sin el metro y desde el pasillo.
– Estimar la longitud del patio del colegio en metros, con el metro no presente y el alumno en
clase.
– Estimar el ancho de las pistas del colegio en metros, con el metro no presente y el alumno en
clase.
b)
– Señalar qué objeto, de entre los que se indican, mide 2 m de largo (estando el metro presente):
un pupitre, una cama, un dormitorio.
– Indicar qué objetos de entre los señalados anteriormente miden 0’6 m de ancho, estando el
metro no presente
– Construir un metro. Nombrar objetos de 3 m.
– Nombrar objetos que midan 1 m de longitud.
3 Frias, Gil y Moreno (2001)